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Estudos sobre concepções de professores de matemática têm contribuído para o entendimento das relações entre concepções, prática pedagógica e formação em diferentes contextos. Este estudo se insere nessa temática e tem como objetivo compreender as concepções sobre álgebra, explicitadas por oito professores de matemática do Distrito Federal. Para tanto, os participantes responderam a um questionário com perguntas objetivas quanto ao perfil social, formação acadêmica e profissional; bem como, completaram frases sobre como concebem a álgebra e a sua prática profissional em álgebra. Os resultados mostram a predominância de duas concepções, a linguístico-estilística e a linguístico-pragmática. Além disso, observam-se indícios de que tais concepções reverberam no modo como esses professores ensinam álgebra. Defende-se que os cursos de formação de professores desenvolvam experiências em que as concepções dos futuros professores sejam conhecidas e problematizadas com vistas à construção de abordagens pedagógicas para a educação básica que promova o desenvolvimento do pensamento algébrico

Our aim is to contribute to the body of research on learning trajectories (LTs) in mathematics by making visible a process for articulating a hypothetical learning trajectory implicit in a widely adopted, reform-based, middle-grades mathematics curriculum. In doing so, we highlight considerations, decisions, and challenges we faced as part of this work. By describing our LT articulation process, our aim is to highlight ways in which curriculum-specific LTs can be articulated to serve as a more proximal and instrumental tool for teachers’ instructional practice. Furthermore, to illustrate we describe how the products of the work were used in practice-based professional learning experiences with middle-grades mathematics teachers.

Neste artigo temos o objetivo de apresentar a ideia de labor conjunto remoto como uma proposta metodológica para formações continuadas de professores que ensinam matemática, assumindo os pressupostos da teoria da objetivação. Nossa proposição foi elaborada a partir de um projeto de formação continuada vivenciado no formato remoto, que assumiu a álgebra e seu ensino nos anos iniciais do ensino fundamental como objeto de saber a ser problematizado. A ideia de labor conjunto descrita pela teoria da objetivação foi pensada para o formato presencial, entretanto, defendemos que essa ideia pode ser implementada, a partir de adaptações, também no formato remoto. Em nosso texto abordamos os princípios da teoria da objetivação seguido das ideias de atividade, atividade de ensino e aprendizagem e labor conjunto, conceitos que assumimos como centrais para nossa proposição. Concluímos que o labor conjunto remoto possui fases, ou, momentos, que vão do planejamento à vivência do trabalho. Entretanto, não é a vivência completa desses momentos que caracterizam o labor conjunto remoto, mas o tipo de interação entre os sujeitos na realização das tarefas, que devem priorizar a coletividade, o cuidado com o outro, a solidariedade. Nesse sentido, entendemos que o labor conjunto remoto, vivenciado a partir dos princípios de uma ética comunitária, é um processo, um sistema dinâmico em constante movimento e mudanças, que é afetado e afeta, de uma forma dialética, as subjetividades e os saberes em jogo.

Background: the early algebra curricular proposal seeks to promote algebraic thinking from the first educational levels. Functional thinking is an approach intended to promote algebraic thinking in students. At present, various curricular programs include notions related to this thinking. However, this type of thinking has had little influence on prospective teachers, thus arising the need to investigate how they approach tasks to prepare them adequately for their teaching. Objective: to analyse the strategies that prospective Chilean primary education teachers use when they solve a task that implies the generalisation of a functional relationship. Design: we follow a qualitative methodology at an exploratory-descriptive level. Setting and participants: The sample included 18 prospective primary education teachers from a Chilean university. Data collection and analysis: we collected the data through a written test in a group of 18 prospective teachers who were in the first year of training and analysed the data. Results: We highlight the diversity of arithmetic and functional strategies used by prospective teachers. In addition, we highlight their trajectories to solve the task, finding that most of them begin using arithmetic strategies and end using functional strategies. Conclusions: This research will identify the strategies used by prospective primary education teachers and whose data could be useful for the creation of teacher education programs.

This paper focusses on developments concerning transitional aspects of learning from the perspective of APOS (Action—Process—Object—Schema) theory. Recent investigations about levels between stages and Totality as a possible new structure are commented on, as well as offering related pedagogical suggestions and ideas for future research.

O objetivo do presente artigo é analisar elementos da prática de uma comunidade de professoras que ensinam Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, em um contexto de formação continuada, a fim de discutir sua contribuição para a promoção de aprendizagens profissionais relacionadas ao pensamento algébrico. Trata-se de um estudo qualitativo, de cunho interpretativo-intervencionista, das ações desse grupo, desencadeadas pela resolução e pela exploração de tarefas que mobilizam o pensamento algébrico. A dinâmica assumida pelo grupo e o envolvimento das participantes evidenciam caraterísticas de uma Comunidade de Prática - CoP. Os elementos da prática dessa CoP que foram potenciais para a aprendizagem das professoras estão associados a negociações de significados, aos empreendimentos e à comunicação. Os resultados sugerem que espaços formativos em contextos de grupos de estudos na perspectiva das CoPs viabilizam momentos promissores para o desenvolvimento de aprendizagens profissionais.

Este texto é parte de minha tese de doutorado em que busquei utilizar a terapia de Wittgenstein, proposta para uma análise do ensino de álgebra. Na tese realizei análise de textos, documentos, dissertações e teses. Identifiquei referenciais teóricos que abordavam o ensino de álgebra mais utilizados nas pesquisas. Estas obras representam o padrão teórico utilizado nas pesquisas sobre ensino da álgebra no Brasil e por isso serão analisadas terapeuticamente à luz da filosofia de Wittgenstein. Os referenciais estão apoiados em teorias baseadas em concepções essencialista e referencial, pois geralmente apontam para uma essência entre álgebra e outras áreas do conhecimento e colocam a linguagem em um papel apenas referencial. Também se percebe um alinhamento sobre o pensamento algébrico e a proposta de antecipação da álgebra via aritmética, colocando a álgebra com uma natureza extralinguística. Defendo que há uma relação entre álgebra e aritmética, contudo essa relação não se apresenta de forma evidente a quem não teve acesso a partes da álgebra.

