Search

Yüksek lisans tez çalı¸smasında üretici çekirdekler ve Berezin sembolü yardımıylaüretici çekirdekli Hilbert uzayları üzerinde Ca;b (A) dönü¸sümü kullanılarak Berezinsayı e¸sitsizlikleri çalı¸sılmı¸s ve üretici çekirdekli Hilbert uzayı üzerinde öze¸slenikoperatörler için Grüss tipindeki e¸sitsizlikler verilmi¸stir. Üretici çekirdek teorisi Hilbertuzaylarındaki lineer dönü¸sümlerle temel ba˘glantısı olan matematiksel bilimlerdeki birçok alanda uzun bir tarihe ve büyük çalı¸smalara sahiptir. Birçok bilim alanında ortakolan konu üretici çekirdek ve Berezin sembolü oldu˘gu için bu kavramlar üzerindesonuçlar verilmi¸stir. Teorinin gerekli olan temel içeri˘gini kapsadı˘gı, bununla beraberincelemek için daha rahat oldu˘gundan Grüss tipli e¸sitsizlikler ile çalı¸sılmasının dahauygun oldu˘gu dü¸sünülmü¸stür. Grüss tarafından verilen iki fonksiyonun çarpımınınintegrali ve onların integralinin çarpımı arasındaki farkın tahminini veren ilginç veyararlı Grüss e¸sitsizli˘gi, istatistik, kodlama teorisi, nümerik analiz, fonksiyonel analizve uygulamalarını içeren matemati˘gin bir çok bran¸sında önemli bir yer tutmaktadır.Son zamanlarda bu e¸sitsizlik geli¸stirilmi¸s ve pek çok genelle¸stirilmesi elde edilmi¸stir.Böylece Grüss tipli e¸sitsizlikler ve uygulamaları operatörler teorisinde yerini almı¸stır.Bu sebeple Grüss tipli e¸sitsizlikler ve bazı iyi bilinen e¸sitsizlik tipleri kullanılarak üreticiçekirdekli Hilbert uzaylarda öze¸slenik (self-adjoint) operatörlerin ve fonksiyonlarınBerezin sayısı için yeni tipli e¸sitsizlikler ile ilgili sonuçlar ortaya koymu¸stur. In this master's thesis, we examined the Berezin number inequalities by using thetransform Ca;b (A) defined in terms of reproducing kernels and Berezin symbol onreproducing kernel Hilbert spaces, and give Grüss-type inequalities for selfadjointoperators in reproducing kernel Hilbert spaces. The theory of reproducing kernel hasfundamental ties to linear transformations in Hilbert spaces, has a long history in manyother fields in mathematical sciences and there has been major work on this subject.The results of these concepts are given because the subject that is common in manyfields of science is reproducing kernel and the Berezin symbol, we have results onthese. Since it encompasses the fundamental contents of the theory necessary for ourwork and because of the ease of using Grüss-type inequalities, we have implementedtheir use in our work. Grüss proved an interesting and useful inequality that gives anestimate of the difference between the integral of the product of two functions and theproduct of their integrals. Applications of the Grüss type inequalities have been foundin many branches of Mathematics includind statistics, coding theory, numerical analysis,functional analysis and applications. In a recent, proved more general inequalities ofthe Grüss type. Thus, Grüss type inequalities and applications have taken place in thetheory of operators. 38

Bu tez çalışmasında ilk önce sonlu aralık üzerinde tanımlı vektör-fonksiyonların Hilbert uzayında birinci mertebeden lineer pantograf tipli gecikmeli diferensiyel-operatör ifadenin doğurduğu minimal operatörün tüm sınırlı tersinir genişlemeleri sınır değerleri dilinde ifade edilmiş ve bu tip genişlemelerin spektrum yapıları incelenmiştir. Daha sonra, bu araştırma birinci mertebeden çok noktalı lineer pantograf tipli gecikmeli diferensiyel-operatör ifadeler durumuna genelleştirilmiştir. Alınan sonuçlar örneklerle desteklenmiştir. In this thesis, firstly all boundedly solvable extensions of the minimal operator generated by first order linear pantograph type delay differential-operator expression are described in terms of boundary values in Hilbert space of vector-functions defined on finite interval and structure of spectrum of such extensions is investigated. Later on, this research is generalized to first order multipoint linear pantograph type delay differential-operator expression. The results which have been obtained in this thesis are supported by examples. 126

Tezin ilk bölümünde genel olarak lineer uzay, lineer operatör ve çekirdek ile ilgili literatür süreci verildi.İkinci bölümde lineer, normlu ve Hilbert uzaylarında tanımlı lineer operatörlerle ilgili temel tanım ve teoremlere yer verildi.Üçüncü bölümde çekirdek ile ilgili temel tanım ve teoremler detaylı bir şekilde çalışıldı. In the first section of this thesis, the general progress of linear space, linear operatör and core have discussed.In the second section, the basic definitions and theorems about linear operators of on linear, normed and Hilbert spaces have given.In the third section, the basic definitions and theorems about core have introduced and studied detailed. 38

Biernacki, normalize edilmiş analitik ve yalınkat fonksiyonların bazı integraloperatörleri altında yine yalınkat olduğunu iddia etmiştir. Fakat bu iddianın doğruolmadığı karşıt örnekle ispatlanmıştır. Biernacki'nin bu çalışması, analitik fonksiyonsınıflarında, integral operatörlerin özelliklerinin araştırılmasında önemli bir roloynamıştır.Bu tezin ilk bölümünde giriş ve amaç verilmiştir. İkinci bölümde yalınkatfonksiyon tanımı verilip bazı özellikler tanıtılmaktadır. Ayrıca bir yalınkatlık kriteriolan Schwarzian türev kavramı ve Subordinasyon tanımı verilip özellikleriincelenmiştir. Üçüncü bölümde bazı özel sınıfların tanımları verilmiştir. Tanımıverilen sınıflar arasında pozitif reel kısma sahip, normalize edilmiş yalınkat veanalitik, yıldızıl, konveks ve konvekse yakın fonksiyon sınıfları vardır. Ayrıca busınıflarının birbiriyle olan ilişkileri de incelenmiştir. Dördüncü bölümde önceliklebirinci, ikinci, üçüncü tür ve genelleştirilmiş integral operatörlerinin tanımları veözellikleri verilmiştir. Ayrıca üçüncü bölümde verilen özel fonksiyon sınıflarındanalınan fonksiyonların integral operatörleri altında hangi sınıflara ait olduğu incelenmiştir.Üçüncü tür ve genelleştirilmiş integral operatörleri için ters problem incelenmiştir.Son olarak dördüncü bölümde son yıllarda çalışılan integral operatörleri veAl-Oboudi türev operatörü ile verilen integral operatörünün tanımları verilipözellikleri incelenmiştir. Cumulative grade average of students is an important factor affecting the university entrance exam results.Even a minor difference in points can put a student forward or backward in ranking of a million results. The students could take the advantage of cumulative grade average by cheating in the exams so that they could move forward in ranking. Therefore, we must stop students cheating during the exams in primary and high schools. Our program sets different seating positions for students in a school for every class and for every different exam at any time.It can be done by two methods. First, ideal seating position of the student could be decided in accordance with the cheating possibility calculated by the fuzzy logic method.Second, it can be done by random selection of students who are in different categories.The possibility of cheating could be minimized in this way. The list of distributed group lists could be classified and viewed on the screen in terms of classes and exam places, and also they can be printed out. In addition to this, personal information ( name, family name,student number, class), exam place, seating position and photo of the students could be placed on the exam paper easily. There are 10 schools active users of that applied program and it is upgraded by considering the user feedbacks. 91

Bu çalışmada sonsuz matrislerle tanımlanan operatörlerle ilgili sınırlılık, toplanabilirlik ve operatörün tersinin varlığı gibi bazı temel kavramlar ile sonsuz matrislerle tanımlanan Cesaro, Nörlund, Toeplitz gibi bazı özel operatörlerin bir takım temel özellikleri incelenmiştir. In this study, some main concepts such as summability, boundedness, regularity and invertibility of special operators defined by infinite matrices are investigated. Some of the key features of a number of special operators defined by infinite matrices like Cesaro, Norlund, Toeplitz are examined. 52

Bu çalışmada ilk olarak konunun tarihsel gelişimi ifade edilmiştir. Fonksiyonlar ve operatörler teorisindeki bazı tanımlara ve temel sonuçlara yer verilmiştir. Sonra Berezin sembolleri yardımıyla bazı özel operatör sınıfları incelenmiştir. Aynı zamanda S_{p}^{w}, 0

Bu çalışmada lineer operatör denklemler için temel çözüm kavramı incelendi. Birinci bölümde genel formda verilmiş olan operatör denklem için temel çözüm ve genelleştirilmiş temel çözüm kavramları tanımlandı. Bu çözümlerin varlığı için gerekli koşullar elde edildi. Sağ düzenleyiciye operatöre sahip olan Fredholm tipli bir problem sınıfı için temel ve genelleştirilmiş temel çözümler incelendi. İkinci bölümde birinci bölümde verilmiş metoda uygun olarak bir problem ele alındı. Bu problem için eş problem tanımlandı. Bu eş problem bir integro-cebirsel denklem sistemi olara elde edildi. Cebirsel denklemler çözülüp integral denklemde yerleştirildiğinde bir ikinci çeşit integral denklem elde edildi. Bu integral denklemin çözülebilme koşulları incelenerek Green ya da genelleştirilmiş Green fonksiyoneli elde edileceği gösterildi. Daha sonra başlangıç ve sınır değer problemleri ele alınarak bunlar için eş sistem oluşturuldu. Bu eş sistemlerin özel halde klasik yöntemler ile Cauchy ve Green fonksiyonlarının oluşturulması problemlerine denk olduğu gösterildi. In this study, the fundamental solution for linear operator equations cencept is examined. In the first part, fundamental soution and generalized fundamental solution concepts for solutions of operator equations given in general form are defined. The conditions for the existence of these solutions are obtained. For a Fredholm type problem class with right regulator operator, fundamental and generalized fundamental solutions are examined. In the second part, a problem is dealt with according to the method given in the first part. The adjoint problem is defined for this problem. The adjoint problem is obtained as a system of integro-algebraic equations. Once the algebraic equations are solved and replaced in the integral equation, a second type of integral equation is obtained. By examining the solvability conditions, it is shown that Green and generalized Green functionals can be obtained. Later, the initial and boundary conditions are handled and an adjoint system for these are generated. It is shown that these are equaivalent to the problems of obtaining Cauchy and Green functionals in special cases with classical methods. 55

Simetrik operatörlerin genişleme teorisi operatörler teorisinin temel araştırma alanlarından birisidir. Bu teoriyi oluşturacak bazı tanım ve teoremler ikinci bölümde verilmiştir. Üçüncü bölümde verilen bir simetrik operatörün kendine eş genişlemesi oluşturulmuştur.Dördüncü bölümde lineer bağıntı, sınır değerler uzayı kavramları tanımlanmıştır. Bu kavramlar yardımıyla simetrik diferansiyel operatörlerin maksimal disipatif, akretif ve kendine eş genişlemeleri sınır koşulları cinsinden verilmiştir.Beşinci bölümde dördüncü mertebeden simetrik diferansiyel operatörler için sınır değer uzayı oluşturulmuştur. Dördüncü mertebeden simetrik diferansiyel operatörlerin disipatif, akretif, kendine eş genişlemeleri sınır koşulları cinsinden verilmiştir.Anahtar Kelimeler: Simetrik operatör, Kendine eş operatör, disipatif operatör, akretif operatör, genişleme, sınır değer uzayı, sınır koşulları, indis defekt, lineer bağıntı.2011, 74 sayfa The theory of extensions of symmetric operators is one of the main research areas of operator theory. Some definitions and theorems based on this theory are given in the second section.In the third section, self adjoint extension of a symmetric operator is constructed. In the fourth section, the notions of a space of boundary value and linear relations are defined. On that basis maximal dissipative and self adjoint extensions of a symmetric differential operator are described in terms of boundary conditions.In the fifth section, a space of boundary value for fourth order differential operator is constructed. A description of all maximal dissipative, accretive, self adjoint and other extensions of fourth order differential operator is given in terms of boundary conditions.Key Words: Symmetric operators, self adjoint operators, dissipative operators, accretive operators, a space of boundary value, boundary conditions, indices defect, linear relation.2011, 74 pages 80

Bu çalışmanın amacı Kuantum fiziğinin önemli denklemi olan bir boyutlu Coulumb Potansiyelli Schrödinger denklemi için konulan ters problemin öğrenilmesi ve ters problemlerin yerel(lokal) çözümlerinin varlığı ve tekliği ile ilgili teoremlerin ispatlanmasıdır. Bu amaçla tezin giriş bölümünde, önceden yapılan çalışmalar özetlenmiştir. Birinci bölümde tezde kullanılan temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde sonlu aralıkta Coulumb potansiyele sahip Sturm-Liouville diferansiyel operatörü, birinci mertebeden denklem sistemine indirgenmiş, ve bu sistemin çözümünün bir gösterimi elde edilmiştir. Üçüncü bölümde, verilen operatörün spektrumunun özellikleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde genel hali ile verilen Sturm-Liouville sınır değer problemi için ters problem kurulmuş ve yerel çözümlerden bahsedilmiştir. Beşinci bölümde ise verilen diferansiyel denklem ve sınır koşullarının ürettiği operatör için ters problem kurulmuş ve yerel(lokal) çözümlerinin varlığı ve tekliği ile ilgili teoremler ispatlanmıştır. The aim of the present study is to prove the theorems on the learning of the inverse problem for one dimensional Coulumb Potential Schrödinger equation which is an important equation of Quantum Physics and the existence and the uniqueness of the local solutions for inverse problems. For this reason, the previous studies are summarized in the introduction part of the present thesis. In the first part, the basic definitions and theorems used in the thesis are given. In the second part, the Sturm-Liouville differential operators with Coulumb potential at finite interval is reduced to a first degree equation system and a display of the solution of this system is obtained. In the third part, the features of the spectrum of the given operator are analyzed. In the fourth part, a test problem is established for the Sturm-Liouville limit value problem given in its general state and local solutions are discussed. In the fifth part, an inverse problem is established for the differential equation and the operator produced by limit conditions, and the theorems on the existence and the uniqueness of local solutions are proved. 96

