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This volume contains the papers of the 11th Symposium of the AG STAB (German Aerospace Aerodynamics Association). In this association those scientists and engineers from universities, research-establishments and industry are involved, who are doing research and project work in numerical and experimental fluid mechanics and aerodynamics for aerospace and other applications. Many of the contributions are giving results from the'Luftfahrtforschungsprogramm der Bundesregierung (German Aeronautical Research Programme). Some of the papers report on work sponsored by the Deutsche Forschungsgemeinschaft, DFG, which also was presented at the symposium. The volume gives a broad overview over the ongoing work in this field in Germany.

The aims of this book are threefold: We start with a naive description of a Markov chain as a memoryless random walk on a finite set. This is complemented by a rigorous definition in the framework of probability theory, and then we develop the most important results from the theory of homogeneous Markov chains on finite state spaces. Chains are called rapidly mixing if all of the associated walks, regardles of where they started, behave similarly already after comparitively few steps: it is impossible from observing the chain to get information on the starting position or the number of steps done so far. We will thoroughly study methods which have been proposed in the last decades to investigate this phenomenon. A number of examples will be studied to indicate how the methods treated in this book can be applied.

Felix Hausdorff (1868-1942) gehört zu den herausragenden Mathematikern der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts. Er ist einer der Begründer der Topologie, einer für die moderne Mathematik grundlegenden Disziplin, und er leistete bedeutende Beiträge zur Mengenlehre, Maßtheorie, Funktionalanalysis, Algebra und angewandten Mathematik. Als Protagonist der mathematischen Moderne ist er nicht ohne seine philosophischen Arbeiten zu verstehen. Dies und auch seine literarischen Arbeiten machen Hausdorff zu einem exzeptionellen Intellektuellen und produktiven Mathematiker der Zeit von der Jahrhundertwende bis zum Ende der Weimarer Republik. Wegen seiner jüdischen Herkunft wurde er von den Nationalsozialisten verfolgt und schließlich in den Tod getrieben. Hausdorff hat bis zu seinem Tod wissenschaftlich gearbeitet, konnte aber in Deutschland nicht mehr publizieren. Er hinterließ neben seinem publizierten Werk ein ungewöhnlich umfangreiches Korpus an wissenschaftlichen Manuskripten. Diese spiegeln in ihrer Gesamtheit die Entwicklung wesentlicher Teile der Mathematik in der ersten Hälfte unseres Jahrhunderts wider.

Zum Anlass des 100. Geburtstages der Deutschen Mathematiker-Vereinigung erscheint diese Festschrift, bestehend aus neunzehn Beiträgen, in denen anerkannte Fachwissenschaftler die Entwicklung ihres jeweiligen mathematischen Fachgebietes beschreiben und dabei auch kritische Rückschau auf die Geschichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung seit ihrer Gründung 1890 halten. Insbesondere der erste Beitrag setzt sich intensiv mit der Historie der Mathematik und der Mathematiker im Dritten Reich auseinander.'Mit diesem Band wird ein wichtiger Beitrag zur bisher wenig entwickelten Geschichtsschreibung der neueren Mathematik geleistet. (R. Siegmund-Schultze in'Deutsche Literatur-Zeitung'1,2/1992, Bd. 113)