As adaptações do ensino presencial para o ensino remoto, em decorrência das ações preventivas de combate a pandemia de COVID-19, se constituíram como um desafio para os professores da educação básica, sobretudo quanto a elaboração de propostas didáticas para ambientes virtuais. Partindo desse pressuposto, o presente artigo tem por objetivo analisar o potencial do GeoGebra Classroom para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Considerou-se a exploração de relações funcionais aplicadas no contexto de situações problemas, nas quais abordamos possíveis soluções para o tratamento de resíduos sólidos no município de Monte Alegre de Minas/MG. Para a pesquisa elaboramos uma sequência de atividades online, realizadas com dez alunos do 9º ano do Ensino Fundamental. Os dados foram produzidos por meio da plataforma Classroom do GeoGebra e analisados juntamente com a vídeo-gravação da pesquisa. A análise indica possíveis contribuições do GeoGebra e da abordagem contextualizada de situações problemas para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

Context: an important area of research in educational mathematics is social communicative practices in classroom organization. Objective: to locate and analyse the forms of introduction and development of variation in teaching situations. Design: using a qualitative-interpretive approach, specifically an ethnographic study, for the analysis of socially shared practices among teachers, when they use explanation in the classroom and its correlation in the extended classroom. Environment and participants: the research participants were three professors (one physicist and two mathematicians) who taught the subject mathematics i. On average, their groups consisted of 37 students. Data collection and analysis: information was collected through audio-recorded and transcribed classroom observations. A detailed sequential study was carried out on teaching situations to describe the work done in each intervention that precedes or proceeds to yet another situation and thus construct the categories of analysis. Results: due to the interactive nature, the construction of explanations is seen as an object of analysis and this implies that the minimum units are sequences of interactions, since the construction of discursive resources and meanings for variation was addressed. Conclusions: during the classes we recorded different types of explanation, models in which the notion of variation is modelled, the teaching representations when explaining the contents through numerical, algebraic, and natural language representation.

O estudo da Álgebra constitui um espaço bastante significativo no currículo escolar brasileiro e tem por objetivo possibilitar que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização. A pesquisa apresentada neste texto tem o objetivo de estudar como a Álgebra é compreendida por professores de Matemática do Ensino Fundamental II. Trata-se de uma pesquisa qualitativa, de abordagem fenomenológica, desenvolvida junto a um grupo de professores da rede particular de ensino de São José dos Campos, no estado de São Paulo. A análise dos dados revelou três modos pelos quais estes professores compreendem a Álgebra: sua importância no contexto escolar, as dificuldades dos estudantes que se revelam nas aulas de Álgebra e o pensamento algébrico.

O presente artigo tem por objetivo discutir a viabilidade do uso de quatro atividades pedagógicas voltadas para crianças da Educação Infantil – EI - (4 e 5 anos). Trata-se de uma proposta de ação pedagógica com o intuito de contribuir para o desenvolvimento do raciocínio funcional na Educação Infantil. Entende-se que a Educação Infantil, como primeira etapa da Educação Básica, precisa proporcionar às crianças contatos inicial com as diferentes formas de linguagens e o raciocínio funcional é uma delas. Os procedimentos didático-metodológicos relatados no estudo promovem uma discussão das possibilidades presentes em quatro atividades, as quais foram inseridas no contexto do padrão em sequência e são apresentadas por meio de dois settings diferentes: papel e lápis e material manipulativo. A análise a priori das atividades considera três etapas: descrição das atividades, expectativa com a atividade e ação pedagógica do professor. Espera-se contribuir para a construção de novas visões e estratégias pedagógicas na introdução precoce do raciocínio funcional. Nessa direção, espera-se ampliar as discussões sobre a Early Algebra, em geral, e o raciocínio funcional, em particular, para a Educação Infantil, tema ainda muito pouco discutido no Brasil, em especial nesse nível da Educação Básica.

Neste artigo, relatamos uma experiência no contexto de um curso de formação continuada com professores acerca do desenvolvimento dos conhecimentos didáticos da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental. O objetivo deste estudo é analisar as compreensões de dois professores sobre como os alunos podem desenvolver o pensamento algébrico mediante a resolução de tarefas com generalização de padrões. Assim, adotamos o Labor Conjunto, proposto na Teoria da Objetivação – TO, como metodologia, visando destacar os processos de objetivação e subjetivação cujos sujeitos envolvidos passaram em um dos encontros do curso. A produção dos dados ocorreu a partir da videogravação, particularmente nos apontamentos dos professores sobre um dos problemas do material de leitura. Dentre os resultados, sublinhamos as compreensões dos professores referentes aos três vetores do pensamento algébrico (analiticidade, representação semiótica e indeterminação) que os alunos podem mobilizar para alcançar a generalização algébrica. Em suma, acreditamos que a metodologia adotada foi indispensável para a aprendizagem coletiva na modalidade on-line, no sentido de propiciar um ambiente de debate e reflexão, seguindo os princípios da ética comunitária (compromisso, responsabilidade e cuidado com o outro) preconizados na TO.

En este estudio exploratorio se analizan las respuestas de 75 estudiantes chilenos de Educación Media a la tarea de realizar juicios de asociación en tablas de contingencia 2x2 con variables cualitativas. Esto con el objetivo de identificar las concepciones iniciales que tienen del concepto de asociación, las estrategias que utilizan para justificar su respuesta y los errores que presentan en estas. Las justificaciones que dieron los estudiantes se clasificaron según su formalidad y con base en las categorías mencionadas por Estepa y Batanero (1995); además, se identificaron los conflictos semióticos señalados en un estudio previo por Cañadas, Batanero, Estepa y Arteaga (2013a). Como resultado, se identifican pocos estudiantes que logran responden a la tarea haciendo uso de las frecuencias o probabilidades, la presencia de conflictos semióticos como la concepción causal y la concepción determinista, y una alta cantidad de estudiantes de primeros años que no logra responder a la tarea.

Este artigo traz um recorte de uma pesquisa de mestrado que discute o pensamento algébrico nos anos iniciais do ensino fundamental. O presente recorte traz especificamente a análise da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) de Matemática para os anos iniciais do ensino fundamental a respeito do pensamento algébrico, tendo os estudos de Blanton e Kaput como referencial teórico. É uma pesquisa qualitativa, do tipo análise documental, que se pautou, principalmente, em relacionar as habilidades de Matemática propostas no documento às categorias do pensamento algébrico apresentadas no referencial teórico, analisando quantidade, distribuição e conteúdo das habilidades relacionadas a cada categoria. A análise mostrou que o documento apresenta elementos do pensamento algébrico nos anos iniciais, no entanto, além de não abranger todas as categorias propostas pelo referencial, ainda apresenta um desequilíbrio entre as categorias abrangidas. Sendo assim, destaca-se a importância de o professor atuante nos anos iniciais do Ensino Fundamental identificar os potenciais e as limitações do documento.