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. Bu kısımda tezde ele alınan konu ve bu konuyla ilgili olan literatürdeki diğer çalışmalar kısaca özetlenmiştir.İkinci bölümde temel kavramlara yer verilmiştir. `Lineer pozitif operatörler` tanımından başlanarak, operatör dizileri için `düzgün yakınsaklık` kavramı ve bununla beraber `Korovkin Teoremi` ele alınmıştır. Yaklaşımlar teorisinde çok önemli bir yere sahip olan Bernstein operatörleri ve genelleşmeleri hatırlatılmış, bilinen bazı sonuçlar verilmiştir. Son olarak, tezde sıklıkla kullanacağımız q-analiz konusunun temel tanım ve özelliklerine yer verilmiştir.Üçüncü bölümde q-Bernstein operatörlerinin Kantorovich tipli bir genelleşmesi tanımlanmış ve bu operatörün klasik anlamda yaklaşım özellikleri incelenmiştir.Son bölümde, istatistiksel yakınsaklık kavramı hatırlatılmış ve q-Bernstein-Kantorovich operatörünün istatistiksel yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Bu operatörün yaklaşım hızını incelemek istediğimizde karşımıza çıkan problemlere değinilmiş ve bu doğrultuda `ikinci tip q-Bernstein-Kantorovich operatörü` tanımlanmıştır. Bu operatörün istatistiksel yakınsaklığı incelenmiş ve istatistiksel yaklaşım hızı süreklilik modülü ve Lipschitz sınıfından fonksiyonlar yardımıyla elde edilmiştir. Bu bölümde son olarak q-Meyer-König ve Zeller (q-MKZ) operatörlerinin Kantorovich tipli genelleşmesi tanımlanmış ve istatistiksel yaklaşım özellikleri incelenmiştir. This thesis consists of four chapters. The first chapter has been devoted to the introduction. In this part, the issue of the thesis and some other studies in literature related to this issue have been summarized.In the second chapter, basic notions have been recalled. Starting from the definition of linear positive operators, the notion of `uniform convergence` for the sequence of operators and the `Korovkin Theorem` have been mentioned. The Bernstein operators, their generalizations and some known results concerning these generalizations have been considered. Lastly, the basic definitions from the concept of q-analysis, which will frequently be used in this thesis, have been recalled.In the third chapter, Kantorovich type generalization of q-Bernstein operators have been introduced and the classical approximation properties have been examined.In the last chapter, the statistical approximation properties of q-Bernstein-Kantorovich operators have been considered. The problems, appeared in analyzing the approximation order of the operators, have been mentioned and accordingly `the second type q-Bernstein-Kantorovich operators` have been constructed. The statistical convergence of this second operator has been examined and approximation order is obtained by means of modulus of continuity and with the help of functions from Lipschitz class. Lastly, similar investigations are done for the Kantorovich type generalization of q-Meyer-König and Zeller (q-MKZ) operators. 63

K kompakt Hausdorff uzayındaki bütün sürekli fonksiyonların C(K)-uzayları arasındaki latishomomorfizmaların özellikleri düsünülerek, onların cebirsel homomorfizmalarla iliskileriverildi. Latis (örgü) homomorfizmaların genisleme özellikleri kadar C(K)-uzayları arasındakilatis ve cebirsel homomorfizmaların temel niteligi sunuldu. C(K)-uzaylarındaki çarpımoperatörleri tartısıldı. Bir Banach latis olarak birimli bir Soyut M-uzayı (AM-uzayı) çokönemli olan bir f-cebiri yapısına sahiptir. Bir AM-uzayının halka yapısından faydalanılarakBanach latislerde operatörlerin faydalı bazı ?yerel yaklasım? özellikleri çıkarıldı. Örnegin,birimli bir E, AM-uzayını alırsak, E'' ikinci dualinin sıralı izdüsümleri E' nin çarpımoperatörleri tarafından ?yerel olarak? yaklastırılabilir.Anahtar kelimeler: Çarpım operatörü, latis homomorfizması, cebirsel homomorfizma, SoyutM-uzayı (AM-uzayı), ortomorfizma, bileske operatör. Considering the properties of lattice homomorphisms between the spaces C(K) of allcontinuous functions on a compact Hausdorff space K, it is given their relation to algebraichomomorphisms. The basic characterization of lattice and algebraic homomorphisms betweenC(K)-spaces as well as some extension properties of lattice homomorphisms are presented.Multiplication operators on C(K)-spaces are discussed. An abstract M-space (AM-space) withunit as a Banach lattice has an f-algebra structure which is very important. Utilizing the ringstructure of an AM-space, some useful ?local approximation? properties of operators onBanach lattices are derived. For example, if we take an AM-space E with unit, then the orderprojections of the second dual E'' can be approximated ?locally? by the multiplicationoperators of E.Keywords: Multiplication operator, lattice homomorphism, algebraic homomorphism,Absract M-space (AM-space), orthomorphism, composition operator. 71

Bu çalışmada Hilbert uzayında bazı lineer normal ve normale yakın operatörlerin spektrumunun reel ve sanal kısımlarının spektrumları arasındaki bağıntı incelenmiştir. Birinci bölümde tezde kullanılan Fonksiyonel Analiz, Lineer Operatörler ve Spektral Teorisi'nin temel kavram ve sonuçları verilmiştir. ?kinci bölümde ise, ilk olarak lineer normal operatörlerin ayrık spektrumunun, reel ve sanal kısımlarının ayrık spektrumlarının özel bir kartezyen çarpımı şeklinde ifade edildiği, reel ve sanal kısımlarının kompakt operatör olması halinde ise normal kartezyen çarpım olduğu durumlar incelenmiştir. Aynı irdelemeler hiponormal operatörler için de yapılmıştır. Daha sonra ise, lineer normal operatörlerin spektrum yapısı üzerinde durulmuş, reel ve sanal kısımlarının spektrumlarının kartezyen çarpımı şeklinde gösterilebileceği durumlara yer verilmiştir. Son olarak alınan sonuçların sınırlı normal operatörlerin normu, spektral yarıçapı, nümerik yarıçapı ve sınırsız normal operatörlerin özdeğerlerinin modüllerinin sonsuzdaki asimptotu konuları üzerindeki uygulamaları verilmiştir. Ayrıca alınan sonuçlar örneklerle desteklenmiştir. Anahtar Kelimeler: Normal, Hiponormal ve Üniter Operatör; Operatör Fonksiyonu; Spektrum ve Rezolvent Küme; Sürekli, Ayrık ve Artık Spektrum; Spektral ve Nümerik Yarıçap; Özdeğerlerin Modüllerinin Asimptotu. In this study the spectrum of some normal operators and hyponormal operators are investigated in terms of the spectrum of their reel and imaginary parts in Hilbert space. In the first part of the study basic concept and results in functional analysis, the operator theory and spectral theory are summarized. In the second part firstly, the point spectrum of a normal operator is stated with a special Cartesian product in terms of the point spectrum of its real and imaginary parts. Therefore, when its real and imaginary parts are compact operators, the conditions in which its point spectrum is expressed with normal Cartesian product in terms of the point spectrum of its real and imaginary parts are investigated. Also the same study is made for hyponormal operators. After that the structure of a normal operator spectrum is studied carefully and conditions in which its spectrum is expressed with Cartesian product in terms of the point spectrum of its real and imaginary parts are given. Finally, applications of spectral radius, numerical radius, its norm for bounded normal operators and asymptotical behaviour of the eigenvalues for unbounded normal operators are given with all results. Moreover, all theorems in this thesis are supported with examples. Keywords: Normal Hyponormal Operator and Unitary Operators; Function of an Operator; Spectrum and Rezolvent Sets; Point, Continuous and Residual Spectrum; Spectral and Numerical Radius; Asymptotics of the Modules of Eigenvalues. 74

Bu tezde Hardy esitsizlikleri(Hardy tipli esitsizlikler) ve Hardy operatörleri(Hardy tipli operatörler) hakkında bilgi verilmiş ve Riemann-Liouville ve Weyl operatörlerinin agırlıklı Lebesgue uzayları L_{v}^{p}'den L_{w}^{q}'ya sınırlı oldukları gösterilmiştir. Birinci bölümde Esitsizlikler teorisi hakkında genel bilgi verilmiş, Hardy eşitsizlikleri ve Hardy operatörlerinin tarihsel ve teorik gelisiminden bahsedilmiştir. İkinci bölümde daha sonraki bölümlerde verilecek olan kavramların daha iyi anlasılabilmesi için gerekli olan bazı temel bilgilere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde Lebesgue teorisinin temelini olusturan ölçü, Lebesgue (dıs)ölçüsü ve ilgili kavramlar daha sonra da Lebesgue integrali verilmiştir. Dördüncü bölümde Lebesgue uzayı ve ilgili kavramlarla teoremler ve ayrıca Sobolev uzayı ve gömme teoremleri hakkında bilgi verilmiştir. Beşinci bölümde Hardy esitsizlikleri ve Hardy operatörleri, tarihsel ve teorik gelişim süreci içersinde verilerek, konu özlü ve anlasılır bir şekilde anlatılmıştır. Altıncı bölüm son bölüm olup, bu bölümde Hardy tipli operatörler hakkında bilgi verilmis ve tezimizin orjinal çalısması olan Riemann-Liouville ve Weyl operatörlerinin agırlıklı Lebesgue uzayları L_{v}^{p}'den L_{w}^{q}'ya sınırlı olmalarını saglayan (v,w) agırlık fonksiyonları için gerek ve yeter kosullar elde edilmiştir. In this thesis, Hardy inequalities(Hardy-type inequalities) and Hardy operators(Hardy-type operators) topics are dealt with and the boundedness of the Riemann-Liouville and Weyl operators from L_{v}^{p} to L_{w}^{q} is obtained. In the first chapter, we dealt with the history of the inequalities generally and mentioned the historical and theoretical development of Hardy inequalities and Hardy operators. In the second chapter, we gave the basic and necessary informations for properly understanding of following chapters. In the third chapter; measure, Lebesgue outer measure, Lebesgue integral and related topics which are the basic concepts of the Lebesgue theory are mentioned. In the fourth chapter, Lebesgue space and related concepts and theorems, moreover Sobolev space and imbeddings theorems are dealt with. In the fifth chapter, in their historical and theoretical development Hardy inequalities and Hardy operators are dealt with largely and explicitly. In the last chapter; first, Hardy-type operators are mentioned, then the necessary and sufficient conditions are found for the weight pairs (v,w) which provide the boundedness of the Riemann-Liouville and Weyl operators from L_{v}^{p} to L_{w}^{q}.

9. ÖZET Bu çalışmada, önce Banach uzayında etki eden operatörlerin apektral özellikleri verilmiş daha sonra bu özelliklerden yararlanarak sonlu boyutlu uzaydan Banach uzayının en- domorfizmler cebirine etki eden operatörlerin spektral teorisi ve buna paralel olarak da sonsuz boyutlu uzaydan Banach uzayının endomorfizmler cebirine etki eden op eratörlerin bazı özellikleri verilmiştir. Ayrıca bir Banach uzayında bir operatör için daha önce Dunford-Schwartz'in [3] verdiği fonksiyonel hesaplamalar ilk defa olarak farklı Banach uzaylarında etki eden (A, B) operatör çifti için hesaplanmıştır. Bu hesaplamalar sırasında bir Banach uzayında etki eden operatörlerin tersine farklı Ba nach uzayında etki eden operatörlerin spektrum kümelerinin boş ve sınırsız bir küme olabileceği gösterilmiş ve bu sorunu ortadan kaldırmak için yeni tanım ve teoremler verilmiştir. Bir Banach uzayından diğer Banach uzayına etki eden operatör çifti birimli Banach cebiri olmadığından, bu uzayda etki eden operatör çifti için, aynı uzaydan aynı uzaya etki eden sağ ve sol pseudo-resolvent operatörleri tanımlanmıştır. Böylece {A, B) operatör çiftinin sağ ve sol pseudo-resolventleri olan Rr{/;A;B) ve Rı{/;A, B) operatörler uzayının birimli Banach cebiri oluşturduğu gösterilmiştir. Ayrıca bu çalışmada, Friedrichs K.'nın [16] Hilber uzayında etki eden pertur- basyon operatörler ve Kato T.'nın [17] bir parametreye bağlı perturbasyon operatörler için yaptıkları çalışmalardan yararlanarak, farkllı Banach uzaylarında etki eden pertur basyon operatörler için yeni teoremler verilmiştir. Son olarak bu çalışmaların uygulaması olan; operatör katsayılı çok boyutlu dife ransiyel denklemlerin çözülebilme şartları ve bu şartlar dahilinde çözümleri incelenmiştir. Önce katsayıları operatörler olan çok boyutlu homojen diferansiyel denklemlerin çözüle bilme şartları bulunmuş ve bu bulunan şartlara göre denklemin çözümü verilmiş daha sonra operatör katsayılı homojen olmayan çok boyutlu diferansiyel denklemin tam ;özulebilme şartları incelenmiştir. Bu inceleme sırasında bi-lineer Lie çarpımı bulunmuş ve operatörlerin morfizm özelliğinden yararlanarak sonlu boyutlu uzayın Lie cebirine dönüştüğü gösterilmiştir. 59 10. SUMMARY In this study, 6h» spectral propertias of operators acting in one Banach space is first given and then by making use of these properties, the spectral theory of operators acting from finite dimensional space to algebra of endomorphisms of Banach space is presented and in parallel to this, the spectral theory of operators acting from infinite dimensional space to algebra of endomorphisms of Banach space is also provided. Furthermore, the functional calculations given previously by Dunford-Schwartz [3] for an operator in one Banach space are applied for the first time to a pair of operators in different Banach spaces. During these calculations, it is shown that the spectrum of pairs of operators in different Banach spaces may be an empty and infinite set in contrary to operators acting in one Banach space. To solve this problem new definitions and theorems are given. Because of the pairs of operators in different Banach spaces do not constitute Banach algebra with tmity, the left and right pseudo-resolvent operators acting from one Banach space to itself are defined for the pair of operators acting in this space As a result of these, it is shown that the Rr(A; A, B) and ftj(A; A, B) operator spaces which are mutually right and left pseudo-resolvent of pairs of operators (A, B) construct a Banach algebra with unity. In addition, the studies performed by Priedrichs [16] on the perturbation operators acting in Hubert space and by Kato T. [17] on perturbation operators depending on a parameter were used to present new theorems for the perturbation operators in different Banach spaces. Finally, the necessary and sufficient conditions for solvability of multidimensional differential equations with operators coefficient as well as the solutions depending on these conditions were investigated. First the necessary and sufficient conditions for exact solvability of homogenous multidimensional differential equations are found and depending solution is provided. Then the necessary and sufficient conditions for exact solvability of non-homogenous multidimensional differential equations with operators coefficient are studied. During this study, bi-linear Lie product is found and depending on this and the property of morphism of operators, it was shown that the finite dimensional space is transformed into the Lie algebra. 60 60

ÖZET Yüksek Lisans Tezi YARI EKSENDE BİR PERİYODİK KATSAYILI STURM-LİOUVİLLE OPERATÖRLER SINIFININ SPEKTRAL ANALİZİ Sevim DURAK Cumhuriyet Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalı Danışman : Doç.Dr.Eşref ORUÇOV Bu tez giriş ve iki bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde lineer operatörlerin spektral teorisinden bazı önemli tanım ve kavramlar verilmiştir. Öz eşlenik ve öz eşlenik olmayan periyodik katsayılı lineer diferansiyel operatörlerin teorisine ait bilimsel çalışmaların özetleri verilmiştir. İkinci bölümde periyodik katsayılı Sturm-Liouville operatörlerinin bir sınıfı için L2(0,+oo) uzayında operatörün spektrumu ve resolventası incelenmiştir. Elde edilen sonuçlar önceden belli sonuçlarla karşılaştırılmıştır. ANAHTAR KELİMELER: Lineer Diferansiyel İfade, Diferansiyel Denklem, Operatör, Özdeğer, Özfonksiyon, Spektrum, Resolventa Ill SUMMARY MsC Thesis THE SPECTRAL ANALYSIS OF THE OPERATOR CLASS OF A PERİODİC COEFFICIENT STURM-LİOUVİLLE İN THE SEMİ-AXİS Sevim DURAK Cumhuriyet Universty Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor : Doç.Dr. Eşref ORUCOV This thesis consists of an introduction and two chapters. In the first chapter some significant definitions and concepts have been given from the spectral theory of linear operator. The summaries of the scientific studies which belong have been given to the theory of self-adjoint and nonself-adjoint periodic coefficient linear differential operator. In the second chapter, the spectrum and resolvant of the operator have been analysed in the L2 (0,+qo) space for a class of the operator of the periodic coefficient Sturm-Liouville. The acquired results have been compared with the previous results. Key words : Linear differential expression, Differential equation, Operator,Eigen value, Eigen function, Spectrum,Resolvant îtöS^C* *«* 42

