Search

Parmi les nombreuses thématiques de la vision par ordinateur, l'étude du corps humain, plus précisément l'analyse de sa forme en trois dimensions, a toujours été un sujet de grand intérêt pour ses nombreuses applications. La thèse se concentre sur le corps humain en trois dimensions (3D), ainsi que sur son mouvement, avec les nouveaux défis scientifiques posés par la disponibilité grandissante de ce type de données. Les corps humains sont naturellement compliqués en tant que corps articulés, évoluant à la fois en identité et en changement de pose. De plus, l'espace de formes des corps humains se construit en filtrant les transformations que sont les mouvements rigides et les re-paramétrisations.La thèse propose une approche en deux temps pour la compréhension du corps humain, tout en s'attaquant aux challenges énoncés. Dans un premier temps, nous nous concentrons sur la recherche des séquences de corps humains 3D dans une base de données. Nous proposons de quitter l'espace de formes en comparant les poses et les mouvements dans des espaces de descripteurs. Nous commençons par la description de la pose du corps humain, en supposant que la pose du corps humain est caractérisée par son enveloppe convexe. Cette hypothèse nous permet de construire trois descripteurs invariants par transformations géométriques. Nous réduisons la comparaison de séquences 3D+t à une comparaison de courbes polygonales. Les résultats expérimentaux sont satisfaisants, mais un (léger) travail supplémentaire est nécessaire pour l'utilisation sur données bruitées. Nous améliorons nos résultats sur le mouvement dans une seconde approche où l'on représente les surfaces de corps humains par des varifolds dans un espace de Hilbert, en utilisant un produit scalaire qui découle d'un noyau défini positif. Les séquences de formes 3D sont représentées par des matrices dérivées de la matrice de Gram du mouvement, ce qui réduit la comparaison de séquences de corps humains 3D à une comparaison de matrices. Dans un second temps, nous nous concentrons sur la construction d'un cadre général pour la génération des déformations humaines. Nous équipons l'espace de formes d'une famille de métriques Riemanniennes élastiques qui sont invariants par mouvements rigides et re-paramétrisations, qui ont de plus aussi l'avantage de distinguer les évolutions en pose et en identité. Nous nous restreignons d'abord aux corps humains alignés, et nous proposons une approche de dimension réduite pour l'interpolation (chemin géodésique) entre corps humains, ainsi que pour des outils statistiques (moyenne de corps humains). La limitation de cette approche réside dans la nécessité de pré-aligner les corps humains avec un modèle donné. Pour résoudre ce problème, nous améliorons l'approche en l'étendant aux scans bruts de corps humains. Pour y parvenir, nous utilisons la métrique varifold comme une quantité régularisant l'espace des paramétrisations. De plus, nous représentons directement les corps humains dans un espace latent de petite dimension, équipé des images réciproques des familles de métriques Riemanniennes. Cela permet de simplifier la résolution des problèmes d'optimisation pour le calcul de géodésiques. L'alignement et l'interpolation de formes sont résolus conjointement, ce qui permet de travailler directement avec des formes non alignées. Les résultats expérimentaux démontrent une amélioration significative par rapport aux solutions existantes pour l'alignement, l'interpolation et l'extrapolation de formes. Nous démontrons finalement l'utilité de ces approches pour la recherche de pose et d'identités, le transfert de mouvement et la génération aléatoire d'identité et de pose de corps humains. In the broad field of computer vision, Three-Dimensional (3D) Human shape and body understanding has always been a hot topic. This thesis focuses on the 3D human body and its motion, with new objectives and problems arising from the growing availability of human body data. As articulated objects, human bodies are naturally complicated, as they evolve in identity and pose. Moreover, the human body shape space is built by filtering out preserving transformations, namely rigid motions, and reparametrizations. Under these challenges, our thesis proposes a 2-fold approach for the human body.In the first part of the thesis, we focus on 3D human shape sequence retrieval. We leave the shape space and propose to compare pose and motion in descriptor spaces. We start by describing the human pose, using the intuition that a human pose is nearly characterized by its convex hull. This hypothesis allows us to introduce three transformation-invariant surface descriptors. Using these invariants reduces the comparison of 3D+time surface representations to the comparison of polygonal curves. Experimental results are promising, but slight modifications are needed to work on noisy data. We improve our motion comparison results in a second time by seeing the human body surfaces as varifolds in a Hilbert space, with an inner product derived from a positive definite kernel. The sequences of 3D shapes are represented by matrices derived from the Gram matrix of the motion, reducing the problem of comparison of two 3D sequences of humans to a comparison of matrices.In the second part of the thesis, we focus on building a framework for generating human body deformations. We equip our shape space with a family of elastic Riemannian metrics that not only are invariant under rigid motions and reparametrizations but also allow us to quantify variations between human bodies under pose and shape changes. We start by working on registered shapes and use a low-dimensional approach to compute the interpolation between human bodies (geodesic path), and statistical tools (eg. mean of human shape). The main limitation is that human shapes need to be pre-registered to a template. To tackle this issue, we extend the previous Riemannian framework to human body scans. We do so by using the varifold metric as a parameterization regularizer. Moreover, we represent human bodies with a low dimensional latent space representation, which is equipped with the pullback of the Riemannian metrics, simplifying the encountered optimization problems. The registration and interpolation problems are solved jointly, allowing the framework to operate directly on unregistered shapes. Experimental results show significant improvements with respect to previous solutions in terms of shape registration, interpolation, and extrapolation. We demonstrate the utility of the proposed frameworks in pose and shape retrieval of the human body, motion transfer, and random generation of body shape and pose.

