Search

Математика и музика, антипод једна другој, од најстаријих периода људске цивилизације развијале су се кроз природу и у природи. И једна и друга област полазеод практичне потребе човека за премеравањем, пребројавањем, упоређивањем – математика; односно, песмом, ритмом, плесом – музика. Указујући на историјски развој и филозофска становишта, како математике тако и музике, уочава се да су поменуте областипрешле пут од практичних делатности ка апстрактним дисциплинама науке и уметности. На том путу развоја, математика и музика, од самих почетака укрштале су своје теоријске основе и на тај начин међусобно допринеле формирању појединих математичких односно музичких закона и законитости. Ако би се теорија музике и/или дела великих уметникапосматрала оком математике, у њима би се пронашле математичке законитости, које су или биле основ за формирање музичких правила, или су, пак, и математика и музика у свом развоју прихватиле нека заједничка начела и принципе и по њима градиле своје теоријске основе. Кроз историјски развој,филозофска гледишта великих мислилаца, као и кроз указивање на конкретне примере везе математике и музике у раду се указује да су, иако априори неспојиве, математика и музика две дисциплине које се међусобно прожимају и међу којима постоји нераскидива веза. Педагошки део рада који је обухватио и емпиријско истраживање, има за циљ да представи у којој мери примена конкретне математичко-музичке игре доприноси дечјем социјалном, емотивном и когнитивном развоју, те развоју социо-емотивних и когнитивних вештина деце узраста од осам до дванаест година старости. Повезивање математичких и музичких садржаја и њихово обликовање у дидактичку игру1 идеја је водиља методолошког дела рада.Истраживање је спроведено у две интернационалне школе на територији Београда уз примену игреMusical Monkeys, а у сарадњи са тимом MusicMathиз Мексика, који су и креатори поменуте игре. ИграMusical Monkeys, одабрана је због своје интердисциплинарности, педагошке подобности, интерактивности, динамичности и иновативности.Резултати истраживања показали су да овакав приступ у раду са децом подстиче пажњу и мотивацију, активност и ангажовање у настави, захтева и подстиче критичко мишљење при решавању постављених математичких и/или музичких задатака, доприноси сарадњи, колаборацији, конструктивној комуникацији и тимском раду деце, уважавању мишљења других, проналажењу заједничке стратегије решења проблема, те поштовању правила игре, као и ентузијазму, осећању радости и међусобном уживању при реализацији постављених задатака. Добијени резултати потврђују да су деца повезала садржаје две области, математике и музикеи да је за њих, тај моменат био један у низу интересантних у самој игри... јер, питање је,како je заправо могуће повезати математику и музику? Mathematics and music, in a mutual antipodal position, have developed from the earliest periods of human civilisation through and within the nature. Both these areas start from the practical need of man to measure, build, count, compare in the case of mathematics, and song, rhythm and dance, in the case of music. Pointing to the historic development and the philosophical stance of both mathematics and music, it is apparent that these areas have progressed from practical activities to abstract scientific and artistic disciplines. On this development path, mathematics and music have from the very beginning interweaved their theoretical foundations, thereby jointly contributing to formation of individual mathematical and musical laws and rules. If we were to view the theory of music and/or works of great musicians from a mathematical point of view, we would discover mathematical rules as a base for formation of musical patterns, or it could be concluded that both mathematics and music have introduced certain mutual principles in their respective courses of development, using these principles to build their theoretical foundations. Following the course of historical development, philosophical stances of great thinkers, while also pointing to concrete examples of links between mathematics and music, the paper aims to show that although a priori unrelatable, mathematics and music represent two mutually interconnected disciplines, with unbreakable bonds. The pedagogical part of the paper included empirical research, aims to present the extent to which the application of the concrete mathematical and musical play contributes to the child‟s social, emotional and cognitive development, as well as development of the social and emotional and cognitive skills in children aged eight to twelve. By connecting mathematical and musical contents and their shaping in a didactic play2 is the guiding ide of the methodological part of the paper. The research was conducted in two international schools in Belgrade, using the play titled „Musical Monkeys‟ and in collaboration with the MusicMath team from Mexico. The results of the research have shown that this kind of approach in working with children encourages 2 Didactic play – a complex pedagogical activity which enables mastering if certain contents and knowledge, development of capabilities as well as an experience of consequences of own actions in the play (Bognar i Matijević,1993). attention and motivation, activity and engagement, while requiring and encouraging critical thinking in solving the set mathematical and/or musical tasks, contributing to cooperation, collaboration, constructive communication and team work of children, appreciating others‟ opinions, finding a joint strategy in problem solving, as well as respecting the rules of the game, developing enthusiasm, feeling of happiness and joy in working on the set tasks. The obtained results confirm that the children established connection between the mathematical and musical segments, reaching a culmination in a moment of interest within the play, because of the inevitable question – how can mathematics and music be connected?