Este artigo apresenta uma proposta de tarefa voltada para a sala de aula de matemática, no intuito de auxiliar/orientar o professor na promoção de discussões coletivas na educação básica, com foco nos anos finais do ensino fundamental e ensino médio. Para o seu desenvolvimento, utilizamos a trajetória hipotética de aprendizagem como suporte metodológico para a organização do planejamento da aula proposta. Pretendemos analisar como o trabalho com discussões coletivas em sala de aula pode contribuir para a promoção do pensamento algébrico com os alunos, principalmente no que tange ao pensamento funcional. Esperamos contribuir para a prática docente em sala de aula, com possíveis orientações para os professores, de modo a auxiliar nos processos de ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos.

Esse texto trata de um artigo teórico que tem por objetivo apresentar uma caracterização de pensamento algébrico. Acreditamos que esse artigo seja relevante pelo fato de não existir um consenso entre os pesquisadores sobre uma definição de pensamento algébrico, como nos coloca Radford (2006). Diante disso, resolvemos construir nossa caracterização dessa forma de pensar levando emconsideração três perspectivas diferentes, a de Rômulo Lins, a de James Kaput e a de Luis Radford, três pesquisadores que desenvolveram trabalhos significativos sobre o tema. Após nossas análises, acreditamos que o pensamento algébrico é composto pelas seguintes características: “estabelecer relações”; “modelar”; “generalizar”; “operar com o desconhecido”; e “construir significado”.

Este artigo apresenta um estudo a respeito da manifestação do pensamento algébrico elementar realizado em uma escola pública municipal de Apucarana - PR. Para tanto, assumimos a Early Algebra como área de pesquisa e tivemos como objetivo identificar, analisar e discutir características do pensamentoalgébrico elementar nas produções escritas de oito tarefas da Early Algebra aplicadas a estudantes do 5° Ano do Ensino Fundamental I. Concluímos, a partir das respostas, indagações e afirmações dos estudantes durante a aplicação das tarefas, que houve manifestação de pensamento algébrico elementar, pois os estudantes notaram e ousaram exprimir operações aritméticas das tarefas, bem como, expuseram seus pensamentos, mostrando que, mesmo não tendo habilidades com uma linguagem simbólica algébrica, têm condições de trabalhar aspectos relacionados ao pensamento algébrico elementar. Além disso, construímos, com base nas resoluções das tarefas propostas pelos estudantes, cinco categorias que refletem as características do pensamento algébrico elementar apresentadas: estabelecimento derelações/comparações entre as informações da tarefa; utilização de diferentes notações/representações; generalização; compreensão de propriedades matemáticas importantes e regularidades.

Esse artigo traz reflexões sobre uma formação continuada, parte de uma pesquisa qualitativa, que teve por objetivo investigar os saberes docentes (re)construídos por professores do Ensino Fundamental, por meio do estudo de padrões e generalizações com enfoque de uma matemática para o ensino. Destaca-se nessa pesquisa o papel dos saberes que emergem da prática para construção de saberes próprios da profissão docente. O estudo baseou-se em teorias que valorizassem a apropriação de um saber matemático para o ensino, em um processo coletivo e colaborativo de formação. Os relatos dos professores nas discussões coletivas revelaram que eles, em sua maioria, se apropriaram de uma cultura matemática referente ao conteúdo de padrões e generalizações, pois conceitos relacionados a esses conteúdos e às ideias subjacentes surgiram das reflexões da prática docente e das discussões das problematizações propostas. Ao enfatizar processos de colaboração e investigação, essa formação continuada proporcionou, dentro de um contexto histórico, social e cultural, a (re)construção de novos saberes de uma Matemática para o ensino da Álgebra. This article brings reflections on continuing teacher training, part of a qualitative research that aimed to investigate the teaching knowledge (re) constructed by elementary school teachers through the study of patterns and generalizations focusing on mathematics for teaching. Stands out In this research, the role of the knowledges that emerge from practice, for the construction of specifics knowledges of teacher profession. The study based on theories that value a mathematics knowledge for teaching, in a colletive and colaborative process. The teachers reports in the colletive discussion revealed that them, in their majority, appropriated of a mathematics culture referring to the content of patterns and generalizations, since concepts related to these contents and the underlying ideas emerged from their teachers practice reflections and from proposed problematizations discussions. To emphasize collaboration and investigation this teacher training process provided, within a historical, social, cultural context, the (re) construction of new mathematics knowledge for teaching.

Neste trabalho, apresentamos algumas produções oriundas de um minicurso realizado em um evento direcionado a licenciandos e professores de matemática da Educação Básica. Destarte que, apenas estudantes realizaram inscrição nesta atividade. A proposta do minicurso constituiu-se a partir de um estudo do trânsito entre as diferentes representações vetoriais nos domínios numérico, algébrico e geométrico, subsidiado pelo software GeoGebra, com o intuito de apontar caminhos para a instauração de pressupostos do emergente Paradigma de Questionamento do Mundo, cujos pilares se assentam no despertar de uma visão prospectiva que se opõe ao Paradigma de Visitação de Obras. Nesta perspectiva, tomamos como aporte teórico a Teoria Antropológica do Didático – TAD, a qual possui um dos fundamentos centrado nas análises das atividades didáticas matemáticas em torno de uma modelação praxeológica pontual, por meio da interação entre os blocos prático e teórico. As atividades foram planejadas e desenvolvidas contemplando-se tarefas que geralmente são tratadas em aulas ou avaliações sobre a teoria de vetores no plano, objetivando-se apontar direções para integrar o software às aulas que abordam a álgebra vetorial. Em termos de resultados, identificamos que os participantes abandonaram a postura estática e coadjuvante imposta no modelo tradicional de ensino e assumiram um papel protagonista nas atividades desenvolvidas, tanto no ambiente “papel lápis” quanto no âmbito virtual, contribuindo, desta forma, com a formação de futuros professores de matemática que questionem e não apenas visitem obras.