IV SİNGÜLER OPERATÖRLER VE ONLARIN FOURÎER SERÎSİ TEORİSİNDE UYGULAMALARI Erhan SORKUN Matematik bölümü, Yüksek Lisans Tezi, 2002 Tez Danışmam : Prof. Dr. Ferhad H(G). NASİBOV ÖZET Fonksiyonların yaklaşım teorisi, Reel Değişkenli Fonksiyonlar Teorisinin XX. Yüzyılda ortaya çıkmış ve gelişmiş olan bir dalıdır. Burada da çok çeşitli konular bulunmaktadır ve bu konuların her biriside günümüzde çok gelişmiş durumdadırlar. Bu konular arasında da en önemli yerlerden birisini fonksiyonların herhangi basit ifadelerle yaklaşımı almaktadır. Bu çalışmada Fonksiyonların Singüler operatörler ile yaklaşımı konusu ele alınmıştır, öncelikle Singüler integral kavramı tanımlanmış, genel özellikleri verilmiş ve onların Fourier serilerinde yakınsaklık problemlerine uygulaması gösterilmiştir. Ayrıca çalışmada, Fourier serilerinin tek bir olması konusuna da değinilmiştir. Son olarak da Lineer operatörler ile yaklaşım üzerine P. P. Korovkin teoremleri ve bununla bağlantısı olan bazı teoremler(R. H. Mamedov, V. K. Dzyadik) ifade edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Lineer Operatör, Singüler integral Yaklaşım. SINGULAR OPERATORS AND THEIR APPLICATIONS IN THE THEORY OF FOURIER SERIES Erhan SORKUN Department of Mathematics, M. Sc. Thesis, 2002 Thesis Supervisor: Prof. Dr. Ferhad H(G). NASlBOV SUMMARY The theory of Approximation of the functions, is an advanced branch of the theory of Real Variable Functions emerged in 20th Century. Here, there are numerous matters and each of these matters are in a state of developed condition. One of the most significant points among these matters is the approximation of the functions with any simple statement. In this study, approximation of functions singular operators is dealt with. The term of singular integral is defined, its general characteristics are applied and its application on approximation problems in Fourier Series is demostrated. In the study, it is also mendiated that Fourier Series are the only. Finally, Linear Operators and P. P. Korovkin approximation, and in relation to it a few theorems (R. H. Mamedov, V. K. Dzyadik,etc.) are deallt with. Keywords: Linear Operator, Singular Integral, Approximation. 62

b-OZELILIGINİ SAĞLAYAN RİESZ UZAYLARI ve b-ZAYIF KOMPAKT OPERATÖRLER (DOKTORA TEZİ) BİROL ALTIN GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Ağustos 2002 ÖZET Bu tez çalışmasında, b-özelliğine sahip Riesz uzayı tanımı yapıldı, ve b-özelliğine sahip Riesz uzayları için bazı sonuçlar verildi. Daha sonra E bir AL-uzay ve F b-özelliğine sahip bir Banach örgüsü iken E den F içine tanımlı her sürekli operatörün sıra sınırlı olduğu yani; L(E,F) =

OPERATOR DEĞERLİ FONKSİYONLAR SINIFINDA VARYASYONEL VE FAKTORİZASYON YÖNTEMLERİ ÖZET Tezde bir sınıf kendine eş operatör değerli fonksiyonlar sınıfında ( Rayleigh Sistemi ) varyasyonel ve faktorizasyon yöntemleri ve bu yöntemlerin yardımı ile bir takım spektral ve faktorizasyon problemleri incelenmiştir. Tez Giriş Bölümü ve 3 esas bölümden oluşur. 2. Bölümde sürekli operatör fonksiyonlar sınıfında varyasyonel prensiplerin ve spektral dağılım fonksiyonu için bir formülün bulunması soruları ele alınmıştır. Burada esas amaç Atalet teoremlerinin ispatlanması ve varyasyonel teoride Atalet teoremlerini yeni bir yöntem olarak varyasyonel prensiplerin ve spektral dağılım fonksiyonunun bulunmasında uygulamaktır. Elde edilen esas sonuçlar Teorem 2.2.2, Teorem 2.3.2 ve Sonuç 2.3.1 de verilmiştir. 3. bölümde analitik ve analitik olmayan operatör fonksiyonlar sınıfında faktorizasyon koşulları ve bu koşullar arasındaki bağlantılar ele alınmıştır. Elde edilen esas sonuç bir sınıf Rayleigh sistemleri için (Tanım 3.2.1) zayıf regülerlik koşulu altında faktorizasyon teoreminin ispatlanmasıdır ( Teorem 3.2.2 ). 4. bölümde elde edilen sonuçlar 2. bölümde verilen varyasyonel prensiplerin ve operatör teoriden bilinen Riesz izdüşüm formülünün bir uygulaması olarak değerlendirilebilir. Bu bölümde ele alınan sınıf kuazihiperbolik demetler (KHD) sınıfıdır. Bu sınıf son yıllarda tanımlanmış ve hiperbolik demetlerin bir genişlemesi olduğu ispatlanmıştır. Hiperbolik demetler için varyasyonel ve faktorizasyon teoremleri araştırılmıştır. Bu nedenle aynı yöntemlerin KHD sınıfına uygulanması doğal bir problem olarak bu bölümde ele alınmıştır. Ayrıca izole özdeğerin civarında operatör teoriden bilinen ivRiesz izdüşüm formülünün operatör fonksiyonlar teorisinde aynen sağlanmadığı ve bunun KHD sınıfında A [z] = L'(z) şeklinde olacağı bu bölümde ispatlanmıştır ( Teorem 4.3.4 ). VARIATIONAL AND FACTORIZATION METHODS IN THE SPECTRAL THEORY OF OPERATOR VALUED FUNCTIONS SUMMARY In this thesis, we investigate variational and factorization methods for a class of selfadjoint operator- valued functions (Rayleigh system) and using these methods we study some spectral and factorization problems. This thesis contains an introduction and 3 main chapters. In Chapter 2, we aim to obtain spectral distribution function and investigate variational methods for continuous operator-valued functions. Our main aim is to prove Inertia theorems and to give an application of these theorems, as a new method, in establishing of variational principles and spectral distribution function. The basic results, proved in this section are given in Theorem 2.2.2, Theorem 2.3.2 and Corollary 2.3.1. In Chapter 3 factorization methods and connection between factorization conditions for analytic and non-analytic operator-valued functions are considered. Under the weakly regularity condition (Definition 3.2.1) we prove a factorization theorem for a class of Rayleigh systems (Theorem 3.2.2). The results, proved in Chapter 4 can be considered as an application of variational principles, given in Chapter 2 and of the well known in operator theory Riesz decomposition theorem. The class, to be considered in this chapter is a class of quasihyperbolic operator pencils (QHP). This class was defined recently and it was proved that the class of quasihyperbolic operator pencils is an extension of the class of strongly hyperbolic pencils. The variational and factorization theorems for hyperbolic pencils were investigated. For this reason we study these problems for quasihyperbolic pencils. Particularly, we prove that an analog of Riesz projection formula at the neighborhood of an isolated eigenvalue in the spectrum, i.e 2niJr R{z)dz r VIis not valid for QHP and we obtain the following formula in the class of QHP where A[z] = L'(z) ( Theorem 4.3.4 ). Vll 59

BİR POZİTİF OPERATOR İLE ÜRETİLEN SIRA İDEAL VE YEREL YAKLAŞIMLAR (Doktora Tezi) Ayşe UYAR GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Mayıs 2001 ÖZET Bu tez çalışmasında bir operatörle üretilen sıra idealin özellikleri incelendi. İlk olarak, ürettiği ideali cebir olan operatörler betimlendi ve bu operatörlerle merkez operatörler arasındaki ilişki tartışıldı. Uygun koşullar altında ürettiği ideali cebir olan operatörler ile merkez operatörlerin aynı olduğu görüldü. Bir pozitif operatör tarafından üretilen idealle değişmeli olan operatörler uzayının sıra özellikleri incelendi. Bu uzayın uygun koşullar altında Ort(E)'nin Riesz alt uzayı olduğu gösterildi. Son olarak, E ve F Riesz uzayları olmak üzere, T:E- >F pozitif operatörüyle sınırlı pozitif operatörler için bilinen yerel yaklaşım sonuçları E ve F üzerindeki kabuller zayıflatılarak elde edildi. Bilim Kodu : 403.03.01 Anahtar Kelimeler : Pozitif operatör, sıra ideal, yerel yaklaşımlar Sayfa Adedi : 89 Tez Yöneticisi : Prof.Dr. Şafak ALPAY 11 ORDER IDEAL GENERATED BY A POSITIVE OPERATOR AND LOCAL APPROXIMATION (Ph.D.Thesis) Ayşe UYAR GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCffiNCE AND TECHNOLOGY May 2001 ABSTRACT We consider the order ideal AT generated by an operator T and investigate when AT is an algebra. We then study the order properties of the commutant of AT and commutant of {T}. In the last part of the thesis, we study the approximation properties of an operator S, with S,T:E- >F, 0

ÖZET Yüksek Lisans Tezi ZAYIF REGÜLER SİNGÜLER NOKTALARA SAHİP DİFERANSİYEL OPERATÖRLER İÇİN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ Yalçın GÜLDÜ Cumhuriyet Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof.Dr.Rauf AMİROV Bu çalışma, Il.mertebeden diferensiyel operatörlerin spektral teorisine aittir. Sunduğumuz çalışmada Zayıf Regüler Singüler ve Bessel Singüleritesine sahip Sturm-Liouville operatörünün bazı özellikleri öğrenilmiştir. Bu çalışmada öğrenilen Sturm-Liouville operatörünün özellikleri, bakılan operatörler için inverse(ters) problemlerin çözümünde önem taşımaktadır. ANAHTAR KELİMELER: Operatör, Spektrum, Sturm- Liouville Operatör, Zayıf Regüler Singüler, Bessel Singülerite. m SUMMARY MsC Thesis BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR DIFFERENTIAL OPERATORS WHICH HAS WEAKLY REGULAR SINGULAR POINTS Yalçın GÜLDÜ Cumhuriyet University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof Dr. Rauf AMIROV This study belongs to spectral theory of second order differential operators. In this study, some properties of Sturm-Liouville operator which has weakly regular singular and Bessel singularity which have been learned have importance in solving of inverse problems for interested operators. Key words: Operator, Spectrum, Sturm-Liouville Operator, Weakly Regular Singular, Bessel Singularity. 56

ÖZET Bu tezde, L-zayıf ve M-zayıf kompakt operatörler ve bu tur operatörlerin sınıflarının bazı özellikleriyle ilgilenilmiştir. Kompakt, zayıf kompakt, L-zayıf kompakt ve M-zayıf kompakt operatörler arasındaki bazı ilişkiler verilmiştir. Ayrıca, E' den F'ye her düzenli M-zayıf kompakt operatörün L-zayıf kompakt ve tersi de doğru olan E ve F Banach latislerinin çifti karakterize edilmiştir. 111 ABSTRACT In this thesis, we deal with the L-weakly and M-weakly compact operators and some properties of these classes of operators. We give some relations among L-weakly compact, M-weakly compact, weakly compact and compact operators. Also, we characterise the pairs of Banach lattices E and F such that every regular M-weakly compact operator from E into F is L-weakly compact and vice-versa. IV 26

oz BANACH ÖRGÜLERİ ÜZERİNDEKİ POZİTİF OPERATÖRLERİN DEĞİŞMEZ ALTUZAYLARI Çağlar, Mert Yüksek Lisans, Matematik Bölümü Tez Yöneticisi: Doç. Dr. Zafer Ercan Mayıs 2001, 58 sayfa Bu tezde, Banach örgüleri üzerindeki pozitif operatörlerin değişmez altu- zayları incelendi. Önce, bir Banach örgüsü üzerinde tanımlanmış pozitif bir T operatörünün; ST < TS eşitsizliğini gerçekleyen, bir xq noktasnda hemen hemen sıfır güçlü (quasinilpotent) olan ve sıfırdan farklı bir AM-kompakt op eratörü üstten sınırlayan pozitif bir S operatörünün varlığı altında değişmez idealinin var olduğunu bildiren teorem ve sonuçları verildi. Daha sonra, zayıf hemen hemen sıfır güçlü (weak quasinilpotent) operatör kavramı tanıtılarak, Abramovich, Aliprantis ve Burkinshaw'a ait bir sonuç; kompakt sıra aralıklara sahip bir Hausdorff lokal konveks katı (solid) Riesz uzayı E üzerindeki, bir 0 < x G E noktasında zayıf hemen hemen sıfır güçlü ve modülü var olan operatörlerin aşikâr olmayan kapalı bir değişmez ideali olduğu gösterilerek, genişletildi. Anahtar Kelimeler: Riesz Uzayı, Banach Örgüsü, Pozitif operatör, Hemen Hemen Sıfır Güçlü Operatör, Zayıf Hemen Hemen Sıfır Güçlü Operatör. iv ABSTRACT INVARIANT SUBSPACES OF POSITIVE OPERATORS ON BANACH LATTICES Çağlar, Mert M.Sc, Department of Mathematics Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Zafer Ercan May 2001, 58 pages In this thesis, we study the invariant subspaces of positive operators on Ba- nach lattices. First, we give the existence theorem -and results related to it- of an invariant ideal for a positive operator T on a Banach lattice such that there exists a positive operator S satisfying ST < TS, S is quasinilpo- tent at some xq, and S dominates a non-zero AM-compact operator. Then we introduce the concept of weak quasinilpotence and prove as an extension of a result of Abramovich, Aliprantis and Burkinshaw that each continu ous linear operator with modulus, on a Hausdorff locally convex solid Riesz space E with compact order intervals, which is weak quasinilpotent at some 0 < x e E, has a non-trivial closed invariant ideal. Keywords: Riesz Space, Banach Lattice, Positive Operator, Quasinilpotence, Weak Quasinilpotence. m 58

Sıra sınırlı dikliği koruyan operatörlerin kendilerinin ve terslerinin varlığı terslerinin dikliği koruyan operatör olmaları ile ilgilenilmiştir. İki Riesz uzay arasındaki sıra sınırlı operatör dikliği koruyan iken bunların merkezler arasında /-cebir homomorfizması vardır. Bu durumun karşıtı elde edilmişti) Son olarak, dikliği koruyan operatörün tersinin de dikliği koruyan operate olması üzerine bir teorem verilmiştir. Bilim Kodu : 403.03.01 Anahtar Kelimeler : Merkez, orthomorfizma, /-cebiri We are concerned with order bounded disjointness preserving operators anc their inverses, in general. Existence of an order bounded disjointness preserving operator T between two Riesz spaces E, F imply that there exists an /-algebra homomorphism between their centers. A converse to this result is obtained. We finish with a theorem on the disjointness preserving property ol the inverse operator between two Riesz spaces. Science Code : 403.03.01 Key Words : Center, orthomorphism, /-algebra 75

ÖZET Bu çalışmada Temel Operatör Teorisi kavramlarının bir incelemesi gerçekleştirilmeye çalışılmıştır. Operatör Kavramı incelemesinden önce operatörlerin işlem gördüğü sıkça karşılaşılan en temel uzaylar örnekleriyle beraber ortaya konmuş ardından operatör tipleri ve özelliklerinin incelenmesine geçilmiştir. Bu işlemler yapılırken sıkça rastlanılan operatör tipleri ve bunların en temel özellikleri verilmeye çalışılmıştır. ABSTRACT In this study, It is aimed to study of the Concept of the Basic Operator Theory,before studying of Operator Concept, some important well known mathematical spaces on which operators work, are concerned and dealt with. After that familiar operators and their some important properties are explained. VI 46

