Search

ÖZETDoktora TeziÇOK AMAÇLI STOKASTİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNEETKİLEŞİMLİ BULANIK PROGRAMLAMA YAKLAŞIMIKumru Didem ATALAYAnkara ÜniversitesiFen Bilimleri Enstitüsüİstatistik Anabilim DalıDanışman: Prof. Dr. Ayşen APAYDINDoğrusal programlama problemi olarak modellenen birçok gerçek hayat probleminde katsayılar rasgele değişkenolarak ortaya çıkar. Bu durumda kurulan probleme stokastik programlama problemi adı verilmektedir. Stokastikprogramlamanın çözümünde temel yaklaşım, problemin olasılıksal bir yapıdan deterministik bir yapıyadönüştürülerek bilinen yöntemlerle çözülmesidir. Stokastik programlama tekniklerinden biri olan şans kısıtlıprogramlama yaklaşımı, rasgele kısıtları belirli seviyelerine göre deterministik hale getirmeyi amaçlar. Rasgeledeğişken olan bu katsayılar için genel olarak ele alınan dağılım normal dağılımdır.Bu çalışmada, A katsayılar matrisinin elemanlarının gamma dağılımına sahip bağımsız rasgele değişken olmasıdurumu göz önüne alınmıştır. A katsayılar matrisinin sütun sayısı iki olduğunda, bu değişkenlerin toplamınındağılımı elde edilerek şans kısıtlarının deterministik eşitlikleri bulunmuştur. İkiden çok olduğu durumda,toplamın dağılımı ile normal dağılım arasındaki farkların tahmin yöntemi kullanılarak şans kısıtlarınındeterministik eşitlikleri elde edilmiştir. Katsayıları normal ve gamma dağılımına sahip modellerin çözümüsonucunda karar değişkenlerinin birbirine yakın sonuçlar verdiği gözlenmiştir. Optimizasyon problemlerinde,belirsizlik rasgelelikten veya bulanıklıktan kaynaklanmaktadır. Amaç fonksiyonunun bulanık olmasıdurumundaki belirsizlik için bulanık etkileşimli iki yeni algoritma önerilmiştir.2006, 112 sayfaAnahtar Kelimeler: Şans Kısıtlı Stokastik Programlama, Gamma Dağılımı, Esseen Eşitsizliği, EtkileşimliBulanık Programlama, Çok Amaçlı Doğrusal Programlama. ABSTRACTPh.D. ThesisINTERACTIVE FUZZY PROGRAMMING APPROACH TO MULTI OBJECTIVE STOCHASTICPROGRAMMING PROBLEMSKumru Didem ATALAYAnkara UniversityGraduate School of Natural and Applied SciencesDepartment of StatisticsSupervisor: Prof. Dr. Ayşen APAYDINMany real life problems which are modeled as linear programming problems where coefficients appear asrandom variables. In this case, such problems are called as stochastic programming problem. The basic approachin the stochastic programming is solving the problem with known methods by a converting the problem from aprobability structure to a deterministic structure. The chance constraints in this programming approach can beforced from being the random coefficients to deterministic one according to their specific levels. Generally, thedistribution for these coefficients which are assumed to be random variables is normal.In this study, members of the coefficient matrix A are considered as independent random variables with agamma distribution. Two approaches are suggested for finding the deterministic equivalent of the chanceconstraints. In the first case, where the number of columns of the coefficient matrix A is two, it is consideredthat deterministic equalities of chance constraints are found by obtaining the distribution of sum of thesevariables. In the second case where there are for more than two colums, deterministic equalities of chanceconstraints are obtained by using the estimation method of differences between the distribution of sum of thesevariables and normal distribution. As a conclusion from solving these models where the coefficients are gammadistributed and normal distributed, it is observed that in each case approximate results are obtained. Inoptimization problems, the uncertainity arises from randomness or fuzziness. Two new fuzzy interactivealgorithms are suggested in this work for uncertainity under the fuzziness of objective function.2006, 112 pagesKey Words: Stochastic programming with chance constraint, Gamma Distribution, Esseen Inequality,Interactive Fuzzy Programming, Multi Objective Linear Programming. 121

