Search

El estudio se desarrolla en el ámbito del pensamiento algebraico en educación primaria. Trabajamos con seis estudiantes de segundo de educación primaria (7-8 años) una tarea de generalización durante entrevistas semiestructuradas individuales. Nos centramos en las mediaciones del investigador-docente que guio dichas entrevistas. Se pretende describir la generalización de los estudiantes antes y después de las mediaciones realizadas. Los resultados destacan que, al finalizar las entrevistas, los seis estudiantes generalizaron algunos de forma correcta y otros de forma incompleta. Identificamos que las mediaciones tuvieron un rol fundamental para la identificación de la regularidad de la tarea planteada, permitiéndoles corregir errores y justificar., This study is developed within the field of algebraic thinking in elementary school. We worked with six second graders (7-8 years old) on a generalization task during individual semi-structured interview. We focused on the mediations of the researcher-teacher who guided these interviews. The research objective is to describe the generalization of the students before and after the mediations. The results highlight that, at the end of the interviews, all six students generalized, some of them correctly and others incompletely. We also identified that the mediations played a fundamental role in identifying the regularity of the task, allowing the students to correct errors and justify.

El objetivo de este trabajo es describir una propuesta de enseñanza que promueva el pensamiento algebraico a través de la expresión y justificación de ideas matemáticas al resolver tareas relacionadas con tres enfoques distintos del pensamiento algebraico. Diseñamos un experimento de enseñanza implementado durante la pandemia de la COVID-19 en Chile. Analizamos las discusiones orales y las producciones escritas de niños de cuarto de primaria (9-10 años). Los resultados muestran que los niños expresaron y justificaron ideas algebraicas cada vez más sofisticadas. Es decir, adoptaron paulatinamente un lenguaje matemático más preciso y abstracto. Concluimos que esta modalidad de trabajo, en la cual se destaca el carácter algebraico de la aritmética a través de diversas instancias de discusión, es un aporte para los docentes, al guiarlos en abordar los desafíos de enseñanza actuales. The aim of this paper is to describe a teaching proposal that promotes algebraic thinking through the expression and justification of mathematical ideas when solving tasks related to three different approaches to algebraic thinking. We designed a classroom teaching experiment implemented during the COVID pandemic in Chile. We analyze the oral discussions and the written productions of children in fourth grade (9-10 years old). The results show that the children expressed and justified increasingly sophisticated algebraic ideas. That is, they gradually adopted a more precise and abstract mathematical language. We conclude that this modality of work, in which the algebraic character of arithmetic is highlighted through various instances of discussion, is a contribution for teachers, by guiding them in addressing current teaching challenges.

En este estudio se analizan las tareas matemáticas sobre álgebra temprana en una colección de ocho libros de texto chilenos de Educación Infantil (4 a 6 años). La investigación siguió una metodología cualitativa, de carácter exploratorio-descriptivo, utilizando la técnica de análisis de contenido. Los resultados muestran una presencia de tareas algebraicas en todos los libros de texto analizados, predominando las tareas vinculadas con establecer relaciones a partir del reconocimiento de atributos, seguidas de tareas que requieren de la seriación a partir de patrones de repetición y una escasa presencia de tareas que implican la descripción de cambios., This study analyses the mathematical tasks on early algebra in a collection of eight widely distributed Chilean textbooks for Early Childhood Education (4 to 6 years old). The research followed a qualitative methodology, of an exploratory-descriptive nature, using the technique of content analysis. The results show a presence of algebraic tasks in all the textbooks analysed, with a predominance of tasks linked to establishing relations based on the recognition of attributes, followed by tasks that require seriation based on patterns of repetition, and a scarce presence of tasks that involve the description of changes., Este estudo analisa as tarefas matemáticas sobre álgebra inicial em uma coleção de oito livros didáticos chilenos amplamente distribuídos para a Educação Infantil (4 a 6 anos). A pesquisa seguiu uma metodologia qualitativa, de natureza exploratório-descritiva, utilizando a técnica de análise de conteúdo. Os resultados mostram a presença de tarefas algébricas em todos os livros analisados, com predominância de tarefas ligadas ao estabelecimento de relações baseadas no reconhecimento de atributos, seguidas de tarefas que exigem seriação com base em padrões de repetição, e uma presença escassa de tarefas que envolvem a descrição das mudanças.