ÖZET Yüksek Lisans Tezi POISSON VE SONINE OPERATÖRLERİ VE İNVERSLERİ Çiler OZTURKLER Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalı Danışman : Yrd. Doç. Dr. Ayhan ŞERBETÇİ Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde giriş kısmı verilmiştir. İkinci bölüm çalışmamızda kullanılan temel kavramlara ayrılmıştır. Üçüncü bölümde, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını Bessel fonksiyonlarına dönüştüren Poisson ve Sonine operatörleri ve onlann inversleri incelenmiştir. Daha sonra bu operatörler arasındaki ilişkiler ayrıntılı olarak verilmiştir. Dördüncü bölüm tezin orijinal kısmıdır. Bu bölümde a, P herhangi pozitif reel sayılar olmak üzere, Poisson ve Sonine operatörlerinin bir genelleştirilmesi olan a-Poisson ve (3-Sonine operatörleri elde edilmiştir. Poisson ve Sonine operatörleri arasında üçüncü bölümde verilen ilişkilerin hangi koşullar altında a-Poisson ve (3-Sonine operatörleri arasında geçerli olacağı araştırılmıştır. 2000, 85 sayfa Anahtar Kelimeler : Bessel Fonksiyonu, Operatör, Ters Operatör, Toplanabilir Fonksiyon, T - Fonksiyonu ABSTRACT Master Thesis POISSON AND SONINE OPERATORS AND THEIR INVERSIONS Çiler ÖZTÜRKLER Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Ayhan ŞERBETÇİ This thesis consist of four chapters. The first chapter is for introduction. The second chapter is devoted to the fundamental concepts. In the third chapter, Sonine and Poisson operators which transforms the sine and cosine functions into the Bessel functions, and their inverses are investigated. And the relationship, between these operators are given in detail The fourth chapter is the original part of this thesis. In this chapter, a -Poisson and /?- Sonine Operators which are generalizations of Poisson and Sonine operators are defined for any positive reel numbers a,fi. Finally, the relationships between Poisson and Sonine operators given in the third chapter are investigated for a -Poisson and J5 - Sonine Operators. 2000, 85 pages Key Words : Bessel Function, Operator, Inverse operator, Summable function, T- Function 85

ÖZET Çok boyutlu Schrödinger operatörü, Kuantum Mekaniğinin temel operatörlerindendir. Lu = -Au + q(x)u şeklinde, Neumann sınır değer koşulu du dn = 0, dF ile verilmiş olan Schrödinger operatörü üzerinde çalıştık. Burada F n-boyutlu paralel yüzlü olup, q(x) de Wl2 (F) 'de tanımlı periyodik bir fonksiyondur. Öncelikle L operatörünün genel özellikleri ve diğer sınır değer koşullan ile bağlantısı üzerinde çalıştık. Sonra da L operatörüne ait özdeğerlerin asimtotik formüllerini elde ettik. ABSTRACT The multidimensional Schrödinger operator is a fundamental operator of quantum mechanics. We consider the Schrödinger operator Lu = -Au + q(x)u in the parallelepiped F with Neumann boundary condition du dn = 0 OF where q(x) is a periodic function of Wl2 (F). First we study the general property of L and its connection with other boundary conditions. Then we obtain asymptotic formulas for the eigenvalues of the operator L. 30

n oz Hilber uzaylannda bir self-adjoint (veya hermitian) operatörün doğurduğu Banach cebirinin yanbasit olması biliniyor. Bu da doğal olarak, Banach uzaylannda verilmiş hermitian operatörün doğurduğu cebirin yanbasit olup-olmaması sorusunu gündeme getirir. Genelde, Banach uzaylannda verilmiş hermitian operatörler, Hilbert uzaylannda verilmiş self-adjoint operatörlerle bir çok ortak özelliklere sahiptirler. Hermitian operatörler teorisinde esas netice bu operatörlerin normu ile spektral yançapının çakışmasıdır. Banach uzaylannda verilmiş hermitian operatörle, Hilbert uzaylannda verilmiş self-adjoint operatörler arasındaki esas fark, Banach uzayındaki hermitian operatörünün doğurduğu cebirin her zaman yanbasit olamamasıdır. A.M. Sinklairin (1972) elde ettiği bir sonuca göre spektrumu sayılabilir sayıda olan bir hermitianın doğurduğu cebir yanbasittir. Biz bu çalışmada Banach uzayında ö-pozitive hermitian operatörler sınıfım tanımlıyoruz ve onların bazı özelliklerini inceliyoruz. Hilbert uzaylannda to-pozitiv hermitianlar self-adjoint operatörlerle çakışıyor. Diğer sonuçların yanı sıra, gösteriyoruz ki, ca-pozitiv hermitianın doğurduğu cebir, bir kompakt kümede sürekli fonksiyonlar cebirine izomorfdur. Elde etmiş olduğumuz ikinci esas netice, Hilbert uzayında bir normal operatöre quazibenzer bir operatörün doğurduğu cebirin yanbasit olduğunu göstermektir. nı ABSTRACT It is well known that, the Banach algebra generated by a self-adjoint (or hermitian) operator on a Hubert space is a semi-simple. Naturally, this causes the question of whether algebra generated by Hermitian operator on Banch space is semi- simple or not. Generally, Hermitian operators on Banach spaces has many same proporties with self-adjoint operators on Hubert spaces. A basic result for Hermitian operators is that their norm and spectral radius coinside each other. A main difference between hermitian operators on Banach space and self-adjoint operators on Hubert space is that, algebra generated by hermitian operators on Banach space may be not semisimple everytime. According to the result of AM. Sinclair's (1972) study, the algebra generated by hermitian operator on Banach space with countable spectrum is semi-simple. In this thesis, firstly we define the class of (»-positive hermitian operators and investigate some properties of ©-positive hermitians. ©-positive hermitians on Hubert space coinside self-adjoint operators. In particular, we show that, the algepra generated by ©-positive hermitian is isomorpic to the algebra of continuous functions on a compact space. The second main result of this work is that, the algebra generated an operator which is quasisimilar to a normal operator, on a Hilbert space is semi-simple. 61

ÖZET H ayrılabilir bir Hilbert uzayı, Q da R` Öklit uzayının ölçülebilir bir alt kümesi olsun. H uzayında iç çarpımı (.,. ), normu da . ile gösterelim. Q kümesinde tanımlı, değerleri H uzayına ait olan kuvvetli ölçülebilir ve JQf(x)2dx koşulunu sağlayan f fonksiyonlarının kümesini H} = L2 (H;Q) ile gösterelim. Ht e ait herhangi iki f(x) ve g(x) fonksiyonlarının iç çarpımı (f,g)Hı=JQ(f(x),g(x))dx şeklinde tanımlanırsa, H! kümesi ayrılabilir bir Hilbert uzayı oluşturur. `Operatör katsayılı diferansiyel operatörlerin ağırlıklı izinin ve düzenli izinin incelenmesi` adlı bu tez çalışması iki ana bölümden oluşmaktadır. Birinci ana bölümde Hx = L2 (KİR3) uzayında 3 d ( ^ / du K ÖXİJ + Q(x)u diferansiyel ifadesi ile oluşturulan kendine eş L operatörünün ağırlıklı izi için asimtotik formül bulunmuştur. İkinci ana bölümde Hj =L2(H;[o,7ü]) uzayında £(y) = -y` + Q(x)y diferansiyel ifadesi ve y'(0) = y'(K) = 0 sınır koşulu ile oluşturulan L operatörünün spektrumu incelenmiş ve düzenli izi için formül bulunmuştur. iv ABSTRACT Let H be a separable Hubert space and Q a measurable subset of the Rn Euclidean space. Denote by (.,. ) and . the inner products and norms in H space. Let H!=L2(H;Q) be the set of functions f that are defined in Q »strongly measurable in H space and that meet the condition Ulfoolfd^00 If we define the inner product of two functions f(x) and g(x), elements of Hj, as (f,g)H]=jQ(f(x),g(x))dx the set Ht is a separable Hilbert space. This thesis, `Investigating the weighted and regular traces of operator coefficient differential operators` is composed of two main parts. The first main part, an asymptotic formula is found for the weighted trace of the self adjoint L operator that is formed by the differential form

ÖZET Dördüncü mertebeden diferansiyel operatör denklemin Green fonksiyonu ve özdeğerle- rinin asimtotik ifadesi adlı çalışmamız iki bölümden oluşmaktadır. ilk bölüm de y ` + a4y = f(x), 0 < x < oo y`(0) - ay' (0) = 0 y`'(0)-&y(0) = 0 sınır değer probleminin Green fonksiyonu incelenmiş ve problemin çözümü bu Green fonksiyonu yardımıyla y(x)= /°°G(x^,a)/(0^ Jo şeklinde gösterilmiştir. İkinci bölümde ise H ayrılabilir Hilbert uzayı ve Q(x), x in [0, oo) aralığından alınmış herbir değerinde tersi kompakt olan normal operatör,a,6 herhangi reel sabitler olmak üzere,£2(0, 00; H) Hilbert uzayında y`(0)-ay'(0) = 0 y`'(0)-6y(0) = 0 ivsınır şartlarıyla verilen y ` + Q(x)y + ^y, O < x < oo diferansiyel operatör denklemin Green fonksiyonu ve y'v + P{x)y` + Q{x)y + /ıy = 0, 0 < a: < oo y`(0) - ay' (0)=0 y`'(0)-&y(0) = 0 sınır değer probleminin Q(x) = Q*(x),Q(x) > I, P(x) = P*(x), //P(x)Q=*'+e(x)// < C, (C = const, e > 0) olması halinde özdeğerlerinin asimptotik ifadesi incelenmiştir. ABSTRACT Our thesis consists of two paxts. In the first part Green function of boundary value problem y + a4y = f(x), 0 < x < oo y`(0) - ay' (0) = 0 y'`(0)-6y(0) = 0 was studied it is shown that the solution of the problem can be written Jo by the help of this Green function. In the second part in 1*2(0, oo;H) space where H is seperable Hilbert space and Q(x) whose inverse is compact,is normal operator where Vx ? [0, oo),a,b are arbitrary real constants, Green function of the differantial operator equation y'v + Q(x)y + fiy, 0 < x < oo are examined in the boundary conditions of y`(0) - ay' (0) = 0 y`'(0)-6y(0) = 0 VIAlso the eigenvalues of asympthotic expression of y'` + P(x)y` + Q{x)y + fj,y = f(x), 0 < x < oo y (0) - ay (0) = 0 y`'(0)-6y(0) = 0 the boundary value problems when Q(x) = Q*(x), Q(x) > I, P(x) = -P*(x), //P(x)Q=^+e(x)// < C, (C = canst, e > 0). vu 81

ÖZET H ayrılabilir bir Hubert uzayı olsun. Bu uzayda iç çarpımı (.,.), normu da . ile gösterelim. [(),#] aralığında tanımlı, değerleri H uzayına ait olan kuvvetli ölçülebilir ve )//f(x)(dx g)i = /(f(x),g(x))dx 0 then Hx becomes a separable Hilbert space. In this thesis with the title `the trace formula of Sturm-Liouville equation with the unbounded operator coefficient`, //, < //2