Предмет докторске дисертације је израда оквира за дигитално архивирање у циљу очувања, представљања и омогућавања доступности дигитализованог и дигиталног садржаја за потребе историјских и других истраживања. Предложени оквир заснива се на концепту ,,тематских колекција“ и намењен је истраживачима који желе да креирају сопствене дигиталне збирке историјских извора и текстова како би ширу научну заједницу упознали са својим истраживањем, повезали га са ширим контекстом и створили услове за умрежавање и сарадњу. Оквир, на примеру дигитализације архивског материјала Математичког института САНУ и у складу са актуелним препорукама и прописима за дигитализацију културног наслеђа у Републици Србији, нуди смернице за: 1) економичан поступак превођења у дигитални облик ради добијања оперативних копија за представљање на вебу, 2) каталогизацију и опис дигиталних докумената помоћу Dublin Core скупа елемената, 3) креирање дигиталног архива помоћу Omeka Classic платформе, 4) израду упутства за архивско истраживање одређених историјских тема и 5) састављање историјских есеја у дигиталном окружењу. Посебни циљ докторске дисертације је примена предложеног оквира у историјским и другим истраживањима, конкретно у проучавању развоја Математичког института у периоду од његовог успостављања у крилу Српске академије наука 1946. године до његовог осамостаљивања 1961. године. Резултати рада су: 1) систематски обрађено питање прошлости Математичког института САНУ у поменутом хронолошком оквиру, 2) дигитална колекција посвећена историји математике и сродних наука у Србији и југоисточној Европи и 3) предлог оквира за дигитално архивирање дигиталног и дигитализованог садржаја за потребе историјских и других истраживања. The subject of this doctoral dissertation is construction of a model of a digital archive, the purpose of which is to preserve, present and give access to digitized and digital contents serving the needs of historical and other research. The proposed model is based on the concept of “thematic research collections”, and it is intended for researchers who want to create their own digital collections of historical sources and texts in order to acquaint the academic community with their research and connect that research with a broader context as well as create conditions for networking and cooperation. The model, on the example of digitization of archival material of the Mathematical Institute SANU and in accordance with the current recommendations and regulations for digitization of cultural heritage in the Republic of Serbia, provides guidelines for: 1) cost-effective conversion to digital form and creation of operational copies for presentation on the web, 2) cataloguing and description of digital documents using Dublin Core Metadata Element Set, 3) creating a digital archive using Omeka Classic web-publishing platform, 4) producing an Archival Research Guide of selected historical themes, and 5) writing a historical essay in digital environment. The specific goal of this doctoral dissertation is the application of the proposed model in historical and other research, specifically in the study of the development of the Mathematical Institute in the period between its establishment as an institution of Serbian Academy of Sciences in 1946 and its independence in 1961. The results of the paper are: 1) a systematical research of the history of Mathematical Institute SANU in the given chronological framework, 2) a digital collection dedicated to the history of mathematics and related sciences in Serbia and South East Europe, and 3) a proposed model for a digital archiving of digitized and digital contents serving the needs of historical and other research.

This thesis has been written under the supervision of my mentor Prof. Miodrag Mateljevi c, and my co-mentor dr. Vladimir Bozin at the University of Belgrade in the academic year 2012-2013. The topic of this thesis is Complex analysis related with geometric function theory, more precisely the theory of quasiconformal mappings in the Euclidean n-dimensional space. For good survey of the eld, see F. W. Gehring [20] in the handbook of K uhnau [33] which also contains many other surveys on quasiconformal mappings and related topics. The main source in this dissertation is J. V ais al a [67]. The thesis is divided into three chapters. Chapter 1 is divided into 5 sections. In this chapter, we focus on quasiconformal mappings in Rn and discuss various equivalent denitions. We give The Modulus of family of curves in the rst section, geometric denition of quasiconformal space mappings in second section, analytic denition of quasiconformal space mappings in third section, equivalence of the denitions in fourth section, and the Beltrami equation in fth section. Chapter 2 is divided into 5 sections. We begin by generalizing the class of Lip( ), 0 < 1, and some properties of that class. Chapter 2 is devoted to understanding the properties by introducing the notion of Linearity, Dierentiability, and majorants. A majorant function is a certain generalization of the power functions t, this is done in the rst section. In the second section we introducing the notion of moduli of continuity with its Some Properties which gotten from I.M. Kolodiy, F. Hildebrand paper [39]. In third section we produced harmonic mapping as preliminary for the fourth section which including subharmonicity of jfjq of harmonic quasiregular mapping in space. In the last section we introducing estimation of the Poisson kernel which were extracted from Krantz paper [42]. Chapter 3 is divided into 3 sections. This chapter is include the main result in this dissertation. In this chapter we prove that !u() C!f (), where u : ! Rn is the harmonic extension of a continuous map f : @ ! Rn, if u is a K-quasiregular map and is bounded in Rn with C2 boundary. Here C is a constant depending only on n, !f and K and !h denotes the modulus of continuity of h. We also prove a version of this result for !-extension domains with c-uniformly perfect boundary and quasiconformal mappings, and we state some results regarding HQC self maps of the quadrant Q = fz : z = x + iy; x; y > 0g.