In the broad field of computer vision, Three-Dimensional (3D) Human shape and body understanding has always been a hot topic. This thesis focuses on the 3D human body and its motion, with new objectives and problems arising from the growing availability of human body data. As articulated objects, human bodies are naturally complicated, as they evolve in identity and pose. Moreover, the human body shape space is built by filtering out preserving transformations, namely rigid motions, and reparametrizations. Under these challenges, our thesis proposes a 2-fold approach for the human body.In the first part of the thesis, we focus on 3D human shape sequence retrieval. We leave the shape space and propose to compare pose and motion in descriptor spaces. We start by describing the human pose, using the intuition that a human pose is nearly characterized by its convex hull. This hypothesis allows us to introduce three transformation-invariant surface descriptors. Using these invariants reduces the comparison of 3D+time surface representations to the comparison of polygonal curves. Experimental results are promising, but slight modifications are needed to work on noisy data. We improve our motion comparison results in a second time by seeing the human body surfaces as varifolds in a Hilbert space, with an inner product derived from a positive definite kernel. The sequences of 3D shapes are represented by matrices derived from the Gram matrix of the motion, reducing the problem of comparison of two 3D sequences of humans to a comparison of matrices.In the second part of the thesis, we focus on building a framework for generating human body deformations. We equip our shape space with a family of elastic Riemannian metrics that not only are invariant under rigid motions and reparametrizations but also allow us to quantify variations between human bodies under pose and shape changes. We start by working on registered shapes and use a low-dimensional approach to compute the interpolation between human bodies (geodesic path), and statistical tools (eg. mean of human shape). The main limitation is that human shapes need to be pre-registered to a template. To tackle this issue, we extend the previous Riemannian framework to human body scans. We do so by using the varifold metric as a parameterization regularizer. Moreover, we represent human bodies with a low dimensional latent space representation, which is equipped with the pullback of the Riemannian metrics, simplifying the encountered optimization problems. The registration and interpolation problems are solved jointly, allowing the framework to operate directly on unregistered shapes. Experimental results show significant improvements with respect to previous solutions in terms of shape registration, interpolation, and extrapolation. We demonstrate the utility of the proposed frameworks in pose and shape retrieval of the human body, motion transfer, and random generation of body shape and pose.; Parmi les nombreuses thématiques de la vision par ordinateur, l'étude du corps humain, plus précisément l'analyse de sa forme en trois dimensions, a toujours été un sujet de grand intérêt pour ses nombreuses applications. La thèse se concentre sur le corps humain en trois dimensions (3D), ainsi que sur son mouvement, avec les nouveaux défis scientifiques posés par la disponibilité grandissante de ce type de données. Les corps humains sont naturellement compliqués en tant que corps articulés, évoluant à la fois en identité et en changement de pose. De plus, l'espace de formes des corps humains se construit en filtrant les transformations que sont les mouvements rigides et les re-paramétrisations.La thèse propose une approche en deux temps pour la compréhension du corps humain, tout en s'attaquant aux challenges énoncés. Dans un premier temps, nous nous concentrons sur la recherche des séquences de corps humains 3D dans une base de données. Nous proposons de quitter l'espace de formes en comparant les poses et les mouvements dans des espaces de descripteurs. Nous commençons par la description de la pose du corps humain, en supposant que la pose du corps humain est caractérisée par son enveloppe convexe. Cette hypothèse nous permet de construire trois descripteurs invariants par transformations géométriques. Nous réduisons la comparaison de séquences 3D+t à une comparaison de courbes polygonales. Les résultats expérimentaux sont satisfaisants, mais un (léger) travail supplémentaire est nécessaire pour l'utilisation sur données bruitées. Nous améliorons nos résultats sur le mouvement dans une seconde approche où l'on représente les surfaces de corps humains par des varifolds dans un