Bu çalışmada öteleme operatörünün ve ağırlıklı öteleme operatörünün in- varyant altuzayları, devirsel vektörleri incelenmiştir. Öteleme operatörü Hardy uzayında bağımsız değişkenle çarpım operatörü gibi düşünülerek, bu operatörün invaryant altuzayları fonksiyonel analiz yöntemleri ile incelenmiş ve elde edilen bazı sonuçlar, kompleks analizin bazı teoremlerini fonksiyonel analiz yöntemleri ile ispatlamanın mümkün olduğunu ve sonsuz boyutlu uzayda tek hücreli ope ratörün mevcut olduğunu göstermiştir. In this work, the invariant subspaces and the cyclic vectors of shifts and weighted shifts has been studied. Shift operators, possesing a profound significance in the operator theory, have a wide range of applications into the approximation theory, the study of stochastic processes, the theory of functions and the study of the properties of operators that are not self-adjoint. First introduced by A. I. Plesner [1] in 1939, shift operators are used as a basic tool in the theory of operators. Shift operators have so interesting algebraic and spectral properties that with shift operators, giving much shorter and clearer proofs for many theorems than the classical approach does is possible. Thus, solving some unanswered problems of the general theory of operators specifically for shift operators is by all means, useful for both the inquiry into a general solution and the improvement of the general theory. The problem of invariant spaces is one of the most important unsolved problems in the theory of operators although it has an equally simple statement. For a Hubert space, the statement of the question is `Does every continuous linear operator have a non-trivial invariant subspace in a separable Hilbert space?`, `non-trivial` meaning different from both {0} and the whole space while `in variant` meaning that the operator maps it into itself. The problem has been solved for Banach spaces and construction of an operator that has no invariant subspaces in a Banach space has been prooved to be possible [16, sf. 317-344]. The studies on the invariant subspace problem have been concerned with which operators have invariant subspaces and what the structure of invariant sub- spaces of an operator is if it has any. The first question has been subjected to -a lot of inquisitions [2], [3]. The answer for the latter has been searched most extensively and into depth for the shift operators. Examination of this problem for the unilateral shift operator requires a functional model to be constructed. In this way, a close interaction between complex analysis and functional analy sis has been developed [10]. Using the techniques and methods of one of these branches in the other and vice versa, has provided new results for both branches and has made some much clearer and shorter, yet elegant proofs for known facts possible. This approach was first practiced by A. Beurling in 1949 in his most celebrated work [4] that specified the structure of all the possible invariant sub- spaces of the shift operator, regarding it as the multiplication operator (with the independent variable) in H2 Hardy space. Helson and Lowsdenslager [5] exhibited the same approach and they were followed by many other. In addi tion to this, W. Donoghue [6] and N. Nikolski [7] have examined all possible invariant subspaces of a class of unilateral weighted shifts. Another concept, still important for the study of invariant subspaces, is the cyclic vectors of the operator under examination. By definiton, if an operator has cyclic vectors, these vectors may not lie in an invariant subspace of the operator. For this reason, identification of the cyclic vectors of an operator helps to determine the structure of the invariant subspaces. In this work, the invariant subspaces has been studied with the methods of functional analysis, regarding it as the multiplication operator with the inde pendent variable and some of the acquired results have shown that proving some theorems of complex analysis with the methods of functional analysis is possible and that a unicellular operator exists in an infinite dimensional space. This work consists of an nine sections. The first section, as a brief introduction, includes the historical background and the motivation of this work are stated. In the second section, the definitions needed throughout the work are given, some basic concepts have been reminded of and some propositions and some theorems, important due to how this work handles its subject, are proved. Some of the keyword definitions are stated below. Adjoint of an Operator: Let A ? B{H). The operator denoted by A* satisfying the condition V/,«7?i? (Af,g) = (f,A*g) -is called the adjoint operator of A. Unilateral Shift Operator: If {en : n = 0, 1, 2,...} is an orthonormal base in a Hilbert space H then the operator U defined as Uen = en+i n = 0,l,2,... is called the unilateral shift. Bilateral Shift Operator: If {en : n G 2} is an orthonormal base in a Hubert space H then the operator W defined as Wen = en+i Mn? 2 is called the bilateral shift. Weighted Shift Operator: If {en ; n G 2} is an orthonormal base in a Hilbert space H and {an : n 6 2} is a bounded set of complex numbers then the operator A defined as Aen = anen+ı Vn G 2 is called the bilateral weighted shift. In the similar way, taking {en : n = 0, 1,2,...} and {an : n = 0, 1, 2,...}, the unilateral weighted shift is defined as Ben = a`en+ı n = 0,1,2,... oo Monotone I2 Shift: Let {an} be a monotone sequence such that ŞD a2n < oo, ocn > an+i and for n = 0, 1, 2, 3,... an > 0 The unilateral weighted shift with weight sequence {an} is called a monotone I2 shift. Invariant Subspace: Let H be a Hilbert space, K be a closed subspace of J?, A G B{H) be an operator. If AK C K, i.e. for every k e K, Ak £ K then if is called an invariant subspace of A.Cyclic vector: Let H be a Hilbert space, A ? B(H) be an operator. If the vectors /, A/, A2 f,... span H then the vector / is called a cyclic vector of A. In the third section, the Beurling-Helson theorem whose statement is given below is proved and making use of this theorem, the uniqueness theorem for the class H2 of F. and M. Riesz brothers is deduced as a corollary. Besides, the other corollaries deduced via factorization theorem establish relations between the boundary values of analytic functions and their values in the domain in which they are analytic. 3.1. Beurling-Helson Theorem: Let W be the bilateral shift on L2{T). The neccessary and sufficient condition for a subspace E of L2 (T) be invariant with respect to the operator W is a) If WE = E then there exists a Lebesgue measurable e C T such that E = XeL2 = { ? L2 : 3/ £ 1? - Xef} where Xe is the characteristic function of e. b) If WE -^ E then there exists a measurable function 6 on T with /8/ = 1 almost everywhere such that E = M$H2. 3.8. Corollary: Let U be the unilateral shift on H2(T). If E C #2(T), E ^ {0} and UE C E then E = MeH2 where 9 e H2 /6/ = 1 almost everywhere onT. 3.9. Corollary: If / ? H2(T) and m{C : /(C) = 0, (gT}>0 then / = 0. 3.10. Factorization Theorem: If / G H2 and / 7^ 0 then / can uniquely (up to multiplacative constants) be written as the product / = fifd of an inner factor fi and an outer factor fd. Moreover, Ef = /J{Wnf : n > 0} = MfiH2. 3.17. Corollary: Let / G H2. The following statements are equivalent. a) / is an outer function. b) g e H2 and j e L2 =» j ? H2 3.19. Proposition: If / and g are outer functions with /= /g/ almost everywhere then f - Xg with A ? T. 3.20. Proposition: If / 6 L2 then there exists an outer function g with the same modulus = /if and only if W~xEf (JL Ef. In the fourth section, after giving some definitions, the conditions under which a given function / is not cyclic for the adjoint operator of the unilateral shiftare studied and making use of this, some cyclic vectors for the adjoint of the unilateral shift are determined. 4.2. Proposition: Suppose / is meromorphic on A and analytically continu- able across all points of an open arc a on its boundary with the exception of an isolated branch point on a. Then / is not pseudocontinuable across a into any contiguous domain. 4.9. Theorem: Let / Ç. H2(A). The neccessary and sufficient condition for / be non-cyclic for U* is that there exists a meromorphic function / of bounded (Nevanlinna) type in Ae = {z : 1 < /z/ which is the pseudocontinuation of / in Ae across T. 4.17. Corollary: If / £ IT2 (A) and / is analytically continuable across all points of an arc a of T with the exception of an isolated branch point on a, then / is cyclic. In the fifth section, the sufficient conditions for a weighted shift to be unicellular are examined. 5.9. Donoghue's Theorem: Let A be a monotone I2 shift. Then A is unicel lular and any invariant subspace M of A has one of the following structures: I3k£Af M = V{ei}£* II.M = {0} III.M = H The sixth section is a short one in which some of the divisibility properties of inner functions are described. 6.1. Proposition: The necessary and sufficient condition that an inner func tion 4>i divide another inner function 2 is that M^H2 C M^H2. The seventh section includes two theorems and some related corollaries to in vestigate some further details of the relation between the cyclic vectors of the adjoint of the unilateral shift and inner functions. 7.1. Theorem: A necessary and sufficient condition that a function / ? H2 be non-cyclic for U* is that there exist a pair of inner functions (j> ve V> such that -x-almost everywhere on T. 7.8. Theorem: A function / is non-cyclic for U* if and only if there exists g ? H2 and an inner function such that fie`) = e-rt0(c`)*(ert) (7.9.) Moreover, if we require be normalized and relatively prime to the inner factor of g then and g in (7.9.) are uniquely determined. In this case the closed subspace generated by {U*nf : n > 0} is precisely (M^H2)-1. The eigth section in which a weighted Bergman space is under consideration, reveals the structure of the invariant subspaces of the adjoint of the unilateral shift. 8.31. Theorem: Let a > - 1 and na = min{rc GA/`U {0},n > a] and let S denote the set of functions satisfying the condition 0(».+D(l _ **) logt-^-) e L2((l - /z/2)adA) (8.32.) 1 - /z/ in A?a. Assume that the set M ^ A2a is invariant under U* such that M1- = [S](mz,a2)- Then M consists precisely of functions f ? A2a with the properties: i..fae-H^A) for all^eS ii. f/ has a pseudocontinuation to iV+(Ae) that vanishes at infinity where is the greatest inner divisor of S. In the last section, an example of a space in which the effect of the derivative operator can be represented with the adjoint of a weighted unilateral shift is given and the representation is established. Throughout this work, we made use of some concepts of and some information on Hubert and Hardy spaces, theory of operators, real ve complex analysis. 74

ÖZET Yüksek Lisans Tezi BESSEL OPERATÖRÜNÜN SPEKTRAL ANALİZİ Hikmet KOYUNBAKAN Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı 1998, Sayfa: 43 Bu çalışma beş bölümden oluşmuştur. Birinci bölümde; Diferensiyel operatörlerin Spektral teorisinde sık sık kullanılan bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir. îkinci bölümde; Genel Sturm - Liouville, Bessel diferensiyel denklemi ve bu denklemlerin çözümleri incelenmiştir. Üçüncü bölümde; Bessel operatörü için Sturm 'un Mukayese ve Osilasyon teoremleri ispatlanmıştır. Bu teoremler daha önce B. M., Levitan tarafından Sturm - Liouville denklemi için ispatlanmıştır. Dördüncü bölümde; Bessel operatörünün özdeğerler, özfonksiyonlar, normlaştırılmış sayılar ve ortonormalleştirilmiş özfonksiyonları için asimptotik formları bulunmuştur. Beşinci bölüm, tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümde y(0) = 0 başlangıç şartı altında Bessel operatörü için Dönüşüm operatörünün varlığı ve Euler - Poisson - Darboux denkleminin Riemann metodu ile çözümü incelenmiştir. ANAHTAR KELİMELER: Özdeğer, Özfonksiyon, Tekillik, Osilasyon Teoremi, Asimptotik Açılım, Dönüşüm Operatörü, Riemann Metodu II SUMMARY Masters Thesis SPECTRAL ANALIYSIS OF BESSEL OPERATOR Hikmet KOYUNBAKAN Fırat University Graduate School of Science and Technology Department of Mathematics 1998, Page: 43 This study is arranged in five chapters. In the first chapter, some fundemental definition and theorems that use often in Spectral theory of Differential operators are given. In the second chapter, General Sturm - Liouville, Bessel equations and Solutions of these equations are examined. In the third chapter, Sturm 's Comparison and Oscillation theorems are proved for Bessel operator. We noted that These theorems are proved for Sturm - Liouville equations by B. M., Levitan. In the fourth chapter, Asymptotic forms are found for eigenvalues, eigenfunctions, normalized numbers, ortonormalized eigenfunctions of Bessel operator. Fifth chapter has constituted original part of the thesis. In this chapter, We investigated of the Euler - Poisson - Darboux equation solution by Riemann methods and existence of translation operator for the Bessel equation with considering the initial value y(0) = 0. KEY WORDS: Eigenvalues, Eigenfunctions, Singularity, Oscillation Theorem, Asymptotic Form, Translation Operator, Riemann ' s Method. 42

ÖZET Yüksek Lisans Tezi STURM - LİOUVİLLE OPERATÖRÜNÜN SPEKTRAL ANALİZİ Mehmet KAYALAR Fırat Üniversitesi Fen bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı 1998, Sayfa 51 Bu çalışma beş bölümden oluşmuştur. Birinci bölümde; Diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde sıkça kullanılan bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir. ikinci bölümde; Cauchy problemi ve Cauchy probleminin Riemann metodu ile çözümü ve bununla ilgili bir örnek verilmiştir. Üçüncü bölümde; Sturm-Liouville operatörünün özdeğerler özfonksiyonlar, normlaştırılmış sayılar ve ortonormalleştirilmiş özfonksiyonları için asimtotik formüller bulunmuştur. Dördüncü bölümde; Dönüşüm operatörü ve x=0 noktasında başlangıç şartları verilen Sturm-Liouville operatörü için dönüşüm operatörü bulunmuş ve bunlarla ilgili bazı teoremler verilmiştir. Beşinci bölüm ise çalışmanın orijinal kısmı olup Sturm-Liouville fark denklemi için açılım teoremi ve özfonksiyonların tanrılığı incelenmiştir. ANAHTAR KELİMELER: Sturm-Liouville, Özdeğer, Özfonksiyon, Asimtot, Dönüşüm Operatörü, Cauchy Problemi, Riemann Metodu, Açılım Teoremi SUMMARY Master of Art Thesis SPECTRAL ANALYSIS OF STURM - LIOUVILLE OPERATOR Mehmet KAYALAR Fırat University Institute of Applied Science Department of Mathematics 1998, 51 Pages This study consists of 5 chapters. In the first chapter, some basic definitions and theories, frequently used in spectral theory of differential operators, are presented. In the second chapter Cauchy's theorem, its solution with the Riemann's method and its examples are presented. In the third chapter Sturm-Liouville operators' Asymptotic formulation of Eigenvalues, Eigenfunctions, normed numbers and orthonormed Eigenfunctions are found. In the fourth chapter foundations of transformations operators, foundations of transformation operators for the Sturm - Liouville operator on the x = 0 point and some theorems. In the fifth chapter extension theorem for Sturm - Liouville difference equation and completeness of Eigenfunctions are examined. Key Words : Sturm - Liouville, Eigenvalues, Eigenfunctions, Asymptote, Transformation Operator, Cauchy's Problem, Riemann's Method, Extension Theorem 51

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde bir boyutta maksimum prensibi ele alınmış olup, maksimum prensibinin bir boyuttaki en genel hali incelenmiştir. Aynı zamanda başlangıç değer problemleri ve sınır değer problemlerinin çözümlerinin tekliği, maksimum prensibi yardımıyla ispatlanmıştır. İkinci bölümde, sınırdeğer problemleri ve başlangıç değer problemlerinin çözümleri ve çözümlerin türevleri için sınırlar veren teoremler verilmiştir. Daha sonra salınım ve karşılaştırma teoremleri ele alınmış ve lineer olmayan denklemlerin çözümlerinin türevleri için alt ve üst sınırlar bulunmuştur.Üçüncü bölümde, n-boyutlu uzayda Laplace denklemi ele alınmış ve bu denklemi sağlayan fonksiyonlar için Ortalama Değer Teoremi verilmiştir. Daha sonra ikinci basamaktan eliptik operatörler ele alınarak E'Hopf'un maksimum prensibi incelenmiştir. Dördüncü bölümde, eliptik tipten sınırdeğer problemleri için teklik teoremleri ve çözümleri için sınırlar elde edilmiş olup, eliptik denklemler için genelleştirilmiş maksimum prensibi verilmiştir. Beşinci bölümde ise, I., II. ve III. Green özdeşlikleri elde edilmiş olup, Green fonksiyonu incelenmiştir. Maksimum prensibi yardımıyla özdeğerlerinin reel kısmı için alt sınırlar elde edilmiştir. Daha sonra, Harnack eşitsizlikleri ve Hadamard üç daire teoremleri verilmiştir. This thesis consists of five chapters. In the first chapter, the one-dimensional maximum principle is established and investigated in general. Additionally the uniqueness of intial and boundary value problems are proved by using the maximum principles. The second chapter is devoted to the theorems about the solutions of intial and boundary value problems, and boundary estimates for the derivatives of the solutions. In addition, the oscillations and comparision theorems are given and boundary estimates for the derivatives of the solutions and derivatives of the solutions of nonlinear equations are obtained.In the third chapter, the Laplace equation in n-dimension is taken under consideration and the mean value theorem for the functions satisfying Laplace equation is given. Later, Hoph's maximum principle for second order elliptic operators is investigated. In the fourth chapter, uniqueness theorems for the boundary value problems of elliptic type and bounds for the solutions are established and generalized maximum principle is given for elliptic equations. In the last chapter, first, second and third Green identities are established and Green function is investigated. With the help of maximum principle, sub boundaries for real part of eigen values are obtained. Later, Harnack inequalities and Hadamard's three circle theorems are given. 177

ÖZET DOKTORA TEZİ SÜREKLİ FONKSİYONLARA YAKINSAYAN LİNEER POZİTİF OPERATÖR AİLELERİ Ogün DO?RU Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Abdullah ALTIN 1997, Sayfa: 70 Jüri : Prof. Dr. Abdullah ALTIN Prof. Dr. Akif HACIYEV Prof. Dr. Ethem ANAR Bu çalışmada, bilinen bir çok lineer pozitif operatör dizilerini içeren lineer pozitif operatör aileleri tanımlanarak, bu ailelerin ve türevlerinin sürekli fonksiyonlara yaklaşma problemleri incelenmiştir. Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, önce lineer pozitif operatör dizileri için yakınsaklık teoremlerinin oluşumunun tarihçesi verilmiştir. Sonra da süreklilik modülünün ve bölünmüş farkların tanımlan yapılarak ilgili bazı özellikleri ispatlanmıştır. İkinci, üçüncü ve dördüncü bölümler orjinal olup; İkinci bölümde, Bernstein polinomlan, Baskakov operatörü, Szas operatörü ve Hacıyev-İbrahimov operatörü'nün yanısıra başka operatör dizilerini de kapsayan genelleştirilmiş lineer pozitif operatör aileleri tanımlanarak birinci bölümde ifade ve ispat edilen Korovkin teoremleri yardımıyla bu ailelerin yakınsaklığı incelenmiştir.Üçüncü bölümde, süreklilik modülü yardımı ile ikinci bölümde tanımlanan lineer e. pozitif operatör ailesinin, yaklaşma hızı hesaplanmıştır. Son olarak dördüncü bölümde, ikinci bölümde tanımladığımız lineer pozitif operatör ailesinin türevleri hesaplanmış, bu türevlerin bölünmüş farklar ile ilgili ifadeleri bulunarak yakınsaklığı incelenmiştir. Anahtar kelimeler ve cümleler : Lineer pozitif operatör dizileri, genelleştirilmiş lineer pozitif operatör aileleri, Korovkin teoremi, Bernstein polinomlan, süreklilik modülü, bölünmüş farklar. nı ABSTRACT Ph.D. THESIS FAMILY OF LINEAR POSITIVE OPERATORS CONVERGING TO CONTINUOUS FUNCTIONS Ogün DO?RU Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Abdullah ALTIN 1997, Page: 70 Jury : Prof. Dr. Abdullah ALTIN Prof. Dr. Akif HACIYEV Prof. Dr. Ethem ANAR In this study, we define a family of linear positive operators which includes many well-known sequences of linear positive operators and we investigated the approximations to continuous functions of this family and its derivatives. This thesis consists of four chapters. In the first chapter the history and the literature for approximation theorems of the sequences of linear positive operators are introduced. Then, by defining the modulus of continuity and divided differences, some related properties are proved. The second, the third and the fourth chapters consists of our original works: In the second chapter we established the family of generalized linear positive operators which includes Bernstein polynomials, Baskakov operators, Szas operators and Hacryev- ibrahimov operators with some other sequences of operators. Then we investigated the convergence of this family with the help of Korovkin theorems proved in the first chapter.IV The third chapter is devoted to the computation of order of approximation of the family of linear positive operators with the help of modulus of continuity. Finally in the fourth chapter, the derivatives of the family of linear positive operators defined in the second chapter are computed and the convergence of these derivatives are investigated by obtaining the expressions of these derivatives related to the divided differences. Key words and phrases : Sequences of linear positive operators, family of generalized linear positive operators, Korovkin theorem, Bernstein polynomials, modulus of continuity, divided differences. 78