Este artigo apresenta uma análise das respostas dadas por alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental no que tange os conceitos algébricos. O objetivo desse trabalho foi analisar as estratégias de resolução dos alunos frente a duas situações que contemplam o contexto das equações, dando enfoque aos conceitos algébricos que emergem dessas resoluções. A metodologia empregada para tal fim foi baseada no método clínico piagetiano em que os alunos eram indagados quanto às suas respostas no momento em que respondiam às questões do instrumento diagnóstico aplicado. A pesquisa revelou que alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental conseguem resolver situações com ênfase nas equações e na relação funcional. No entanto, sentem dificuldades de fazer algumas relações entre elementos presentes nos problemas que envolvem as equações.

Este artículo describe la experiencia educativa y didáctica llevada a la práctica a lo largo de cuatro cursos en dos Colegios Salesianos “San Juan Bosco” y “San Isidro” y en el IES San Benito de Tenerife (España). El proyecto parte de situar al alumnado como protagonista de su propio aprendizaje, formando una gran red de aprendizaje colaborativa que se apoya en la construcción de un blog y un canal de YouTube con materiales elaborados por más de 400 alumnos y alumnas de E.S.O. y bachillerato, y organizados por contenidos curriculares, que ha favorecido un aprendizaje de las matemáticas entre iguales. Esta labor se ha ido complementando con nuevas propuestas, como diversas experiencias de aprendizaje basado en proyectos, una sistemática de aprendizaje basado en problemas inspirada en Miguel de Guzmán, o un programa en YouTube donde dar a conocer las matemáticas en entornos cotidianos.

Esse artigo objetivou identificar as ideias de álgebra escolar de licenciandos em matemática. Para isso aplicamos um questionário a vinte alunos do curso de licenciatura em Matemática de uma universidade pública localizada em Recife-PE. As ideias de álgebra que se destacaram nas respostas dos sujeitos foram: campo da matemática; manipulação de expressões e resoluções de equações; aritmética generalizada e uso de variáveis. Além disso, muitos dos sujeitos reconhecem a importância do ensino de álgebra na educação básica. Entretanto, muitos não conseguem relacionar o ensino de álgebra com o desenvolvimento do pensamento algébrico e que o caminho para isso deve ser o trabalho com as noções algébricas desde os primeiros anos da educação básica com atividades, por exemplo, que envolvam a generalização de padrões e a noção de equivalência, como indicam as atuais orientações curriculares.

Neste artigo discutimos os conhecimentos profissionais docentes do Professor que Ensina Matemática para o desenvolvimento do pensamento algébrico nos anos iniciais, sobretudo relativos à generalização de padrões em sequências recursivas, que foram mobilizados por professoras-pesquisadoras em um grupo de estudos reconhecido pelos integrantes como colaborativo. Este artigo é parte de uma pesquisa qualitativa longitudinal desenvolvida em nível de doutorado com característica de pesquisa-formação. As discussões e análises foram pautadas na Pesquisa narrativa e sinalizam que este espaço de formação oportunizou uma dinâmica que favoreceu a interação e a comunicação matemática entre Futuros Professores, Professores da Universidade e Professores que Ensinam Matemática em diferentes segmentos da Educação Básica; a ressignificação da ideia de generalização de padrões em sequências recursivas articulada às questões da profissão docente e à reflexão sobre a própria prática dos participantes.

Neste texto apresentamos um relato da experiência vivida com alunos do 7º ano do Ensino Fundamental ao realizar atividades vinculadas a um projeto do Núcleo de Ensino, no ano de 2019. O objetivo no projeto é explorar, por meio do game DragonBox Álgebra 12+, conteúdos de álgebra, mais especificamente a resolução de equações do primeiro grau. Registramos as atividades dos alunos e, mediante o rigor da pesquisa fenomenológica, fizemos a análise de dados. Evidenciou-se a relevância das metáforas do game para explorar questões essenciais ao início da aprendizagem algébrica, como o princípio da igualdade, a ideia relativa aos números e operações opostas e o elemento neutro da adição e da multiplicação. A vivência com os alunos mostra que o game favoreceu a exploração dos conteúdos que lhes foram significativos, permitiu a interação entre eles e o diálogo com o professor. Para exemplificar o que se evidenciou na vivência, trazemos três cenas significativas, nas quais se pode ver o modo pelo qual o aluno vai atribuindo significado à igualdade, identificando termos semelhantes e compreendendo a operação inversa.

Apresentamos parte de pesquisa sobre o ensino e a aprendizagem da fatoração numérica e algébrica, especificamente, o estudo da ecologia do seu ensino entre as décadas de 1960 a 2020, analisando uma coleção para cada década e duas coleções atuais que seguem as orientações da BNCC. Trata-se de uma pesquisa cuja metodologia é definida por Lüdke e André como documental, tendo o referencial teórico centrado na Teoria Antropológica do Didático (TAD), para o qual optamos pelas noções de praxeologia e ecologia, segundo Chevallard, que alicerçaram a metodologia da pesquisa por meio da análise dos últimos documentos oficiais nacionais norteadores do ensino brasileiro (Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN e Base Nacional Comum Curricular - BNCC) e de livros didáticos das décadas consideradas. Os resultados mostram uma ecologia bastante estável, se desconsiderarmos a década de 1960, que representa a matemática moderna, pois as praxeologias privilegiadas nas décadas anteriores à introdução dos PCN estão centradas no uso de técnicas e um número reduzido de situações contextualizadas, que refletem apenas uma nova roupagem, que não a torna uma real situação de contexto. Após os PCN e a BNCC, observamos que a ênfase é dada às situações-problema contextualizadas, o que reduz as aplicações da fatoração algébrica no estudo das frações algébricas. Consideramos importante ressaltar que o estudo das frações algébricas perde espaço a partir de 1998, o que indica a necessidade de maior atenção pelos professores do ensino médio e ensino superior, em particular quando do estudo de Cálculo Diferencial e Integral.

