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[Objective] Proportional reasoning is a type of complex thinking that involves recognizing comparisons such as the covariation between magnitudes and multiple comparisons. The aim of this study was to analyze proportional reasoning of students from unitary tele-secondary education using the levels proposed by Karplus (1983) through a microworld like GeoGebra. In the microworld, students can explore and construct meanings about mathematical objects. [Methodology] Four activities were designed in GeoGebra, which were administered to 18 students from a unitary tele-secondary school, an educational modality in Mexico. [Results] It was found that participants are at initial levels that correspond to additive, qualitative, or erroneous structures to justify their procedures. The more complex levels of proportional reasoning, related to the use of ratios and constants of proportionality, were achieved when students interacted with each other and with the microworld. The reasoning levels are not mutually exclusive, as students can reason differently depending on the situation and the software's capabilities. [Conclusions] The use of microworlds in exploring proportional reasoning enables actions that cannot be carried out with pencil and paper, providing opportunities to interact with moving constructions. Additionally, it fosters interactions that reinforce or build collective knowledge., [Objetivo] O raciocínio proporcional é um tipo de fluxo complexo que envolve o reconhecimento de comparações, como a covariação entre magnitudes e comparações múltiplas. O objetivo deste estudo foi analisar o raciocínio proporcional de alunos de escolas unitárias do ensino médio à distância usando os níveis propostos por Karplus (1983) a partir de um micromundo como o GeoGebra. No micromundo, os alunos podem explorar e construir significados sobre objetos matemáticos. [Metodologia] Quatro atividades do GeoGebra foram elaboradas e aplicadas a 18 alunos em uma escola unitária do ensino médio à distância (modalidade educacional no México). [Resultados] Identificou-se que os participantes estão em níveis iniciais, respondendo a estruturas aditivas, qualitativas ou errôneas para justificar seus procedimentos. Os níveis mais complexos de raciocínio proporcional relacionados ao uso de razões e constantes de proporcionalidade foram obtidos quando os alunos interagiram com seus colegas e com o micromundo. Os níveis de raciocínio não são mutuamente exclusivos, pois os alunos podem raciocinar de forma diferente, dependendo da situação e das possibilidades do software. [Conclusões] O uso de micromundos na exploração do raciocínio proporcional possibilita ações que não podem ser realizadas com "lápis e papel", o que oferece a oportunidade de interagir com construções em movimento e também gera interações de reforço ou construção de saberes desenvolvidos em conjunto., [Objetivo] El razonamiento proporcional es un tipo de corriente compleja que implica reconocer comparaciones como la covariación entre magnitudes y comparaciones múltiples. El objetivo de este estudio fue analizar el razonamiento proporcional de alumnos de telesecundaria unitaria utilizando los niveles propuestos por Karplus (1983) a partir de un micromundo como GeoGebra. En el micromundo, el estudiantado puede explorar y construir significados sobre los objetos matemáticos. [Metodología] Se diseñaron cuatro actividades en GeoGebra, las cuales fueron aplicadas a 18 estudiantes de una telesecundaria unitaria (modalidad educativa en México). [Resultados] Se identificó que los participantes están en niveles iniciales, que responden a estructuras aditivas, cualitativas o erróneas para justificar sus procedimientos. Los niveles más complejos de razonamiento proporcional relacionados con el uso de razones y constantes de proporcionalidad se obtuvieron cuando el estudiantado interactuaba con sus pares y con el micromundo. Los niveles de razonamiento no son mutuamente excluyentes, debido a que el alumnado puede razonar de diferente manera según la situación y las posibilidades del software. [Conclusiones] El uso de micromundos en la exploración del razonamiento proporcional posibilita acciones que no pueden llevarse a cabo en “lápiz y papel”, lo cual brinda la oportunidad de interactuar con construcciones en movimiento, además genera interacciones de reforzamiento o construcción de saberes desarrollados en conjunto.

In order to ensure an optimal teaching and learning process, the mathematics teacher must be able to analyse, interpret and assess the mathematical activity of his/her students when they solve the tasks he/she sets them. This competence enables the teacher to understand the learning achievements and difficulties that students show to make relevant decisions for action. The aim of this paper is to describe and analyse the competence of a group of 130 prospective primary school teachers to interpret students’ responses to a situation of proportionality (comparison problem). Among the results obtained, we highlight an insufficient didactic-mathematical knowledge of proportional reasoning, which prevents future teachers from interpreting in a relevant way the degree of correctness in the solutions or the apparent mathematical thinking of the students, Para garantizar un proceso de enseñanza y aprendizaje óptimo, el profesor de matemáticas debe ser capaz de analizar, interpretar y valorar la actividad matemática que desarrollan sus alumnos cuando resuelven las tareas que les propone. Esta competencia permite al profesor comprender los logros de aprendizaje y las dificultades que muestran los estudiantes de cara a tomar decisiones de acción pertinentes. El objetivo de este trabajo es describir y analizar la competencia de un grupo de 130 futuros maestros de educación primaria para interpretar las respuestas de estudiantes ante una situación de proporcionalidad (problema de comparación). Entre los resultados obtenidos destacamos un conocimiento didáctico-matemático del razonamiento proporcional insuficiente que impide a los futuros maestros interpretar de forma pertinente el grado de corrección en las soluciones o el pensamiento matemático aparente de los estudiantes.

This article explores alternative teaching methods that promote proportional reasoning in Mexican students aged fourteen to fifteen using digital technology. To this end, a sequence of didactic activities has been designed to give meaning to the concepts of ratio and proportion in their different representations from the approach of linear functions. For the design of the tasks, elements of the theory of Realistic Mathematics Education and the Didactics of Cuevas-Pluvinage were used, coinciding with several didactic points. The proposed learning objectives and activities have been organized through a hypothetical learning trajectory. The analysis and detailed evaluation of the responses allowed us to identify: the didactic advantages of the design, the learning difficulties, and the vital role played by technology in the learning process., En este artículo se exploran formas alternativas de enseñanza que promuevan el razonamiento proporcional en estudiantes mexicanos entre catorce y quince años, con apoyo de la tecnología digital. Con este propósito se diseñó una secuencia de actividades didácticas para significar los conceptos de razón y proporción en sus diversas representaciones desde la perspectiva de las funciones lineales. Para el diseño de tareas se emplearon elementos del marco de la matemática realista y la didáctica de Cuevas-Pluvinage, que coinciden en varios señalamientos. Los objetivos de aprendizaje y las actividades propuestas se organizaron mediante una trayectoria hipotética de aprendizaje. El análisis y la evaluación detallada de las respuestas nos permitió identificar ventajas didácticas del diseño, dificultades de aprendizaje y el importante rol que jugó la tecnología en el proceso de aprendizaje.

An approach to the teaching of physics in high school level courses based on the concept of proportionality is presented. The convenience of simultaneously developing proportional thinking and disciplinary learning of physics subjects is argued, which enables the development of scientific thinking skills such as the identification of mathematical relationships between physical quantities, the habit of looking for meaning to physical constants and the ability to find solutions to theoretical problems based on conceptual reasoning. The main aspects of the didactics of mathematics on proportionality that are used in different teaching strategies included in this work are shown. Finally, a three-stage didactic sequence designed to teach solving physics problems is detailed in detail, with examples that have already been applied with high school students., Se presenta un enfoque para la enseñanza de la física en cursos de nivel bachillerato basado en el concepto de la proporcionalidad. Se argumenta la conveniencia de desarrollar simultáneamente el pensamiento proporcional y los aprendizajes disciplinares de las asignaturas de física, lo cual posibilita el desarrollo de habilidades del pensamiento científico como la identificación de las relaciones matemáticas entre magnitudes físicas, el hábito de buscar significado a las constantes físicas y la capacidad de hallar soluciones a problemas teóricos a partir de un razonamiento conceptual. Se muestran los aspectos principales de la didáctica de la matemática sobre proporcionalidad que se emplean en diferentes estrategias de enseñanza incluidas en este trabajo. Finalmente, se expone con detalle una secuencia didáctica en tres etapas diseñada para enseñar a resolver problemas de física, con ejemplos que ya han sido aplicados con estudiantes de nivel medio superior.

