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Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) Fundação Araucária de Apoio ao Desenvolvimento Científico e Tecnológico do Paraná As funções objetivos e restrições de problemas de otimização de engenharia são, comumente, calculadas com uso de ferramentas computacionais complexas como elementos finitos por exemplo. Assim, cada avaliação pode demandar uma quantidade significativa de tempo. Para acelerar o processo de otimização que envolve tais funções de alto custo computacional, é comum o uso de metamodelos (ou funções substitutas), que aproximam os modelos de alta fidelidade. Atualmente, uma técnica padrão para otimização de funções de alto custo computacional é a otimização global eficiente (EGO, do inglês efficient global optimization). Desenvolvido no final dos anos 1990, o algoritmo EGO baseia-se na construção e melhoria iterativa do metamodelo de Kriging. Em cada iteração é amostrado um novo ponto (projeto) cuja melhoria esperada é máxima. Para a otimização de problemas multiobjetivo, soluções análogas ao EGO foram desenvolvidas a partir de 2005. Entre elas, destacam-se o ParEgo (ou MEGO) e o EGO baseado na melhoria do hipervolume esperado (ou apenas HEGO). Contudo, esses algoritmos apresentam algumas limitações. Por exemplo, o MEGO possui dificuldade em encontrar frentes de Pareto convexas (ou com um formato complexo), e o HEGO possui um custo computacional relativamente elevado (devido ao cálculo do hipervolume esperado). Publicações mais recentes (2011 – 2017) apresentam algumas alternativas para amenizar essas e outras limitações, bem como critérios de preenchimento (i.e., escolha do ponto a ser amostrado na próxima iteração) mais robustos, tornando os algoritmos mais eficientes. Neste contexto se insere a presente tese. Aqui são propostos novos algoritmos de otimização multiobjetivo para funções de alto custo computacional baseados no metamodelo de Kriging. Na fase inicial da pesquisa foi desenvolvido o algoritmo MVPF (minimization of the variance of the kriging-predicted front), que a cada iteração cria uma frente de Pareto usando apenas os metamodelos e escolhe o projeto com maior variância para ser avaliado. Em seguida foi desenvolvido o algoritmo SME (sequential minimization of entropy) que, ao invés de selecionar o projeto com maior variância, escolhe aquele que possui a maior entropia de Shannon. As principais vantagens do SME em relação aos algoritmos clássicos são o baixo custo computacional (e que não aumenta significativamente com o número de pontos amostrados) e a velocidade de convergência (para se obter uma frente de Pareto). Diferentes problemas teste são solucionados e, em praticamente todos eles, os algoritmos propostos são superiores ao MEGO e HEGO. Além disso, alguns problemas de engenharia são resolvidos utilizando os algoritmos propostos, como a otimização das orientações de fibras curvas em painéis de aeronaves e a otimização de parâmetros geométricos em uma junta de engate. Finalmente, um subproduto importante deste trabalho foi a publicação de um pacote computacional na linguagem R . Esse pacote pode ser encontrado no repositório oficial CRAN e facilmente instalado por qualquer usuário. Objective and constraint functions in engineering optimization problems are, usually, calculated with the aid of complex computational tools such as finite elements or computational fluid dynamics. Thus, each evaluation of these functions can take a significant amount of time. In order to speed up the optimization process involving such time-consuming functions, surrogate models are commonly used. Nowadays, a standard technique to optimize computationally costly functions is the Efficient Global Optimization (EGO). The EGO algorithm was developed in the late 1990s and it is based on the iterative building and improvement of the Kriging surrogate model. At each iteration, a new design, which holds the maximum expected improvement, is sampled. For multiobjective problems, analogous algorithms have been developed from 2005 on. Among those, it can be highlighted the ParEgo (or MEGO) and the EGO based on the expected hypervolume indicator (or just called HEGO). However, such algorithms have some drawbacks. For instance, MEGO has difficulties on finding Pareto fronts that are convex (or with a complex shape) and HEGO has a relatively higher computational cost due to the calculations of the expected hypervolume. Recent works (2011 – 2017) present some alternatives to mitigate these and other limitations, as well as more robust filling criteria (i.e., the choice of the point to be sampled in the next iteration), making the algorithms more efficient. The present thesis is inserted within this context. Here, new multiobjective optimization algorithms are proposed for high computational cost functions based on the Kriging metamodel. In the initial phase of the research, the MVPF (minimization of the variance of the Kriging-predicted front) algorithm was developed, which at each iteration creates a Pareto front using only the metamodels and chooses the project with the highest variance to be evaluated. Then, the SME (sequential minimization of entropy) algorithm was developed, which, instead of selecting the project with the highest variance, chooses the one with the highest Shannon entropy. The main advantages of SME in comparison to classic algorithms are the low computational cost (which does not increase significantly with the number of sampled points) and the speed of convergence (in obtaining a Pareto front). Different test problems are solved and, in almost all of them, the proposed algorithms are superior to MEGO and HEGO. In addition, some engineering problems are solved using the proposed algorithms, such as the optimization of curved fiber orientations in airplane panels and the optimization of geometric parameters in a snap-fit joint. Finally, an important by-product of this work was the publication of a computational package in the R language. This package, called moko (acronym for MultiObjective Kriging Optimization), can be found in the official repository CRAN (The Comprehensive R Archive Network) and easily installed by any user.