Search

Bu tezde 6 tane küme topolojisi üzerinde durduk. Bunlar Hausdorff, Vietoris,Wijsman, Mosco, Fell ve Attouch-Wets topolojileridir. Önce Hausdorff uzaklığın tanımı ve özellikleri verildi ve Hausdorff uzaklığın metrik olma koşulları belirtildi. İkinci olarak açık kümelerin alt kümelerinin oluşturduğu ailelerle açık kümelerle kesişen kümelerin oluşturduğu aileleri alt taban kabul eden Vietoris topolojisi incelendi. Üçüncü küme topolojisi uzaklık fonksiyonlarının, noktasal yakınsaklığına karşılık gelen yakınsaklık olan Wijsman topolojisi üzerinde duruldu. Dördüncü küme topolojisi, Vietoris Topolojiye göre daha kaba olan Fell Topolojisi, Kuratowski yakınsaklık ile karşılaştırıldı. Beşinci olarak Kuratowski yakınsamadan daha az kısıtlayıcı bir yakınsama verildi ki bu bizi $ X $ uzayı sonsuz boyutta küme olduğu durumda bile kullanılabilecek Mosco küme topolojisine götürdü.Son olarak incelediğimiz küme topolojisi Attouch-Wets topoloji, kümelerin düzgün sınırlı dizilerinde bile Mosco yakınsama Hausdorff yakınsamaya indirgenemezken bu özelliği sağlayacak bir küme yakınsamasıdır. Son olarak da bu 6 topolojik uzayın birbiriyle ilişkisi gösterildi. In our thesis we focused on 6 set topologies. These are Hausdorff, Vietoris, Wijsman, Mosco, Fell and Attouch-Wets topologies.The definition and properties of Hausdorff distance are given.Later Hausdorff distance metrik conditions specified. Vietoris topology, which accepts families formed by subsets of open sets and families formed by intersecting open sets, was examined.The Wijsman topology is the topological characterization of a mode of convergence of sets, which is useful in applications and also is a tool in comparing other set convergences. We are referring to the convergence concept which corresponds to the pointwise convergence of the distance functions.Fell topology more rought than Vietoris topology examined and Fell Topology to Kuratowski convergence is compared.Generally given a less restrictive convergence than Kuratowski convergence. This led us to Mosco Topology, which can be used even when $ X $ space is infinite.Last Attouch-Wets topology uniformly bounded sequence of sets, Mosco convergence does not reduce to Hausdorff convergence. Finally, the relationship between these 6 hyperspace topologies is shown. 68

Doğa bilimlerinde ve ekonomide kullanılan matematiksel modellerin büyük çoğunluğu diferansiyel denklemler vasıtasıyla oluşturulurlar. Fakat yapılan kabuller çoğunlukla sistemin girdilerinin tam olarak bilindiği ve ölçümlerin kesin yapıldığı varsayımına dayalıdır. Bu tür modeller deterministik modeller olarak adlandırılır ve sistemin ancak kısıtlı bir betimlemesini yapabilirler. Olasılık teorisinin kullanılmasıyla bu modellerde ölçümlerden ve başlangıç koşullarından kaynaklanan belirsizlikler diferansiyel denklemlerde gürültü terimi ile ifade edilirler. Bu tür denklemlere stokastik diferansiyel denklemler denir.Bu tezde, stokastik diferansiyel denklemlerin daha iyi anlaşılması için gerekli ölçü teorisi, olasılık teorisi,stokastik süreç kavramları ile stokastik diferansiyel denklemlerin nümerik çözümlerini inceledik. The majority of mathematical models used in natural sciences and economics are created by differential equations. However, the assumptions made are usually based on the assumption that the inputs of the system are well known and the measurements are made. Such models are called deterministic models and can only provide a limited description of the system. By using probability theory, the uncertainties resulting from measurements and initial conditions in these models are expressed by the term noise in differential equations. Such equations are called stochastic differential equations.In this thesis, we have examined numerical solutions of stochastic differential equations with the theory of measure, probability theory, stochastic process, which are necessary for a better understanding of stochastic differential equations. 98