An approach to the teaching of physics in high school level courses based on the concept of proportionality is presented. The convenience of simultaneously developing proportional thinking and disciplinary learning of physics subjects is argued, which enables the development of scientific thinking skills such as the identification of mathematical relationships between physical quantities, the habit of looking for meaning to physical constants and the ability to find solutions to theoretical problems based on conceptual reasoning. The main aspects of the didactics of mathematics on proportionality that are used in different teaching strategies included in this work are shown. Finally, a three-stage didactic sequence designed to teach solving physics problems is detailed in detail, with examples that have already been applied with high school students., Se presenta un enfoque para la enseñanza de la física en cursos de nivel bachillerato basado en el concepto de la proporcionalidad. Se argumenta la conveniencia de desarrollar simultáneamente el pensamiento proporcional y los aprendizajes disciplinares de las asignaturas de física, lo cual posibilita el desarrollo de habilidades del pensamiento científico como la identificación de las relaciones matemáticas entre magnitudes físicas, el hábito de buscar significado a las constantes físicas y la capacidad de hallar soluciones a problemas teóricos a partir de un razonamiento conceptual. Se muestran los aspectos principales de la didáctica de la matemática sobre proporcionalidad que se emplean en diferentes estrategias de enseñanza incluidas en este trabajo. Finalmente, se expone con detalle una secuencia didáctica en tres etapas diseñada para enseñar a resolver problemas de física, con ejemplos que ya han sido aplicados con estudiantes de nivel medio superior.

An approach to the teaching of physics in high school level courses based on the concept of proportionality is presented. The convenience of simultaneously developing proportional thinking and disciplinary learning of physics subjects is argued, which enables the development of scientific thinking skills such as the identification of mathematical relationships between physical quantities, the habit of looking for meaning to physical constants and the ability to find solutions to theoretical problems based on conceptual reasoning. The main aspects of the didactics of mathematics on proportionality that are used in different teaching strategies included in this work are shown. Finally, a three-stage didactic sequence designed to teach solving physics problems is detailed in detail, with examples that have already been applied with high school students., Se presenta un enfoque para la enseñanza de la física en cursos de nivel bachillerato basado en el concepto de la proporcionalidad. Se argumenta la conveniencia de desarrollar simultáneamente el pensamiento proporcional y los aprendizajes disciplinares de las asignaturas de física, lo cual posibilita el desarrollo de habilidades del pensamiento científico como la identificación de las relaciones matemáticas entre magnitudes físicas, el hábito de buscar significado a las constantes físicas y la capacidad de hallar soluciones a problemas teóricos a partir de un razonamiento conceptual. Se muestran los aspectos principales de la didáctica de la matemática sobre proporcionalidad que se emplean en diferentes estrategias de enseñanza incluidas en este trabajo. Finalmente, se expone con detalle una secuencia didáctica en tres etapas diseñada para enseñar a resolver problemas de física, con ejemplos que ya han sido aplicados con estudiantes de nivel medio superior.

This article aims to determine and analyze the performance of future high school mathematics teachers in solving problem types and levels of proportional reasoning. The research is descriptive with quantitative methodology with a sample of twenty-five students from a university in Chile. Data are collected through an open response problem test on applications of proportionality. The results reveal students' capacity to solve routine problems, preferably of purely mathematical context and to a lesser extent, fantasist, but with high difficulty in solving non-routine problems and problems of real context. The additive level category is the most widely used, which demonstrates the prevalence of pre-proportional reasoning without achieving the proportional level category that includes the performance of students who use proportional relationships among all data to obtain the correct answer., Este artículo tiene como objetivos determinar y analizar el desempeño de los futuros profesores de matemática de enseñanza secundaria en la resolución de tipos de problemas y los niveles del razonamiento proporcional. La investigación es descriptiva con metodología cuantitativa con una muestra de veinticinco estudiantes de una Universidad en Chile. Los datos se recopilan a través de una prueba de problemas de respuesta abierta sobre aplicaciones de la proporcionalidad. Los resultados develan capacidad de los estudiantes para resolver problemas rutinarios, preferentemente de contexto puramente matemático y en menor grado, fantasista, pero con alta dificultad en la resolución de problemas no rutinarios y de contexto real. La categoría de nivel aditivo es la mayormente utilizada, lo que demuestra la prevalencia del razonamiento pre-proporcional sinlograr alcanzar la categoría de nivel proporcional que incluye el desempeño de los estudiantes que usan relaciones proporcionales entre todos los datos para obtener la respuesta correcta.

En los últimos años, numerosas investigaciones se han centrado en la transición del pensamiento aditivo al pensamiento multiplicativo, y en particular, en el papel del razonamiento proporcional en esta transición. Una característica de esta transición es la dificultad de los estudiantes para diferenciar situaciones con estructura multiplicativa (y en particular, situaciones proporcionales) de situaciones con estructura aditiva. Esta dificultad ha sido manifestada por el uso abusivo de estrategias aditivas erróneas para resolver situaciones proporcionales y, al mismo tiempo, por el uso abusivo de estrategias proporcionales para resolver situaciones de estructura aditiva. Recientes estudios han identificado un fenómeno que se da a lo largo de la educación primaria y secundaria: los estudiantes transitan desde un uso abusivo de estrategias aditivas a un uso abusivo de estrategias proporcionales, sin identificar la estructura matemática del problema. Además, estas investigaciones previas sobre el fenómeno han indagado también acerca de ciertas variables del problema que influyen en el uso de una estrategia u otra. Así, se ha demostrado que si las relaciones multiplicativas entre las cantidades son enteras (independientemente de si la situación es proporcional o aditiva), los estudiantes tienen a usar más las estrategias proporcionales. Si las relaciones multiplicativas entre las cantidades son no enteras los estudiantes tienen a usar más las estrategias aditivas independientemente también de la situación. Otra variable que parece influir es la naturaleza discreta o continua de las cantidades. Sin embargo, no hay resultados claros con relación a esta variable y si influye en el fenómeno estudiado. Nuestra investigación se enmarca en el estudio de este fenómeno con estudiantes de Ecuador de entre 11 y 16 años. Los participantes fueron 360 estudiantes distribuidos desde 6.° curso de Educación Básica Media hasta 10.° curso de Educación Básica Superior. El instrumento de rec

La competencia docente mirar profesionalmente permite a los maestros identificar aspectos relevantes en situaciones de enseñanza-aprendizaje. En particular, mirar profesionalmente el pensamiento matemático de los estudiantes implica usar el conocimiento para identificar detalles matemáticos importantes en las respuestas de los estudiantes, interpretar su comprensión matemática y decidir qué proponer a continuación. El empleo de tareas profesionales en los programas de formación de maestros de primaria permite desarrollar esta competencia. Los objetivos de este estudio son presentar los principios para el diseño de estas tareas profesionales y los resultados obtenidos tras el diseño de una tarea profesional sobre razonamiento proporcional y su implementación con 91 estudiantes para maestro de educación primaria. El diseño de la tarea profesional consta de un documento teórico acerca del desarrollo de la comprensión del razonamiento proporcional, que permite a los estudiantes para maestro responder a tres cuestiones acerca de identificar, interpretar y decidir qué hacer para que progresen estudiantes de primaria con diferentes características en la comprensión, basándose en sus respuestas escritas a un problema. Los resultados tras la implementación muestran que la tarea profesional y el documento teórico proporcionado ayudaron a los estudiantes para maestro a atender los detalles matemáticos de las respuestas de los estudiantes, a interpretar su comprensión y a decidir qué proponer a continuación como maestros.

