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We study the local solvability of the tangential Cauchy-Riemann equation on an open neighborhood $\omega$ of a point $z_0\in M$ when $M$ is a generic $q$-concave $CR$ manifold of real codimension $k$ in $\mathbb{C}^n$, where $1\le k\le n-1$. Our method is to first derive a homotopy formula for $\overline\partial_b$ in $\omega$ when $\omega$ is the intersection of $M$ with a strongly pseudoconvex domain. The homotopy formula gives a local solution operator for any $\overline\partial_b$-closed form on $\omega$ without shrinking. We obtain Hölder and $L^p$ estimates up to the boundary for the solution operator. \vskip 1pc \noindent{\sc Résumé.} Nous étudions la résolubilité locale de l'opérateur de Cauchy-\linebreak Riemann tangentiel sur un voisinage $\omega$ d'un point $z_0$ d'une sous-variété $CR$ générique $q$-concave $M$ de codimension quelconque de $\mathbb C^n$. Nous construisons une formule d'homotopie pour le $\overline\partial_b$ sur $\omega$, lorsque $\omega$ est l'intersection de $M$ et d'un domaine strictement pseudoconvexe. Nous obtenons ainsi un opérateur de résolution pour toute forme $\overline\partial_b$-fermée sur $\omega$. Nous en déduisons des estimations $L^p$ et des estimations hölderiennes jusqu'au bord pour la solution de l'équation de Cauchy-Riemann tangentielle sur $\omega$. [ABSTRACT FROM AUTHOR]