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Diese Monographie behandelt die eindimensionale Hilberttransformation und die ge­ brochene Integration auf der reellen Zahlengeraden. Da sich viele der Beweise auf die Fouriertransformation für Lp-Funktionen (1 ~ P ~ 2) stützen, haben wir in Kapitel 1 alles Nötige aus der Theorie der Fouriertransformation für Funktionen einer Veränder­ lichen systematisch zusammengestellt. Weiterhin haben wir uns erlaubt, die wohl­ bekannten Eigenschaften der Hilberttransformation ohne Beweis vorauszusetzen und weniger bekannte ausführlich zu beweisen. Der Schwerpunkt der Monographie liegt bei den Kapiteln 3-6, deren Ergebnisse zum großen Teil neu sind. Da in der Einleitung über die Problemstellung und über die Resultate näher berichtet wird, sei an dieser Stelle nur erwähnt, daß Ausgangspunkte unserer Überlegungen Arbeiten folgender Mathematiker sind: S. BOCHNER, J. L. B. COOPER, W. FELLER, G. H. HARDY, J. E. LITTLEWOOD, G. O. OKIKIOLU, M. RIESZ, E. C. TITCHMARSH und H. WEYL. Dadurch wird eine Einordnung unserer Ergebnisse gewährleistet. Unser besonderer Dank gilt Herrn Professor J. L. B. COOPER für viele fruchtbare Dis­ kussionen und wertvolle Ratschläge. Seine Vorträge im Aachener Kolloquium und seine Teilnahme an einer Tagung, die der erstgenannte Verfasser im MATHEMATISCHEN FORSCHUNGSINSTITUT OBERWOLFACH im August 1963 abgehalten hat, waren stets an­ regend. Die Verfasser danken den Herrn Dr. E. GÖRLICH und H. JOHNEN für manche kritischen Bemerkungen und für ihre Mithilfe bei der Durchsicht von Teilen des Manuskripts und der Korrekturen, ferner Frl. K. REIMER-KELLNER, die das Manuskript mit großer Sorgfalt geschrieben hat, und dem Westdeutschen Verlag für sein Ent­ gegenkommen und die gute Ausstattung dieser Monographie.

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Die von der Firma Schoppe und Faeser, Minden, konstruierte und gefertigte Integrieranlage wurde Mitte Juli 1954 im Institut für instrumentelle Ma­ thematik, Bonn, Wegelerstr. 10, aufgestellt. Die Erwartung, daß bald da­ nach mit der Anlage praktisch gearbeitet werden könnte, erfüllte sich je­ doch nicht. Verzögerungen bei der Lieferung der für die Anlage benötigten besonderen Stromquellen sowie die Montage der Anlage selbst und die nach Aufstellung der Einzelgeräte noch nötigen umfangreichen Verdrahtungsar­ beiten brachten es mit sich, daß erst im Dezember 1954 mit der langwieri­ gen Justierung der Integratoren begonnen werden konnte. Auch später nah­ men zusätzliche Einbauten und die Erprobung inzwischen verbesserter Ein­ zelteile viel Zeit in Anspruch, so daß die Integrieranlage nur in einem verhältnismäßig kleinen Teil der Berichtszeit für praktische Versuche im Sinne des Forschungsauftrages zur Verfügung stand. Immerhin wurde frühzeitig mit dem Studium der Betriebseigenschaften der Anlage und ihrer Möglichkeiten für die praktische Behandlung der in Frage kommenden mathematischen Aufgaben begonnen. Hierbei wurden zunächst die Genauigkeit, die Fehlermöglichkeiten und die bei Rückkoppelungen immer wieder auftretenden Instabilitäten untersucht, um Richtlinien für die im Forschungsauftrag vorgesehene Beschaffung von Zusatzgeräten zu gewinnen. Die am meisten störende Instabilität, welche die Brauchbarkeit der Anlage wesentlich einengte, trat bei der sogen. Inversschaltung der Integratoren auf. Bei'normaler'Schaltung eines Integrators sind die Umdrehungen der Reibrolle das Resultat der Bewegungen von Reibscheibe und Integrandenspin­ del. Die Übertragung der Drehung erfolgt mechanisch durch Reibung.