In this article, we present the results of the evaluation phase of a training intervention with primary education prospective teachers on the subject of proportionality. The focus is on developing the epistemic and cognitive analysis competence of mathematical practices in problem solving. The prospective teachers first solve a mathematical task of inverse proportionality in several ways, then identify the mathematical practices employed in the resolutions, the objects and meanings, the difficulties, the levels of algebrization involved, and finally, perform the analysis of two solutions proposed by school pupils to a problem of direct proportionality. The results indicate that the future teachers’ knowledge about proportionality present deficiencies that can hinder the teaching of the subject. Likewise, it is concluded that developing the required professional knowledge and skills requires the application of longer training interventions.

A presente pesquisa tem como objetivo apresentar uma reflexão de atividades utilizando os recursos do software GeoGebra para o ensino de Matemática sob o ponto de vista das Habilidades e Competências relativas ao ensino básico, limitando-se ao campo algébrico com ênfase no conteúdo de operações elementares com monômios e polinômios. Com este estudo, podemos observar que o GeoGebra é uma ferramenta pedagógica significativa no desenvolvimento de habilidades e competências mas que demonstra limitações. A exploração da potencialidade, bem com as limitações deste recurso, principalmente no campo algébrico, devem ser refletidas e incorporadas ao planejamento como forma de consolidar o conhecimento.

This text presents partial results of a research in development that aims to identify the purposes of Algebra in the formation of teachers in the Normal School of São Paulo, from 1880 to 1930. In this text, in particular, it is considered a specific period of time frame of research: mid-1890s; and, in order to analyse the first programs of this discipline for the training of primary teachers, documents such as legislation, a compendium of Algebra and programs of teaching of the normal and secondary course are mobilized. It was found that, in this period, the teaching of Algebra for the future teachers was more restricted than that offered in the secondary course. This reduced format of the Normal School program may be associated with the duration of normal course studies, shorter than the secondary course, but mainly, for the different purposes of the courses.

EnglishIn this article, a overview of studies involving Mathematical Modeling and Algebra, focused on Basic Education, is presented with the objective of analyzing how the researches use Mathematical Modeling to aid in Algebra classes. For that, a search of dissertations and theses on the themes was carried out, in the Catalog of Thesis and Dissertations of the Coordination of Improvement of Higher Level Personnel (CAPES), and from that, a refinement and analysis of the researches was carried out. It was observed how these works dealt with algebra contents and how mathematical modeling helped them in the process. As a result it can be noticed that there are researches relating Mathematical Modeling with algebra contents, and most of them approach the content of functions with focus in High School. Keywords: Mathematical Modeling. Algebra. Overview. portuguesNesse artigo, apresenta-se um panorama de estudos que envolvem Modelagem Matematica e Algebra, voltados para a Educacao Basica, com o objetivo de analisar como as pesquisas utilizam a Modelagem Matematica para auxiliar nas aulas de Algebra. Para isso, foi realizada uma busca de dissertacoes e teses acerca dos temas citados, no Catalogo de Teses e Dissertacoes da Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nivel Superior (CAPES), e a partir disso, foi realizado um refinamento e analise das pesquisas encontradas. Observou-se como esses trabalhos abordavam os conteudos de Algebra e de que maneira a Modelagem Matematica os auxiliou no processo. Como resultado, pode-se perceber que ha pesquisas relacionando Modelagem Matematica com conteudos de Algebra, os quais em sua maioria abordam o conteudo de funcoes com enfoque no Ensino Medio. Palavras-chave: Modelagem Matematica. Algebra. Panorama.

O presente artigo tem como propósito apresentar resultados de uma prática em que foram problematizadas questões que contemplam a segunda concepção da álgebra conforme descrita por Usiskin (1995). O desenvolvimento das atividades envolveu docentes dos Anos Iniciais, em seis cidades localizadas no Vale do Taquari, interior do Rio Grande do Sul. Metodologicamente, trata-se de uma pesquisa qualitativa, com características de estudo de caso. Além de analisados e descritos por atividade, os dados foram gerados por meio de materiais contemplando as respostas dos docentes, gravações, fotografias. Os resultados apontam que: a) na resolução dos problemas, os docentes utilizaram diferentes estratégias; entre elas, desenhos, escritas, esquemas, cálculos usando a aritmética; b) alguns docentes, inicialmente, resolveram as questões na forma algébrica em detrimento do uso do material didático manipulável disponibilizado; c) as atividades algébricas contemplando a segunda concepção de Usiskin (1995) podem ser exploradas com alunos dos Anos Iniciais, concebendo ideias de pensamento pré-algébrico.

O presente artigo apresenta o recorte de uma investigação a respeito do Labor Comum a partir de uma situação proposta no contexto da Early Álgebra denominada “Quantos telefonemas?”. A pesquisa está fundamentada nos pressupostos teóricos e metodológicos da Teoria da Objetivação (TO), proposta por Luis Radford. A TO se insere enquanto teoria de ensino e aprendizagem de matemática como uma abordagem semiótica com enfoque sociocultural. Os objetivos da pesquisa são os meios semióticos mobilizados na situação e indícios de características do Pensamento Algébrico. A busca por evidências relacionadas ao Labor Comum é analisada com base nas relações dialéticas entre estudantes e pesquisadora e dos diferentes meios semióticos (gestos, artefatos, representações) produzidos por estudantes de 6º ano de uma escola da Rede Pública, situada no Norte do estado do Paraná. Considerando os movimentos dialéticos e a mobilização e produção dos meios semióticos, inferimos que existem indicativos dos processos de objetivação e subjetivação de maneira simultânea enquanto constituintes do Labor Comum, além de uma característica do Pensamento Algébrico.

Presentamos un estudio descriptivo y exploratorio en el que se analizan los diferentes niveles de generalización que manifiestan ocho estudiantes de cuarto curso de primaria en una entrevista semiestructurada, a la vez que se reconoce la influencia, en tales manifestaciones, de los estímulos efectuados a los alumnos por parte de la entrevistadora., We present a descriptive and exploratory research in which we analyze the different levels of generalization demonstrated by eight fourth grade students of primary school in a semistructured interview, at the same time we recognize, in the students’ manifestations, the influence of the stimuli made by the interviewer to the students., El presente trabajo se ha realizado dentro del proyecto de investigación del Plan Nacional I+D con referencia (EDU2013-41632-P, EDU2016-75771-P), financiados por el Ministerio de Economía y Competitividad de España; y en el seno del grupo de investigación “Didáctica de la Matemática. Pensamiento Numérico” (FQM-193) de la Universidad de Granada, perteneciente al Plan Andaluz de Investigación, Desarrollo e innovación de la Junta de Andalucía.