Anahtar Kelimeler: çaprazlama operatörü, genetik algoritma, kombinatoryal optimizasyon Bu tezde, genetik algoritmaların kombinatoryal problemlere uygulanmasında kullanılmak üzere yeni bir düzgün, sıralama temelli çaprazlama operatörü sunulmaktadır. Pratikteki kombinatoryal problemlerin çoğu; atama, sıralama ve seçme problemlerinden oluşan üç temel tip kombinatoryal problemin iki veya üçünü aynı anda içerir. Yeni operatör, bir sıralama ve bir ya da birden fazla seçme bileşeni olan kombinatoryal problemler için geliştirilmiştir. Bu tür problemlerin komünikasyon ağlan dizaynı, makina ve proje çizelgelemesi gibi pek çok örneği vardır. Yeni operatöre çok-bileşenli, düzgün, sıralama- temelli çaprazlama (MCUOX) adı verilmiştir. MCUOX sıralama ve değer bilgilerini aynı anda işleyebilen, problemin tüm bileşenlerini etkili arayabilen genel bir operatördür. Yapı taşlarının yeni nesillere taşınmasını sağlar ve öncelik kısıtlarını ihlal etmez. Seçme problemlerinin sayısı, fazladan hesap yüküne sebep olmadan artırılabilir. MCUOX operatörünün uygulanırlığı ve etkenliği, iyi bilinen şu üç zor problem üzerinde gösterilmiştir: makinalar ile otomatik güdümlü araçların eşzamanlı çizelgelenmesi, erken ve geç bitirme cezalan içeren paralel makina çizelgelemesi ve kaynak kısıtlan altında iskontalanmış nakit akışlı proje çizelgelemesi. Keywords: Crossover operators, genetic algorithms, combinatorial optimization In this thesis, a new uniform order-based crossover operator to be used in genetic algorithm applications to combinatorial optimization problems is presented. There are three pure types of combinatorial problems: assignment, sequencing and selection problems. Most real world combinatorial problems involve components from these three types at the same time. The new operator is applicable to multi-component combinatorial optimization problems which involve one sequencing and one or more selection components. Examples are in abundance and include communications network design problems, machine and project scheduling problems. The operator is called the multi-component uniform order-based crossover or MCUOX. MCUOX processes ordering and value information concurrently. It works within a natural and direct representation of the problems. It is both general and powerful by being able to effectively search all the components of the problem. It enhances building block propagation, never violates precedence constraints given the parents are precedence feasible, and is able to deal with additional selection components without any significant overhead. The application and effectiveness of MCUOX is illustrated at the hand of three well known difficult problems: simultaneous scheduling of machines and automated guided vehicles, resource constrained project scheduling problem with discounted cash flows, and parallel machine scheduling with earliness and tardiness penalties. 102

ÖZET Yüksek Lisans Tezi ÖZDE?ERLER İÇİN NORMLU SINIRLAR Tamer KOŞAN Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman : Yrd.Doç.Dr. İsmail EKİNCİOGLU 1997, sayfa: 55 Jüri : Doç.Dr. Ömer AKIN Yrd.Doç.Dr. İsmail EKİNCİOGLU Yrd.Doç.Dr. Hüseyin YILDIRIM Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm temel kavramlara ayrıldı, ikinci bölümde; çalışmamız için gerekli olan genelleştirilmiş öteleme operatörleri ile ilgili bilgiler verildi. Üçüncü bölümde, küresel harmonik fonksiyonlar ele alınmıştır. Dördüncü bölümde üçüncü bölümdeki küresel harmonik fonksiyonlar ele alınarak küresel ağırlık- harmonik fonksiyonlar tanımlanmıştır. Beşinci bölümde genelleştirilmiş öteleme ile ilgili singüler integral operatörü incelendi. Ayrıca Laplace - Bessel denklemini sağlayan B-Küresel Harmonik polinomların Fourier-Bessel dönüşümleri elde edildi. Sonuç olarak genelleştirilmiş öteleme ile ilgili singüler integral operatörleri ele alındı. ANAHTAR KELİMELER : Laplace-Bessel Operatörü, Fourier-Bessel dönüşümü B-Küresel Polinomlar, Genelleştirilmiş Öteleme Operatörü,Küresel Ağırlık-Harmonik Fonksiyonlar, Singüler integral operatörü ABSTRACT Msc Thesis THE NORMED BOUNDS FOR EIGENVALUES Tamer KOŞAN Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor : Yrd.Doç.Dr Afyon Kocatepe University. Ismail EKİNCİO?LU 1997, page :55 Jury : Doç.Dr. Ömer AKTN Asist.Prof.Dr.İsmail EKİNCİO?LU Asist.Prof.Dr.Hüseyin YILDIRIM This thesis consists of five chapters. The first chapter devoted to the fundemental conpets. In the second chapter is concerned with the basic definitions related to the shift operators required for our study. In chapter 3, we give spherical harmonic functions. In chapter 4, 3 by using the spherical harmonic functions in the preceding chapter we defined the spherical weight-harmonic functions. Finally, we study the singular integral operators related to genaralized shift operator. Furthermore we obtain the Fourier-Bessel transformation of B- Spherical harmonic polynomials wich satisfied the Laplacian-Bessel equation. Consequently we study the singular integral operators related to generalized shift operator. KEY WORDS: Laplace-Bessel Operators, Fourier-Bessel Transforms, B-Spherical Polynomials, Generalized Shift Operator, Spherical Weight-Harmonic Functions, Singular integral Operators.

ÖZET DOKTORA TEZİ LİNEER POZİTİF OPERATÖRLER İLE FONKSİYONLAR VE TÜREVLERİNE YAKLAŞIM VE YAKLAŞIM HIZI Çİ?DEM ATAKUT Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Akif HACIYEV 1997, Sayfa: 79 Jüri : Prof. Dr. Akif HACIYEV Prof. Dr. İ. Kaya ÖZKIN Prof. Dr. Osman ALTINTAŞ Bu tez üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümün ilk kısmında C(a,b) uzayı ve bu uzayda norm tanımı; süreklilik modülü ve bunun ile ilgili bazı özellikler verilmiştir. Bu bölümün ikinci kısmında lineer pozitif operatörler ve özellikleri ile buna ilişkin örnekler verilmiştir. Ayrıca bir L lineer operatörünün sınırlığı ve normu ile C(a,b) uzayında L operatörünün normu incelenmiştir. Bu bölümün üçüncü kısmında ise C(a,b) uzayında Korovkin Teoreminin ifadesi ve ispatı verilmiştir. İkinci ve üçüncü bölümler çalışmamızın orjinal kısmını oluşturmaktadır. İkinci bölümde matematik edebiyatta Baskakov operatörü olarak tanımlanmış pozitif operatörler dizisinin bir genelleştirilmesi verilmiş ve bu yeni genelleştirilmiş pozitif operatörler dizisinin fonksiyonlara yaklaşımı verilmiştir. Üçüncü bölümün ilk kısmında ikinci bölümde tanımlanmış lineer pozitif operatörlerin türevleri ile fonksiyonların türevlerine yaklaşım incelenmiş ve bunun ile ilgili yaklaşım teoremi verilmiş ve ispat edilmiştir. Bu bölümün ikinci kısmında ise, yaklaşım hızının süreklilik modülü ile değerlendirilmesi incelenmiştir ve elde edilen sonuçlar Baskakov, Stancu, Bernstein ve Szâsz operatörlerine uygulanmıştır. ANAHTAR KELİMELER: Lineer pozitif operatörler, Baskakov operatörü, Stancu operatörü, Bernstein polinomu, Szâsz operatörü ABSTRACT Ph. D. Thesis ON THE APPROXIMATION AND APPROXIMATION ORDER WITH THEIR DERIVATIVES BY CERTAIN LINEAR POSITIVE OPERATORS Çİ?DEM ATAKUT Ankara University Graduate School Of Natural And Applied Sciences Department Of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Akif GADJIEV 1997, Page: 79 Jury: Prof. Dr. Akif GADDIEV Prof. Dr. 1 Kaya ÖZKIN Prof. Dr. Osman ALTINTAŞ This thesis consist of three chapters. In the first chapter, the space C(a,b) with norm is introduced and the modulus of continuity and some related properties are given. Then the linear positive operators with properties and some examples related to them are given. Additionally, the boundedness and the norm of a linear operator L, in general, and the norm of L in C(a,b), in particular, are investigated. Finally, in this chapter, the proof of Korovkin Theorem in C(a,b) is given. The second and the third chapters are the original parts of the study. In the second chapter, a generalization of the sequence of positive operators known as Baskakov operator in literature are introduced and the approximation of the generalized sequence to functions are given. The first part of the third chapter is devoted to the investigation of the approximation of the derivatives of the linear positive operators to the derivetives of the functions defined in the second chapter. Some approximation theorems are proved. In the second part of this chapter, the approximation order with respect to the continuity is investigated and the results are applied to the wellknown Baskakov, Stoncu, Bernstein and Szasz operators. KEY WORDS: Linear positive operators, Baskakov operator,. Stancu operator, Bernstein polynomial, Szasz operator. 79

ÖZET Doktora Tezi SÜREKLİ FONKSİYONLARA SINIRSIZ BÖLGELERDE LİNEER, POZİTİF OPERATÖRLERLE YAKLAŞIM Tülin COŞKUN Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Akif Hacıyev 1997, Sayfa: 71 Jüri: Prof. Dr. Akif Hacıyev Prof. Dr. Şafak Alpay Prof. Dr. İ. Kaya Özkın Bu tezde 1974 yılında Hacıyev tarafından kanıtlanmış olan sınırsız bölgelerde tanımlı sınırsız ve sürekli fonksiyonlara pozitif operator dizileri ile yaklaşım teoreminin, farklı ağırlıklara sahip uzaylarda dönüşüm yapan lineer pozitif operator dizileri için genelleşmeleri verilmiştir. ANAHTAR KELİMELER: Lineer Pozitif Operatörler, Farklı Ağırlıklı Uzaylar, Yaklaşım Teoremleri 11 ABSTRACT Ph. D. Thesis APPROXIMATION of CONTINUOUS FUNCTIONS by LINEAR POSITIVE OPERATORS on UNBOUNDED SETS Tülin COŞKUN Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Akif Haciyev 1997, Page: 71 Jury: Prof. Dr. Akif Haciyev Prof. Dr. Şafak Alpay Prof. Dr. I. Kaya Ozkın In this thesis, theorem, approaching to continuous and unbounded functions that are defined on an unbounded sets by the sequences of positive operator, proved by Haciyev in 1974 has been general ized to the sequence of linear positive operators that are mappings from the spaces with different weight to themselves. KEY WORDS: Linear Positive Operators, Spaces with Different Weight, Approximation Theorems 71

ÖZET Yüksek Lisans Tezi COULOMB SİNGÜLERLİĞİNE SAHİP STURM-LİOUVİLLE OPERATÖRÜNÜN ÎZÎ'NİN (TRACE) HESAPLANMASI Yaşar ÇAKMAK Cumhuriyet Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof.Dr.Rauf EMİROV Bu çalışma n.mertebeden diferensiyel opetatörlerin spektral teorisine aittir. Sunduğumuz çalışmada Coulomb Singülerliğine sahip Sturm-Liouville operatörünün regülerize izi hesaplanmıştır. Reğülerize izlerin hesaplanması, Sturm-Liouville operatörleri için inverse (ters) problemlerin çözümünde önem taşımaktadır. Çalışmanın en önemli sonuçlarından birisi de budur. ANAHTAR KELİMELER: Operatör, Spektrum, Inverse Problem, Sturm-Liouville Operatör, İz (Trace) III SUMMARY MsC Thesis CALCULATION OF THE TRACE OF STURM-LİOUVİLLE OPERATOR WITH COULOMB SİNGULARİTİES Yaşar ÇAKMAK Cumhuriyet University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof.Dr.Rauf AMIROV This work belongs to the scope of spectral theories of second order differential operators. It present a calculation of regularized trace of Sturm- Liouville operators which possess Coulomb singularity. The task of computing regularized traces have importance for solving inverse problems for Sturn-Liouville operators. This is indeed the main stream of this present work. Key words: Operator, Spectrum, Trace, Sturm-Liouville operator, Inverse problem 70

IV ÖZET Bu araştırmada type kuramında paralel ve deterministik olmayan lambda kuramı için arakesit ve bileşim type'lan ile birlikte type türetiminin ilkelerinin tasarımı araştınlmıştır. Paralel (//) ve deterministik olmayan (+) operatörleri içeren lambda kuramının analizi arakesit ve bileşim type operatörleri ile type değerbağlama sistemi [M. Dezani-Ciancaglini et al. '94] ve [M. Dezani- Ciancaglini et al. 96] çalışmaları ile verilmiştir. Bu tezde [Margaria et al.'95] ve [M. Dezani- Ciancaglini et al. 96] makalelerine dayalı paralel ve deterministik olmayan lambda kuramı için type türetim algoritması gerçeUeştirilmiştir. ABSTRACT The aim of this work is mainly to study the principal type-schemes for terms of a parallel and non-deterministic Lambda Calculus in a type discipline which allows intersection and union types. In pVL Dezani-Ciancaglini et aL'93], {M. Dezani- Ciancaglini et aL'94] and [M. Dezani-Ciancaglini et al.96a] an analysis of a X,- calculus containing a parallel ([) and a non-deterministic operator (+) was carried out by means of type assignment system whose types contain the intersection and union type constructors. In this thesis we address the principal typing problem for this system. An essential use will be made of the notion of approximate and its properties, as described in [M. Dezani-Ciancaglini et aL'96a]. Also the approach that was given in [Margaria et al'95] will be used for deriving all the possible types of a term from the principal one. 116

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; bölünmüş farklar, konveks fonksiyonlar, lineer pozitif operatörler, C(a,b) uzayında P.P. Korovkin teoremi, Bernstein polinomu ve özellikleri verilmiştir. İkinci, üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümler çalışmamızın orjinal kısmını oluşturmaktadır. İkinci bölümde Genelleştirilmiş Bernstein polinomlan tanımlanmış ve sürekli fonksiyonlara yaklaşması verilmiştir. Üçüncü bölümde GeneUeştirilmiş Bernstein polinomlarının monotonluğu verilmiştir. Dördüncü bölümde diferensiyel denklemlerin sayısal çözüm yöntemleri verilmiştir. Beşinci bölümde Genelleştirilmiş Sasz operatörü ile ilgili bir teorem verilmiştir. ANAHTAR KELİMELER: Bernstein polinomu, Lineer pozitif operatörler, konveks fonksiyonlar, Bölünmüş farklar, Sasz operatörü. This thesis consist of five chapters. The first chapter is divided differences, convex functions, linear positive operators, P.P. Korovkin theorem on C(a,b) spaces, Bernstein polynomials and characteristics. The second, third, fourth and fifth chapters are the original parts of the study. In the second chapter, generalization of Bernstein polynomials are defined and approximation of continuous functions are given. In the third chapter, monotonicity of Bernstein polynomials are given. In the fourth chapter, some numerical methods are given for the solutions of some differential equations. In the fifth chapter, generalization of Sasz operators are given. KEY WORDS: Bernstein polynomials, Linear positive operators, Convex functions, Divided differences, Sasz operators. 55