Predmet istraživanja ove doktorske disertacije je razvoj novog metodološkog okvira, kao i praktična implementacija internog kreditnog rejtinga modela za segment velikih i srednjih preduzeća u Srbiji. Osnovni cilj jeste kvantifikacija kreditnog rizika preduzeća u Srbiji, koja je omogućena korišćenjem novo-razvijenog modela kreditnog skoringa, kao i procena boniteta preduzeća, na osnovu uspostavljenog internog kreditnog rejting modela. Podaci na kojima se bazira istraživanje, predstavljaju sedmogodišnje podatke iz finansijskih izveštaja, odnosno bilansa stanja i bilansa uspeha preduzeća u Srbiji za periode posmatranja od 2006. do 2012. godine. Korišćenjem ovih podataka omogućava se kvantifikacija verovatnoće difolta preduzeća u Srbiji, uzimajući u obzir specifičnosti ovog tržišta i poslovnog ambijenta. Na bazi uspostavljene originalne metodologije, od strane autora, u ovoj doktorskoj disertaciji pokrivene su tri velike oblasti. Kao prvo, urađena je analiza velikog broja finansijskih racija, kao i pronalaženje najprediktivnijeg finansijskog racija u Republici Srbiji, na osnovu raspoloživih višegodišnjih podataka. Primenjena je i odgovarajuća transformacija finansijskih racija i korišćenje u svrhu razvoja modela kreditnog skoringa. Kao glavni rezultat istraživanja razvijen je i predložen novi model kreditnog skoringa koji kvantifikuje verovatnoću difolta preduzeća. Ovaj novi model pokazuje veću prediktivnu moć od modela koji su razvijani i korišćeni za inostrana tržišta poput Altmanovog Z-skor modela. Kao konačni rezultat, predstavljen je i uspostavljen interni kreditni rejting model, primenom originalnog pristupa kojim se uobličavaju i koriste rezultati prethodno razvijenog modela kreditnog skoringa. Konačni modeli kao i njihovi rezultati su prošli proces validacije predložen od strane relevantne akademske literature i novih Bazelskih standarda. Izračunati su ponderi kreditnog rizika na osnovu principa Bazela II i III i kroz retrospektivu je pokazano je da su svi rezultati proistekli iz istraživanja dokazali polazne hipoteze ove doktorske disertacije. The main subject of interest of this doctoral thesis is development of new methodological framework and empirical implementation of internal credit rating model for medium and large companies in Serbia. The main goal is credit risk quantification of Serbian companies by employing newly developed credit scoring model, as well as, the assessment of credit quality of companies by utilizing developed internal credit rating model. The data, which has been used as the basis of this research, is given in form of seven years history of financial statements, in form of balance sheet and income statement, of Serbian companies for the periods from 2006., up to 2012. year. The utilization of this data enables to quantify probability of default of Serbian companies by taking into consideration specific properties of this market and business environment. Based on new and the originally established methodology by the author this doctoral dissertation covers three large areas. The first is represented by the analysis of large number of financial ratios, as well as, a search for the most predictive financial ratio in the Republic of Serbia, based on available data history. Corresponding data transformation of financial ratios has been utilized with a purpose of credit scoring model development. As main result, the new credit-scoring model that quantifies the default probability, has been developed and proposed. This new model has a greater predictive power compared to models, such as Altman Z-score model, which have been developed and used on the foreign markets. As the final result, the internal credit rating model has been proposed and established by applying original approach, which shapes and uses the results gathered from previously developed credit scoring model. The final models and its results have been governed through the validation process which has been proposed by relevant academic literature and new Basel Capital Accord standards. The credit risk weights based on Basel II and III principles have been calculated and it has been demonstrated that all results presented in this research have confirmed the starting hypothesis of this doctoral dissertation.