Die Grundausbildung in den technischen und naturwissenschaftlichen Fächern verlangt vom Studierenden, daß er einen beträchtlichen Teil seiner Zeit im Laboratorium verbringt. Daher ist die experimentelle Methodenlehre ein anerkannter Bestandteil vieler technischer Grundvorlesungen geworden. Die Autoren dieses Buches waren am Teesside Polytechnikum mehrere Jahre mit einer Einführungsvorlesung in die experimentelle Methodenlehre für Studenten der Fachrich­ tung Maschinenbau befaßt. Dieser Gegenstand war urspriinglich in den Lehrplan aufge­ nommen worden, um bei praktischen Kursen und bei selbständiger Forschungsarbeit der Studenten eine bessere Darstellung der experimentellen Ergebnisse zu erreichen. Wir dürfen, ohne unbescheiden zu sein, in dieser Hinsicht einigen Erfolg für uns in Anspruch nehmen. Anläßlich dieser Vorlesung wurden wir auf das Fehlen einer für den Studenten zugäng­ lichen Anleitung zur Analyse und Darstellung experimenteller Daten aufmerksam. Ob­ wohl viele der Lehrbücher über die Planung und Durchführung von Experimenten von hervorragender Qualität sind, behandeln sie diesen wichtigen Gegenstand meist nur ober­ flächlich. Die nötige Information wird zwar angeboten, ist aber in Büchern verstreut, die für den Studierenden entweder zu teuer oder zu spezialisiert oder beides sind. Nach unserer Meinung bedurfte es eines Textbuches, das als erstes die wichtigsten und grund­ legenden Methoden zur Darstellung und Analyse von Datenmaterial in einer für erst­ semestrige Studenten verständlichen Form bereitstellte.

Die Datenverarbeitungsanlagen gehören wohl zu denjenigen technisch en Gebilden, die sich in der letzten Generation am auffäUigsten entwickelt haben. Die einzelnen Schritte folgten sehr schnell aufeinander, und noch immer ist die Entwicklung in voUem FlulS. Gerade aus diesem Grund werden aber auch Anlagen und Bauweisen, die vor einigen Jahren modern waren, sehr bald zu historischen Konstruktionen. Selbst den an der Entwicklung eng Beteiligten geht der Kontakt mit den ersten Stadien dies er Technik bald verloren. Urn so mehr ist es zu begrügen, dag der Verfasser des vorliegenden Bandes mit emsigem Fleig und groger Sachkenntnis ein umfassendes Bild der historischen Entwicklung der Rechentechnik gegeben hat. Er ist hierzu besonders berufen, da er selbst bereits vor und während des zweiten Weltkrieges am Institut für Praktische Mathematik in Darmstadt an den Problemen arbeitete und sich somit selbst zur Generation der Pioniere rechnen darf. Gerade aus der Sicht des Pioniers selbst ist es ja besonders interessant, nach Jahren hinter den bislang geschlossenen Vor­ hang zu blicken und zu verfolgen, wie ähnliche Ideen an ver­ schiedenen Stellen zu bemerkenswerten Lösungen führten.

Das Abenteuergefühl ist ein Element des Spiels. Wir setzen uns der Ungewissheit des Schicksals aus und erleben, wie wir es durch unsere eigene Tittigkeit in den Griff bekommen. 1 Alex Randolph, Spieleautor Die Ungewissheit im Gesellschaftsspiel Warum spielen wir? Woher rührt der Reiz eines Spiels? Was bringt Menschen dazu, oft stundenlang zu spielen? Wo bleibt die Langweile, wenn immer wieder das gleiche Spiel ge­ spielt wird? Wirklich das gleiche Spiel? Wirklich gleich bleiben bei einem Spiel nur seine Regeln, Verlauf und Ausgang ändern sich hingegen von Partie zu Partie. Die Zukunft bleibt zunächst im Dunklen - wie im richtigen Leben, aber auch wie im Roman, im Spielfilm und beim sportlichen Spiel. Das sorgt für Unterhaltung und erzeugt zugleich Spannung. Verstärkt wird die Spannung durch die Möglichkeit zum Gewinn. Jeder Spieler hofft zu ge­ winnen - um einen materiellen Gewinn zu erlangen, in der Hoffnung auf ein kurzes Glücks­ gefühl, als Selbstbestätigung oder im Hinblick auf Anerkennung. Egal, um was es'geht', jeder Spieler kann hoffen. Sogar ein Verlierer darf wieder Hoffnung schöpfen, wenn das Spiel weiter geht:,,Neues Spiel- neues Glück'. Dabei wirkt die Hoffnung auf einen Gewinn oft stärker als das Wissen über schlechte Gewinnchancen. Die Popularität von Kasino- und Lotteriespielen beweist das ständig neu.