Nous présentons dans cet article les analyses d’entretiens menés dans le cadre d’un projet pilote sur les suites non numériques (répétitives et croissantes) auprès de 18 élèves de 4 à 6 ans fréquentant le jardin ou la maternelle dans deux écoles de l’Ontario. Nous avons étudié les composantes d’une pensée algébrique en déterminant les niveaux de performance associée à la tâche à résoudre chez les élèves ainsi que les erreurs et les connaissances numériques interférant dans le processus d’analyse de telles suites. Cette étude nous a permis de caractériser le potentiel d’élèves du préscolaire dans la réalisation d’une tâche portant sur les suites non numériques et, conséquemment, d’identifier des éléments pouvant contribuer ou entraver le développement d’une pensée algébrique., In this article, we present analysis of interviews conducted as part of a pilot project on non-numerical (repetitive and growing) sequences among 18 four- to six-year-olds enrolled in kindergarten or preschool in two French-language schools in Ontario. We studied the components of algebraic thinking by identifying the performance levels associated with the tasks to be solved by students, as well as the errors and interfering numerical knowledge in the process of analyzing such sequences. The study allowed us to describe the preschool students’ potential in performing a task related to non-numerical sequences, and, consequently, to pinpoint elements that may contribute to or hinder the development of algebraic thinking., Presentamos en este artículo, los análisis de entrevistas llevadas a cabo en el marco de un proyecto piloto sobre secuencias no numéricas (repetitivas y crecientes) con 18 alumnos de cuatro a seis años que asistían a los jardines infantiles o al preescolar en dos escuelas de la provincia de Ontario. Hemos estudiado los componentes de un pensamiento algebraico identificando los niveles de desempeño asociados con la tarea a resolver por los alumnos, así como los errores y el conocimiento numérico que interfieren en el proceso de análisis de tales secuencias. Este estudio nos permitió caracterizar el potencial de los alumnos de preescolar para llevar a cabo una tarea relacionada con secuencias no numéricas y, en consecuencia, identificar elementos que pueden contribuir o dificultar el desarrollo del pensamiento algebraico.

Presentamos un estudio descriptivo y exploratorio en el que se analizan los diferentes niveles de generalización que manifiestan ocho estudiantes de cuarto curso de primaria en una entrevista semiestructurada, a la vez que se reconoce la influencia, en tales manifestaciones, de los estímulos efectuados a los alumnos por parte de la entrevistadora., We present a descriptive and exploratory research in which we analyze the different levels of generalization demonstrated by eight fourth grade students of primary school in a semistructured interview, at the same time we recognize, in the students’ manifestations, the influence of the stimuli made by the interviewer to the students., El presente trabajo se ha realizado dentro del proyecto de investigación del Plan Nacional I+D con referencia (EDU2013-41632-P, EDU2016-75771-P), financiados por el Ministerio de Economía y Competitividad de España; y en el seno del grupo de investigación “Didáctica de la Matemática. Pensamiento Numérico” (FQM-193) de la Universidad de Granada, perteneciente al Plan Andaluz de Investigación, Desarrollo e innovación de la Junta de Andalucía.

Ponencia presentada en : XXIV Simposio de la SEIEM (Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática).Valencia del 8 al 10 de septiembre de 2021 Presentamos parte de un proyecto de investigación que tiene como objetivo general, analizar la progresión en el pensamiento algebraico de estudiantes de Educación Primaria al resolver una secuencia de problemas de patrones geométricos. Para ello, es necesario analizar las distintas estrategias que emplean los estudiantes al resolver este tipo de problemas. Tras estudiar las estrategias recogidas en la literatura, presentamos una nueva clasificación a modo de marco teórico para nuestra investigación, cuyo objetivo es hacer más detallado y profundo el análisis de las respuestas de los estudiantes. En esta clasificación diferenciamos entre las estrategias empleadas en cuestiones de relación directa e inversa. Describimos cada estrategia e incluimos ejemplos de respuestas producidas por estudiantes de Primaria. We present part of a research project aimed to analyze the progress of primary school students’ algebraic thinking when solving a sequence of geometric pattern problems. To accomplish this, it is necessary to analyze the diversity of strategies used by students when solving these problems. After having analyzed the strategies found in the literature, we present a new classification as a theoretical framework for our research. The aim of this new framework is to allow a more detailed and deeper analysis of students’ responses. In this classification we distinguish between strategies used on direct and inverse question. We describe each strategy and show examples of answers by primary school students.