Los estudiantes al ingresar a educación superior arrastran carencias algebraicas, estas se perpetúan en su formación presentando dificultades en la manipulación algebraica, la cual es requerida para enfrentar asignaturas como cálculo y de especialidad, de aquí la necesidad de identificar el nivel de sentido estructural que ellos poseen.

A História da Matemática (HM), as Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação (TDIC) e Investigação Matemática (IM), dentre outras, são tendências em educação matemática cujas pesquisas tem apontado para argumentos favoráveis de uso no ensino-aprendizagem de matemática. Há ainda a possibilidade de uni-las em prol do ensino e aprendizagem. Em se tratando do ensino básico, recomenda-se que as propostas sejam apoiadas nos documentos oficiais, dentre eles a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) que igualmente recomenda essas tendências e ainda sua conexão. Deste modo, nesse artigo, propomos a aliança entre HM, TDIC via IM mediante a apreciação de parte de um produto educacional, para abordagem das unidades temáticas de Álgebra e Geometria mediante os objetos de conhecimentos de plano cartesiano e transformações geométricas como simetria, tratados com abordagem histórica de personagens, obras e documentos como Nicole Oresme, La Géométrie de Descartes, o Problema de Pappus, a pintura rupestre do Abrigo de Rock El Buey, observação das esfinges esmaltadas do palácio de Dario em Susa, entre outros. Para isso, nossa pesquisa adota abordagem qualitativa com objetivo exploratório de modo a introduzir constructos que fundamentam a proposta e apresentar exemplo específico que caracteriza a aliança supracitada. Como resultado encontramos objetos de conhecimentos comuns as unidades temáticas supracitadas podendo ser abordados numa investigação-histórica-com- tecnologia mediante produto educacional, concluindo que esta proposta consiste numa alternativa para abordagem matemática na educação básica na direção da conjunção entre HM, TDIC e IM.

Este artigo apresenta os resultados de uma pesquisa sobre as manifestações de alunos dos Anos Iniciais em relação à potencialidade das tarefas exploratório-investigativas de ensino-aprendizagem-avaliação para o desenvolvimento do pensamento algébrico. O aporte teórico baseou-se nos debates a respeito da avaliação para a aprendizagem e das tarefas exploratório-investigativas, no campo do pensamento algébrico. As atividades investigativas foram desenvolvidas em uma escola pública de ensino regular, localizada em um bairro periférico da cidade de Belém-PA, em uma turma do 4º ano, composta por 24 estudantes. O percurso investigativo foi de natureza qualitativa, por meio da análise do desenvolvimento de tarefas de ensino-aprendizagem-avaliação, realizadas em sala de aula, por grupos de estudantes. As tarefas mostraram-se propícias para serem trabalhadas nos Anos Iniciais e pertinentes para articular ensino-aprendizagem-avaliação, por meio de feedback direcionado para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

Context: One of the research challenges related at the professional learning of mathematics teachers is to understand the importance of the role and actions of the teacher educator during a formative process. Objective: This research seeks to understand what the role was and how the actions of the teacher educator took place, in a process of continuing education with teachers of basic education, about the teaching of patterns and regularities, with a view to providing learning opportunities to the teachers involved. Design: It is a qualitative-interpretative study aligned to an intervention research. Settings and Participants: We developed the research in a formative process involving 33 mathematics teachers and future teachers, and 3 teacher educators. Data collection: We use data from audio and video recordings of planning and enacting of the formative process, and protocols from teachers’ tasks and planning from teacher educators. Results: We found that teacher educators, since planning the formative process, sought to provide opportunities for participating teachers professional learning, since he/she structured the process through professional learning tasks, using videos of mathematics lessons to highlight the classroom practice, as well as encourage discussions among teachers about patterns and regularities in and for the teaching of algebra. Conclusions: We identified that teacher educators played a mediating role in the orchestration of the discussions and an articulator between mathematics and didactics, thus providing opportunities for professional development and the learning of teaching algebra.

El trabajo algebraico en los distintos niveles educativos constituye una problemática de gran interés que ha sido abordada desde diferentes perspectivas. Con el propósito de favorecer la construcción de sentidos en relación con el álgebra escolar, hemos diseñado una propuesta para introducir el lenguaje algebraico desde el establecimiento de relaciones entre variables en séptimo grado de la escuela primaria (estudiantes de 11/12 años), atendiendo a los aportes de la perspectiva del Álgebra Temprana, Sessa (2005) y Arcavi (2005). En este artículo presentamos el análisis de la implementación de una de las tareas, focalizando el estudio en el rol de los intercambios producidos en el aula y las posibilidades de producir significado en relación con las nociones abordadas. Algebraic work at different educational levels constitutes a problem of great interest that has been approached from different perspectives. With the purpose of favoring the construction of senses in relation to school algebra, we have designed a proposal to introduce algebraic language from the establishment of relationships between variables in seventh grade of primary school (11/12 year old students), attending to the contributions of the perspective of Early Algebra, Sessa (2005) and Arcavi (2005). In this article we present the analysis of the implementation of one of the tasks, focusing the study on the role of the exchanges produced in the classroom and the possibilities of constructing meanings in relation to the notions addressed.

Background: Several studies have shown that many preservice teachers (PTs) who teach in the early years have a superficial knowledge about repeating patterns (RPs), which affects their knowledge about children’s algebraic thinking. Objective: This article aims to understand PTs’ algebraic thinking and their ability to notice preschoolers algebraic thinking and how these two domains articulate within a teacher education experiment. Design: The study follows a qualitative methodology based on participant observation, complemented by document collection. Setting and participants: The study stems from a teaching experiment carried out in a school module focused on patterns and algebra of a degree in basic education, with two pairs of PTs as participants. Data collection and analysis: The data come from the written productions and discussions between the elements of each pair of PTs within the scope of the tasks proposed in the teacher education course, adopting an original analysis framework. Results: The results reveal that the PTs successfully identify the structure of the RPs and the general position of each term; however, one of the pairs still find difficulties in fully understanding that mathematical object. The pairs attend to relevant aspects of children’s algebraic thinking, although sometimes with limited interpretation. Conclusions: This study highlights the importance of creating opportunities in initial teacher education for PTs to develop their algebraic thinking from an early algebra perspective and to analyse, in this context, the preschoolers’ work.