Dieses Buch beschreibt die Wichtigkeit der Mathematik als Schlüsselqualifikation. Es zeigt, wie vielfältig die beruflichen Möglichkeiten für Mathematiker sind, und informiert über Wert, Attraktivität und Chancen des Mathematikstudiums. Das Buch gibt Auskunft: Was motiviert dazu, ein Mathematikstudium aufzunehmen? Warum ist Mathematik eine Schlüsseltechnik der Wirtschaft? Setzt sich der positive Trend für ausgebildete Mathematiker auf dem Arbeitsmarkt fort? In welchen Branchen und Unternehmensbereichen werden Mathematiker eingesetzt? Was sind typische Tätigkeitsfelder in der industriellen Praxis? Wie studiere ich gezielt und berufsorientiert? Mit welchen Qualifikationen finde ich die besten Ein- und Aufstiegschancen? Wie bereite ich mich auf die Bewerbung vor? Wie komme ich an wichtige Kontakte? Was erwarten Unternehmen von ihren Top-Bewerben? Der Vieweg Berufs- und Karriere-Planer Mathematik ist das erste umfassende Handbuch und Nachschlagewerk für Studium, Beruf und Karriere speziell für Mathematiker und eignet sich als Orientierungshilfe und Leitfaden zugleich. Das Buch enthält zahlreiche Interviews und Berichte von Mathematikern in der Praxis, ausführliches Adressenmaterial, Firmenprofile mit Anschriften und Ansprechpartnern in Unternehmen und ein Firmenindex.

Das Abenteuergefühl ist ein Element des Spiels. Wir setzen uns der Ungewissheit des Schicksals aus und erleben, wie wir es durch unsere eigene Tätigkeit in den Griff bekommen. 1 Alex Randolph, Spieleautor Die Ungewissheit im Gesellschaftsspiel Warum spielen wir? Woher rührt der Reiz eines Spiels? Was bringt Menschen dazu, oft stundenlang zu spielen? Wo bleibt die Langweile, wenn immer wieder das gleiche Spiel ge­ spielt wird? Wirklich das gleiche Spiel? Wirklich gleich bleiben bei einem Spiel nur seine Regeln, Verlauf und Ausgang ändern sich hingegen von Partie zu Partie. Die Zukunft bleibt zunächst im Dunklen - wie im richtigen Leben, aber auch wie im Roman, im Spielfilm und beim sportlichen Spiel. Das sorgt für Un­ terhaltung und erzeugt zugleich Spannung. Verstärkt wird die Spannung durch die Möglichkeit zum Gewinn. Jeder Spieler hofft zu ge­ winnen - um einen materiellen Gewinn zu erlangen, in der Hoffnung auf ein kurzes Glücks­ gefühl, als Selbstbestätigung oder im Hinblick auf Anerkennung. Egal, um was es'geht', jeder Spieler kann hoffen. Sogar ein Verlierer darf wieder Hoffnung schöpfen, wenn das Spiel weiter geht:'Neues Spiel-neues Glück'. Dabei wirkt die Hoffnung auf einen Gewinn oft stärker als das Wissen über schlechte Gewinnchancen. Die Popularität von Kasino-und Lotteriespielen beweist das ständig neu.

Osserman erzählt lebendig und anschaulich eine Geschichte der Geometrie, von der Bestimmung der Erdgestalt und -größe durch die alten Griechen über das Problem der Kartierung der Weltkugel bis hin zur gekrümmten Raumzeit, den Fraktalen und Buckyballs. Viele wird überraschen, dass in der Mathematik nicht nur analytisches Denken zählt, sondern dass Imagination, Phantasie und Kreativität viel wichtiger sind. Dies und die Schönheit der Mathematik schlagen die Brücke zur Bildenden Kunst und Literatur, so nimmt Dante in seiner Göttlichen Komödie das Riemannsche Universum vorweg - zudem besteht eine frappante Analogie zwischen Dantes Göttlichem Licht und dem Urknall. Auch menschliche Aspekte kommen nicht zu kurz: Euler, Gauß und Riemann werden zum Beispiel als mathematische Entsprechungen von Bach, Beethoven und Brahms vorgestellt.