Nous présentons une analyse rétrospective de l’expérimentation réalisée auprès d’élèves de 6 à 8 ans au Québec pendant trois ans. Inspirés par les travaux de Davydov, nous avons conçu des activités de résolution de problèmes écrits ayant une structure additive simple permettant aux élèves de modéliser des relations entre les quantités faisant évoluer leur raisonnement mathématique. Les enseignants formés dans le cadre de l’expérimentation ont réalisé plusieurs activités de manipulation, modélisation et résolution avec les élèves, ce qui leur assure une meilleure réussite dans la résolution des problèmes. Notre analyse rétrospective de l’ensemble des interventions expérimentales réalisées nous a permis de clarifier certains éléments théoriques à considérer dans le développement du raisonnement algébrique chez les élèves., This article presents a retrospective analysis of an experiment conducted with students 6–8 years old in Quebec over a three-year period. Inspired by the works of Davydov, we designed written problem-solving activities with a simple additive structure to enable students to model relationships between quantities and help them develop their mathematical reasoning. The teachers trained in the context of this experiment held several manipulation, modelling and solving activities with the students to give them a better chance at successful problem-solving. Our retrospective analysis of the experimental interventions during this initiative helps clarify certain theoretical elements to take into account when it comes to developing algebraic reasoning in students., Presentamos un análisis retrospectivo de una experiencia realizada durante tres años con alumnos de entre 6 y 8 años en Quebec. Inspirados por los trabajos de Davydov, concebimos actividades de resolución de problemas que tenían una estructura aditiva simple, permitiendo a los alumnos modelizar relaciones entre las cantidades y así hacer evolucionar su razonamiento matemático. Los profesores formados en el marco de esta experiencia realizaron varias actividades de manipulación, modelización y resolución con los alumnos, lo que les permitía alcanzar mayor éxito en la resolución de problemas. Nuestro análisis retrospectivo del conjunto de intervenciones experimentales realizadas nos ha permitido aclarar ciertos elementos teóricos a considerar en el desarrollo del razonamiento algebraico de los alumnos.

Recientes investigaciones en Educación Matemática han puesto de manifiesto que los niños desde edades tempranas son capaces de mostrar pensamiento algebraico, y destacan la importancia de proporcionar contextos que les ayude a desarrollarlo. Con el fin de profundizar en estos aspectos, este trabajo explora las estrategias de generalización cercana, lejana y de relación inversa que muestran seis niños de 6 y 7 años al resolver una tarea que involucra un patrón geométrico. Se observa en los resultados una preferencia por las estrategias conteo y recursiva para la obtención de términos cercanos, con algunas manifestaciones de estrategias más avanzadas para generalización lejana. Además, dos de los participantes obtienen la relación funcional inversa para un valor concreto haciendo uso de distintas estrategias. Los resultados coinciden con estudios similares que evidencian que los niños de estas edades son capaces de resolver tareas que involucren relaciones funcionales, y dan información sobre el razonamiento que manifiestan en la búsqueda de los distintos términos de la secuencia. Se concluye destacando la importancia de trabajar con tareas de patrones similares a las del trabajo acompañándolas de material familiar a los estudiantes con el fin de ayudarles a desarrollar este tipo de pensamiento. Recent research in Mathematics Education has shown that children from an early age can express algebraic thinking and highlight the importance of providing contexts that help them develop it. In order to deepen in these aspects, this project explore near, far and inverse generalization strategies shown by six children aged 6 and 7 when solving a task that involves a geometric pattern. The results show a preference for counting and recursive strategies for obtaining near terms, with some evidence of more advanced strategies for far generalization. In addition, it is shown how two of the students were able to find the inverse functional relationship for a specific value using a variety of strategies. The results coincide with similar studies that show that students of this age can solve tasks that involve functional relationships and provide information about their reasoning when trying to find the different terms of the sequence. Finally, in order to help the students develop this type of reasoning the importance of working with geometric pattern tasks together with concrete material familiar to them is highlighted. Trabajo financiado por proyecto “Resolución de problemas y competencia matemática en la educación primaria y secundaria y en la formación de profesores”. Ministerio de Economía, Industria y Competitividad (EDU2017-84276-R).