ÖZET Yüksek Lisans Tezi ENTROPİ MAKSİMİZASYONU ve BİR UYGULAMA Kumru DMem ATALAY Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik AnabİBtn Dalı Danışman: Doç. Dr, Aysen APAYDIN Jüri : Prof. Dr. Gülsüm HOCAOĞLU ProE Dr. Ismlhan BAYRAMOĞLU Doç. Dr. Ayşen APAYDIN Entropi kavramı belirsizliğin bir BIçOsOdOnEntropl maksimlzasyonu be bu belirsizlikteki azalmayı maksimum yapmak olarak tanımlanır. Matris tahmini Özerine yapılan çalışmalarda bir çok yöntemler geliştirilmiştir. Entropİ maksimlzasyonn da bp yöntemlerden birisidir. Çalışmanın İkinci BBIDmfl'ode entropt kavramı tanımlanmaktadır. Etttroptntn Özellikleri aynntdı olarak verilmiş, entropi makshnizasyomı açıklanarak; doğrusal programlamada, ulaştırma problemlerinde ve karesel fiyat kısıtlarına sahip problemlerde çözümleri İncelenmiştir. Üçöocü Bölumfl'nde başlangıç-son (O-D) matrisleri açıklanarak, entropi maksimlzasyonn yöntemi İle elde edilen matris tahmin algoritması verilmiştir. Çalışmada Karayolları Genel MudflrluğO'nden alınan 1997-1998 KuIo-GBIbaşı ayrımına ait trafik verileri kauanılmışnr. 1997 OD matrisi ve traOk hacimleri alınarak entropi maksimizasyonu yöntemi İle oluşturulan matris tahmin algoritması İle 1998 O-D matrisi tahmin edilmiştir. 2000, 75 sayfa ANAHTAR KELİMELER: Entropi, maksimum entropi, başlangıç-son (O-D) matrisleri. ABSTRACT Master Thesb ENTROPY MAXIMIZATION and AN APPLICATION Komru Dfdcm ATA LA Y Ankara University Graduate School of Natural and Applied Science Department of Statistics Supervisor : Assoc Prof. Dr. Ayşen AP AVDIN Jnry : Prot Dr. GOhfim HOCAO?LU Prof. Dr. tsmlhan BAYRAM O?LU Assoc Prof. Dr. Ayşen APAYDIN Entropy b the measurement oftbe ondetermtnation. Although entropy maximization is the maximation of the undetermined decreasing. There are tats of methods in the studies which are related with matrix estimation. Entropy maximization Is one of these methods. The second part of the study begins with the explanation of the entropy concept The properties of the entropy b given, entropy mazhnizatlon has been explained and the anah/sb of the problems such as lineer programing, transportation problems and the problems which have quadrhlc cost constants has been explained. At the third part of study origin-destination (O-D) matrixes explained and the matrix estimation algorithm which was found with the entropy maximization has been given. In the study the traffic datas from the road between Kuta and Gölbaşı In 1997-1998 taken from the head office of the highways has been used. With taking the O-D matrix of year 1997 and the traffic volumes, the O-D matrix of the year 199S has been estimated by tile matrix estimation algorithm which fa obtained from the entropy maximation method. 2000, Page : 75 Key Words : Entropy, maximum entropy, origin - destination (O-D) matrix 75

Günümüzde sürekli gelişen teknoloji, tüketiciye yüksek kalite beklentisi getirmiştir.Hem üreticiyi hem de tüketiciyi koruyarak kalitenin istenen düzeyde tutulması,güvenilir bir kabul örneklemesi planı ile sağlanabilir. Kabul örneklemesi, ürününpazara çıkmaya yeterli düzeyde kaliteye sahip olup olmadığına çeşitli testleryardımıyla karar verir. Bu tez çalışmasında bir istatistiksel kalite kontrol tekniği olankabul örneklemesi, uygulamalı olarak sunulmuştur. Kabul örneklemesinin kavramlarıve çeşitleri ayrıntılı olarak işlenmiştir. Uygulama aşamasında tek katlı, çift katlı vebulanık tek katlı kabul örnekleme planlarına yer verilerek her bir örnekleme planı, üçfarklı kesikli olasılık dağılımı kullanılarak oluşturulmuştur. Kullanılan dağılımlarınkabul olasılığı, ortalama toplam muayene sayısı ve çıkan ortalama kalite değerleriüzerinde yarattığı farklılıklar tablolar üzerinde izlenmiştir. Üretici ve tüketicirisklerinin değişiminin ürünün kalitesinde yarattığı fark vurgulanmıştır. Oluşturulankabul örnekleme planları kendi aralarında karşılaştırılarak söz konusu fabrikanın ürünkalitesinin yükseltilebilmesi, muayene maliyetinin uygun bir seviyede tutabilmesi veveri ölçümlerinde meydana gelebilecek sorunlara karşı hazırlıklı bulunabilmesiamaçlarıyla örnekleme planları önerilmiştir.Yapılan literatür taraması kapsamında kabul örneklemesinin inşaat sektöründe biruygulamasına ve hipergeometrik dağılımlı bulanık kabul örneklemesinerastlanmamıştır.ANAHTAR KELİMELER: İstatistiksel Kalite