Search

This paper considers the main theoretical calculations of adsorption kinetics, time of the flow in the nozzle adsorber, time of protective action of the adsorbent layer, average speed of adsorption process and the differential equation of the adsorption process according to initial and boundary conditions. Graphically, C-curve has been obtained, which is presented in dimensionless coordinates and demonstrates a mathematical model of adsorption process. The optimal number of cells is calculated by comparing the experimentally obtained response curve with the curves calculated according to the equation of the cell model at different values. In addition, the amount of heat according to the Langmuir's law for adsorption on activated carbon and the dependence of the amount of heat adsorbed on temperature using the Truton's equation have been determined. A mathematical model of the adsorp-tion process, which has been studied using the cell model method and software, is presented. Using the MathCAD application package and the Langmuir's equation, this model has been solved by com-paring the required number of cells n, which is defined as its main parameter. Based on the experimental curve, an assumption is made about the possible form of the cell model of adsorption process and mathematical processing of this curve is performed. The obtained values of model parameters have been calculated, the experimental data have been normalized by the trapezoidal method and the model has been tested for adequacy. The process of exchange of ions with the same charge, which takes place between the adsorbent and the adsorbate in exactly equivalent proportions in order to soften the water intended for the production of soft and alcoholic beverages, wine materials, is studied, as the taste of these products improves with the reduction of magnesium, copper and iron ions. Problems of mathematical modeling of adsorption processes in inhomogeneous media and methods of constructing mathematical problems of such models require further study and have the prospect of further research., В статті показано оптимізовану модель адсорбції через насадковий адсорбер в ізотермічних умовах. Розглянуто теоретичні розрахунки кінетики адсорбції, часу перебування потоку в насадковому адсорбері, часу захисної дії шару адсорбенту, середньої швидкості процесу адсорбції. Проедставлено в граничних умовах диференціальне рівняння адсорбційного процесу в ізотермічних умовах. Крім того, визначено кількість теплоти згідно з законом Ленгмюра при адсорбції на активованому вугіллі, та, використовуючи рівняння Трутона, визначено залежність кількості тепла, що поглинається, від температури. Наведено математичну модель адсорбційного процесу, що досліджувалась із застосуванням методу коміркової моделі та програмного забезпечення. Використовуючи пакет прикладних програм MathCAD та рівняння Ленгмюра, ця модель розв’язана шляхом порівняння необхідної кількості комірок n, яка була визначена як її основний параметр. На основі експериментальної кривої зроблено припущення про можливий вигляд коміркової моделі адсорбційного процесу і проведено математичну обробку цієї кривої. Розраховано отримані значення параметрів моделі, проведено нормування експериментальних даних методом трапецій та перевірку моделі на адекватність. Вивчено процес обміну іонів з одинаковим зарядом, який проходить між адсорбентом і адсорбатом в точно еквівалентних співвідношеннях, для того щоб пом’якшити воду, яка призначена для виготовлення безалкогольних і алкогольних напоїв, виноматеріалів, оскільки смакові якості цих продуктів поліпшуються в разі зменшення в них іонів магнію, міді, заліза.

В статті показано оптимізовану модель адсорбції через насадковий адсорбер в ізотермічних умовах. Розглянуто теоретичні розрахунки кінетики адсорбції, часу перебування потоку в насадковому адсорбері, часу захисної дії шару адсорбенту, середньої швидкості процесу адсорбції. Проедставлено в граничних умовах диференціальне рівняння адсорбційного процесу в ізотермічних умовах. Крім того, визначено кількість теплоти згідно з законом Ленгмюра при адсорбції на активованому вугіллі, та, використовуючи рівняння Трутона, визначено залежність кількості тепла, що поглинається, від температури. Наведено математичну модель адсорбційного процесу, що досліджувалась із застосуванням методу коміркової моделі та програмного забезпечення. Використовуючи пакет прикладних програм MathCAD та рівняння Ленгмюра, ця модель розв’язана шляхом порівняння необхідної кількості комірок n, яка була визначена як її основний параметр. На основі експериментальної кривої зроблено припущення про можливий вигляд коміркової моделі адсорбційного процесу і проведено математичну обробку цієї кривої. Розраховано отримані значення параметрів моделі, проведено нормування експериментальних даних методом трапецій та перевірку моделі на адекватність. Вивчено процес обміну іонів з одинаковим зарядом, який проходить між адсорбентом і адсорбатом в точно еквівалентних співвідношеннях, для того щоб пом’якшити воду, яка призначена для виготовлення безалкогольних і алкогольних напоїв, виноматеріалів, оскільки смакові якості цих продуктів поліпшуються в разі зменшення в них іонів магнію, міді, заліза. This paper considers the main theoretical calculations of adsorption kinetics, time of the flow in the nozzle adsorber, time of protective action of the adsorbent layer, average speed of adsorption process and the differential equation of the adsorption process according to initial and boundary conditions. Graphically, C-curve has been obtained, which is presented in dimensionless coordinates and demonstrates a mathematical model of adsorption process. The optimal number of cells is calculated by comparing the experimentally obtained response curve with the curves calculated according to the equation of the cell model at different values. In addition, the amount of heat according to the Langmuir's law for adsorption on activated carbon and the dependence of the amount of heat adsorbed on temperature using the Truton's equation have been determined. A mathematical model of the adsorption process, which has been studied using the cell model method and software, is presented. Using the MathCAD application package and the Langmuir's equation, this model has been solved by comparing the required number of cells n, which is defined as its main parameter. Based on the experimental curve, an assumption is made about the possible form of the cell model of adsorption process and mathematical processing of this curve is performed. The obtained values of model parameters have been calculated, the experimental data have been normalized by the trapezoidal method and the model has been tested for adequacy. The process of exchange of ions with the same charge, which takes place between the adsorbent and the adsorbate in exactly equivalent proportions in order to soften the water intended for the production of soft and alcoholic beverages, wine materials, is studied, as the taste of these products improves with the reduction of magnesium, copper and iron ions. Problems of mathematical modeling of adsorption processes in inhomogeneous media and methods of constructing mathematical problems of such models require further study and have the prospect of further research.