Los conocimientos previos que poseen los estudiantes cuando ingresan a la universidad, pueden ser considerados como un arma de dos filos. Por una parte, si estos conocimientos fueron aprendidos de manera significativa pueden ser utilizados como una herramienta de apoyo, al momento de que dichos estudiantes intentan resolver las distintas tareas algebraicas que enfrentarán durante su formación académica. Sin embargo, si no fueron comprendidos de manera correcta, pueden convertirse en obstáculos cognitivos difíciles de superar, al tratar de aplicar dichos conocimientos en los nuevos contextos que se les presentarán. Esta investigación presenta un estudio cualitativo mediante la aplicación de 20 entrevistas semiestructuradas en estudiantes universitarios, donde se analizaron sus respuestas a una prueba escrita basada en los ítems obtenidos del trabajo de Matz (1980). Los resultados nos indican que los conocimientos previos de los estudiantes entrevistados fungen más como obstáculos que como apoyo. The previous knowledge that the students possess when they enter the university, can be considered like a weapon of two edges. On the one hand, if these knowledges were learned in a meaningful way they can be used as a support tool, at the moment when the students try to solve the different algebraic tasks that they will face during their academic formation. However, if they were not understood correctly, they can become difficult cognitive obstacles to overcome, when trying to apply that knowledge in the new contexts that will be presented to them. This research presents a qualitative study through the application of 20 semi-structured interviews in university students, where their answers to a written test based on the items obtained from the work of Matz (1980) were analyzed. The results indicate that the previous knowledge of the students interviewed serves more as obstacles than as support.

Este artículo se encuentra disponible en la página web de la revista en la siguiente URL: http://relime.org/articulos/2101/201804a/index.html El objetivo de esta investigación es estudiar la forma en la que estudiantes de Educación Primaria resuelven problemas de generalización de patrones. Para ello se ha analizado el nivel de éxito, las estrategias utilizadas y la progresión de 106 alumnos de 3º,4º, 5º y 6º de Educación Primaria resolviendo un problema de generalización de patrones. Los resultados obtenidos muestran que los estudiantes con mayor éxito comienzan con estrategias aditivas y después cambian a estrategias funcionales, que invertir el proceso presenta una mayor demanda cognitiva y que muy pocos estudiantes son capaces de expresar la regla general algebraicamente. El análisis de la progresión de los estudiantes nos ha permitido definir descriptores de una trayectoria de aprendizaje que ayuda a diagnosticar la comprensión de los estudiantes y a describir su progreso en términos de crecimiento a través de diez niveles de desarrollo. / The objective of this research is to study the way in which students of Primary Education solve problems of generalization of patterns. For this we analyzed the level of success, the strategies used and progression of 106 students in 3rd, 4th, 5th and 6th degree of Primary Education solving one problem of generalization of patterns. The results obtained show that the most successful students begin with additive strategies and then change to functional strategies, that reverse the process has a higher cognitive demand and very few students are able to express the general rule algebraically. The analysis of students’ progression has allowed us to define a descriptors of learning trajectory that help to recognize the students’ understanding and to describe their progress in terms of growth through ten levels of development. / L’objectif de cette recherché est d’étudier la façon dont les élèves de l’Enseignement Primaire résolvent les problèmes de généralisation de modèles. Pour ce faire, on a analysé le niveau de succès, les stratégies utilisées et la progression de 106 élèves de 3e, 4e, 5e et 6e année de l’Enseignement Primaire en résolvant un problème de généralisation de modèles. Les résultats obtenus montrent que les étudiants avec le plus de succès commencent avec des stratégies additives et après ils changent à des stratégies fonctionnelles, car invertir le procès présente une plus grande demande cognitive, et que très peu d’étudiants sont capables d’exprimer la règle générale de manière algébraïque. L’analyse du progrès des étudiants nous a permis de définir des descripteurs d’une trajectoire d’apprentissage qui aide à faire le diagnostic de la compréhension des étudiants et à décrire leur progrès en termes de croîssance à travers dix niveaux de développement. / O objetivo desta pesquisa é estudar a maneira pela qual os alunos da escola primária resolvem problemas de generalização de padrões. Com este fim, analisamos o nível de sucesso, as estratégias utilizadas e a progressão de 106 alunos no 3º, 4º, 5º e 6º cursos do Ensino Básico enquanto resolvem um problema de generalização de padrões. Os resultados mostram que os alunos mais bem-sucedidos começam com estratégias aditivas para mudar depois a estratégias funcionais, que reverter o processo tem uma maior demanda cognitiva e também que poucos alunos são capazes de expressar algebricamente a regra geral. Além disso, a análise da progressão dos estudantes permitiunos definir descritores duma trajetória de aprendizagem que ajuda a diagnosticar a compreensão dos estudantes e a descrever os seus progressos em termos de crescimento através de dez níveis de desenvolvimento.