espace de Hilbert, en utilisant un produit scalaire qui découle d'un noyau défini positif. Les séquences de formes 3D sont représentées par des matrices dérivées de la matrice de Gram du mouvement, ce qui réduit la comparaison de séquences de corps humains 3D à une comparaison de matrices. Dans un second temps, nous nous concentrons sur la construction d'un cadre général pour la génération des déformations humaines. Nous équipons l'espace de formes d'une famille de métriques Riemanniennes élastiques qui sont invariants par mouvements rigides et re-paramétrisations, qui ont de plus aussi l'avantage de distinguer les évolutions en pose et en identité. Nous nous restreignons d'abord aux corps humains alignés, et nous proposons une approche de dimension réduite pour l'interpolation (chemin géodésique) entre corps humains, ainsi que pour des outils statistiques (moyenne de corps humains). La limitation de cette approche réside dans la nécessité de pré-aligner les corps humains avec un modèle donné. Pour résoudre ce problème, nous améliorons l'approche en l'étendant aux scans bruts de corps humains. Pour y parvenir, nous utilisons la métrique varifold comme une quantité régularisant l'espace des paramétrisations. De plus, nous représentons directement les corps humains dans un espace latent de petite dimension, équipé des images réciproques des familles de métriques Riemanniennes. Cela permet de simplifier la résolution des problèmes d'optimisation pour le calcul de géodésiques. L'alignement et l'interpolation de formes sont résolus conjointement, ce qui permet de travailler directement avec des formes non alignées. Les résultats expérimentaux démontrent une amélioration significative par rapport aux solutions existantes pour l'alignement, l'interpolation et l'extrapolation de formes. Nous démontrons finalement l'utilité de ces approches pour la recherche de pose et d'identités, le transfert de mouvement et la génération aléatoire d'identité et de pose de corps humains.

La présente thèse s’intéresse à la relation entre diverses métriques provenant de la topologie symplectique définies sur une collection de sous-variétés lagrangiennes et la métrique de Hausdorff lorsque les sous-variétés étudiées respectent certaines bornes provenant de la géométrie riemannienne. Après une introduction aux notions préalables à la compréhension de la thèse, nous démontrons dans un premier temps que, pour une grande classe de métriques de nature symplectique, la convergence vers une sous-variété lagrangienne plongée implique la convergence vers celle-ci dans la métrique de Hausdorff. Cette classe de métriques inclut des métriques bien connues comme la métrique de Hofer lagrangienne et la métrique spectrale, mais également des additions plus récentes comme les métriques d’ombre. Nous étudions ensuite le problème inverse : dans quels contextes pouvons-nous dire que la convergence dans la métrique de Hausdorff implique la convergence dans certaines métriques de nature symplectique ? Nous répondons à cette question lorsque les sous-variétés lagrangiennes considérées sont exactes, en démontrant dans la même lancée des versions métriques de la conjecture de la lagrangienne proche et de la conjecture de Viterbo sur la norme spectrale. Les techniques développées nous permettent aussi d’obtenir des résultats de C^0-rigidité pour plusieurs types de sous-variétés d’une variété symplectique ou de contact., The present thesis’ interest resides in the relation between various metrics coming from symplectic topology defined on a collection of Lagrangian subvarieties and the Hausdorff metric in the case when the subvarieties we study respect certain bounds coming from Riemannian geometry. After an introduction to the notions required for the understanding of the thesis, we first show that, for a large class of metrics coming from symplectic topology, the convergence to an embedded Lagrangian submanifold implies that the convergence is also in the Hausdorff metric. This class of metrics includes well-known metrics such as the Lagrangian Hofer metric and the spectral metric, but also more recent additions to field like shadow metrics. We then study the inverse problem: in which contexts can we say that convergence in the Hausdorff metric implies convergence in some metrics coming from symplectic topology? We answer this question when the considered Lagrangian submanifolds are exact, proving at the same time metric versions of the nearby Lagrangian conjecture and of the Viterbo conjecture on the spectral norm. The techniques that we develop also allow us to obtain C^0-rigidity results for several types of submanifolds of a symplectic or contact manifold.