Proportional reasoning is often considered as an access route to early algebraic reasoning. In this paper, we show the analysis of the answers of a group of fifth grade students, who are faced for the first time with proportionality tasks, analyzing in detail the developed procedures, representations, arguments and evidences obtained about their generalization capacity. We also include the tasks used as a first encounter with proportionality applying a mixed instructional and investigative model. As a result of this study we recognize features of proto-algebraic reasoning in the activity developed by students in tasks of this type., El razonamiento proporcional se considera frecuentemente como ruta de acceso al razonamiento algebraico temprano. En este trabajo mostramos el análisis de las respuestas de un grupo de estudiantes de quinto curso de primaria, que se enfrentan por primera vez a tareas de proporcionalidad, analizando con detalle los procedimientos desarrollados, representaciones, argumentos y evidencias obtenidas sobre la capacidad de generalización. Se incluyen también las tareas usadas como un primer encuentro con la proporcionalidad siguiendo un modelo didáctico mixto de tipo instructivo-investigativo. Como resultado de este estudio reconocemos rasgos de razonamiento proto-algebraico en la actividad desarrollada por los alumnos en tareas de este tipo.

Proportional reasoning is often considered as an access route to early algebraic reasoning. In this paper, we show the analysis of the answers of a group of fifth grade students, who are faced for the first time with proportionality tasks, analyzing in detail the developed procedures, representations, arguments and evidences obtained about their generalization capacity. We also include the tasks used as a first encounter with proportionality applying a mixed instructional and investigative model. As a result of this study we recognize features of proto-algebraic reasoning in the activity developed by students in tasks of this type., El razonamiento proporcional se considera frecuentemente como ruta de acceso al razonamiento algebraico temprano. En este trabajo mostramos el análisis de las respuestas de un grupo de estudiantes de quinto curso de primaria, que se enfrentan por primera vez a tareas de proporcionalidad, analizando con detalle los procedimientos desarrollados, representaciones, argumentos y evidencias obtenidas sobre la capacidad de generalización. Se incluyen también las tareas usadas como un primer encuentro con la proporcionalidad siguiendo un modelo didáctico mixto de tipo instructivo-investigativo. Como resultado de este estudio reconocemos rasgos de razonamiento proto-algebraico en la actividad desarrollada por los alumnos en tareas de este tipo.

This research article is the result of a research project on early algebraic thinking in technological learning environments and results on proportional reasoning are reported as a path to early algebraic thinking. The study was carried out with 109 basic education students from public schools, the State of Mexico and Mexico City and one of the objectives of the study was to validate an instrument on proportional reasoning. For this, a mixed methodology was used, an observational, longitudinal and comparative study with three stages: 1. Initial evaluation on proportional reasoning, 2. Validation of an instrument on proportional reasoning, 3. Open clinical interview. The results reveal that students manage to understand ideas of arithmetic and geometric proportionality and variation provides, and understand the problems that involve the functional relationship, as a consequence of the transition from additive to multiplicative thinking. With regard to the evaluation instrument, a hypothetical model of convergent and divergent construct validity was proposed in the measurement of proportional reasoning and the resulting model obtained acceptable practical indicators of goodness of fit and high reliability coefficients. In addition, the instrument showed convergent and divergent construct validity. Finally, we can conclude that proportional reasoning is a viable route to algebraic thinking, although the students have not yet developed all the cognitive and mathematical structures to understand the complexity of proportional thinking, the results of this study allowed us to elucidate early stages in the cognitive development of children with relevant tasks and approaches., Este artículo de investigación es el resultado de un proyecto de investigación sobre el pensamiento algebraico temprano en entornos tecnológicos de aprendizaje y se reportan resultados sobre el razonamiento proporcional como una ruta de acceso al pensamiento algebraico temprano. El estudio fue realizado con 109 estudiantes de educación básica de escuelas públicas, del Estado de México y de la Ciudad de México y uno de los objetivos del estudio fue validar un instrumento sobre el razonamiento proporcional. Para ello, se utilizó una metodología mixta, un estudio de tipo observacional, longitudinal y comparativo con tres etapas: 1. Evaluación inicial sobre el razonamiento proporcional, 2.Validación de un instrumento sobre el razonamiento proporcional, 3. Entrevista clínica abierta. Los resultados revelan que los alumnos logran comprender ideas de proporcionalidad aritmética y geométrica y variación proporciona, y comprenden los problemas que involucran la relación funcional, como una consecuencia del tránsito del pensamiento aditivo al multiplicativo. En lo que respecta al instrumento de evaluación, se propuso un modelo hipotético de validez convergente y divergente de constructo en la medición del razonamiento proporcional y el modelo resultante obtuvo aceptables indicadores prácticos de bondad de ajuste y coeficientes de confiabilidad altos. Además el instrumento mostró tener validez convergente y divergente de constructo. Finalmente, podemos concluir que el razonamiento proporcional es una ruta viable hacia el pensamiento algebraico, a pesar de que los estudiantes no han desarrollado aún todas las estructuras cognitivas y matemáticas para comprender la complejidad del pensamiento proporcional, los resultados de este estudio permitieron dilucidar etapas tempranas en el desarrollo cognitivo de los niños con tareas y enfoques pertinentes.

La competencia docente mirar profesionalmente permite a los maestros identificar aspectos relevantes en situaciones de enseñanza-aprendizaje. En particular, mirar profesionalmente el pensamiento matemático de los estudiantes implica usar el conocimiento para identificar detalles matemáticos importantes en las respuestas de los estudiantes, interpretar su comprensión matemática y decidir qué proponer a continuación. El empleo de tareas profesionales en los programas de formación de maestros de primaria permite desarrollar esta competencia. Los objetivos de este estudio son presentar los principios para el diseño de estas tareas profesionales y los resultados obtenidos tras el diseño de una tarea profesional sobre razonamiento proporcional y su implementación con 91 estudiantes para maestro de educación primaria. El diseño de la tarea profesional consta de un documento teórico acerca del desarrollo de la comprensión del razonamiento proporcional, que permite a los estudiantes para maestro responder a tres cuestiones acerca de identificar, interpretar y decidir qué hacer para que progresen estudiantes de primaria con diferentes características en la comprensión, basándose en sus respuestas escritas a un problema. Los resultados tras la implementación muestran que la tarea profesional y el documento teórico proporcionado ayudaron a los estudiantes para maestro a atender los detalles matemáticos de las respuestas de los estudiantes, a interpretar su comprensión y a decidir qué proponer a continuación como maestros.