Kontrol, Kabul Örneklemesi,Örnekleme Planı, Bulanık Yaklaşım Nowadays, technology which is constantly improving has created an expectation ofhigh quality amongst consumers. Keeping quality at the desired level while alsoprotecting both the producer and the consumer is only feasible with a reliableacceptance sampling plan. Acceptance sampling decides whether a product hassufficient quality level to be ready to take place on the market by doing a number oftests. In this study, acceptance sampling which is a method of statistical quality controlhas been presented with applications. The terms and varieties of acceptance samplinghave been discussed in detail. During the applications, single, double and single fuzzysampling plans have been included while each sampling plan has been created withthree different discrete probability distributions. Differences created by thedistributions on the acceptance probability, average total inspection and averageoutgoing quality values have been observed on tables. Differences on product qualitycaused by the changes on producer's risk and consumer's risk have been emphasized.The acceptance sampling plans created in this study have been compared amongst eachother in order to propose appropriate sampling plans for the purposes of increasingsaid factory's product quality, keeping inspection costs at a reasonable level and beingprepared for issues caused during data measurements of the products.During the literature search, a study of acceptance sampling in the building trade andfuzzy acceptance sampling using the hypergeometric distribution has not beenencountered.KEYWORDS: Statistical Quality Assurance, Acceptance Sampling, Sampling Plan,Fuzzy Approach 91

Son yıllarda belirsizlik ve eksik bilgi içeren birçok çalışmada bulanık zaman serileri analizi tahmin problemleri için uygun bir metot olarak seçilmektedir. İstatistiksel zaman serilerinin kısıtlarını barındırmaması ve geçmişe yönelik az sayıda bilgiyi analiz etmekte başarılı sonuçlar vermesi tercih edilme sebeplerini arttırmıştır. Bu çalışmada literatürde önerilmiş olan bulanık zaman serileri yöntemleri geliştirilmiş ve yeni bir model önerilmiştir. Literatürde bulunan bu iki yöntem ve önerilen yöntemler Karayolları Genel Müdürlüğünün yayınladığı 2000- 2017 taşıt- km verisi üzerinde uygulanmış ve elde edilen öngörüler kıyaslanmıştır. Kıyaslama sonucunda önerilen yöntem ile elde edilen öngörüler gerçek değerlere daha yakın sonuç verdiği gözlenmiştir. Elde edilen öngörüler ile karayolu planlaması, mühendisliği, işletmesi, güvenliği ve politikalarında iyileştirmeler yapılabileceği düşünülmektedir. In recent years, fuzzy time series analysis has been chosen as a suitable method for prediction problems in many studies containing uncertainty and incomplete data. The fact that it does not contain the limitations of statistical time series and that it can give successful results in analysis of limited data has increased its reasons for being used. In this study, the fuzzy time series methods proposed in the literature have been improved upon and a new method has been proposed. These two methods found in litterature and the methods suggested have been applied to the General Directorate for Highways' 2000-2017 Vehicle - km data that was published and the predictions obtained have been compared. As a result of the comparison, it has been observed that the predictions yielded by the suggested method are closer to the real values. With the acquired predictions, it is thought that improvements could be made to Highway planning, engineering, management, safety and policies. 55