In many applications, the data can be represented by covariance matrices or correlation matrices between several signals (EEG, MEG, fMRI), physical quantities (cells, genes), or within a time window (autocorrelation). The set of covariance matrices forms a convex cone that is not a Euclidean space but a stratified space: it has a boundary which is itself a stratified space of lower dimension. The strata are the manifolds of covariance matrices of fixed rank and the main stratum of Symmetric Positive Definite (SPD) matrices is dense in the total space. The set of correlation matrices can be described similarly.Geometric concepts such as geodesics, parallel transport, Fréchet mean were proposed for generalizing classical computations (interpolation, extrapolation, registration) and statistical analyses (mean, principal component analysis, classification, regression) to these non-linear spaces. However, these generalizations rely on the choice of a geometry, that is a basic operator such as a distance, an affine connection, a Riemannian metric, a divergence, which is assumed to be known beforehand. But in practice there is often not a unique natural geometry that satisfies the application constraints. Thus, one should explore more general families of geometries that exploit the data properties.First, the geometry must match the problem. For instance, degenerate matrices must be rejected to infinity whenever covariance matrices must be non-degenerate. Second, we should identify the invariance of the data under natural group transformations: if scaling each variable independently has no impact, then one needs a metric invariant under the positive diagonal group, for instance a product metric that decouples scales and correlations. Third, good numerical properties (closed-form formulae, efficient algorithms) are essential to use the geometry in practice.In my thesis, I study geometries on covariance and correlation matrices following these principles. In particular, I provide the associated geometric operations which are the building blocks for computing with such matrices.On SPD matrices, by analogy with the characterization of affine-invariant metrics, I characterize the continuous metrics invariant by O(n) by means of three multivariate continuous functions. Thus, I build a classification of metrics: the constraints imposed on these functions define nested classes satisfying stability properties. In particular, I reinterpret the class of kernel metrics, I introduce the family of mixed-Euclidean metrics for which I compute the curvature, and I survey and complete the knowledge on the classical metrics (log-Euclidean, Bures-Wasserstein, BKM, power-Euclidean).On full-rank correlation matrices, I compute the Riemannian operations of the quotient-affine metric. Despite its appealing construction and its invariance under permutations, I show that its curvature is of non-constant sign and unbounded from above, which makes this geometry practically very complex. I introduce computationally more convenient Hadamard or even log-Euclidean metrics, along with their geometric operations. To recover the lost invariance under permutations, I define two new permutation-invariant log-Euclidean metrics, one of them being invariant under a natural involution on full-rank correlation matrices. I also provide an efficient algorithm to compute the associated geometric operations based on the scaling of SPD matrices.Finally, I study the stratified Riemannian structure of the Bures-Wasserstein distance on covariance matrices. I compute the domain of definition of geodesics and the injection domain within each stratum and I characterize the length-minimizing curves between all the strata.; Dans de nombreuses applications, les données sont des matrices de covariance ou de corrélation entre plusieurs signaux (EEG, MEG, fMRI), grandeurs physiques (cellules, gènes) ou instants (autocorrélation). L'ensemble des matrices de covariance est un cône convexe qui est un espace stratifié non euclidien : il a un bord qui est lui-même un espace stratifié de dimension inférieure. Ses strates sont les variétés de matrices de covariance de rang fixé et la strate principale des matrices Symétriques Définies Positives (SPD) est dense dans l'espace total. L'ensemble des matrices de corrélations admet une structure similaire.Les concepts géométriques comme les géodésiques, le transport parallèle ou la moyenne de Fréchet permettent de généraliser les opérations classiques (interpolation, extrapolation, recalage) et statistiques (moyenne, analyse en composantes principales, classification, régression) à ces espaces non linéaires. Cependant, ces généralisations reposent sur le choix d'une géométrie supposée connue à l'avance, c'est-à-dire d'un opérateur de base tel qu'une distance, une connexion affine, une métrique riemannienne, une divergence. En général il n'existe pas une unique géométrie adaptée aux contraintes d'une application mais plutôt une famille de géométries à explorer pour faire ce choix.D'abord, la géométrie doit correspondre au problème. Par exemple, si les matrices de covariance