Proportional reasoning is often considered as an access route to early algebraic reasoning. In this paper, we show the analysis of the answers of a group of fifth grade students, who are faced for the first time with proportionality tasks, analyzing in detail the developed procedures, representations, arguments and evidences obtained about their generalization capacity. We also include the tasks used as a first encounter with proportionality applying a mixed instructional and investigative model. As a result of this study we recognize features of proto-algebraic reasoning in the activity developed by students in tasks of this type., El razonamiento proporcional se considera frecuentemente como ruta de acceso al razonamiento algebraico temprano. En este trabajo mostramos el análisis de las respuestas de un grupo de estudiantes de quinto curso de primaria, que se enfrentan por primera vez a tareas de proporcionalidad, analizando con detalle los procedimientos desarrollados, representaciones, argumentos y evidencias obtenidas sobre la capacidad de generalización. Se incluyen también las tareas usadas como un primer encuentro con la proporcionalidad siguiendo un modelo didáctico mixto de tipo instructivo-investigativo. Como resultado de este estudio reconocemos rasgos de razonamiento proto-algebraico en la actividad desarrollada por los alumnos en tareas de este tipo.

Este estudio examina el conocimiento del razonamiento proporcional de estudiantes para maestro (EPM) y cómo reconocen características de la comprensión de los estudiantes. 92 EPM resolvieron 12 problemas vinculados a 12 sub-constructos del razonamiento proporcional y analizaron tres respuestas de estudiantes a cada uno de los problemas anteriores. Los resultados indican que los EPM resuelven los problemas correctamente y reconocen la comprensión de los estudiantes en algunos sub-constructos vinculados al esquema fraccionario, pero tienen dificultades para resolver y reconocer la comprensión en los sub-constructos relacionados con la discriminación de situaciones proporcionales y no proporcionales y con la comparación de razones. Estos resultados sugieren que el conocimiento del razonamiento proporcional y el reconocimiento de evidencias de la comprensión de los estudiantes dependen de cada sub-constructo considerado., This study examines pre-service teachers’ knowledge of proportional reasoning and how they recognize characteristics of student’s understanding. Ninety-two pre-service teachers solved 12 problems related to the 12 sub-constructs of proportional reasoning and analyzed three students’ answers to each of the above problems. Results indicate that pre-service teachers solve problems correctly and recognize students’ understanding in some sub-constructs linked to the fractional scheme but have difficulty in solving and recognizing students’ understanding in the sub-constructs related to the discrimination between proportional and non-proportional situations and the ratio comparison. These results suggest that the knowledge of proportional reasoning and the recognition of students’ understanding relay on the sub-constructs considered.

Esta tesis se encuentra en la intersección de dos líneas de investigación: por un lado, la que trata de caracterizar la competencia docente mirar profesionalmente el pensamiento matemático de los estudiantes y el conocimiento del profesor. El objetivo de esta investigación es caracterizar perfiles de estudiantes para maestro en relación al conocimiento matemático de los estudiantes para maestro y de la competencia docente mirar profesionalmente el pensamiento matemático de los estudiantes en relación a las fracciones, razón y proporción como fundamentos del desarrollo del razonamiento proporcional.

Este estudio examina el conocimiento del razonamiento proporcional de estudiantes para maestro (EPM) y cómo reconocen características de la comprensión de los estudiantes. 92 EPM resolvieron 12 problemas vinculados a 12 sub-constructos del razonamiento proporcional y analizaron tres respuestas de estudiantes a cada uno de los problemas anteriores. Los resultados indican que los EPM resuelven los problemas correctamente y reconocen la comprensión de los estudiantes en algunos sub-constructos vinculados al esquema fraccionario, pero tienen dificultades para resolver y reconocer la comprensión en los sub-constructos relacionados con la discriminación de situaciones proporcionales y no proporcionales y con la comparación de razones. Estos resultados sugieren que el conocimiento del razonamiento proporcional y el reconocimiento de evidencias de la comprensión de los estudiantes dependen de cada sub-constructo considerado., This study examines pre-service teachers’ knowledge of proportional reasoning and how they recognize characteristics of student’s understanding. Ninety-two pre-service teachers solved 12 problems related to the 12 sub-constructs of proportional reasoning and analyzed three students’ answers to each of the above problems. Results indicate that pre-service teachers solve problems correctly and recognize students’ understanding in some sub-constructs linked to the fractional scheme but have difficulty in solving and recognizing students’ understanding in the sub-constructs related to the discrimination between proportional and non-proportional situations and the ratio comparison. These results suggest that the knowledge of proportional reasoning and the recognition of students’ understanding relay on the sub-constructs considered.

Esta tesis se encuentra en la intersección de dos líneas de investigación: por un lado, la que trata de caracterizar la competencia docente mirar profesionalmente el pensamiento matemático de los estudiantes y el conocimiento del profesor. El objetivo de esta investigación es caracterizar perfiles de estudiantes para maestro en relación al conocimiento matemático de los estudiantes para maestro y de la competencia docente mirar profesionalmente el pensamiento matemático de los estudiantes en relación a las fracciones, razón y proporción como fundamentos del desarrollo del razonamiento proporcional.

Uno de los objetivos en la formación de maestros desde el área de didáctica de las matemáticas es desarrollar la competencia una mirada profesional sobre la enseñanza y aprendizaje. Ser capaz de mirar profesionalmente el pensamiento matemático de los estudiantes implica poder identificar o reconocer evidencias de la manera en que los estudiantes resuelven los problemas, interpretar dichas evidencias relacionándolas con ideas teóricas sobre cómo aprenden los estudiantes, y tener argumentos para justificar la toma de decisiones sobre qué tareas ayudan a consolidar o desarrollar la comprensión de los estudiantes. En esta comunicación se presentan los primeros resultados obtenidos tras la implementación de un módulo de enseñanza en el Grado en Maestro en Educación Primaria, centrado en desarrollar la competencia docente mirar profesionalmente el pensamiento matemático de los estudiantes de educación primaria en el dominio matemático específico del razonamiento proporcional.

Uno de los objetivos en la formación de maestros desde el área de didáctica de las matemáticas es desarrollar la competencia una mirada profesional sobre la enseñanza y aprendizaje. Ser capaz de mirar profesionalmente el pensamiento matemático de los estudiantes implica poder identificar o reconocer evidencias de la manera en que los estudiantes resuelven los problemas, interpretar dichas evidencias relacionándolas con ideas teóricas sobre cómo aprenden los estudiantes, y tener argumentos para justificar la toma de decisiones sobre qué tareas ayudan a consolidar o desarrollar la comprensión de los estudiantes. En esta comunicación se presentan los primeros resultados obtenidos tras la implementación de un módulo de enseñanza en el Grado en Maestro en Educación Primaria, centrado en desarrollar la competencia docente mirar profesionalmente el pensamiento matemático de los estudiantes de educación primaria en el dominio matemático específico del razonamiento proporcional.

Este estudio examina cómo los estudiantes para maestro identifican evidencias del razonamiento up and down en los estudiantes de primaria. Este razonamiento implica dos procesos: la reconstrucción de la unidad y la representación de fracciones. 92 estudiantes para maestro respondieron una tarea que consistía en analizar tres respuestas de estudiantes de educación primaria a un problema de proporcionalidad que mostraban diferentes características de esta manera de razonar. En este estudio presentamos algunos aspectos del análisis que estamos realizando para categorizar la manera en la que los estudiantes para maestro reconocen evidencias de este razonamiento, y cómo este reconocimiento se relaciona con la manera en la que reconocen los elementos matemáticos relevantes para resolver el problema., This study examines how pre-service teachers identify evidence of the up and down reasoning in primary school students. This reasoning involves two processes: the reconstruction of the unit and the representation of fractions. 92 pre-service teachers answered a task consisted of the analysis of three primary school students answers to a proportional problem showing different characteristics of the up and down reasoning. In this paper we present some aspects of the analysis we are carrying out to categorize the way in which pre-service teachers recognize evidence of this reasoning, and how this recognition is linked with the way they recognize relevant mathematical elements of the problem.

