Search

MANY mathematical and applied problems can be reduced to finding some common point of a system (finite or infinite) of convex sets. Usually each of the sets is such that it is not difficult to find the projection of any point on to this set. In this paper we shall consider various methods of finding points from the intersection of sets, using projection on to a separate set as an elementary operation. The strong convergence of the sequences obtained in this way is proved. Applications are given to various problems, including the problem of best approximation and problems of optimal control. Particular attention is paid in the latter case to problems with restrictions on the phase coordinates.

If a $n$-dimensional function is with probability one in a convex set, the same holds true for the conditional expectation (with respect to any sub-$\sigma$-field). An extreme point of this convex set can be assumed by the conditional expectation only if it is assumed by the original function and if this function is partially measurable with respect to the conditioning sub-$\sigma$-field. These results are used to prove Jensen's inequality for conditional expectations of $n$-dimensional functions, and to give a condition for strict inequality.

L’objectiu d’aquest article és generalitzar les relacions entre longitud i amplada, i entre volum, àrea i integral de la curvatura mitja en cossos convexos d’amplada constant en l’espai Euclidià n-dimensional

[Popov Vasil A.; Popov V.; Popov Vassil A.; Попов Васил А.] Bulgarian. Russian, English summary

Aquest article té com a principal objectiu estudiar diagrames relacionats amb la representació dels cossos convexos de l'espai com a punts del pla a partir dels seus tres elements fonamentals: volum V, àrea F i curvatura mitjana total M

We divide this exposition into two parts. The first part refers to the mean value of the Euler-Poincaré characteristic of the intersection of two convex hyper surfaces. The second part deals with the definition of qth total absolute curvatures of a compact n-dimensional variety imbedded in Euclidean space of n+N dimensions, extending some results given in

Article on es plantegen i es resolen diferents problemes sobre probabilitats geomètriques. Es proposen quatre models de problemes: a) figures convexes planes col·locades arbitràriament unes sobre les altres, b) bandes paral·leles col·locades arbitràriament sobre una figura plana convexa, c)franges de plans paral·lels que tallen a un cos convex i d) cilindres convexos que tallen a un cos convex

H. GIGER and H. HADWIGER [1968] and R.E. MILES have recently considered different questions related to lattices of figures (convex bodies, r-flats or convex cylinders) in En . These lattices are assumed generated by N independent figures which intersect a fixed sphere S of radius R as R and N tends to -- in such a way that N/R tends to a positive constant, called the density of the lattice. In this paper we prove: a) The result does not change if instead of the sphere S we consider a convex body of arbitrary shape, which expands to the whole space En; this is a consequence of our Lemma 2. b) This result is applied to Theorem 1 (distribution function of the number of cylinders of a lattice which are intersected by a convex body K0 placed at random in space), which is essentially due to MILES with different proof. c) Theorem 2 refers to lattices of convex cylinders ir. E3 crossed by an arbitrary convex cylinder and we find the Distribution function of the number of intersected cylinders

L'objectiu d'aquest article és demostrar les propietats de les formes convexes sobre l'esfera

El propòsit d'aquest treball és omplir el buit en relació les esferes tridimensionals i els conjunts convexos en el pla hiperbòlic

Let Q be a closed convex hypersurface of class C3 of the n-dimensional space of constant curvature K=k. . Let Q (λ) be the hypersurfaces parallel to Q at distance λ . Let M (λ)denote the i-th mean curvature of Q (λ). We prove the identities where M ‘(λ ) = dMi (λ)/ dλ.From these identities wededuce some consequences for convex curves and surfaces (n = 2, 3); among them we get a proof of the inequality announced by Blaschke and first proved by Knothe by a very different way

El principal objetivo de este artículo es demostrar la medida del conjunto de figuras convexas congruentes contenidas en el interior de un rectángulo o de un triángulo

Solución al problema con el enunciado siguiente: “Dados al azar dos pares de puntos XY, ZT, sobre el contorno de una figura convexa, calcular la probabilidad de que el punto de intersección de las rectas que determinan, sea interior a la figura”

Demostració de diferents teoremes sobre les regions convexes en la superfície esfèrica de n dimensions

Article que té com objectiu principal estudiar les esferes tridimensionals i els cossos convexos en l'espai hiperbòlic https://doi.org/10.2307/2035535

En este trabajo se establecen las ecuaciones fundamentales de la geometría diferencial afín de superficies, para obtener luego algunas fórmulas integrales y unas caracterizaciones de la elipse

En aquest article es pretén demostrar una propietat afí per a els cossos convexos de l'espai de n dimensions

Aquest article té com objectiu demostrar una sèrie de fòrmules integrals relacionades amb els cossos convexos de l'espai

Se demuestra el teorema siguiente: "Dado en el plano un conjunto de paralelogramos de lados paralelos a dos direcciones fijas, si cada G de ellos tienen puntos sobre una misma recta, existe una recta que tiene punto común con todos los paralelogramos del conjunto". En II se generaliza éste teorema al espacio ordinario y algunos casos particulares del espacio de n - dimensiones

Nota on es corregeix un error que hi ha en una demostració publicada en l'article titulat "Sobre pares de figuras convexas"

Sur la mesure des espaces linéaires qui coupent un corps convexe et problèmes qui s’y rattachent

Demostración del siguiente teorema sobre figuras hiperconvexas planas: “Para que una región H del plano sea una figura hiperconvexa respecto un sistema de curvas unitarias E, es necesario y suficiente que se cumplan las dos condiciones: (a) Ninguna curva unitaria E puede estar contenida en H: (b) El contorno de H no puede ser cortado en mas de dos puntos por una curva unitaria. E, excepto en el caso en que contenga un arco de E”