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Nachdem die statistischen Verfahren zu einem festen Bestandteil der Rege­ lungstechnik geworden sind, bedarf die Herausgabe dieses Buches keiner be­ sonderen Begründung. Es soll zweierlei Aufgaben erfüllen: einerseits sollen die erforderlichen Grundlagen im Bereich der linearen Theorie an den Stoff be­ reits vorhandener Lehrbücher anschließen, andererseits soll durch die Ein­ beziehung nichtlinearer Systeme, die von stochastischen Signalen beein­ fl. ußt werden, eine Lücke in der einschlägigen deutschsprachigen Literatur geschlossen werden. Daß ein erfolgreiches Studium dieses Bandes an die Voraussetzung bestimmter technischer und mathematischer Vorkenntnisse bei dem Leser geknüpft ist, versteht sich von selbst; wesentlicher erscheint mir darüber hinaus die Bereit­ schaft, die erforderlichen mathematischen Hilfsmittel so eng mit dem physi­ kalisch-technischen Erfahrungsbereich zu verknüpfen, daß sich eine unauflös­ bare Einheit ergibt, bei der es kein unbefriedigendes Nebeneinander von tech­ nisch-physikalischer Realisierung einerseits und rein formaler mathematischer Beschreibung andererseits gibt. In diesem Sinne möchte man sagen, daß die mathematischen Hilfsmittel hier überhaupt nur insoweit interessant sind, als sie einen Beitrag zur Einsicht in die physikalischen Zusammenhänge zu leisten vermögen. Dieser Standpunkt mag mich bei einigen Kritikern dem Vorwurf einer pragmatischen Denkweise aussetzen; ich nehme ihn auf mich, weil er sicherlich aus dem Kreise derer zu erwarten ist, für die dieses Buch nicht geschrieben worden ist. Das Buch ist in zwanzig Abschnitte aufgegliedert, deren zehn erste der Be­ handlung linearer, zeitinvarianter Systeme gewidmet sind.

Die Mathematiker Adrien-Marie Legendre (1752-1833) und Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) haben von August 1827 bis Juni 1832 einen Briefwechsel geführt, der nach Inhalt und Umfang zu den bemerkenswertesten, bedeutendsten und interessantesten mathematischen Korrespondenzen der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts gehört. Mathematischer Hintergrund ist der berühmte Wettstreit zwischen Niels Henrik Abel (1802-1829) und Jacobi um den Ausbau der von ihnen eingeleiteten Theorie der elliptischen Funktionen. Die in französischer Sprache geschriebenen Briefe werden hier erstmals zweisprachig ediert: sowohl in der Originalsprache als auch in einer für diese Edition angefertigten deutschen Übersetzung. - Die Kommentierung der Briefe aus heutiger Sicht erfolgt sowohl in Fußnoten als auch in einem neuverfaßten Anhang. Außerdem enthält der Band - anläßlich des Internationalen Mathematikerkongresses in Berlin - einen Essay über Jacobis Leben und Wirken in dieser Stadt.