Gelişen teknoloji ve artan çalışma hayatının hızlı temposu gereği zamanın insanlar için önemli bir faktör olduğu günümüzde, hava yolu taşımacılığı sektörüne olan talep oldukça artmakta ve bu durum havayolu taşımacılığının gelişmesini zorunlu kılmaktadır. Küreselleşmenin de etkisiyle hava yolu ulaşımını tercih eden müşteri sayısında artış görülmekte ve bu artış havayolu taşımacılığının önemini ortaya koymaktadır. Artan bu talep ve havayolu taşımacılığına verilen bu önem doğrultusunda hizmet kalitesinin etkin bir şekilde ölçülmesi ve değerlendirilmesi gerekliliği ortaya çıkar. Hava yolu taşımacılığı sektöründe, artan taleple birlikte ciddi bir rekabet ortamı oluşmuştur. Bu rekabet ortamı, kalite anlayışı, müşteri istek ve beklentilerini karşılamayı odak noktası haline getirmiştir. Tez çalışmasında, geliştirilen yeni bütünleşik Entropi Ağırlıklı Bulanık EDAS yöntemi ve literatürde bulunan bütünleşik Entropi Ağırlıklı Bulanık VİKOR yöntemi kullanılarak hava yolu ulaşımını tercih eden kadın ve erkek yolcuların hizmet kalitesinin değerlendirilmesinde kullanılmıştır. Çalışmada hem yeni bir bütünleşik ÇKKV yöntemi önerilmiş hem de bu yöntem kullanılarak cinsiyet farklılığına göre sonuçlar değerlendirilmiştir. Time is an important factor due to rapid technology and hectic business life in this era. Demand of airline transport has been increasing rapidly each passing day. It is an obligation to improve this sector under this circumstances with the affects of globalization. It is clearly seen that people who prefer airline transportation has increased and this rapid increase exhibits the importance of airline transportation . In the with this demand and signifance service quality should be measured effectively this situation increased a rivalry in this sector. This competition made focus an meeting the needs at customers and their requests and sense of quality. In this thesis, by using the method of Entropy Weigshted Fuzzy VIKOR in literature and Integrated Entropy Weighted Fuzzy EDAS, service quality evaluation is used for the people women and men customers who prefer airline transportation. In this study Multi-Criteria Decision Making (MCDM) method is proposed and also by using this method according to gender differences results are evaluated. 103

Türkiye'de iş sağlığı ve güvenliği uzun yıllardır çalışma alanlarında uygulanmaktadır ve tüm işyerleri yaptıkları işle ilgili risk değerlendirmesi yapmakla ya da yaptırmakla mükelleftir.Türkiye'de araştırma kazıları iş sağlığı ve güvenliği kapsamında kendisine; Madencilik ve taş ocakçılığını destekleyici diğer hizmet faaliyetleri tanımı içerisinde 'tehlikeli' çalışma alanlarında yer bulmuştur. Bu hizmet faaliyetleri tetkik, araştırma hizmetleri, jeolojik gözlemler, boşaltma, pompalama hizmetleri olarak sıralanabilir. Burada test amaçlı sondaj faaliyetleri ile petrol ve doğalgaz için yapılan hizmetler bunların dışında yer almaktadır. Bu çalışmada ise araştırma kazıları hakkındaki bilgilendirmeler `Araştırma sondaj ve kazı` ana başlığı altında sunulmuş ve bir fosil lokalitesinde risk değerlendirmesi iki farklı metot kullanılarak sonuçlar karşılaştırılmıştır. Risk değerlendirmesi için seçilen iki metot L tipi matris ve Fine-Kinney metodudur. Çalışmada elde edilen veriler Fine-Kinney metodunun L tipi matris metoduna göre daha geniş bir aralıkta değerlendirme imkanı sunduğu için sonuçların güvenilirliğinin ve doğruluğunun büyük ölçüde arttığı sonucuna ulaşılmıştır. Occupational health and safety has been implemented in various working areas in Turkey for many years and all businesses are obliged to carry out risk assessments or have them carried out.Under the scope of occupational health and safety, research excavations in Turkey are considered as `dangerous` working environments under the description of `Other service activities supporting mining and quarrying operations`. These service activities can be classified as research activities, geological observations, discharging, and pumping activities. Drilling activities for testing purposes and activities conducted for petroleum and natural gas are exceptions to these service activities. In this study, information regarding research excavations have been presented under the title of `Research drilling and excavation` and two different risk assessment methods were used to evaluate the risks in a fossil site and their results have been compared. The two methods selected for risk assessments are the L-Type Matrix and the Fine-Kinney method. The results obtained from the study show that the Fine-Kinney method provided a larger range of evaluation in comparison to the L-type matrix method, and as such, that the reliability and accuracy of its results were much higher. 106