Este trabajo está integrado en una investigación más general cuyo interés es el estudio del pensamiento funcional de los estudiantes de educación primaria como aproximación al pensamiento algebraico. El problema de investigación de este trabajo se centra en los modos de pensamiento algebraico en estudiantes de 3º curso de primaria, en concreto del pensamiento funcional, en el contexto español. Específicamente, el objetivo general de esta investigación es identificar y describir el trabajo de aquellos estudiantes de tercero de educación primaria que ponen de manifiesto pensamiento funcional en la resolución de problemas de generalización. Como componentes asociados al pensamiento funcional, nos centramos en las relaciones funcionales que los alumnos establecen, los sistemas de representación que emplean y la capacidad de generalización que manifiestan estos estudiantes. A partir del trabajo desarrollado con un grupo de estudiantes del mencionado curso, nos centramos en las respuestas de los estudiantes, tanto escritas como verbales, para describir aspectos esenciales que ayudan a identificar y caracterizar la presencia de este tipo de pensamiento en los estudiantes. Esta investigación es parte de un experimento de enseñanza de cuatro sesiones, donde nos centramos en la última de estas. Los estudiantes participantes en nuestro estudio evidencian relaciones funcionales de correspondencia y covariación, predominando la primera. Hay pre-sencia de generalización en las respuestas de los estudiantes, desde donde encontramos diferentes tipos de generalización en las respuestas analizados. Finalmente, los estudiantes utilizan con mayor frecuencia los sistemas de representación numérico y verbal y, en menor medida, el manipulativo y pictórico. Observamos también el uso de representaciones múltiples.

Este trabajo identifica características del pensamiento algebraico en alumnos de educación primaria (6 a 12 años) cuando resuelven un problema de generalización de patrones lineales con una sucesión de figuras. Los resultados indican que el pensamiento algebraico se puede iniciar con la coordinación de la estructura espacial y numérica puesta de manifiesto por el uso de representaciones gráficas para hacer un recuento. El cambio de una representación gráfica a una estrategia funcional supone un salto cualitativo ya que implica apoyarse en una figura particular para explicar los cálculos usando deícticos espaciales, o dar explicaciones sobre las figuras en general usando la indeterminación. This paper identifies characteristics of primary school pupils (6-12 years) algebraic thinking when solving a linear patterns generalizing problem with a succession of figures. Results show that algebraic thinking starts with the coordination of spatial and numerical structures. It is evidenced in students’ use of graphical representation to do a recount. The change from a graphical representation to a functional strategy implies a qualitative step since these students relied on a particular figure to explain their calculations using spatial deictic or they give general explanations of figures using the indeterminacy. Esta investigación ha recibido el apoyo del Proyecto I+D+i EDU2014-54526-R del Ministerio de Ciencia e Innovación, España y de grupos de investigación emergentes GV/2014/075 de la Conselleria de Educación, Cultura y Deporte de la Generalitat Valenciana.