En una nota anterior (Revista de la Unión Matemática Argentina, vol. VII, 1940-41) hallamos el valor medio del número de partes en que una figura convexa del plano es dividida por n rectas arbitrarias. Queremos ahora generalizar este resultado al caso de un cuerpo del espacio cortado por n planos arbitrarios. Supondremos que el cuerpo tenga la conexión de la esfera, pero sin necesidad de que sea convexo

Artículo que tiene como objetivo hallar el valor medio del número de regiones o partes en que una figura convexa es dividida por n rectes arbitrarias

El objeto de esta nota es establecer por vía geométrica elemental unas expresiones integrales para las figuras planas convexas y para los cuerpos también convexos del espacio ya obtenidas por nosotros y por camino diferente en otros lugares

A set of points Q in the hyperbolic plane is said to be h-convex (convex with respect to horocycles) if for each pair of points A, B belonging to Q, the entire segments of the two horocycles determined by A, B belong to Q. In this paper we give the following properties for h-convex sets: 1. If Q is an h- convex, the whole horocyclic lentil bounded by the horocycles O, O' determined by two points A, B of Q belongs to Q and we get the inequalities (2 . 8) between the length L of the boundary Q, the area F, the width A and the diameter D of Q. 2. If kg. denotes the geodesic curvature of the boundary Q of a set Q, then Q is an h-convex if and only if xg > 1. 3. For each point A of the boundary ‘Q of an h-convex set Q we consider the two tangent horocycles O- and O+ and define the breadth of Q with respect to each of them. These h-breadths O-, n+ satisfies the formulae (5.3) and (5.4). 4. The sets of constant breadth are considered specially. For them the formula (6.1) holds the last theorem states that the Reuleaux triangle has minimal length and minimal area among all the sets of the same constant breadth of the hyperbolic plane

Varias veces ha sido considerado el problema siguiente: un cuerpo convexo, opaco contiene en su interior un gran número de esferas distribuidas al azar, cuyos radios siguen una determinada ley de distribución. Al cortar por un plano se obtendrán, como secciones de las esferas, círculos de diferentes tamaños cuyos radios seguirán otra cierta ley de distribución. Se trata de expresar la distribución de los radios de las esferas mediante la distribución de los radios de los círculos de la sección plana. Si en vez de cortar por un plano se considera una recta que atraviesa al cuerpo, se obtendrán sobre la misma las cuerdas que ella determina en las esferas y el problema análogo consiste en deducir la distribución" de los radios de las esferas a partir de la distribución de las longitudes de estas cuerdas. La cuestión ha sido estudiada recientemente por W. P. Reid quien cita los trabajos anteriores de E. Scheil y R. L. Fullman. Todavía se podría citar el trabajo anterior de S. D. Wiksell , quien estudia y resuelve el mismo problema. De un tipo análogo es el problema siguiente: un cuerpo convexo transparente contiene en su interior, distribuidas al azar, láminas opacas de forma y tamaño variables, cuyas áreas (independientemente de la forma) siguen una cierta ley de distribución. Se proyecta todo el cuerpo sobre un plano según una dirección al azar, obteniéndose como proyección de las láminas figuras convexas de área variable, cuya área seguirá otra cierta ley de distribución. Se trata de relacionar estas dos distribuciones de áreas. En vez de láminas planas se puede estudiar el mismo problema para el caso de varillas o segmentos de longitud variable con cierta ley de distribución. En este trabajo vamos a considerar el primer problema mencionado de una manera más general, suponiendo que en lugar de esferas el cuerpo contiene corpúsculos convexos de forma cualquiera pero semejantes entre sí, de manera que su tamaño dependa de un solo parámetro X (razón de semejanza), cuya ley de distribución se desea en función de la ley de distribución de las áreas de las secciones por un plano arbitrario o bien de las longitudes de las cuerdas determinadas por una recta arbitraria. Veremos que para corpúsculos de forma no muy diferente de la esfera se llega a una ecuación integral del tipo de Abel, y por tanto, resoluble. Estudiamos también el segundo problema de las proyecciones, que conduce análogamente a ecuaciones integrales, fácilmente resolubles., The following problem has been considered by several authors (P. Reid, E. Scheil, R. L. Fullman, S. D. Wicksell): A convex opacous body have inside a number of spheres randomly distributed. The rays of that spheres have a distribution function. If we cut the body by a plane we obtain, as spheres sections, a number of circles the rays of that have another distribution function. The matter of the problem is to find the distribution function of the rays of spheres by means of the distribution function of the rays of circles. The same question arise if we cut by a straight line, instead of a plane, and on consisidere the chords that the straight line determine in the spheres. The author generalize the problem, assuming that instead of spheres the body contain convex corpuscles with any form but similar and so the size of the corpuscles depend of one only parameter λ (similitude ratio), and the distribution function of λ is what we desire, in terms of the distribution of surfaces given by an arbitrary plane section (or length of chordes if the section is by a straight line). In the case in what the form of corpuscles is not so far of a sphere, the autor find a solvable integral equation for solution of this problem. Furthermore, the author study the alike problem to consider a transparent body with opacous convexe plate, the areas of that have a distribution function that we want know by means of the distribution function of the areas of the convexe figures obtained by proyection of the plates in a plane with a random direction.nte resolubles., Facultad de Ciencias Exactas