11 ÖZET Yüksek Lisans Tezi BİR VE İKİ SPEKTRAGÖRE STURM-LİOUVİLLE OPERATÖRÜ İÇİN İNVERSE (TERS) PROBLEMLER Suat BİLGİN Cumhuriyet Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof.Dr.Rauf EMİROV Bu çalışma n.mertebeden diferensiyel opetatörlerin spektral teorisine aittir. Sunduğumuz çalışmada n.mertebeden diferansiyel operatörler için iki spektra göre inverse (ters) problemlerin çözümünde kullanılan esas integral denklerninin çekirdeği olan K(x,t) ve F(x,t) fonksiyonlarının genel yozlaşan olduğu ispatlanmıştır. İspat sırasında hiperbolik tip denklemlerin özelliklerinden yararlanılmıştır. Çalışmanın en önemli sonuçlarından biri, K(x,t) ve F(x,t) fonksiyonlarının genel yozlaşan olmasından yararlanarak II. mertebeden diferansiyel operatörler için inverse (ters) probleminin bir S sınıfi için çözülmesidir. Anahtar Sözcükler: Operatör, Spektrum, Inverse Problem, Sturm-Liouville Operatör, Hiperbolik tip denklem Ill SUMMARY MsC Thesis INVERSE PROBLEMS FOR STURM-LIOUVILLE OPERATORS WITH ONE AND TWO SPECTORS Suat BİLGİN Cumhuriyet University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof.Dr.Rauf AMİROV This work is about the spectral theory of second order differential operators. We have proved that K(x,t) and F(x,t) functions which are the kernels of main integral equation employed in the solution of the inverse problems with two spectors for second order differential operators are general degenerate types. In the process of proving, the properties of hyperbolic type equations are utilized. Another important result of the study is that by using the fact that both K(x,t) and F(x,t) are general degenerate type, for a class of second order differential the inverse problems were solved. Key Words: Operator, Spectrum, Inverse problem, Sturm-Liouville operator, hyperbolic type equation 39

ÖZET Moleküllerden oluşan sistemlerin yapılan, dış elektromanyetik alanların et kisiyle değişmektedir. Bu çalışmada, Genelleştirilmiş Hidrojen Atomunun dış etki olmadan zamana bağlı devinimi incelenmektedir. Bu amaçla, sözkonusu olan Schrödinger denklemimizi çözmek yerine, ü- çüncü mertebeye kadar gözönüne alman taban operatörlerine açılım yöntemi kullanılmaktadır. Sistem Hamiltonyeni'ndeki tekillikten dolayı birinci mertebe taban operatörleri konum ve momentumun birer fonksiyonu, diğer taban o- peratörleri ise birinci mertebeden taban operatörlerinin kuvvetleri etrafında tanımlanmaktadır. Bu taban operatörlerinin beklenen değerlerinin zamana göre türevlerinin alınmasıyla oluşan dalgalanma denklemlerinin çözümü, alman bir başlangıç dalga fonksiyonu ve taban operatörleri üzerinden elde edilen başlangıç koşulla rıyla gerçekleştirilmektedir. Bu çözüm, bilgisayar kullanımının gerekliliğinden dolayı, Mathematica programında Runge-Kutta yönteminden yararlanılarak, yaklaşık değerlerle elde edilmektedir. Sonuç olarak, Genelleştirilmiş Hidrojen Atomu potansiyeline sahip sistem lerin, zamana bağlı molekülsel devinimi gözlenebilmektedir. Mathemetica prog ramıyla elde edilen sonuçlar, belirli parametreler için bu sistemlerin korunur bir yapıya sahip olduklarını yani sistemin toplam enerjisinin zamanla değişmediğini göstermektedir. iv SUMMARY DYNAMICAL INVESTIGATION VIA BASIS OPERATOR EXPANSION FOR GENERALIZED HYDROGEN ATOM STRUCTURES In this work, the basis operator expansion method is used to determine the time-dependent motion of Generalized Hydrogen Atom ignoring the effects of external magnetic fields. The potentials of the Generalized Hydrogen Atom can be taken as V(r) = 7 ip rp£i and the Hamiltonian of the system has been determined as & & P a a 2m or r rl where % is the redused Planck's constant and m is the mass. The singularity of the systems Hamiltonian has been taken into conside ration while constructing the basis operators. The first two basis operators have been determined as appropriate functions of position and momentum. Accordingly, with the position and momentum operators of classical mechanics being the first two basis operators have been selected as -Pio = e V q(t)J p _i (-^-^) + (`^~K In this work only operators upto third order (j + k < 3) has been taken into consideration. To use these basis operators in constructing the fluctuation equations, the derivative of the expected value of each basis operator has to be taken with respect to time. To this end let us now define the expected value of an operator. The expected value of an operator Q is /.oo (Q)= / F(r,t)Q1,(r,t)dr Jo where i/>(r,t) is the wave function and i()*(r,t) is the complex conjugate of the wave function. Hense, the expected value of a basis operator can be written as /.OO (Pjk}= / Tj>*(r,t)PjkiJ>(r,t)dr Jo If these expected values are symbolically shown as fjk(t) = (Pik) their derivatives with respect to time can be written as Mt) = /°V(M) [/{HPjk - PjkH)} 1,(r,t)dr or fjk(t) = ^(HPjk-PjkH)^ The first order equations obtained in this manner correspond to the equations without fluctuations whereas the rest of the equations to the equations that VIshow the fluctuations. /oo(*) =- m *f2i(t)+p(t)af20(t) + ^y/n(0 + )K*)/io(*) + ^M(t) + ^K*)/oo(*) (i) /io(t) = m °fsı(t)+p(t)*fs0(t) +[^-l) f21(t) + ( 2a + At)2 q(jt) ffW /11W + «(*) -l)K*)/20(*) V'(q(t))- i(t)4 -V'(q(t)) + W*)2 + q(t)3) V`(q(t)) + *&-V'»(q(t)) + [y^)2 ~ iW) V`(q{t)) ~ q(t)5V'`(q(t)) Mt) - Mt) YV'W)) (3) Mt) m */«(*) + P(t) -V'(q(t))f20(t) 2aV'(q(t)) - q(t)2V`(q(t)) Mt) (8) Mt) =- m + >» -;^» vııım K*)/02(*) - 4^(«((r,0)dr Jo The initial form of the wave function ip(r, t) appearing in the previous formula will be taken as r(r) = ^(r,0) = Ae`r-r To solve each initial condition /jjk(0) integrals of the form,00 _2«±2._2r ` r will be encountered. Since, t/>(r, t) is also a probability function / e r Im= - dr m = 0,1,2,...,6 Jo /.OO /»OO / ^*(r, 0)^(r, 0)rfr = A2 / e~ ^ ~2rdr = 1 Jo Jo The normalization constant A can be determined as 1 vx OO 2q+

II ÖZET Bu çalışma, giriş ve beş bölümden oluşmaktadır. Girişte tez konusunun matematiksel fiziğin problemlerinden kaynaklandığı esas- landınlmıştır. Birinci bölümde temel kavramlar ve özellikler verilmiştir. İkinci bölümde eşlenik diferansiyel operatör ve eşlenik sınır değer problemleri tanımlanmıştır ve özellikleri araştırılmıştır. Üçüncü bölümde sınır değer probleminin özdeğerleri ve öz fonksiyonları incelen miştir. Dördüncü bölümde spektral parametreye bağlı olan ve bağlı olmayan sınır değer probleminin Green fonksiyonu ve eşlenik diferansiyel operatörün Green fonksiyonu bu lunmuştur. Beşinci bölüm çalışmamızın orjinal kısmını meydana getirmektedir. Bu bölümde, spektral parametreye bağlı olan ve bağlı olmayan sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem ve periyodik sınır şartlarının ürettiği diferensiyel operatörlerin Green fonk siyonlarının açık formülü bulunmuştur. Ill Some Fundamental Properties of Linear Differential Operators ABSTRACT This study consists of an introduction and five chapters. In introduction, it is shown thai the topic of the thesis is based on, the problem of mathematical physics. In the first chapter basic concepts and principles are given. In the second chapter, adjoint differential operator and adjoint boundary value problems are defined and their properties are investigated. In the third chapter, eigenvalues and eigenfunctions of boundary value problems are explored. In the fourth chapter, Green function of both boundary value problems, one is dependent on the spectral parameter and the other is not, and Green function of adjoint differential operator are found. Fifth chapter is the original part of our study. In this charter, general formula of Green functions of differential operators created by both linear differential equations with constant coefficient, one is dependent on the spectral parameter and the other Is not, and by periodic boundary conditions are obtained. 106

ÖZET Birim dairede analitik, yalınkat ve f(0) = f ' (0) - 1 = 0 koşullarıyla normalize edilmiş f(z) = z + a2Z2 +... fonksiyonu için, Bieraacki (1960), F(z)=[ZS)_d£ (1) ?»o l ile tammlanan fonksiyonun da, D de yalınkat olduğunu göstermeye çalışmıştır. Kısa bir süre sonra, bu iddianın doğru olmadığı ispatlandı. Fakat, Biernacki'nin bu çalışması, analitik fonksiyon sınıflarında, integral operatörlerin özelliklerinin araştırılmasında önemli bir rol oynamıştır. a parametresi yardımıyla, (1) ile verilen fonksiyonun değişik bir gösterilişi, L1(0 = F(z)=(-22- d£,F'(0) = l (2) biçiminde tanımlanır. (2) ile tammlanan integral operatörünü I. Tür integral Operatör diye adlandıracağız. Benzer şekilde, U(f)=f«(z) = [f'(Q]°dÇ (3) biçiminde tammlanan integral operatörü, II. Tür integral Operatör diye adlandıracağız. Libera [9] tarafından, L3(f) = F(z) = 4-i f(Qd£ (4) biçiminde tammlanan integral operatöre, III. Tür integral Operatör ve Bernardi [2] tarafından seri gösterilişleriyle birlikte, 00,-z Hk(z)= 2 Jt±i- anZn = l±i- Ck_1f(öd^ n = 1 k + n z k J biçiminde tammlanan integral operatöre de Genelleştirilmiş integral Operatör diyeceğiz. iiiGenel halde, L : A c H(B) -* A c H(B) biçiminde tanımlanan bir F = Lk(f), k = 1, 2, 3 integral operatörü altında, hangi özelliklerin hangi durumlarda sabit kaldığı problemlerini inceleyeceğiz. L~ 1 ters integral Operatörü, bir diferansiyel denklem belirtir. Bu halde, III. Tür ve Genelleştirilmiş integral operatörler için diferansiyel denklemin çözümleri olan fonksiyonların özelliklerini inceleyeceğiz. Bölüm I. yalınkat fonksiyon sınıflan hakkında temel bilgileri içermektedir: Yalınkat fonksiyon tanımı verilmekte ve bazı elemanter özellikleri tanıtılmakta, bir yalınkattık kriteri olan Schwarzian türev kavramı ispatsız verilmektedir. Subordinasyon tanımı ve özellikleri incelenmekte ve pozitif reel kısma sahip fonksiyonların sınıfı tanıtılmaktadır. Normalize edilmiş yalınkat fonksiyonların sınıfı tanıtılmakta ve yalınkat fonksiyonların incelenmesinde önemli bir araç olan distorsiyon teoremi ispatlanmaktadır. Daha sonra yıldızıl, konveks ve konvekse yakın fonksiyonların smıfı tanıtılmaktadır. Bölümün sonunda integral Operatörler tanıtılmaktadır. Bölüm II. de birinci tür integral operatörün özelliklerini incelemek için hazırlık olarak, Causey 'in bir çalışması incelenmektedir [5]: f e S iken 0 -L için F £ S olacak şekilde bir f £ S fonksiyonunun varlığı bir örnekle ispatlanmıştır, f e S ve f, p-spirallike iken V5`_2 0 1/3 ivve a * 1 olmak üzere her a e (D sayısına karşılık fa £ S olacak şekilde, S sınıfına ait olan ve f(z) = exp [fx log(l - z)] biçiminde bir fonksiyonunun varlığı gösterilmiştir. Bir başka yalınkaüık kriteri olarak, K-kuazikonform tasvir tanımı yardımıyla Ahlfors'un (1974) verdiği bir lemmanın ispatı verilmiştir. Bu lemma yardımıyla, yerel yalınkat fonksiyonlar için Pfaltzgraff in vermiş olduğu teoremin ispatı incelenmiştir [14]. Yine bir önceki bölümde olduğu gibi, f fonksiyonu S nin alt sınıflarına ait iken, a parametresinin farklı değerleri için, fa fonksiyonunun S nin alt sınıflarına ait olduğu incelenmiştir [12]. İlginç bir sonuç olarak, Bölüm 2. de incelenen I. tür integral operatörüyle, II. tür integral operatörü arasındaki bir ilişki incelenmiştir [1 1]. 3.2. de L2 operatörünün yerel yalınkat fonksiyonlar sınıfına ait fonksiyonların smır davranışı üzerindeki davranışları incelenmektedir [4]. 3.2. 1. de Ux ailesine ait fonksiyonların açısal türevi ile türevinin asimptotik değeri ve asimptotik değeri ile açısal limiti arasındaki ilişkiler araştırılmaktadır. Ayrıca, f e Ux fonksi yonunun açısal türevi ile Ls(f) in sınır davranışı arasındaki ilişki incelenmektedir ve yerel yalınkat fonksiyonlar sınıfına ait derecesi sonlu olan fonksiyonların türevlerinin asimptotik değerleri ile açısal türevleri arasında bir denkliğin olduğu gösterilmiştir [4]. 3.2.2. de f e Ux fonksiyonunun smır ailesi ile buna karşılık gelen LsCf) in sınır aileleri arasındaki basit ilişki verilmekte ve L2 operatörünün, bir smır noktasındaki konformluk ve yankonformluk gibi smır özellikleri üzerindeki etkileri incelenmektedir [4]. Bölüm IV. de üçüncü tür integral operatörü ve genelleştirilmiş integral operatörünün özellikleri incelenmiştir. 4.1. de üçüncü tür integral operatörü altında özel fonksiyon sınıflarının özellikleri incelenmiştir [9]. Bu amaçla, Sakaguchi'nin (1959) lemmasınm özel bir hali 3.1. de verilmiştir. I-3(f) = F(z) = -^~ z _ 2 f(0 d£ olsun. fGS* (KveyaC) ise, FeS* (KveyaC) dir. 4.2. de genelleştirilmiş integral operatörü için, ilk kısımda yapılanlara benzer incelemeler yapılmıştır [2]. F(z) = -£±±- £c ` 1 f(Ç) d£, c = 1, 2, 3,... olsun. Bu durumda, z° /(1) feS* (KveyaC) ise, FeS* (KveyaC) dir. (2) f'ePiseF'GP dir. Daha sonra, q parametrelerinin özel seçimiyle, (1) - (2) sonuçlarını içeren F(ci; f) fonksiyonlarının çok parametreli bir smıfı incelenmekte ve değişik gösterilişler elde edilmektedir [2]. 4.3. de L3 operatörü için ters problem incelenmiştir [10]. (l)FeS* (KveyaC) ise,z1 r =/ c~1 2 + V3 + c2 ' C=1 olmak üzere, (l)FeS* (KveyaC) ise,z