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Das vorliegende Beiheft über die klassische Wahrscheinlichkeitsrechnung ist in erster Linie zur Verwendung in den mathematischen Arbeitsgemein­ schaften auf der Oberstufe der höheren Schulen bestimmt. Es ist deshalb nach methodischen Gesichtspunkten aufgebaut und der Aufnahmefähig­ keit eines Schülers angepaßt. Nur diejenigen Begriffe und Kenntnisse sind vorausgesetzt, die im mathematischen Unterricht der Oberstufe normaler­ weise erworben werden, wozu allerdings auch Begriffe wie Grenzwert, oberer und unterer Limes, Stetigkeit und uneigentliches Integral gerechnet werden. Das Bedürfnis zu exakter mathematischer Behandlung soll in dem Schüler geweckt werden; in diesem Sinne will das Beiheft die immer noch bestehende Kluft zwischen Schul- und Hochschulmathematik über­ brücken helfen. Durch zahlreiche Literaturhinweise und Andeutung einiger weitergehender Probleme hat der Lehrer die Möglichkeit, das Stoffgebiet in dieser oder jener Richtung nach eigenem Ermessen zu erweitern. So wird auch mancher Lehrer die eine oder andere Anregung empfangen können. Die klassische Wahrscheinlichkeitsrechnung ist nach Ansicht des Ver­ fassers nach wie vor am besten geeignet, das Verständnis des Lernenden für die Probleme und die Problematik der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu wecken. Dabei werden Gedankengänge und Begriffe der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung systematisch vorbereitet, was unter anderem in der frühzeitigen Verwendung gewisser von den Begründern der mo­ dernen Theorien eingeführter charakteristischer Bezeichnungen zum Ausdruck kommt. Die Ergebnisse werden durch zahlreiche Beispiele und Anwendungen erläutert, deren Lösungen zum Teil angegeben sind. Das Beiheft Nr. 9 (Best. -Nr. 809) behandelt die moderne Wahrschein­ lichkeitsrechnung seit Richardvon Mises und kann als Fortsetzung dieses Heftes angesehen werden.

In the past twenty years, the Hp-BMO Theory on Rn has undergone a flourishing development, which should partly give the credit to the application of some martin­ gale idea and methods. It would be valuable to exhibit some examples concerning this point. As one of the key parts of Calder6n-Zygmund's real method which first appeared in the 50's, Calder6n-Zygmund Decomposition is exactly the so-called stopping time argument in nature which already existed in the Probability Theory early in the 30's, although such a close relationship between Calder6n-Zygmund De­ composition and the stopping time argument perhaps was not realized consciously at that time. But after the 70's we actually used the stopping time argument in­ tentionally as a method of thinking in Analysis. Later, when classical Hp Theory had undergone an evolution from one chapter in the Complex Variable Theory to an independent branch (the key step to accelerate this evolution was D. Burkholder­ R. Gundy-M. Silverstein's well-known work in the early 70's on the maximal function characterization of Hp), Martingale Hp-BMO Theory soon appeared as a counter­ part of the classical Hp-BMO Theory. Owing to the simplicity of the structure in martingale setting, many new ideas and methods might be produced easier on this stage. These new things have shown a great effect on the classical Hp-BMO The­ ory. For example, the concept of atomic decomposition of H P was first germinated in martingale setting; the good >.

Algebraic geometry is, loosely speaking, concerned with the study of zero sets of polynomials (over an algebraically closed field). As one often reads in prefaces of int- ductory books on algebraic geometry, it is not so easy to develop the basics of algebraic geometry without a proper knowledge of commutative algebra. On the other hand, the commutative algebra one needs is quite difficult to understand without the geometric motivation from which it has often developed. Local analytic geometry is concerned with germs of zero sets of analytic functions, that is, the study of such sets in the neighborhood of a point. It is not too big a surprise that the basic theory of local analytic geometry is, in many respects, similar to the basic theory of algebraic geometry. It would, therefore, appear to be a sensible idea to develop the two theories simultaneously. This, in fact, is not what we will do in this book, as the'commutative algebra'one needs in local analytic geometry is somewhat more difficult: one has to cope with convergence questions. The most prominent and important example is the substitution of division with remainder. Its substitution in local analytic geometry is called the Weierstraft Division Theorem. The above remarks motivated us to organize the first four chapters of this book as follows. In Chapter 1 we discuss the algebra we need. Here, we assume the reader attended courses on linear algebra and abstract algebra, including some Galois theory.