En este trabajo se analizan las actuaciones de alumnos desde 6.º de Educación Primaria hasta 2.º de Educación Secundaria Obligatoria (11-14 años) con distintos grados de instrucción en proporcionalidad al resolver ciertos problemas de proporcionalidad compuesta. En particular, observamos la tasa de éxito y las distintas estrategias empleadas, tanto correctas como incorrectas. Los resultados muestran un aumento progresivo de la tasa de éxito y una evolución en las estrategias utilizadas desde aquellas que hacen referencia a aspectos de razonamiento proporcional, hacia aquellas en las que prima el componente algorítmico., In this work, we analyze the behavior of students from 6th to 8th grade (age 11-14) with different degrees of instruction regarding proportionality, when they solve certain compound proportionality problems. In particular, we focus on the success rate and on their strategies, both correct and incorrect. Results show a gradual increasing in the success rate and an evolution in the strategies from those involving proportional reasoning to those giving priority to algorithmic procedures.

La idea del Conocimiento de Matemáticas para Enseñar (MKT) implica la relación entre el conocimiento de matemáticas y el conocimiento de contenido pedagógico. Investigaciones previas han identificado diferentes dominios en el conocimiento de matemáticas para enseñar: conocimiento del contenido matemático que es el conocimiento de matemáticas que permite a los profesores implicarse en tareas específicas de la enseñanza, conocimiento del contenido pedagógico que está centrado en cuestiones de aprendizaje de los estudiantes y de la enseñanza y conocimiento del contenido del currículum. Un reto en los programas de formación de maestros es diseñar entornos de aprendizaje donde los estudiantes para maestro puedan desarrollar estos dominios del conocimiento. En este trabajo se describe un módulo de enseñanza del Grado en Maestro en Educación Primaria centrado en el objetivo de desarrollar el Conocimiento de Matemáticas para Enseñar en el tópico matemático específico del razonamiento proporcional y los primeros resultados obtenidos.

This study examines how pre-service teachers identify evidence of the up and down reasoning in primary school students. This reasoning involves two processes: the reconstruction of the unit and the representation of fractions. 92 pre-service teachers answered a task consisted of the analysis of three primary school students answers to a proportional problem showing different characteristics of the up and down reasoning. In this paper we present some aspects of the analysis we are carrying out to categorize the way in which pre-service teachers recognize evidence of this reasoning, and how this recognition is linked with the way they recognize relevant mathematical elements of the problem., Este estudio examina cómo los estudiantes para maestro identifican evidencias del razonamiento up and down en los estudiantes de primaria. Este razonamiento implica dos procesos: la reconstrucción de la unidad y la representación de fracciones. 92 estudiantes para maestro respondieron una tarea que consistía en analizar tres respuestas de estudiantes de educación primaria a un problema de proporcionalidad que mostraban diferentes características de esta manera de razonar. En este estudio presentamos algunos aspectos del análisis que estamos realizando para categorizar la manera en la que los estudiantes para maestro reconocen evidencias de este razonamiento, y cómo este reconocimiento se relaciona con la manera en la que reconocen los elementos matemáticos relevantes para resolver el problema.Palabras clave: mirada profesional, razonamiento up and down, razonamiento proporcional, conocimiento del profesor.

Este estudio examina cómo los estudiantes para maestro identifican evidencias del razonamiento up and down en los estudiantes de primaria. Este razonamiento implica dos procesos: la reconstrucción de la unidad y la representación de fracciones. 92 estudiantes para maestro respondieron una tarea que consistía en analizar tres respuestas de estudiantes de educación primaria a un problema de proporcionalidad que mostraban diferentes características de esta manera de razonar. En este estudio presentamos algunos aspectos del análisis que estamos realizando para categorizar la manera en la que los estudiantes para maestro reconocen evidencias de este razonamiento, y cómo este reconocimiento se relaciona con la manera en la que reconocen los elementos matemáticos relevantes para resolver el problema., This study examines how pre-service teachers identify evidence of the up and down reasoning in primary school students. This reasoning involves two processes: the reconstruction of the unit and the representation of fractions. 92 pre-service teachers answered a task consisted of the analysis of three primary school students answers to a proportional problem showing different characteristics of the up and down reasoning. In this paper we present some aspects of the analysis we are carrying out to categorize the way in which pre-service teachers recognize evidence of this reasoning, and how this recognition is linked with the way they recognize relevant mathematical elements of the problem.

En este trabajo se analizan las actuaciones de alumnos desde 6.º de Educación Primaria hasta 2.º de Educación Secundaria Obligatoria (11-14 años) con distintos grados de instrucción en proporcionalidad al resolver ciertos problemas de proporcionalidad compuesta. En particular, observamos la tasa de éxito y las distintas estrategias empleadas, tanto correctas como incorrectas. Los resultados muestran un aumento progresivo de la tasa de éxito y una evolución en las estrategias utilizadas desde aquellas que hacen referencia a aspectos de razonamiento proporcional, hacia aquellas en las que prima el componente algorítmico., In this work, we analyze the behavior of students from 6th to 8th grade (age 11-14) with different degrees of instruction regarding proportionality, when they solve certain compound proportionality problems. In particular, we focus on the success rate and on their strategies, both correct and incorrect. Results show a gradual increasing in the success rate and an evolution in the strategies from those involving proportional reasoning to those giving priority to algorithmic procedures.

La idea del Conocimiento de Matemáticas para Enseñar (MKT) implica la relación entre el conocimiento de matemáticas y el conocimiento de contenido pedagógico. Investigaciones previas han identificado diferentes dominios en el conocimiento de matemáticas para enseñar: conocimiento del contenido matemático que es el conocimiento de matemáticas que permite a los profesores implicarse en tareas específicas de la enseñanza, conocimiento del contenido pedagógico que está centrado en cuestiones de aprendizaje de los estudiantes y de la enseñanza y conocimiento del contenido del currículum. Un reto en los programas de formación de maestros es diseñar entornos de aprendizaje donde los estudiantes para maestro puedan desarrollar estos dominios del conocimiento. En este trabajo se describe un módulo de enseñanza del Grado en Maestro en Educación Primaria centrado en el objetivo de desarrollar el Conocimiento de Matemáticas para Enseñar en el tópico matemático específico del razonamiento proporcional y los primeros resultados obtenidos.

Un dominio particular del conocimiento matemático para la enseñanza es el conocimiento de matemáticas especializado. Este estudio se centra en examinar el conocimiento de matemáticas especializado en el ámbito del razonamiento proporcional de un grupo de estudiantes para maestro de Educación Primaria. Los resultados muestran que los estudiantes para maestro tienen un conocimiento especializado sobre el razonamiento proporcional limitado puesto de manifiesto por la dificultad en identificar situaciones no proporcionales, en desarrollar formas de razonar en relación a la construcción de la unidad y en manejar el significado multiplicativo de la idea de operador., A particular domain of mathematical knowledge for teaching is the specialized content knowledge. This study focuses on examining pre-service primary school teachers' mathematical content knowledge related to proportional reasoning. Results show that pre-service teachers' mathematical content knowledge is limited. These results are supported by pre-service teachers' difficulties in identifying non-proportional situations, in the development of ways of thinking related to the construction of the unit and in the use of the meaning of operator.