Bu yüksek lisans tezinde Hamel'in /cite{hame3} çalışması incelendi. Duallik teorisinin küme değerli fonksiyonlar üzerine bir uygulaması olarak Fenchel eşlenik teorisinden bahsedildi.Bir küme değerli konveks fonksiyonun ne olduğu ve böyle bir fonksiyonun has veya kapalı olma şartlarının neler olabileceğinden bahsedildi. Küme değerli fonksiyonlar için konveks analizin skaler duruma benzer kavramların elde edilmesi, özellikle de fonksiyonun sürekli afin minorantlarının noktasal supremumunun bir küme değerli has kapalı konveks fonksiyon olması durumu araştırıldı. Bu şekilde bir fonksiyonun Fenchel Eşleniği ve Moreau-Fenchel Teoremine uygunluğu değerlendirildi.Bir önsıralı, ayrık yerel konveks uzayın kuvvet kümesindeki değerlere sahip olan bir has kapalı konveks fonksiyonun küme değerli afin minorantlarının noktasal supremumu olduğu kanıtlandı. Küme değerli fonksiyonlar için yeni bir Legendre-Fenchel kavramı tanımlandı ve Moreau-Fenchel Teoremi ispatlandı. Örnekler ve uygulamalar verildi. Küme değerli konveks risk ölçüleri için bir dual temsil teoremi ifade edildi. In this thesis, Hamel's article was studied /cite{hame3}. Fenchel conjugate theory is taken as a point of view.A generalized condition of being convex for set-valued maps is recalled. Conditions of being proper and closed for such a set-valued mapping are also studied. The concepts of convex analysis for set-valued functions are obtained similar to do scalar case. It is given that a set-valued closed convex function can be interpreted as the point supremum of the continuous affine minorants of this functions. In this way, the suitability of a function to the Fenchel Conjugate and Moreau-Fenchel Theorem was evaluated.A preordered, discrete local convex space proved to be the point supremum of set-valued affine minorants of a unique closed convex function having values in the power set. A new Legendre-Fenchel concept for set-valued functions is defined and the Moreau-Fenchel Theorem is proved. Examples and applications were given. Among them, a dual representation theorem for set-valued convex risk measures was also given. 83

Tez (doktora) - Anadolu Üniversitesi, Anadolu Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı, Kayıt no: 470539, Bu çalışmada küme değerli dönüşümlerin optimizasyon yöntemleri incelenmiştir. Kümeleri azaltma (set less) bağıntısına göre verilen küme değerli optimizasyon problemleri için Gerstewitz fonksiyonu kullanılarak vektörizasyon fonksiyonları verilmiştir. Kümeleri karşılaştırmak için sıralama bağıntıları tanımlanmıştır. Tanımlanan sıralama bağıntılarının sıralama konisine bağlı olarak boştan farklı sınırlı kümeler ailesi üzerinde birer kısmi sıralama bağıntısı oldukları gösterilmiştir. Bu bağıntılara göre verilen küme değerli optimizasyon problemleri için skalerizasyon yöntemleri elde edilmiştir. Bunlara ek olarak, küme değerli dönüşümler için bir yönlü türev tanımlanmıştır. Yönlü türevin bazı özellikleri incelenmiş ve varlık teoremleri elde edilmiştir. Kısmi sıralama bağıntısına göre verilen küme değerli optimizasyon problemleri için yönlü türev yardımıyla gerekli ve yeterli optimallik koşulları çalışılmıştır.

Bu tez çalışmasında, belli bir olasılık dağılımına göre bir yatırımın riskinin ölçülmesi farklı şekillerde gösterilmiştir. Bu gösterimlerde matematiksel yöntemler kullanılmıştır. Portfolyo optimizasyonunda getiriyi en çok yaparken riski en düşük şekilde tutmak amaçlanır. Tabi ki çözümlerin tutarlı olması için riskin doğru ve etkin biçimde ölçülmesi önemlidir. Bu amaca yönelik olarak bir portfolyo seçildiğinde riskinin, olasılık dağılımlarına göre nasıl ele alınacağı tezin esas konusudur. Tezin genelinde risk ölçüleri ve özellikleri incelenmiştir. En küçük risk ölçüsü olarak riskteki değer ve risk ölçümüne en ihtiyatlı yaklaşım olarak riskteki ortalama değer ele alınmış, özellikleri incelenip karşılaştırılmıştır. Mevcut yatırım imkanları arasındaki tercih ilişkisi ifade edilerek bu tercih sıralamasının neye göre yapılacağından bahsedilmiştir. In this thesis, according to a random variable (or a class of random variables), measurements of the risk of an investment is presented in different forms. Mathematical methods are used in these notations. In a portfolio optimization, the aim is to minimize the risk while maximizing the profit. Of course, to find appropriate solutions the correct and efficient measurement of the risk is important. For this purpose when a portfolio is chosen its risk, with respect to a random variable, is the main subject of this thesis. Throughout the thesis risk measures and its properties are analyzed. Value at risk can be regarded as the smallest risk measure and average value at risk can be regarded as the best conservative approximation to value at risk. Their properties are inquired and compared. Preference relation among the available investment opportunities are stated. 140