Dieses Buch ist für die Lehrer an höheren Schulen geschrieben, für die, die sich auf diesen Beruf vorbereiten und für alle diejenigen, die die Geometrie lieben. Es wird auch mit Erfolg von 15-bis 18-jährigen Schülern unter Anleitung ihrer Lehrer verwendet werden können. Euklid gründete seine ebene Geometrie auf die Kongruenz von Dreiecken. Drei­ undzwanzig Jahrhunderte später definieren die Mathematiker die Ebene als einen affinen mit einem skalaren Produkt versehenen zweidimensionalen Raum. Ich habe gedacht, daß unsere Schüler eine Darstellung der Geometrie brauchen, die wie bei Euklid von der sinnlich wahrnehmbaren Welt ausgeht, es ihnen aber er­ laubt, recht bald die passenden und fruchtbaren Hilfsmittel der Algebra zu be­ nutzen. Dieses Buch bietet also eine Axiomatik der Geometrie, die sich auf die Begriffe der Parallelen, der Senkrechten und der Entfernung gründet, aber in einer Form, die in natürlicher Weise und schnell zur algebraischen Struktur der Ebene und des Raumes führt. Mehrere Kapitel sind sodann der Klärung von Fragen gewidmet, die oft als dornen­ reich angesehen werden; sie betreffen die Bewegungen, die Winkel und das Win­ kelmaß, die Orientierung. Dieses Buch verdankt viel den Diskussionen mit zahlreichen französischen und ausländischen Mathematikern und Lehrern. Ich danke insbesondere Herrn Andre Revuz, dessen kritische Bemerkungen und dessen Anregungen mir sehr nützlich gewesen sind. Gustave Choquet Vorwort zur deutschen Übersetzung In dem vorliegenden Werk hat der Verfasser, Professor an der Faculte des Sciences in Paris, seine jahrelangen Bemühungen um einen passenden einfachen axiomatischen Aufbau der Schulgeometrie zusammengetragen.

Die Produktions-und Fertigungsplanung stellt für das moderne Unternehmen eine vor­ dringliche Aufgabe dar. Deshalb benötigt der für den Betriebsablauf Verantwortliche Unterlagen über die optimalen Lösungen der organisatorischen und arbeitstechnischen Probleme. Zur Erstellung derartiger Unterlagen werden heute in zunehmendem Maße wissenschaftliche Methoden auf vorzugsweise mathematischer und statistischer Grund­ lage eingesetzt. Eine Methode, die in den vergangeneu Jahren immer häufiger zur Lösung betrieblicher Optimierungsprobleme herangezogen wurde, ist die Warteschlangentheorie. Man hat erkannt, daß sie im Rahmen der Entscheidungsvorbereitung ein wirkungsvolles Hilfs­ mittel darstellt. Denn sie ermöglicht die Behandlung von Prozessen, die sich auf Grund ihrer Unregelmäßigkeit einer exakten rechnerischen Erfassung entziehen. In der Praxis war man bisher darauf angewiesen, derartige Probleme durch Intuition oder Probieren anzugehen. Eine Warteschlangensituation entsteht immer dann, wenn Personen oder Güter-die sogenannten Kunden - von einer oder mehreren Stellen eine (Dienst-)Leistung ver­ langen und wenn dabei die Zeitpunkte der Kundenankünfte undfader die Dauer der einzelnen Abfertigungen nicht vorherbestimmbar sind. Das Warten sowohl der Kunden als auch der Bedienungsstellen verursacht Kosten. Daher besteht das Optimierungs­ problem darin festzustellen, durch welche Veränderung der vom Betrieb beeinflußbaren Gegebenheiten in dieser Warteschlangensituation die Kosten minimal werden. In vielen Fällen besteht das Optimierungsziel in der Ermittlung der kostenoptimalen Anzahl von Bedienungsstellen. Aus dem Bereich der industriellen Produktion sind als Beispiele für unregelmäßige Vor­ gänge, die sich mit Hilfe der Warteschlangentheorie optimierenlassen, anzuführen: die Mehrstellenarbeit, der innerbetriebliche Transport, die Lagerhaltung sowie jedwede Art von Schalterdienst.