We discuss the contributions to the field of fractions of four research projects, conducted by the author and his colleagues. Several aspects of the design research methodology were central to the implementation of these projects. The contributions include specifying the big ideas of learning fractions, identifying viable starting points, and developing instructional innovations to support students’ understanding of this concept, Se discuten las aportaciones a la didáctica de las fracciones de cuatro investigaciones que el autor y sus colegas han realizado, retomando algunos aspectos de la metodología de los experimentos de diseño. Estas aportaciones conciernen a la puntualización de los objetivos de aprendizaje de las fracciones, la identificación de puntos de partida para la enseñanza y el desarrollo de propuestas alternativas para apoyar el aprendizaje de este concepto.

We present several methods invented by students in grades 5th through 8th to solve division of fractions problems. For each method we discuss how the teacher can help students develop their understanding of multiplicative comparison of fractions, by emphasizing fundamental mathematical principles that allow students generalize, extend, and relate their methods with other methods. The methods presented are repeated subtraction and interpretation of the remainder; use of the multiplicative identity and inverses; division as missing factor; inverse and direct proportional thinking; division of fractions as composition of operations; and division of fractions as a ratio between two quantities., Presentamos varios métodos inventados por alumnos de 5º a 8º grados para resolver problemas de división de fracciones. Para cada método discutimos cómo el maestro puede ayudar a los alumnos a desarrollar su comprensión de la comparación multiplicativa de fracciones, enfatizando principios matemáticos fundamentales que les permitan extender, generalizar y relacionar sus métodos con otros métodos. Los métodos presentados son sustracción repetida e interpretación del residuo, uso de la identidad y los inversos multiplicativos, división como factor faltante, razonamiento proporcional inverso y directo, división de fracciones como composición de operaciones, y división de fracciones como una razón entre dos cantidades.

We present several methods invented by students in grades 5th through 8th to solve division of fractions problems. For each method we discuss how the teacher can help students develop their understanding of multiplicative comparison of fractions, by emphasizing fundamental mathematical principles that allow students generalize, extend, and relate their methods with other methods. The methods presented are repeated subtraction and interpretation of the remainder; use of the multiplicative identity and inverses; division as missing factor; inverse and direct proportional thinking; division of fractions as composition of operations; and division of fractions as a ratio between two quantities., Presentamos varios métodos inventados por alumnos de 5º a 8º grados para resolver problemas de división de fracciones. Para cada método discutimos cómo el maestro puede ayudar a los alumnos a desarrollar su comprensión de la comparación multiplicativa de fracciones, enfatizando principios matemáticos fundamentales que les permitan extender, generalizar y relacionar sus métodos con otros métodos. Los métodos presentados son sustracción repetida e interpretación del residuo, uso de la identidad y los inversos multiplicativos, división como factor faltante, razonamiento proporcional inverso y directo, división de fracciones como composición de operaciones, y división de fracciones como una razón entre dos cantidades.

We discuss the contributions to the field of fractions of four research projects, conducted by the author and his colleagues. Several aspects of the design research methodology were central to the implementation of these projects. The contributions include specifying the big ideas of learning fractions, identifying viable starting points, and developing instructional innovations to support students’ understanding of this concept, Se discuten las aportaciones a la didáctica de las fracciones de cuatro investigaciones que el autor y sus colegas han realizado, retomando algunos aspectos de la metodología de los experimentos de diseño. Estas aportaciones conciernen a la puntualización de los objetivos de aprendizaje de las fracciones, la identificación de puntos de partida para la enseñanza y el desarrollo de propuestas alternativas para apoyar el aprendizaje de este concepto.

We discuss the contributions to the field of fractions of four research projects, conducted by the author and his colleagues. Several aspects of the design research methodology were central to the implementation of these projects. The contributions include specifying the big ideas of learning fractions, identifying viable starting points, and developing instructional innovations to support students’ understanding of this concept, Se discuten las aportaciones a la didáctica de las fracciones de cuatro investigaciones que el autor y sus colegas han realizado, retomando algunos aspectos de la metodología de los experimentos de diseño. Estas aportaciones conciernen a la puntualización de los objetivos de aprendizaje de las fracciones, la identificación de puntos de partida para la enseñanza y el desarrollo de propuestas alternativas para apoyar el aprendizaje de este concepto.

We present several methods invented by students in grades 5th through 8th to solve division of fractions problems. For each method we discuss how the teacher can help students develop their understanding of multiplicative comparison of fractions, by emphasizing fundamental mathematical principles that allow students generalize, extend, and relate their methods with other methods. The methods presented are repeated subtraction and interpretation of the remainder; use of the multiplicative identity and inverses; division as missing factor; inverse and direct proportional thinking; division of fractions as composition of operations; and division of fractions as a ratio between two quantities., Presentamos varios métodos inventados por alumnos de 5º a 8º grados para resolver problemas de división de fracciones. Para cada método discutimos cómo el maestro puede ayudar a los alumnos a desarrollar su comprensión de la comparación multiplicativa de fracciones, enfatizando principios matemáticos fundamentales que les permitan extender, generalizar y relacionar sus métodos con otros métodos. Los métodos presentados son sustracción repetida e interpretación del residuo, uso de la identidad y los inversos multiplicativos, división como factor faltante, razonamiento proporcional inverso y directo, división de fracciones como composición de operaciones, y división de fracciones como una razón entre dos cantidades.

Un dominio particular del conocimiento matemático para la enseñanza es el conocimiento de matemáticas especializado. Este estudio se centra en examinar el conocimiento de matemáticas especializado en el ámbito del razonamiento proporcional de un grupo de estudiantes para maestro de Educación Primaria. Los resultados muestran que los estudiantes para maestro tienen un conocimiento especializado sobre el razonamiento proporcional limitado puesto de manifiesto por la dificultad en identificar situaciones no proporcionales, en desarrollar formas de razonar en relación a la construcción de la unidad y en manejar el significado multiplicativo de la idea de operador., A particular domain of mathematical knowledge for teaching is the specialized content knowledge. This study focuses on examining pre-service primary school teachers' mathematical content knowledge related to proportional reasoning. Results show that pre-service teachers' mathematical content knowledge is limited. These results are supported by pre-service teachers' difficulties in identifying non-proportional situations, in the development of ways of thinking related to the construction of the unit and in the use of the meaning of operator.

En este documento informamos sobre un estudio realizado con una muestra de futuros profesores de primaria, luego de haber concluido su primer cuatrimestre de formación profesional. El estudio estuvo dirigido a determinar el conocimiento sobre la proporcionalidad adquirido por esa muestra, en relación con la distinción entre situaciones proporcionales/no-proporcionales y los tipos de resolución empleados. Los resultados indican, luego de concluido el proceso de instrucción respectivo, la falta de un desarrollo adecuado del razonamiento proporcional para realizarlas acciones demandadas.

En este documento informamos sobre un estudio realizado con una muestra de futuros profesores de primaria, luego de haber concluido su primer cuatrimestre de formación profesional. El estudio estuvo dirigido a determinar el conocimiento sobre la proporcionalidad adquirido por esa muestra, en relación con la distinción entre situaciones proporcionales/no-proporcionales y los tipos de resolución empleados. Los resultados indican, luego de concluido el proceso de instrucción respectivo, la falta de un desarrollo adecuado del razonamiento proporcional para realizarlas acciones demandadas.