La posibilidad de potenciar el desarrollo de pensamiento algebraico en los primeros años de escolaridad es un aspecto que cada vez genera mayor interés para la investigación en educación matemática. En particular, la generalización de patrones es considerada como una de las formas más importantes de introducir el álgebra en la escuela. Sin embargo esto demanda necesariamente desarrollar una perspectiva ampliada sobre la naturaleza del álgebra escolar, que considere una relación dialéctica entre las formas de pensamiento algebraico y las maneras de resolver los problemas sobre generalización de patrones, lo cual introduce un problema en términos de la constitución del pensamiento algebraico en alumnos jóvenes. En este proceso de generalización de patrones debemos considerar que los actos de conocimiento por parte de los estudiantes incluyen diferentes modalidades sensoriales, tales como lo táctil, lo perceptual, lo kinestésico, etc., que llegan a ser partes integrales de los procesos cognitivos. Esto es lo que se ha llamado en el contexto internacional (Arzarello, 2006) la naturaleza multimodal de la cognición humana. Estamos, pues, frente a la necesidad de reconocer todas aquellas situaciones discursivas (orales y escritas), gestuales y procedimentales que evidencien en los estudiantes intentos de construir explicaciones y argumentos sobre estructuras generales y modos de pensar, así sus argumentaciones y explicaciones se apoyen en situaciones particulares, o en acciones concretas. En términos epistemológicos, estamos sugiriendo que los modos de conceptualizar, conocer y pensar no pueden ser adecuadamente descritos solamente en términos de prácticas discursivas. Es importante considerar los recursos cognitivos, físicos y perceptuales que los estudiantes movilizan cuando trabajan con ideas matemáticas. Estos recursos o modalidades incluyen comunicaciones simbólicas y orales así como dibujos, gestos, la manipulación de artefactos y el movimiento corporal (Arzarello, 2006; Radford, Edwards & Arzarello, 2009). The possibility of promoting the development of algebraic thinking in the early years of schooling is an issue that increasingly generates more interest for research in mathematics education. In particular, generalization of patterns is considered one of the most important ways of introducing algebra in school. However this necessarily demand develop an enlarged perspective on the nature of school algebra, consider a dialectical relationship between forms of algebraic thinking and ways of solving the problems of generalization pattern, which introduces a problem in terms of the constitution of algebraic thinking in young students. In this process of generalization of patterns we must consider that acts of knowledge by students include different sensory modalities, such as tactile, perceptual, the kinesthetic, etc., which become integral parts of cognitive processes. This is what has been called in the international context (Arzarello, 2006) the multimodal nature of human cognition. We are therefore faced with the need to recognize all those discursive situations (oral and written), gestural and procedural evidencing in student attempts to build explanations and arguments on general structures and mindsets, and their arguments and explanations are supported by individuals or situations into concrete actions. In epistemological terms, we are suggesting ways of conceptualizing, knowing and thinking can not be adequately described only in terms of discursive practices. It is important to consider the cognitive, physical and perceptual students mobilize resources when working with mathematical ideas. These resources or modalities include symbolic and oral communication as well as drawings, gestures, manipulation of artifacts and body movement (Arzarello, 2006; Radford, Edwards & Arzarello, 2009).

Se presenta un taller práctico para docentes investigadores que tiene comoobjetivo proporcionar herramientas que permitan ampliar la mirada de lossignos que dan cuenta del pensamiento algebraico en la resolución de tareassobre generalización de patrones. Esta intención se capitaliza al proponera los asistentes un ejercicio de análisis de la actividad matemática de ungrupo de estudiantes cuando resuelven una Tarea sobre generalización depatrones de una secuencia figural. Para tal fin se usan algunos elementos dela teoría cultural de la objetivación como categorías de análisis.

