1. The Coble Quadric
- Author
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Benedetti, Vladimiro, Faenzi, Daniele, Bolognesi, Michele, Manivel, L, Institut de Mathématiques de Bourgogne [Dijon] (IMB), Université de Bourgogne (UB)-Université Bourgogne Franche-Comté [COMUE] (UBFC)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (IMAG), Université de Montpellier (UM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Feder Bourgogne, Région Bourgogne-Franche-Comté, ANR-20-CE40-0023,FanoHK,Des variétés de Fano aux hyperkählériennes : géométrie et catégories dérivées(2020), ANR-21-CE40-0017,BRIDGES,Interactions Brésil-France en théorie de jauge, structures extrémales et stabilité(2021), ANR-17-EURE-0002,EIPHI,Ingénierie et Innovation par les sciences physiques, les savoir-faire technologiques et l'interdisciplinarité(2017), Benedetti, Vladimiro, Des variétés de Fano aux hyperkählériennes : géométrie et catégories dérivées - - FanoHK2020 - ANR-20-CE40-0023 - AAPG2020 - VALID, Interactions Brésil-France en théorie de jauge, structures extrémales et stabilité - - BRIDGES2021 - ANR-21-CE40-0017 - AAPG2021 - VALID, and Ingénierie et Innovation par les sciences physiques, les savoir-faire technologiques et l'interdisciplinarité - - EIPHI2017 - ANR-17-EURE-0002 - EURE - VALID
- Subjects
Coble hypersurfaces ,Mathematics - Algebraic Geometry ,degeneracy loci ,[MATH.MATH-AG] Mathematics [math]/Algebraic Geometry [math.AG] ,FOS: Mathematics ,14h60, 22E46 ,Moduli spaces of stable bundles ,subvarieties of Grassmannians ,[MATH.MATH-AG]Mathematics [math]/Algebraic Geometry [math.AG] ,Hecke lines ,self-dual hypersurfaces ,Algebraic Geometry (math.AG) - Abstract
Given a smooth genus three curve $C$, the moduli space of rank two stable vector bundles on C with trivial determinant embeds in $\mathbb{P}^8$ as a hypersurface whose singular locus is the Kummer threefold of $C$; this hypersurface is the Coble quartic. Gruson, Sam and Weyman realized that this quartic could be constructed from a general skew-symmetric fourform in eight variables. Using the lines contained in the quartic, we prove that a similar construction allows to recover SU$_C(2, L)$, the moduli space of rank two stable vector bundles on C with fixed determinant of odd degree L, as a subvariety of $G(2, 8)$. In fact, each point $p \in C$ defines a natural embedding of SU$_C(2, \mathcal{O}(p))$ in $G(2, 8)$. We show that, for the generic such embedding, there exists a unique quadratic section of the Grassmannian which is singular exactly along the image of SU$_C(2, \mathcal{O}(p))$, and thus deserves to be coined the Coble quadric of the pointed curve $(C, p)$.
- Published
- 2023