El objetivo de este estudio es determinar perfiles de estudiantes y su variación a lo largo de la Educación Primaria y Secundaria cuando resuelven problemas proporcionales y no proporcionales. 755 estudiantes de Educación Primaria y Secundaria respondieron a un cuestionario con diferentes tipos de problemas proporcionales y no proporcionales. El análisis de las respuestas nos permitió identificar cinco perfiles que muestran la utilización de relaciones aditivas independientemente del tipo de problema por los estudiantes de Educación Primaria y la utilización de proporciones independientemente del tipo de problema por los estudiantes de Educación Secundaria. Estos resultados indican que el éxito en los problemas proporcionales no implica necesariamente que los estudiantes hayan sido capaces de construir el significado de la idea de razón., The aim of this study is to determine the variation of students’ behavioral profiles along Primary and Secondary School when solving proportional and non-proportional problems. The participants were 755 primary and secondary school students. From the analysis of students’ answers we identify five profiles indicating that primary school students use additive relationships regardless of the type of problem and secondary school students use multiplicative relationships regardless of the type of problem. These findings indicate that students’ success on proportional problems does not necessarily mean that students were able to construct the meaning of the idea of ratio.

Este estudio analiza las relaciones implicativas entre las estrategias usadas por 136 estudiantes de primer curso de educación secundaria en la resolución de problemas lineales y no lineales. En primer lugar, se describen las estrategias ocupadas por los alumnos y después, empleando el software CHIC, se identifican sus relaciones implicativas. Los resultados muestran que es importante que los estudiantes comprendan la idea de razón para que sean capaces de identificar las situaciones lineales; de igual manera, aportan información sobre los posibles precursores del desarrollo del razonamiento proporcional en los estudiantes de educación secundaria., This study analyzes the implicative relations between strategies used by 136 first year high school students in solving linear and non-linear problems. First of all, it describes the strategies used by students and then, using the CHIC software, it identifies implicative relations between them. The results demonstrate the importance of understanding the idea of reason in order to identify linear situations and information is provided in relation to possible precursors to the development of proportional reasoning.

El objetivo de este estudio es determinar perfiles de estudiantes y su variación a lo largo de la Educación Primaria y Secundaria cuando resuelven problemas proporcionales y no proporcionales. 755 estudiantes de Educación Primaria y Secundaria respondieron a un cuestionario con diferentes tipos de problemas proporcionales y no proporcionales. El análisis de las respuestas nos permitió identificar cinco perfiles que muestran la utilización de relaciones aditivas independientemente del tipo de problema por los estudiantes de Educación Primaria y la utilización de proporciones independientemente del tipo de problema por los estudiantes de Educación Secundaria. Estos resultados indican que el éxito en los problemas proporcionales no implica necesariamente que los estudiantes hayan sido capaces de construir el significado de la idea de razón., The aim of this study is to determine the variation of students’ behavioral profiles along Primary and Secondary School when solving proportional and non-proportional problems. The participants were 755 primary and secondary school students. From the analysis of students’ answers we identify five profiles indicating that primary school students use additive relationships regardless of the type of problem and secondary school students use multiplicative relationships regardless of the type of problem. These findings indicate that students’ success on proportional problems does not necessarily mean that students were able to construct the meaning of the idea of ratio.

Este estudio analiza las relaciones implicativas entre las estrategias usadas por 136 estudiantes de primer curso de educación secundaria en la resolución de problemas lineales y no lineales. En primer lugar, se describen las estrategias ocupadas por los alumnos y después, empleando el software CHIC, se identifican sus relaciones implicativas. Los resultados muestran que es importante que los estudiantes comprendan la idea de razón para que sean capaces de identificar las situaciones lineales; de igual manera, aportan información sobre los posibles precursores del desarrollo del razonamiento proporcional en los estudiantes de educación secundaria., This study analyzes the implicative relations between strategies used by 136 first year high school students in solving linear and non-linear problems. First of all, it describes the strategies used by students and then, using the CHIC software, it identifies implicative relations between them. The results demonstrate the importance of understanding the idea of reason in order to identify linear situations and information is provided in relation to possible precursors to the development of proportional reasoning.

Esta investigación presenta un estudio cuyo objetivo es identificar aspectos que apoyan el desarrollo de la mirada profesional en estudiantes para profesores de matemáticas en un contexto b-learning. Analizamos las producciones de un grupo de estudiantes para profesores de matemáticas de educación secundaria (documentos escritos y participaciones en un debate on-line) cuando analizaban el razonamiento proporcional de estudiantes de educación secundaria. Los resultados indican que la interacción en el debate en línea permitió a algunos estudiantes para profesor mejorar su capacidad de identificar e interpretar aspectos relevantes del pensamiento matemático de los estudiantes de educación secundaria. Estos resultados indican que el desarrollo de “una mirada profesional” del profesor es un proceso complicado pero que la posibilidad de construir un discurso progresivo en línea es un factor importante para su desarrollo., The focus of this research is to identify aspects that support pre-service mathematics teachers professional noticing in a b-learning context. We analyzed pre-service secondary school mathematics teachers’ productions (written reports and participations in an on-line debate) when they analyzed the secondary students’ proportional reasoning. Results show that interactions in the on-line debate improve some pre-service mathematics teachers’ ability to identify and interpret important aspects of secondary school students’ mathematical thinking. These results also show that the development of pre-service mathematics teachers’ professional noticing is a complex process. However, the possibility to build a progressive discourse in an on-line debate is a relevant aspect to the development of the professional noticing.

La competencia docente del maestro ―mirar con sentido el pensamiento matemático de los estudiantes implica identificar los hechos relevantes e interpretarlos para dotarlos de significado y poder tomar decisiones de acción. Este estudio se centra en caracterizar la competencia ―mirar con sentido el pensamiento matemático de los estudiantes en el dominio específico del razonamiento proporcional. Los análisis realizados han permitido identificar y caracterizar cuatro niveles de desarrollo considerando la manera en la que los estudiantes para maestro identifican e interpretaban aspectos del razonamiento proporcional a partir de las respuestas de estudiantes a problemas proporcionales y no proporcionales., Professional noticing of children‘s mathematical thinking involves the identification of noteworthy events, the interpretation of them and deciding how to respond on the basis of these observations. The goal of this study is to characterize pre-service primary teachers‘ professional noticing of children‘s mathematical thinking in a particular context: the proportional reasoning. We have considered how pre-service primary teachers identified and interpreted relevant aspects of pupil‘s proportional reasoning when they are analyzing pupils‘ answers to proportional and non-proportional problems. This analysis has allowed us to identify and characterize four levels of the development of pre-service primary teachers‘ professional noticing of children‘s mathematical thinking.

Esta investigación presenta un estudio cuyo objetivo es identificar aspectos que apoyan el desarrollo de la mirada profesional en estudiantes para profesores de matemáticas en un contexto b-learning. Analizamos las producciones de un grupo de estudiantes para profesores de matemáticas de educación secundaria (documentos escritos y participaciones en un debate on-line) cuando analizaban el razonamiento proporcional de estudiantes de educación secundaria. Los resultados indican que la interacción en el debate en línea permitió a algunos estudiantes para profesor mejorar su capacidad de identificar e interpretar aspectos relevantes del pensamiento matemático de los estudiantes de educación secundaria. Estos resultados indican que el desarrollo de “una mirada profesional” del profesor es un proceso complicado pero que la posibilidad de construir un discurso progresivo en línea es un factor importante para su desarrollo., The focus of this research is to identify aspects that support pre-service mathematics teachers professional noticing in a b-learning context. We analyzed pre-service secondary school mathematics teachers’ productions (written reports and participations in an on-line debate) when they analyzed the secondary students’ proportional reasoning. Results show that interactions in the on-line debate improve some pre-service mathematics teachers’ ability to identify and interpret important aspects of secondary school students’ mathematical thinking. These results also show that the development of pre-service mathematics teachers’ professional noticing is a complex process. However, the possibility to build a progressive discourse in an on-line debate is a relevant aspect to the development of the professional noticing.