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) A evolução tecnológica requer cada vez mais o desenvolvimento de novos materiais de engenharia que atendam a condições multifuncionais. Devido a isso, um tipo de material que tem chamado a atenção de pesquisadores são os materiais constituídos de células treliçadas. Estes são materiais celulares formados por barras, compondo treliças e estrutura com padrão periódico. Devido a tal periodicidade, em muitos casos estes materiais apresentam melhores propriedades físicas quando comparados com aqueles de estrutura aleatória de igual densidade relativa. Porém, devido à heterogeneidade de sua estrutura (material sólido e vazios) na microescala (escala da célula), a obtenção das propriedades macroscópicas do material não é direta. Uma maneira de obter tais propriedades é utilizar o método da homogeneização assintótica (AH). Este método tem fundamentação matemática baseada na teoria da perturbação e as propriedades efetivas de materiais periódicos são obtidas através da resolução de equações diferenciais parciais definidas para a célula unitária. No entanto, pode demandar o desenvolvimento de um programa computacional específico de acordo com o elemento finito utilizado na discretização da célula. Em consequência disso, alguns pesquisadores desenvolveram a nova implementação da homogeneização assintótica (NIAH). A NIAH utiliza softwares comerciais de elementos finitos como “caixas pretas” para os cálculos de deslocamentos, forças, temperaturas e fluxos de calor. O emprego de um software comercial permite que qualquer tipo de elemento ou técnica nele disponível seja utilizado na modelagem da célula unitária. Além disso, permite a interação com técnicas de otimização baseadas em metamodelos. Assim, este trabalho tem como objetivo a utilização da NIAH para obtenção das propriedades efetivas elásticas e de condutividade térmica de materiais periódicos treliçados. Ademais, busca-se otimizar duas células unitárias iniciais a fim de obter melhores respostas mecânicas e/ou térmicas, mantendo-se a densidade relativa constante. No entanto, há duas dificuldades: o não acesso ao código fonte do programa comercial para cálculo da sensibilidade e o número relativamente grande de variáveis de projeto. Para contornar essas dificuldades, utiliza-se uma técnica baseada em metamodelos, denominada Kriging, juntamente com um algoritmo de programação quadrática sequencial (SQP) utilizado como otimizador local, associado a uma estratégia de preenchimento para refinar o modelo. As áreas das seções transversais das barras da célula unitária são tomadas como variáveis de projeto, tendo-se como objetivo a maximização do módulo de cisalhamento, a maximização da condutividade térmica na direção x, a maximização do módulo de cisalhamento combinado com a condutividade térmica na direção x e a minimização do coeficiente de Poisson. Com isso, obteve-se um conjunto de geometrias ótimas, as quais várias são validadas com resultados encontrados na literatura. Em problemas de minimização do coeficiente de Poisson, obteve-se materiais com estruturas típicas auxéticas. A utilização da NIAH permitiu obter as propriedades de forma rápida e acurada quando comparada com a AH. A técnica de otimização utilizada, baseada em metamodelagem, conseguiu encontrar boas soluções. Entretanto, na etapa de construção do metamodelo de Kriging houve um pouco de dificuldade devido ao grande número de variáveis de projeto e ao critério de preenchimento que se mostrou computacionalmente pouco eficiente. The rapid technological evolution requires, more and more, the development of new engineering materials that meet multifunctional conditions. Because of this, one type of material that has attracted the attention of researchers are the so-called periodic truss materials. These are cellular materials composed by bars, forming trusses and structure with a periodic pattern. Due to such periodicity, in many cases, these materials have better physical properties when compared to materials of random structure of equal relative density. However, due to the heterogeneity of its structure (solid material and voids) in the microscale (cell scale), obtaining the macroscopic properties of the material is not straightforward. A way to obtain these properties is to use the asymptotic homogenization (AH) method. This method has a mathematical foundation based on the perturbation theory and the effective properties of periodic materials are determined through the resolution of partial differential equations defined for the unit cell. However, it may require the development of a specific computational program according to the finite element used in the discretization of the cell. As a result, some researchers have developed the new implementation of asymptotic homogenization (NIAH). NIAH uses commercial finite element software such as “black boxes” for calculations of displacements, forces, temperatures and heat flows. The use of commercial software allows any type of available element or technique to be used in the modeling of the unit cell. In addition, it allows the interaction between optimization techniques based on metamodels. Thus, this work aims to use the NIAH to obtain the elastic and thermal conductivity properties of periodic truss materials. Moreover, it is sought to optimize two initial unit cells in order to obtain better mechanical and thermal responses, keeping the relative density constant. However, there are two difficulties: the non access to the source code of the commercial program for calculating the sensitivity and the relatively large number of design variables. To overcome these difficulties, it is employed a technique based on metamodels, called Kriging, in combination with a sequential quadratic programming algorithm (SQP) used as a local optimizer, associated to an infill strategy to refine the model. The areas of the transversal sections of the bars of the unit cell are taken as design variables aiming the maximization of the shear modulus, the maximization of the thermal conductivity in the x direction, the maximization of the shear modulus combined with the thermal conductivity in the x direction and the minimization of the Poisson coefficient. With this, we obtained a set of optimal geometries and several of them are validated with results found in the literature. In problems of minimization of the Poisson coefficient were obtained with materials with typical auxetic structures. The use of NIAH allowed to obtain the properties quickly and accurate when compared to AH. The optimization technique used, based on metamodeling, was able to find good solutions. However, it faced some difficulties in the construction phase of the Kriging metamodel due to the large number of design variables and the computationally low efficiency of the infill criterion.