Son yıllarda hizmet sektörünün hızla gelişmesiyle birlikte firmalar ayakta kalmak ve rekabet etmek için çaba göstermektedir. Bu ayakta kalmanın en başarılı ve en iyi yolu müşterilerin ihtiyaç ve beklentilerini en iyi şekilde öğrenmekten geçmektedir. Bu çalışmada hizmet sektöründe müşterinin sesini dinlemenin ne derece etkili olduğu bulanık Kalite Fonksiyon Göçerimi yöntemi kullanılarak gösterilmektedir.Bu çalışmanın ilk bölümünde hizmet kavramının tanımı, hizmetin özellikleri, müşteri memnuniyeti, algılanan ve beklenen hizmet kalitesi bahsedilmiştir. Müşteri memnuniyetinin bir işletme için ne derece önemli olduğundan ve odak noktasında tutulması gereklilikleri aktarılmıştır. Müşterilerin algıladıkları ve bekledikleri hizmet kalitesinin öneminden bahsedilmiştir. İkinci bölümde Kalite Fonksiyon Göçerimi'nin tanımı, tarihçesi, amaçları, faydaları, zararları gibi genel bilgilerinin yanında Kalite Fonksiyon Göçerimi ve Kalite Evi hakkında bilgiler verilmiştir. Kalite Fonksiyon Göçerimi uygulanarak müşterilerin sesini dinlemeyi öğrenip, müşteri isteği doğrultusunda hareket edilip hizmet üretilmesi aktarılmıştır.Üçüncü bölümde bulanık mantığın tanımı yapılarak tarihçesinden ve uygulamanın nasıl yapılacağından bahsedilmiştir. Bulanıklık hangi durumlarda kullanmanın daha uygun ve faydalı olduğu belirtilmiştir. En son bölümde ise bulanık Kalite Fonksiyon Göçerimi çalışmaya uygulanma teknikleri anlatılmış ve bu çalışmada kullanılan formüller gösterilmiştir. Bulanık Kalite Fonksiyon Göçerimi matrisi uygulanan ankete göre çizilmiş hesaplanmış grafikleri çizilmiş ve yorumlanmıştır. Recent progresses in the service sector forces the companies to put significant effort to survive and compete. The most successful and the best way of survival is to learn and respond to the needs and expectations of customers. In this study, the Fuzzy Quality Function Deployment method is used to show the importance of listening to 'the voice of the customers' in the service sector. In the first chapter of this study, the definition of service concept, features of service, customer satisfaction, and perceived and expected service quality are mentioned. The importance of putting customer's satisfaction and perceived and expected service quality to the focal point for an enterprise is explained. The second chapter contains the description, historical background, objectives, usefulness and shortcomings of Quality Function Deployment and quality house. By the use of Quality Function Deployment and by listening to the `voice of customers`, it is shown that the expectations of the customers can be satisfied. In the third chapter, the definition of fuzzy logic, the diversity and usefulness of its applications are explained. In the last chapter, the application techniques of fuzzy Quality Function Deployment, and the formulas used in this study are given. Based on the applied survey results, a Fuzzy Quality Function Deployment matrix is constructed and the pertinent graphs are drawn and interpreted. 98

Motosikletler günümüz koşullarına oldukça uygun ulaşım araçları olup Motosikletler benzinli ve elektrikli olmak üzere ikiye ayrılır. Bu çalışmada elektrikli ve benzinli motosikletler belirli parametreler ile karşılaştırılarak incelenecektir.Çalışmada motosiklet kullanıcılarının fikirleri doğrultusunda elektrikli ve benzinli motorların özelliklerinin ayrıntılı olarak araştırılması ve ölçülebilen değerlerin belirlenerek karşılaştırma verisi olarak kullanılması amaçlanmaktadır. Kullanıcıların fikirlerini belirleyebilmek amacıyla bir sorgulama sistemi oluşturulacak, alınan cevaplar doğrultusunda tercih sebepleri ve parametreler belirlenecektir.