ÖZET Üç bölümden oluşan bu tezde tekillik analizi ile onun tam ve kısmi integre edilebilirlikle olan ilgisi incelenmiştir. Biz öncelikle integre edilebilirliğin üç değişik anlamını ifade ettik: 1.Sistemlerin kuadratürlerle çözülebilİrliği, 2.Hareket denklemlerinin güzel özelliklerinden dolayı integre edilebilir oldukları kabul edilen lineeer denklem sistemlerne indirgenebilirliği 3.Sistemlerin integro-differansiyel denklemlere indirgenerek lineerleştirilebilirlikleri nedeniyle integre edilebilirlikleri. 1.Bölüm'de cebirsel integre edilebilirlik kavramı, Yoshida'nm `İntegre edilebilir sistemler için Kowalevski üssü kompleks veya irrasyonel olmamalıdır.` tanımı altında açıklandı. Tam integre edilebilirliğin hareketin kompleks analitik integrallerinin yeterli sayıda var olması demek olduğu, tam olmayan integre edilebilirliklerin kısmi ve kısıtlı integre edilebilirlik adı altında yeterli sayıda integralin olmaması ve belli şartlar altıda integre edilebilirliğin gerçekleşmesi olarak açıklandı. 2.Bölüm içerisinde; Tekillik (Painleve) analizinden faydalanılarak ADD'ler ve KDD'lerin integre edilebiliriliği araştırıldı. Bunların incelenmesinde kullanılan ARŞ Algoritması ve Weiss Metodu sunularak örnekler verildi. 3.Bölüm'de de Ziglin Teoremi'ne dayanılarak birkaç sistem için integrallerin var olmadığı ispatlandı. Ziglin yaklaşımının lineer olmayan acılımıyla integre edilemezlik kriteri olarak `çoklu-Painleve` sunuldu. Bu pratik metodun açıklanması için bazı uygulamalar yapıldı. SUMMARY This thesis work reviews papers which illustrate the connection between integrability and the singularity structure of the solutions of nonlinear dynamical systems. in the first section we have attempted to classify various aspects of integrability. We have distinguished three different situations. a)The system can be solved by quadratures. For instances, the two dimensional Ha- miltonian system H = l/2(Px2+pv2) + F(p) + G(ç>)/p2, where p = (x3 +y3/ and ç =arctan(y/x) has the second integral ı = (xpy-ypx)~+2G(^' ]=0 where § and Uj=Uj(Zı,Z2,,Zn) are analytic functions of (zı,z2,,Zn) in a neighborhood of manifold. Subtitution of u into the PDE determines the possible values of p and defines the recursion relations for Uj, j=0,1,2,When p is a negative integer and u is valid and general expansion about the manifold ^(z,,z2,,zB) = 0, then the solution has single valued representation about ^(znz2,,zB) = 0. If this representation is valid for ali allowed singularity manifolds, then the PDE has the Painleve property. The singular manifold method can also be applied to ordinary differential equations. For instance, Bâcklund transformation for the Henon-Heiles system xtt = -Ax - 2dxy yn=-By + cy2~dx2 with d/c-l/ö has the form x=flx0+3cl y = ~2y0 + flyı+y2 wherey0=-tf, * = *`, y2=^(U-B-3V-3(0tt/t)2and x02 = tfV, x, = --(Vt IV + ^I t)V112. The variable V is V = {;t} + l where -V2+-V*+(-B-2A+-K)V2+(-B2--A2)V=Q. 2 ' 23363 xThis defines V as a Weierstrass elliptic fünction and = -, where u ı,U2 112 are solutions of the linear equation «B=~(F + A)ıı. in the third section using Ziglin theorem the nonexistence of interagls for some equations is proved. Original form of the Zigliris theorem was that: Suppose that a given Hamiltonian H has N-1 analytic integrals, which are functionally independent together with H, and moreover that there exists a non-resonant matrix M1 (Monodromy matrix). Then it is necessary that any other monodromy matrix M either: a)commutes with M ör b) permutes the eigenspaces of M. in particular M1 is also non-resonant and it must also neccessarily commute with M. The problem which arises at this point is that of the practical applicability of Ziglin's theorem. The knowledge of the monodromy matrices is neccassary. Ziglin's method is particularly usefol in constructing proofs of nonintegrability. As in the case of Ziglin, multivaluedness is incompatible with integrability unless the `interaction` between singularities satisfies some communication properties. The `poly-Painleve` criterion, consists in checking whether the `interaction` between two of the system's singularities leads to a multivaluedness of the `dense` type. The method is asymptotic and a parameter G will be introduced, which may be taken arbitrarly small. The main idea is the following : if öne can show that the some trajectory can be characterized by two values of an integration constant, which differ by an additive quantity proportional to s` (for some n), this will mean that the integration constant, for this trajectory, is hopelessly (i.e.`densely`) multivalued. We must point out that the `poly-Painleve` criterion, although intuitively appealing in its association of `dense` multivaluedness to non-integrability, does not yet constitute a powerfül algorithm 231