ÖZET Bu çalışmada Abstract Toeplitz operatörleri tanımlanmış, örnekler verilmiş ve bazı özellikleri incelenmiştir. Ayrıca Abstract Toeplitz operatörleri, spektral teorisi ve Banach cebrinin genel teorisi bakımından da incelenmiştir. Çalışmanın son kısmında ise, Riesz sistemlerin denkliği tanımlanarak sonsuz sayıda denk olmayan Riesz sistem olduğu gösterilmiştir. iv SUMMARY SPEKTRAL THEORY of ABSTRACT TOEPLITZ OPERATOR In this work,Spektral theory of Abstract Toeplitz operators are studied. Toeplitz operators are related to different branches of mathematics such as convergence theory of analytic functions, the integral equation, Wiener- Hopf equation and control theory. For this reason, Toeplitz operators have a great importance in the theory of operators. This work contains four section. The first section is introduce section. The second section contains preliminaires about bounded linear operators on Hubert spaces, Banach and operator algebras. Now let us give some fundamental concepts. The set of all measurable complex function on X is denoted by L2(X, v) which satisfy / /< oo. The unit circle is denoted by T and the normal- Jx ized measure on T is denoted by y,. In this condition, L2(T, fj.) denotes the st of all measurable functions in the unit circle which satisfy / /2 < oo. Jt The orthonormal basis in L2(T,fi) is given as en(0) = ein$, 0 < 8 < 2tt, n = 0, ±1,.. The inner product on L2(T,fi) is defined by (/, 0 : fz(x ? T : /f(x)/ > c) = 0}.Let us define the H2 space H2 = {fe L2(T, fj.) : / f.endfi = 0, Vn < 0} Jt H2 = {fe L2(T,n) : ± J * f.endd = 0, Vn > 0} The functions in H2 space are called analytic functions and this space is called Hardy space. The linear bounded operators space on Hubert space is denoted by B{H). We give some definitions about operators in B(H), and definition of spektral measure and some theorems about it. In the third section,we have studied spektral theory of Abstract Toeplitz operators. Firstly, we give some definitions. Let H be any infinite dimensional Hubert space and let R be a maxsimal abelian von Neumann algebra of operators acting on R. A closed subspace K t^ {0} Ç H is said to be a weak Riesz subspace for R if each 0 ^ / G K is seperating vector for R. By definition this means that if L ? R and Lf = 0, then L = 0. A proper subspace K C H is a Riesz subspace for R if both K and K1- are weak Riesz subspaces for R. A triple (H, R, K) is called a Riesz system if H is an infinite dimen sional Hubert space, R is a maximal abelian von Neumann algebra on H and K C H is a Riesz subspace for R. If (H, İ2, K) is any Riesz system, the linear operator that projects H onto the subspace K is always denoted by P. Furthermore, every operator L ? R is called Abstract Laurent operator and every operator of form PL acting on the Hubert space K is called a Abstract Topelitz operator. Then, we have given some examples of Riesz systems. First, we have showed that (L2,L°°,H2) is a Riesz system. In this section we suppose as given some fixed but arbitrary Riesz system (H, R, K). Recall that P denotes the projection of H onto K. We first obtain some preliminary results that lead to the spectral inclusion theorem. If M is any linear manifold in H, the closure of M is denoted by [M]. Lemma 3.2: E £ is Abstract Laurent operator and [LH/ ^ if, then [LS] = [LK] = [LK-*-]. viHere, the following result is taken: Corollary 3.3: H is infinite dimensional Hubert space, R is maximal abelian von Neumann algebra on H, then (H,R,K) is a Riesz system if and only if EH = [EK] = [.Elf-1-] for every nonzero projection E < 1 in R. The following proposition is proved by using the above corollary. Proposition 3.5: The maximal abelian von Neumann algebra R contains no minimal projections and the subspaces K and K1- are both infinite di mensional. If A is any operator, we denoted by cr(A) the spektrum of A and by tt(A) the approximate point spektrum of A. If L 6 R (L is Abstract Laurent operator), then the operator PL (PL is Abstract Toeplitz operator) on K is denoted by T&. Teorem 3.6: E L ? R, then a(L) C tt(Tl) C (t(Tl). Then, the spektral radius of an operator A is denoted by r(A). Let (if, R, K) be Riesz system. The collection of Abstract Toeplitz operators is denoted by GT. It is obvious that GT is closed subset of B(K). Let $ : R-^GT be defined by $(L) = TL. Corollary 3.7: The mapping %j} is Hnear,one-to-one,isometric-isomorph and preserves adjoints. To prove Corollary 3.7 is used Teorem 3.6. Corollary 3.8: If L ? R that is not scalar, then L and Tl have no proper value in common. We obtain a corollary about compact Abstract Toeplitz operator. Corollary 3.11: The only compact Abstract Toeplitz operator is zero. The proving of Corollary 3.11 is used Theorem 3.6 and the following Lemma. Lemma 3.9: If a ? B(H) is compact operator, A ^ 0 and A 6 cr(A), then A is proper value of A. Abstract Laurent operator L and its associated Abstract Topelitz opera tor are said to be analytic if LK C K, and to be co-analytic if LK1- C K1-. It follows L is analytic if and only if L* is co-analytic. vuIn this section, it is showed when Tl is isometry operator. Theorem 3.14: A Tl is an isometry if and only if L is analytic unitary operator. Let A ? B(H). A is called quasinilpotent, if cr{A) = 0. Let H be algebra. The radical of H is denned by Radii = {A ? H '? (I - AB)-1 ? ft, V.B ? 11, exists }. If Radii = {0}, then H is called semisimple. Lemma 3.15: The collection of analytic Abstract Toeplitz operators with any Riesz system form a semisimple commutative Banach algebra under the operator norm. The collection of analytic Abstract Toeplitz operators is denoted by ACT. Let o~agt(Tl) denote the spektrum of an analytic Abstract Toeplitz operator Tl regarded as an element of AQT. Lemma 3.16: VTL ? AQT, of H onto H/ such that {K) = üTı and such that (frRcf)`1 = R/. Proposition 4.1: If two Riesz system (H,R,K) and (H/, R/, K/ ) are equivalent, then the spaces GT and GT/ are isometrically isomorphic which is given by FTL = T^-i. Let F{n) be any finite subset of the non-negative integer and the sub- space Mp(n) C K spaned by the orthonormal vectors {em0 : n 6 N/F(n) }. MF(n) = V{eine : n ? N/F(n) }. The Riesz system (H,R,MF{n)) is de noted by Rp(n). Lemma 4.2: Hermitian Abstract Toeplitz operator associated with the Riesz system Rf(ti) has a null space whose dimension is at most n and there exists a hermitian Abstract Toeplitz operator whose null space dimension is n. vmFollowing theorem is proved by the using of Lemma 4.2. It shows that there are a lot of Riesz systems which can be differ. Theorem 4.3: If m and n are distinct possitive integers. The Riesz systems Rp(n) arLd i?F(m) are not equivalent. Furthermore no Riesz system Rf(ti) is equivalent to (L2, L°°,H2). IX 29

ÖZET Bu çalışmada altıncı mertebe Casimir invayyantlarmın açık kuruluşu AS ve AQ cebirleri için ele alındı. Altıncı mertebe için Casimir katsayılarının değerleri en genel olarak hesaplandığında aynı değere sahip olan katsayıların varlığı gözlendi. Aynı değere sahip olan bu katsayıların oluşturduğu cümleler eşdeğerlik sınıfları olarak adlandırıldı. Bu özel gruplandırnıalardan yola çıkarak altıncı mertebe Casimir invaryantlarını kurmak için bir yöntem geliştirildi. Eşdeğerlik sınıflarının varlığı bizi, bu sınıfların hangi ölçütlere göre ayırtedilmesi gerektiği problemi ile karşı karşıya getirdi. Bu sınıfları birbirinden ayırtetmek için katsayılar üzerinde etkili dört gösterge tanımlandı. Sözkonusu göstergeler eşdeğerlik sınıflarını tamamen belirlememizi sağladı. Casimir katsayıları arasında var olan eşdeğerlik sınıflarını belirledikten sonra aynı sınıfa ait olan katsayılara aynı sayısal değer verildi. Bunun sonucunda altıncı mertebe Casimir invayyantlarının katsayıları sayısal olarak büyük ölçüde azaldı. AS cebiri için 12300 katsayı 661, AS cebiri için ise 37184 katsayı 1301 katsayı ile ifade edildi, indirgenmiş katsayılarının dört parametreye bağlı olarak çözülmesi ile altıncı mertebe casimir invayyantlarının açık kuruluşu elde edildi. Bu çalışmada geliştirdiğimiz yöntem sayesinde teknik ve zaman açısından neredeyse imkansız gibi gözüken AN cebirlerinin altıncı mertebe Casimir invaryantlarını kurma imkanına erişildi. iv EXPLICIT CONSTRUCTION OF SIXTH ORDER CASIMIRS AND THE EXISTENCE OF EQUIVALENCE CLASSES SUMMARY The Casirair operators are elements which are commutative with ali their generators of an algebra.With this definition a Casimir operatör is determined as the multiple products of an algebra.For this reason ali Casimir operators of an algebra form a basis Universal Enveloping Alge- bra which is connected /vith. this algebra. At this work sixth order general construction for AS and AS Lie algebras are formed with a special method below Let TA, A = 1.2N (N + l)/2 be the generators of a Lie algebras of dimension N defiııed by /T T l = F c T l-LA'.LB/-L ABC where the F,DC are structure constants. The structure constants are A B completely antisymmetric as in below, F c = -F c ABBA The determining structure constants help us to mat eh with metric tensor gAB a = p öp c VAH - f AC fBD v-2TA generators will be assumed:rr/ <>., = T; f =T Jo,; - -S-+;V(JV + l)/2 ^ = k,,/«J = r.+A,(JV+l) and we choice a convenient basis as in beknv, S = e.',.-+ı /o { = Ci + l,i `» = ei,i ~ ei+ı,i+ı A sixth order Casinıir invariant can be defined as I[6] = g^^A.AtA. {T^ T^ T^ TA^ TA^ T^ } gAlA2A3A4:A5Ae coefficients of Casinıir invariant s are completely synı- nıetric. And here by using [J[6], TA] = O relation we will have the equation P {Cl nC2CsC4C5Ce}B - f) ^ AB y-u For to determine the coefficient of sixth order Casimir invariant, the solved equations above have formed the starting point. This gives a general solution of the Casinıir operators which are solved in ternıs of a number of free parameters. in the solution of p.order Casinıir invariants for AN Lie algebras, ali partitions number formed by p's positive integers except l, will give us the number of linearly independent elenıents. When we examine the general solutions of sixth order Casimir invari¬ ants it was seen that some of the coefficients have the same value.lt is called as equivalence classes. We developed a method of solving for sixth order. We defined a covenient criteria for the coefficients which have same values for equivalence classes. For this reason we defined four indicators IND1,IND11,IND2,IND3 act on coefficients gAıA*- AP. viİNDÎ, IND2, IND3 are in order as INDllg^A'-A'A'+t-^^Tfaif.A^eA,], Kı[e.4t,e,ı3], «ı[e.-İ!,e.4j, «ı[e.42^e-43], «ı[e.4f_ı,eA,]] JJVD2[i,yAlAa-A*A«+1-A'>] = I>-2[/i,-,e.4l], AC2[ft,.e.42], ^2^t,ej4J] JJVU3[yAlAa-A»A'+1-Aî'] = [(«3[/M,+1, ^A,+2,..., hAp, e^i], «3[hA,+I, A.4,+2,.... hAp. e.42]), («317u?+ı, ^/i,+2?....> hAp, e^2]î «3[^A,+ı, hAq+2,/J.4P, eA3])5 (K3[^A,+1, ^A,+2,..., hAp, eA,_J, «3^.4,+1, ^.47+2,..., ^.4P. e.4,])] At here «ı, «2, Kz are in order as Kı[e«A,eaB] = (aA,ora) and /sı[fc,-,eaA] = (Ai,aA) K «^ )«x + (AA?+2, aA )ox +... (AA), «A X vii-İNDÎ l is defined as in the following INDll/gAlA*`AJV(JV + l)/2 A is given by AUU,A;2,Aia] = l, «An + «AİS = a^,a AUa, Aİ2. Aİ3] = l, a AH + OCAİ» = aAu AU.-nAij^Aja] = l, «A.-2 +- (L5) 37

Dört bölümden oluşan bu çalışmada ilk bölüm giriş için ayrıldı. İkinci bölümde, iki farklı diferensiyel operatör göz önüne alındı. Bu operatörlerle oluşturulan denklemlerin çözümleri arasında belirli yapıda ilişkilerin olması için operatörlerin katsayıları arasındaki bağıntılar elde edildi. Üçüncü bölümde, dördüncü basamaktan kompleks değişkenli bir kısmi türevli denklemin Bauer operatörleri yardımıyla çözüm gösterilimlerine sahip olması için denklemin katsayılarının sağladığı koşullar ve bu hale karşı gelen çözüm verildi. Dördüncü bölümde ise, ikinci bölümde ele alınan denklemlerin çözümleri arasındaki ilişkiler kullanılarak, Riemann fonksiyonları arasındaki bağıntılar bulundu.ANAHTAR KELİMELER: Holomorf Fonksiyonlar, Kompleks Diferensiyel Operatörler, Riemann Fonksiyonu. This thesis is composed of four chapters In Chapter I an introduction to this subject has been given. In Chapter II, two different diferential operators have been considered. The conditions which should be imposed on the coefficients of these operators have been obtained in order to have certain types of relations between the solutions of the corresponding equations. In Chapter III, the equations of order four with complex variables for which the solutions may be represented by use of Bauer operators have been derived. In the last Chapter, the results of Chapter II has been used to represent the relations between the corresponding Riemann functions.KEY WORDS: Holomorphic functions, Complex Differential Operators, Riemann Functions. 55

IV ÖZET SONSUZ MATRİSLER VE İNVARYANT TOPLAMLAR Dört bölüm olarak hazırlanan bu çalışmanın birinci bölümünde daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel tanım ve teoremler verildi. İkinci bölümde daha genel bir shift operatörü olan a - altında limitin değişmezliğini alarak Banach limitlerinin bir genelleştirilmesi olan invaryant limitler (a-limitler) ve buna bağlı kalarak Va dizi uzayı tanıtılıp, a-invaryant toeplitz metodu verildi. Üçüncü bölümde bazı matris sınıflarının karakterizasyonu verildi. Dördüncü bölümde mutlak a-Regüler ve kuvvetli a-yakınsaklık incelenip, bu sınıflara ait bir kaç karakterizasyon verildi. ABSTRACT INFINITE MATRICES AND INVARIANT MEANS This thesis consists of four parts. In the first part, some fundemental difinitions and theorems which will be used in the letter parts were given. In the second part a teoplitz system was given about a invariant and VG series space was intarduced and also concerning about limits and also invariant limits were generalized and Banach's limits constant and under this limit a general shift operator was given. In the thirt part some matrix classes characterization was given. In the fourt part certain a - Regular and strong a - relation ship was investigated and some characterization about these classes were done. 45