La competencia docente del maestro ―mirar con sentido el pensamiento matemático de los estudiantes implica identificar los hechos relevantes e interpretarlos para dotarlos de significado y poder tomar decisiones de acción. Este estudio se centra en caracterizar la competencia ―mirar con sentido el pensamiento matemático de los estudiantes en el dominio específico del razonamiento proporcional. Los análisis realizados han permitido identificar y caracterizar cuatro niveles de desarrollo considerando la manera en la que los estudiantes para maestro identifican e interpretaban aspectos del razonamiento proporcional a partir de las respuestas de estudiantes a problemas proporcionales y no proporcionales., Professional noticing of children‘s mathematical thinking involves the identification of noteworthy events, the interpretation of them and deciding how to respond on the basis of these observations. The goal of this study is to characterize pre-service primary teachers‘ professional noticing of children‘s mathematical thinking in a particular context: the proportional reasoning. We have considered how pre-service primary teachers identified and interpreted relevant aspects of pupil‘s proportional reasoning when they are analyzing pupils‘ answers to proportional and non-proportional problems. This analysis has allowed us to identify and characterize four levels of the development of pre-service primary teachers‘ professional noticing of children‘s mathematical thinking.

El objetivo de este estudio es analizar la influencia del esquema aditivo en el desarrollo del razonamiento proporcional en estudiantes de educación secundaria. 558 estudiantes de educación secundaria respondieron a un cuestionario de problemas proporcionales y no proporcionales. Los resultados indican (i) que la capacidad de los estudiantes en identificar las relaciones proporcionales en los problemas proporcionales no implica necesariamente que sean capaces de identificar correctamente las relaciones aditivas en los problemas no proporcionales y viceversa; y (ii) que el tipo de relación multiplicativa entre las cantidades (entera o no entera) influía en el nivel de éxito en la resolución de los problemas proporcionales y no proporcionales., The focus of this study is to analyse the influence of the additive schema in the development of secondary school students’ proportional reasoning. A test consisted of proportional and non-proportional problems was solved by 558 secondary school students. Results show (i) that students’ ability to identify the multiplicative relationships between quantities in proportional problems does not necessary imply students’ ability to identify the additive relationships between quantities in non-proportional situations and vice versa; and (ii) that the type of multiplicative relationship between quantities (integer or non-integer) influence on students’ success when solving proportional and non-proportional problems., Le but de cette étude est d’analyser l’influence du schéma additif dans le développement du raisonnement proportionnel chez les élèves du secondaire. 558 élèves du secondaire ont répondu à un questionnaire de problèmes proportionnels et non proportionnels. Les résultats montrent (i) que la capacité des étudiants pour identifier les relations proportionnelles dans les problèmes proportionnels n’impliquent pas nécessairement qu’ils soient capables d’identifier correctement les relations additives dans les problèmes non proportionnels et vice versa ; et (ii) le genre de relation multiplicative entre les montants (entier ou non entier) a influencé dans le niveau de succès dans la résolution des problèmes proportionnels et non proportionnels.

Presentamos los resultados de un estudio sobre la evolución de los perfiles de los estudiantes cuando resuelven problemas lineales y no lineales desde los 9 a los 16 años. Los resultados indican que hay una evolución en muchos de los estudiantes desde la utilización de las relaciones aditivas “en cualquier problema” durante la educación primaria hasta la utilización de relaciones multiplicativas “en cualquier problema” durante la educación secundaria. Además, hay un aumento paulatino del número de estudiantes que razonan de manera sistemática en ambos tipos de problemas. Estos resultados indican que el éxito en los problemas aditivos o en los problemas lineales no implica necesariamente que los estudiantes sean capaces de identificar y diferenciar la idea de razón y proporción., We present the results of a study about the development of students’ profiles (9 to 16 years-old students) when solving proportional and non-proportional problems. Results show a students’ development for applying additive relationships “anywhere” during primary school to applying multiplicative relationships “anywhere” during secondary school. Furthermore, there is a gradual increase of the number of students who use systematically the same strategy in both types of problems. Therefore, the increase of students’ success on additive or proportional problems does not imply necessarily the students’ ability to identify and differentiate the idea of ratio and proportion.

Presentamos los resultados de un estudio sobre la evolución de los perfiles de los estudiantes cuando resuelven problemas lineales y no lineales desde los 9 a los 16 años. Los resultados indican que hay una evolución en muchos de los estudiantes desde la utilización de las relaciones aditivas “en cualquier problema” durante la educación primaria hasta la utilización de relaciones multiplicativas “en cualquier problema” durante la educación secundaria. Además, hay un aumento paulatino del número de estudiantes que razonan de manera sistemática en ambos tipos de problemas. Estos resultados indican que el éxito en los problemas aditivos o en los problemas lineales no implica necesariamente que los estudiantes sean capaces de identificar y diferenciar la idea de razón y proporción., We present the results of a study about the development of students’ profiles (9 to 16 years-old students) when solving proportional and non-proportional problems. Results show a students’ development for applying additive relationships “anywhere” during primary school to applying multiplicative relationships “anywhere” during secondary school. Furthermore, there is a gradual increase of the number of students who use systematically the same strategy in both types of problems. Therefore, the increase of students’ success on additive or proportional problems does not imply necessarily the students’ ability to identify and differentiate the idea of ratio and proportion.

El objetivo de este estudio es analizar la influencia del esquema aditivo en el desarrollo del razonamiento proporcional en estudiantes de educación secundaria. 558 estudiantes de educación secundaria respondieron a un cuestionario de problemas proporcionales y no proporcionales. Los resultados indican (i) que la capacidad de los estudiantes en identificar las relaciones proporcionales en los problemas proporcionales no implica necesariamente que sean capaces de identificar correctamente las relaciones aditivas en los problemas no proporcionales y viceversa; y (ii) que el tipo de relación multiplicativa entre las cantidades (entera o no entera) influía en el nivel de éxito en la resolución de los problemas proporcionales y no proporcionales., The focus of this study is to analyse the influence of the additive schema in the development of secondary school students’ proportional reasoning. A test consisted of proportional and non-proportional problems was solved by 558 secondary school students. Results show (i) that students’ ability to identify the multiplicative relationships between quantities in proportional problems does not necessary imply students’ ability to identify the additive relationships between quantities in non-proportional situations and vice versa; and (ii) that the type of multiplicative relationship between quantities (integer or non-integer) influence on students’ success when solving proportional and non-proportional problems., Le but de cette étude est d’analyser l’influence du schéma additif dans le développement du raisonnement proportionnel chez les élèves du secondaire. 558 élèves du secondaire ont répondu à un questionnaire de problèmes proportionnels et non proportionnels. Les résultats montrent (i) que la capacité des étudiants pour identifier les relations proportionnelles dans les problèmes proportionnels n’impliquent pas nécessairement qu’ils soient capables d’identifier correctement les relations additives dans les problèmes non proportionnels et vice versa ; et (ii) le genre de relation multiplicative entre les montants (entier ou non entier) a influencé dans le niveau de succès dans la résolution des problèmes proportionnels et non proportionnels.