This study analyses the early algebra tasks present in a set of eight Primary Education Chilean textbooks of wide dissemination. The methodology used involves a qualitative approach of descriptive character, by means of the content analysis technique. The results obtained show a variety of mathematical tasks with a non-homogeneous distribution, with a predominance of rule-based relations tasks, more specifically, tasks involving the understanding of patterns, followed by known-unknown relations tasks and a minor presence of arithmetically-situated relations tasks. It concludes that it is necessary to provide training experiences to teachers that allow them to deepen in the analysis of mathematical tasks that promote early algebraic thinking to achieve an adequate selection and implementation of such tasks on the one hand, and on the other, to investigate the mathematical activity that students must develop for its resolution En este estudio se analizan las tareas de álgebra temprana en una colección de ocho libros de texto de Educación Primaria chilenos, de amplia difusión. Para la investigación se ha seguido una metodología cualitativa, de carácter descriptivo, a partir de la técnica de análisis de contenido. Los resultados obtenidos muestran una variedad de tareas matemáticas con una distribución no homogénea, predominando las tareas de relaciones basadas en reglas, más específicamente, tareas que involucran la comprensión de patrones, seguidas de tareas de relaciones conocidas-desconocidas y una presencia menor de tareas de relaciones aritméticas situadas. Se concluye que es necesario brindar experiencias de formación al profesorado que les permita, por una parte, profundizar en el análisis de tareas matemáticas que promuevan el desarrollo del pensamiento algebraico temprano para alcanzar una adecuada selección e implementación de dichas tareas y, por otra parte, indagar en la actividad matemática que deben desarrollar los estudiantes para su resolución

Dada a publicação da Base Nacional Comum Curricular – BNCC para o Ensino Fundamental em dezembro de 2017, a finalidade do ensino de álgebra passou a ser o desenvolvimento do pensamento algébrico. Diante disso, este trabalho teve por objetivo investigar se problemas propostos sobre sequências recursivas, que configura um dos conteúdos que compõem a unidade de Álgebra, estão sendo explorados em livros didáticos dos anos finais do Ensino Fundamental de modo a contribuir com o desenvolvimento desse modo de pensar. Fundamentada nas características do pensamento algébrico de Almeida e Câmara (2017) e nos elementos essenciais de um problema segundo Malaspina (2017), entende-se este estudo como sendo de abordagem qualitativa e de cunho documental, em que se adotou como metodologia para análise dos problemas a Análise de Conteúdo da Bardin (2011). A partir do estudo realizado verificou-se que há indícios de uma reorientação dos livros didáticos do Ensino Fundamental no sentido de uma educação algébrica que visa o desenvolvimento do pensamento algébrico, conforme orienta a BNCC.

In this paper the author argues for the need for the introduction of modern algebra in the mathematics curricula for secondary education, highlighting its pedagogical importance and social aspects implicit in the initiative. The new achievements of this important area of human knowledge are fundamental to the country can overcome the barrier of cultural and economic underdevelopment. En el presente trabajo el autor argumenta a favor de la necesidad de la introducción del álgebra moderna en los programas de estudio de matemática para la enseñanza secundaria, destacando su importancia pedagógica y el aspecto social implícito en dicha iniciativa. Las nuevas conquistas de esta importante área del conocimiento humano son fundamentales para que el país logre superar la barrera de su subdesarrollo cultural y económico.

O presente artigo é resultado de um mapeamento construído em uma perspectiva qualitativa e buscou identificar e analisar as publicações referentes ao ensino de Álgebra, nos anos finais do Ensino Fundamental, na tentativa de compreender suas concepções e os reflexos desses trabalhos para o processo de ensino e aprendizagem em sala de aula. Trata-se de uma pesquisa vinculada ao laboratório de estudos e pesquisas em educação matemática, do Campus VII da Universidade do Estado da Bahia, projeto financiado pelo Programa de Apoio aos Laboratórios Acadêmicos e parte de pesquisa vivenciada por uma bolsista do Programa Afirmativa de Pesquisas e Extensão. Constituiu-se enquanto espaço de investigação e produção de dados os anais das três últimas edições do Encontro Baiano de Educação Matemática, especificamente as Comunicações Científicas e Relatos de Experiência publicados. Os dados produzidos evidenciaram que essa área de estudo é um campo fértil de discussões, sobretudo, pelo número reduzido de publicações que tratam da temática pesquisada.

Background: The general guidelines of the prescribed Mathematics curricula in force in Brazil and Portugal emphasise the use of digital technologies for Mathematics Education to meet the demands of the globalised world. Objectives: To analyse perspectives expressed in the documents and speeches that circulated in the reform processes of the curricular guidelines. Design: Comparative research for the analysis of recent reforms concerning the recommendations on the use of technologies. Setting and participants: Literature review and documentary analysis of the curriculum guidelines in Brazil for the final years of elementary school in Brazil and for the last year of the 2nd cycle and the entire 3rd cycle in Portugal. Data collection and analysis: Qualitative documentary analysis, the categories of analysis emerged from the literature review and trends that are under discussion and will compose the reference framework of the Mathematics Project 2030. Results: In the Digital Literacy category, we observed an emphasis on digital applications aiming at changing the framework, representation and unclear communication of the real objectives; and in the Computational Thinking category, we observed a focus on building algorithms in a limited and very specific way and using language, aiming at the development of mathematical logical thinking in structuring digital applications, in formulating and solving problems. Conclusions: The study raised the need to discuss issues related to the clear definition of objectives, the emphasis on the adoption of software primarily for illustration, limits on the connection between computational thinking and algebraic language, and the focus on rigour in the development of skills for control and management.