The subject of research in the article is a method for determining a complex quality indicator of qualimetry objects that have quality indicators with different units of measurement. The purpose of the work is proposing a method for determining a complex quality indicator of multicriteria objects of qualimetry, using integration methods. The article solves the following task: to investigate the possibility of assessing the quality of qualimetry objects by graph analytical method, ie to apply the principle of determining the area and volume under curved surfaces both on the plane and in space, created by combining estimates of unit quality indicators on dimensionless scale. The following methods are used: mathematical statistics; qualimetry. The following results were obtained: the analysis of scientific literature on quality assessment of qualimetry objects in terms of existing mathematical relationships between the measured quality indicators and their assessment on a dimensionless scale was carried out. It was shown that, as a rule, mathematical dependences are nonlinear and their research is reduced to the development of universal methods that could be applied to objects of qualimetry, regardless of their nature, complexity, importance, etc. Research that involves nonlinear relationships between measured quality scores and their estimates on a dimensionless scale should be based on quality ideology and have a physical explanation. Having single quality indicators in a single (dimensionless) rating scale, it is proposed to determine a single comprehensive quality indicator of the object of qualimetry using integration methods. It is proposed to find the area under the broken curve, which is built as a result of combining estimates of quality indicators on a dimensionless scale over a period of observations. Since the calculation of definite integrals by the Newton-Leibniz formula is not always possible, to solve practical problems, it is enough to know the approximate value of a certain integral with a given degree of accuracy, so it is proposed to use methods of numerical integration, methods: rectangles and trapezoids. A method for determining a generalized indicator of the quality of the object of qualimetry, which can be considered universal, as it can be used for multi-criteria assessment of the quality of objects of qualimetry of different nature. Conclusions: To determine the complex quality indicator of multicriteria qualimetry objects, it is proposed to apply integration by the method of average rectangles. The method of definition of a complex indicator of quality of object of qualimetry with application of integration which considers receipt of estimations of unit indicators of quality is proposed., Предметом исследования в статье является метод определения комплексного показателя качества объектов квалиметрии, которые имеют показатели качества с различными единицами измерения. Цель работы – предложить метод определения комплексного показателя качества многокритериальных объектов квалиметрии, применяя методы интегрирования. В статье решается следующая задача: исследовать возможность оценивания качества объектов квалиметрии графоаналитическим методом, то есть применить принцип определения площади и объема под криволинейными поверхностями, как на плоскости, так и в пространстве, созданных путем объединения оценок единичных показателей качества на безразмерной шкале. Используются методы: математической статистики; квалиметрии. Получены следующие результаты: проведен анализ научной литературы по вопросам оценки качества объектов квалиметрии в части существующих математических зависимостей между измеренным показателям качества и их оценке на безразмерной шкале. Показано, что, как правило, математические зависимости имеют не линейный характер и их исследования сводятся к разработке универсальных методик, которые можно было бы применять к объектам квалиметрии независимо от их природы, сложности, важности и прочее. Исследования, связанные с нелинейными зависимостями между измеренным показателям качества и их оценками на безразмерной шкале должны базироваться на идеологии качества и иметь физическое объяснение. Имея единичные показатели качества в единой (безразмерной) шкале оценивания, предложено определять единый комплексный показатель качества объекта квалиметрии с применением методов интегрирования. Предложено найти площадь под ломаной кривой, которая строится в результате объединения оценок показателей качества на безразмерной шкале в течение определенного времени наблюдений. Так как вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница не всегда возможно, и часто, для решения практических задач, достаточно знать приближенное значение определенного интеграла с заданной степенью точности, поэтому предлагается применять методы численного интегрирования, методы: прямоугольников и трапеций. Предложена методика определения обобщенного показателя качества объекта квалиметрии, которую можно считать универсальной, так как ее можно применять для многокритериального оценивания качества объектов квалиметрии различной природы. Выводы: Для определения комплексного показателя качества многокритериальных объектов квалиметрии предлагается применить интегрирование методом средних прямоугольников. Предложена методика определения комплексного показателя качества объекта квалиметрии с применением интегрирования, которая учитывает получения оценок единичных показателей качества., Предметом дослідження в статті є метод визначення комплексного показника якості об’єктів кваліметрії, які мають показники якості з різними одиницями вимірювання. Мета роботи – запропонування методу визначення комплексного показника якості багатокритеріальних об’єктів кваліметрії, застосовуючи методи інтегрування. В статті вирішується наступне завдання: дослідити можливість оцінювання якості об’єктів кваліметрії графоаналітичним методом, тобто застосувати принцип визначення площі та об’єму під криволінійними поверхнями як на площині, так і в просторі, які створені шляхом об’єднання оцінок одиничних показників якості на безрозмірній шкалі. Використовуються методи: математичної статистики; кваліметрії. Отримано наступні результати: проведено аналіз наукової літератури з питань оцінювання якості об’єктів кваліметрії в частині існуючих математичних залежностей між виміряними показниками якості та їх оцінкою на безрозмірній шкалі. Показано, що, як правило, математичні залежності мають нелінійний характер і їх дослідження зводяться до розроблення універсальних методик, які можна було би застосовувати до об’єктів кваліметрії незалежно від їх природи, складності, важливості та інше. Дослідження, які пов’язані з нелінійними залежностями між виміряними показниками якості та їх оцінками на безрозмірній шкалі повинні базуватися на ідеології якості та мати фізичне пояснення. Маючи одиничні показники якості у єдиній (безрозмірній) шкалі оцінювання, запропоновано визначати єдиний комплексний показник якості об’єкту кваліметрії із застосуванням методів інтегрування. Запропоновано знайти площу під ламаною кривою, яка будується внаслідок об’єднання оцінок показників якості на безрозмірній шкалі протягом певного часу спостережень. Так як обчислення визначених інтегралів за формулою Ньютона-Лейбніца не завжди можливо, то для вирішення практичних завдань, досить знати наближене значення певного інтегралу з заданим ступенем точності, тому пропонується застосовувати методи чисельного інтегрування, методи: прямокутників та трапецій. Запропоновано методику визначення узагальненого показника якості об’єкту кваліметрії, яку можна вважати універсальною, так як її можна застосовувати для багатокритеріального оцінювання якості об’єктів кваліметрії різної природи. Висновки: Для визначення комплексного показника якості багатокритеріальних об’єктів кваліметрії пропонується застосувати інтегрування методом середніх прямокутників. Запропоновано методику визначення комплексного показника якості об’єкту кваліметрії з застосуванням інтегрування, яка враховує отримання оцінок одиничних показників якості.