doivent être inversibles, les matrices dégénérées doivent être rejetées à l'infini. Ensuite, elle doit satisfaire les invariances naturelles du problème par des groupes de transformations : si multiplier chaque variable par un facteur indépendant n'a pas d'influence, alors il faut une métrique invariante par le groupe des matrices diagonales strictement positives, par exemple une métrique produit qui découple les échelles et les corrélations. Enfin, de bonnes propriétés numériques (closes formes, algorithmes efficaces) sont essentielles pour utiliser cette géométrie en pratique.Dans ma thèse, j'étudie des géométries sur les matrices de covariance et de corrélation suivant ces principes. En particulier, je fournis les opérations géométriques associées qui sont les briques élémentaires pour calculer avec ces matrices.Sur les matrices SPD, je m'inspire de la caractérisation des métriques affine-invariantes pour caractériser les métriques continues invariantes par O(n) au moyen de trois fonctions multivariées continues. Je construis ainsi une classification de métriques : les contraintes imposées sur ces fonctions définissent des classes emboîtées satisfaisant des propriétés de stabilité. En particulier, je réinterprète la classe des "kernel metrics", j'introduis la famille des métriques "mixed-Euclidean" dont je calcule la courbure, et je résume et complète les connaissances sur les métriques classiques (log-euclidien, Bures-Wasserstein, BKM, power-Euclidean). Sur les matrices de corrélation de rang plein, je calcule les opérations riemanniennes de la métrique quotient-affine et je montre que, malgré sa construction intéressante et son invariance par permutations, sa courbure est non majorée et de signe non constant, ce qui rend sa géométrie très complexe en pratique. Pour pallier ce défaut majeur, j'introduis des métriques Hadamard ou même log-euclidiennes ainsi que leurs opérations géométriques. Pour retrouver l'invariance par permutations perdue, je définis deux nouvelles métriques log-euclidiennes invariantes par permutations, l'une d'elle étant invariante par une involution naturelle de l'espace. Je fournis aussi un algorithme efficace pour calculer les opérations géométriques associées, qui s'appuie sur le "scaling" de matrices SPD. Enfin, j'étudie la structure riemannienne stratifiée de la distance de Bures-Wasserstein sur les matrices de covariance. Je calcule le domaine de définition des géodésiques et le domaine d'injection dans chaque strate, puis je caractérise les courbes minimisant la longueur entre toutes les strates.

In many applications, the data can be represented by covariance matrices or correlation matrices between several signals (EEG, MEG, fMRI), physical quantities (cells, genes), or within a time window (autocorrelation). The set of covariance matrices forms a convex cone that is not a Euclidean space but a stratified space: it has a boundary which is itself a stratified space of lower dimension. The strata are the manifolds of covariance matrices of fixed rank and the main stratum of Symmetric Positive Definite (SPD) matrices is dense in the total space. The set of correlation matrices can be described similarly.Geometric concepts such as geodesics, parallel transport, Fréchet mean were proposed for generalizing classical computations (interpolation, extrapolation, registration) and statistical analyses (mean, principal component analysis, classification, regression) to these non-linear spaces. However, these generalizations rely on the choice of a geometry, that is a basic operator such as a distance, an affine connection, a Riemannian metric, a divergence, which is assumed to be known beforehand. But in practice there is often not a unique natural geometry that suits the application. Thus, one should explore more general families of geometries that exploit the data properties.First, the geometry must match the problem. For instance, degenerate matrices must be rejected to infinity whenever covariance matrices must be non-degenerate. Second, we should identify the invariance of the data under natural group transformations: if scaling each variable independently has no impact, then one needs a metric invariant under the positive diagonal group, for instance a product metric that decouples scales and correlations. Third, good numerical properties (closed-form formulae, efficient algorithms) are essential to use the geometry in practice.In my thesis, I study geometries on covariance and correlation matrices following these principles. In particular, I provide the associated geometric operations which are the building blocks for computing with such matrices.On SPD matrices, by analogy with the characterization of affine-invariant metrics, I characterize the continuous metrics invariant by $\Orth(n)$ by means of three multivariate continuous functions. Thus, I build a classification of metrics: the constraints imposed on these functions define nested classes satisfying stability properties. In particular, I reinterpret the class of kernel metrics, I introduce the family of mixed-Euclidean metrics for which I compute the