Este estudo foi desenvolvido a partir da implementação de uma tarefa[1], com alunos do 6º ano do Ensino Fundamental, com a intenção de promover o desenvolvimento do pensamento algébrico destes alunos. O objetivo do presente artigo é analisar como a exploração de sequências e regularidades pode contribuir para a mobilização da capacidade de generalização matemática e para a sua expressão em linguagem natural. A professora[2] assumiu o papel de orientadora, possibilitando aos alunos um papel ativo na compreensão de suas formas de pensamento e na compreensão das explicações dos demais alunos. Como resultado da implementação da tarefa os alunos puderam discutir coletivamente ideias matemáticas, explorar diferentes estratégias de resolução, generalizar ideias matemáticas partindo de um conjunto de casos particulares e sistematizar uma regra. [1] Neste artigo assumimos o termo tarefa para nos referir às tarefas matemáticas. [2] Autora desse trabalho.

Esta pesquisa teve como objetivo analisar a produção de inferências em estratégias de leitura envolvidas na resolução de atividades de matemática. A abordagem é qualitativa e foi desenvolvida com alunos do 8º e 9º anos do Ensino Fundamental de uma classe multissérie da região campesina do Município de Santa Maria das Barreiras-Pará, utilizando-se como instrumento de produção de dados o desenvolvimento de sequência didática. A estrutura das atividades consistiu em omitir informações matemáticas importantes do texto para levar os discentes à produção de inferências a partir da leitura. Os resultados apontam preponderância de acertos em estratégias de leitura que demandam produção de inferências elaborativas - complementam o sentido e têm a função de estender e completar as informações do texto - e menos nas que demandam inferências lógicas - partem de informações explícitas do texto e são indispensáveis ao processo de produção de sentidos. A conclusão é que o desenvolvimento de tarefas com foco no estímulo à atividade inferencial em contexto de interpretação textual nas aulas de matemática é promissora no sentido de promover nos alunos o alcance de determinadas habilidades matemáticas. Dentre estas, cita-se a de criar, interpretar e transitar entre as diversas representações pictóricas e simbólicas, para resolver problemas por meio de inequações, com compreensão dos procedimentos utilizados.

O livro O Desenvolvimento do pensamento algébrico na educação básica: compartilhando propostas de sala de aula com o professor que ensina (ensinará) matemática é fruto de um trabalho integrado de profissionais da educação que, em sua maioria, pertencem ao Grupo Colaborativo em Matemática (Grucomat) 2 . A obra é organizada pelas pesquisadoras Iris Aparecida Custódio, doutoranda do Programa de Pósgraduação stricto sensu em Educação da Universidade São Francisco (UFS), e Adair Mendes Nacarato, que é doutora em Educação pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) e possui vasta produção científica envolvendo, entre outros temas, a formação docente.

O artigo apresenta um recorte de uma pesquisa desenvolvida no município de Vacaria, no estado do Rio Grande do Sul, onde investigou-se a integração e divulgação de conhecimentos matemáticos na comunidade, a partir de um contexto educativo para a socialização de conceitos da educação básica, tendo em vista a aprendizagem social e, especificamente neste trabalho, o desenvolvimento do pensamento algébrico. Para a pesquisa qualitativa de investigação-ação foram utilizadas entrevistas dirigidas a comunidade participante e registros fotográficos com as resoluções das tarefas. As análises se apoiam sobre a Base Nacional Comum Curricular e as demandas cognitivas. As diferentes formas de aprender a aprender matemática, a mobilização, o interesse, os compartilhamentos dos conhecimentos matemáticos foram considerados, assim como as diferentes formas de resoluções e de raciocínio matemático empregado perante as tarefas apresentadas. As evidências apontam que os conhecimentos relacionados ao desenvolvimento do pensamento algébrico ofereceram empecilhos na interpretação e na compreensão da simbologia algébrica, visto que operar com letras e outros símbolos requerconhecimentos da linguagem algébrica para que se possa estabelecer generalizações, análises e resoluções. Também destacamos a importância da escola sobre o desenvolvimento de competências básicas.

El presente artículo tiene por objetivo exponer una caracterización de competencia algebraica articulada en niveles e indicadores de desarrollo. Dicha caracterización fue utilizada para el análisis de la práctica matemática realizada por profesores de matemáticas en servicio. De esta manera, a través de un estudio cualitativo de tipo exploratorio se indaga y describe la competencia algebraica manifestada por estos profesores que inciden en el nivel bachillerato mexicano (que atiende a estudiantes de entre 16 y 19 años). Los resultados sugieren que los docentes presentan inconsistencias al resolver tareas que demandan un nivel tres de competencia algebraica por lo que la articulación de programas formativos basadas en esta propuesta contribuirá al desarrollo de competencias algebraicas en los docentes de matemáticas.

Cet article porte sur les décisions didactiques prises par les enseignants de mathématiques et les facteurs qui peuvent les influencer. Nous nous situons au niveau secondaire en Andorre, contexte caractérisé par une diversité éducative particulière. Nous utilisons le modèle de décisions didactiques inscrit dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique (TAD) avec les niveaux de codétermination articulé avec la structuration du milieu de la théorie de situations didactiques (TSD). À partir du modèle de la transposition, nous centrons notre étude sur l’enseignement de l’algèbre et en particulier la résolution d’équations algébriques. Nous proposons un modèle de référence pour une analyse comparative sur l’enseignement des mathématiques dans le contexte étudié. Notre travail vise à étudier le facteur institutionnel dans le contexte particulier de l’enseignement des mathématiques en Andorre.

Este artigo apresenta os resultados de uma investigação voltada para o papel da congruência semântica na elaboração de problemas aditivos por alunos, à luz das ideias de Raymond Duval, relacionadas ao desenvolvimento do pensamento algébrico. A pesquisa foi realizada a partir da aplicação de um instrumento de coleta de dados a noventa e quatro alunos do sétimo, oitavo e nono anos de escolas públicas, com o objetivo de analisar a manifestação do fenômeno da congruência semântica na atividade de elaboração de problemas. Neste artigo, apresentamos uma análise das respostas dos alunos para uma questão que solicita a elaboração de problemas. Os problemas elaborados pelos alunos apresentam a estrutura do campo conceitual de problemas aditivos de Gérard Vergnaud. Os resultados encontrados evidenciaram que a essa proposta, além de apresentar contribuições para o desenvolvimento do pensamento algébrico, enfrenta o fenômeno da congruência semântica, que não pode ser ignorado. Para elaborar problemas, conforme a proposta de Duval, é preciso levar em consideração o fenômeno da congruência semântica, que se reflete diretamente na designação das relações algébricas oriundas dos encaminhamentos das soluções dos problemas.