Surface soil moisture (SM) plays a fundamental role in energy and water partitioning in the soil–plant–atmosphere continuum. A reliable and operational algorithm is much needed to retrieve regional surface SM at high spatial and temporal resolutions. Here, we provide an operational framework of estimating surface SM at fine spatial resolutions (using visible/thermal infrared images and concurrent meteorological data) based on a trapezoidal space defined by remotely sensed vegetation cover (Fc) and land surface temperature (LST). Theoretical solutions of the wet and dry edges were derived to achieve a more accurate and effective determination of the Fc/LST space. Subjectivity and uncertainty arising from visual examination of extreme boundaries can consequently be largely reduced. In addition, theoretical derivation of the extreme boundaries allows a per-pixel determination of the VI/LST space such that the assumption of uniform atmospheric forcing over the entire domain is no longer required. The developed approach was tested at the Tibetan Plateau Soil Moisture/Temperature Monitoring Network (SMTMN) site in central Tibet, China, from August 2010 to August 2011 using Moderate Resolution Imaging Spectroradiometer (MODIS) Terra images. Results indicate that the developed trapezoid model reproduced the spatial and temporal patterns of observed surface SM reasonably well, with showing a root-mean-square error of 0.06 m3·m−3 at the site level and 0.03 m3·m−3 at the regional scale. In addition, a case study on 2 September 2010 highlighted the importance of the theoretically calculated wet and dry edges, as they can effectively obviate subjectivity and uncertainties in determining the Fc/LST space arising from visual interpretation of satellite images. Compared with Land Surface Models (LSMs) in Global Land Data Assimilation System-1, the remote sensing-based trapezoid approach gave generally better surface SM estimates, whereas the LSMs showed systematic underestimation. Sensitivity analyses suggested that the trapezoid method is most sensitive to field capacity and temperature but less sensitive to other meteorological observations and parameters.

In this study, we introduce two algorithms to numerically solve any initial value problem (IVP). These algorithms depend on time relaxation model (TRM) which is obtained adding a time relaxation term into IVP. Discretizing TRM by using backward Euler (BE) method gives the first algorithm. Similarly, the second algorithm is followed by using trapezoid (TR) time stepping scheme . Under some conditions, the first algorithm increases the order of convergence from one to two and the second one increases the order from two to three. Thus, more accurate results can be obtained. To verify the accuracy of the methods, they are applied to some numerical examples. Numerical results overlap with the theoretical results.