curvature, and I survey and complete the knowledge on the classical metrics (log-Euclidean, Bures-Wasserstein, BKM, power-Euclidean).On full-rank correlation matrices, I compute the Riemannian operations of the quotient-affine metric. Despite its appealing construction and its invariance under permutations, I show that its curvature is of non-constant sign and unbounded from above, which makes this geometry practically very complex. I introduce computationally more convenient Hadamard or even log-Euclidean metrics, along with their geometric operations. To recover the lost invariance under permutations, I define two new permutation-invariant log-Euclidean metrics, one of them being invariant under a natural involution on full-rank correlation matrices. I also provide an efficient algorithm to compute the associated geometric operations based on the scaling of SPD matrices.Finally, I study the stratified Riemannian structure of the Bures-Wasserstein distance on covariance matrices. I compute the domain of definition of geodesics and the injectivity domain within each stratum and I characterize the length-minimizing curves between all the strata.; Dans de nombreuses applications, les données sont des matrices de covariance ou de corrélation entre plusieurs signaux (EEG, MEG, fMRI), grandeurs physiques (cellules, gènes) ou instants (autocorrélation). L’ensemble des matrices de covariance est un cône convexe qui est un espace stratifié non euclidien : il a un bord qui est lui-même un espace stratifié de dimension inférieure. Ses strates sont les variétés de matrices de covariance de rang fixé et la strate principale des matrices Symétriques Définies Positives (SPD) est dense dans l’espace total. L’ensemble des matrices de corrélations admet une structure similaire.Les concepts géométriques comme les géodésiques, le transport parallèle ou la moyenne de Fréchet permettent de généraliser les opérations classiques (interpolation, extrapolation, recalage) et statistiques (moyenne, analyse en composantes principales, classification, régression) à ces espaces non linéaires. Cependant, ces généralisations reposent sur le choix d’une géométrie supposée connue à l’avance, c’est-à-dire d’un opérateur de base tel qu’une distance, une connexion affine, une métrique riemannienne, une divergence. En général il n’existe pas une unique géométrie adaptée à une application mais plutôt une famille de géométries à explorer pour faire ce choix.D’abord, la géométrie doit correspondre au problème. Par exemple, si les matrices de covariance doivent être inversibles, les matrices dégénérées doivent être rejetées à l’infini. Ensuite, elle doit satisfaire aux invariances naturelles du problème par des groupes de transformations : si multiplier chaque variable par un facteur indépendant n’a pas d’influence, alors il faut une métrique invariante par le groupe des matrices diagonales strictement positives, par exemple une métrique produit qui découple les échelles et les corrélations. Enfin, de bonnes propriétés numériques (formes closes, algorithmes efficaces) sont essentielles pour utiliser cette géométrie en pratique.Dans ma thèse, j’étudie des géométries sur les matrices de covariance et de corrélation suivant ces principes. En particulier, je fournis les opérations géométriques associées qui sont les briques élémentaires pour calculer avec ces matrices.Sur les matrices SPD, je m’inspire de la caractérisation des métriques affine-invariantes pour caractériser les métriques continues invariantes par $\Orth(n)$ au moyen de trois fonctions multivariées continues. Je construis ainsi une classification de métriques : les contraintes imposées sur ces fonctions définissent des classes emboîtées vérifiant des propriétés de stabilité. En particulier, je réinterprète la classe des ``kernel metrics'', j’introduis la famille des métriques ``mixed-Euclidean'' dont je calcule la courbure, et je résume et complète les connaissances sur les métriques classiques (log-euclidien, Bures-Wasserstein, BKM, power-Euclidean).Sur les matrices de corrélation de rang plein, je calcule les opérations riemanniennes de la métrique quotient-affine et je montre que, malgré sa construction intéressante et son invariance par permutations, sa courbure est non majorée et de signe non constant, ce qui rend sa géométrie très complexe en pratique. Pour pallier ce défaut majeur, j’introduis des métriques Hadamard ou même log-euclidiennes ainsi que leurs opérations géométriques. Pour retrouver l’invariance par permutations perdue, je définis deux nouvelles métriques log-euclidiennes invariantes par permutations, l’une d’elle étant invariante par une involution naturelle de l’espace. Je fournis aussi un algorithme efficace pour calculer les opérations géométriques associées, qui s’appuie sur le ``scaling'' de matrices SPD.Enfin, j’étudie la structure riemannienne stratifiée de la distance de Bures-Wasserstein sur les matrices de covariance. Je calcule le domaine de définition des géodésiques et le domaine d’injection dans chaque strate, puis je caractérise les courbes minimisant la longueur entre toutes les strates.