Ölçülen değerler ve sorgulama sistemi sonucunda elde edilen veriler uygun yöntemler kullanılarak karşılaştırılarak, yorumlanacak ve çalışma tamamlanacaktır. Motorcycles are very convenient transportation means for today's conditions. Motorcycles are divided into two types as gasoline engined motorcycles and electric engined motorcycles. In this study, electric engined and gasoline engined motorcycles will be examined by comparing them with certain parameters.In the examinations, it is aimed to investigate the characteristics of electric and gasoline engines in detail in accordance with the opinions of motorcycle users and to use the measurable values as comparison data. In the study, the features of electric and gasoline engines will be investigated and the differences will be determined, measurements will be obtained for the selected models, an inquiry system will be set up to determine the opinions of the users, preference reasons and parameters will be determined according to the answers received.The measured values and the data obtained as a result of the query system will be compared and interpreted using appropriate methods and the study will be completed. 96

Satış tahmini, bir ürün veya hizmetin gelecek dönemler için talebinin gerçekliğe en yakın şekilde ve minimum hata ile öngörülmesidir. Günümüzde satış tahminleri özellikle büyük üretim ve hizmet veren firmalar için hayati önem taşımaktadır. Dünyadaki sosyal, ekonomik, politik ve teknolojik alanlarda gerçekleşen olayların sonucunda oluşan belirsizlik firmaların faaliyet gösterdiği alanlarda da bulunmaktadır. Bu belirsizlikler nedeniyle karar verme süreçlerindeki belirsizliklerin modellenebilmesi bulanık mantık yaklaşımı geliştirilmiştir. Bu çalışmada Tanaka'nın doğrusal ve karesel olarak iki bulanık regresyon modeli kullanılmıştır. Bu modeller, kağıt torba üreten fabrikanın üç ürünü için geçmiş satış verilerine uygulanmış ve tahmini satış aralıkları elde edilmiştir. Tahmin edilen değerler ile o yılın gerçek verileri karşılaştırılarak üç ürün için en uygun model belirlenmeye çalışılmıştır. Sales forecasting is a process of estimation of the demand for a good or service for upcoming periods with minimum error. Uncertainty that occurs in social, economic, political and technological fields also shows up in the fields firms are active. Due to uncertainties, fuzzy logic approach is developed in order to model these uncertainties in decision-making processes. In this study, two fuzzy logic modes of Tanaka – linear and quadratic – are used. These models are applied to past-sales data of the three products of a factory producing paper bags, and sales forecast ranges are obtained. Comparing these sales forecasts with actual demands of the related year, the best fitting model is tried to be determined. 69

Yatırımlarını hisse senetleri üzerine yapan yatırımcılar için geleceğe yönelik getiriyle ilgili tahminde bulunmak oldukça güçtür. Beklenen getirinin belirsizlik içerdiği göz önünde bulundurularak, yatırımcılar beklenen getirinin en yüksek değeri için riskin en düşük seviyelerde olmasını beklerler. Belirsizliği gidermek ve yatırım kalitesini artırabilmek için yatırımcılara geleceğe yönelik alternatif portföy seçenekleri sunulması amaçlanmıştır. Bu çalışmada BIST' te yer alan hisse sentlerinin günlük 2. Seans kapanış değerleri yardımıyla portföy seçenekleri oluşturulmaya çalışılmıştır. Belirsizliğin bulanık kaynaklı olduğu varsayılarak yapıyı ayrıntılı şekilde inceleyebilmek için bulanık matematiksel programlama modellerinden olan Zimmermann yaklaşımından yararlanılmıştır. Bulanık kaynaklı kısıtın rassal bir yapıda olması durumunda ise stokastik programlama problemlerinden şans kısıtlı model incelenmiştir. For investors in the stock market, making projections about future returns can be very difficult. Bearing in mind that expected returns involve a significant amount of uncertainty, investors might expect the highest returns to be associated with the lowest risks. In order to mitigate uncertainty and to improve investment quality, alternative future portfolios were offered to investors. This study aims to create portfolio alternatives using the daily closing values of the second session of the Borsa Istanbul [the Istanbul Stock Exchange]. Assuming fuzzy uncertainty, its structure was examined in detail using the Zimmermann approach. This is a fuzzy mathematical programming model. In cases where the fuzzy constraint had a random structure, a chance-constrained model was examined, which is a stochastic programming problem. 97