Exponemos en este documento algunos resultados de una investigación cualitativa que tiene como objetivo diseñar experiencias que posibiliten el desarrollo de habilidades comunicativas (NCTM, 2000) en estudiantes de once grado, y analizar como dichas habilidades contribuyen en el progresode su pensamiento algebraico. Este estudio surge para atender una problemática identificada en estudiantes de nuevo ingreso a la universidad, quienes en una prueba inicial dejan ver que sus respuestas incorrectas refieren más a su baja interpretación de enunciados que a la incorrecta aplicación de algoritmos. Para la consecución de dicho objetivo se diseña e implementa un plan de intervención con algunos casos de estudio, quienes en las primeras etapas de implementación del plan diseñado recaen en las mismas dificultades.

En esta comunicación se presentan los resultados obtenidos al implementa una de las Tareas diseñadas para el proyecto de investigación presentado como tesis de maestría de Gómez (2013). Se muestra el análisis realizado a la actividad matemática de los estudiantes foco de la investigación utilizando como marco de referencia el enfoque semiótico-culturalpropuesto por Radford (2008, 2009) sobre el pensamiento algebraico. El objetivo es socializar una evidencia de la movilización de algunos medios semióticos de objetivación por parte de un grupo de estudiantes de décimo grado de la educación escolar colombiana al resolver una Tarea sobre generalización de patrones en secuencias figurales. Además se utilizan dichos medios semióticos de objetivación para caracterizar las formas de pensamiento algebraico manifestadas por los estudiantes.

Se analizan aquí las competencias y dificultades de estudiantes universitarios al resolver problemas de determinación de máximos o mínimos de funciones reales enunciados verbalmente o con contexto geométrico, a partir de las actuaciones observadas. La investigación fue motivada por la preocupación de conocer si los cursos de matemáticas en la universidad mejoran la competencia del estudiante para expresar en lenguaje algebraico las situaciones planteadas de forma verbal, lo cual es un prerrequisito para estar en posibilidad de aplicar técnicas de cálculo diferencial. Uno de los hallazgos más relevantes es que los estudiantes fracasan en la comprensión cualitativa del problema y en la transición, no solamente del lenguaje verbal al algebraico, sino también del pensamiento aritmético al algebraico.

La posibilidad de potenciar el desarrollo de pensamiento algebraico en los primeros anos de escolaridad es un aspecto que cada vez genera mayor interes para la investigacion en educacion matematica. En particular, la generalizacion de patrones es considerada como una de las formas mas importantes de introducir el algebra en la escuela. Sin embargo esto demanda necesariamente desarrollar una perspectiva ampliada sobre la naturaleza del algebra escolar, que considere una relacion dialectica entre las formas de pensamiento algebraico y las maneras de resolver los problemas sobre generalizacion de patrones, lo cual introduce un problema en terminos de la constitucion del pensamiento algebraico en alumnos jovenes. En este proceso de generalizacion de patrones debemos considerar que los actos de conocimiento por parte de los estudiantes incluyen diferentes modalidades sensoriales, tales como lo tactil, lo perceptual, lo kinestesico, etc., que llegan a ser partes integrales de los procesos cognitivos. Esto es lo que se ha llamado en el contexto internacional (Arzarello, 2006) la naturaleza multimodal de la cognicion humana. Estamos, pues, frente a la necesidad de reconocer todas aquellas situaciones discursivas (orales y escritas), gestuales y procedimentales que evidencien en los estudiantes intentos de construir explicaciones y argumentos sobre estructuras generales y modos de pensar, asi sus argumentaciones y explicaciones se apoyen en situaciones particulares, o en acciones concretas. En terminos epistemologicos, estamos sugiriendo que los modos de conceptualizar, conocer y pensar no pueden ser adecuadamente descritos solamente en terminos de practicas discursivas. Es importante considerar los recursos cognitivos, fisicos y perceptuales que los estudiantes movilizan cuando trabajan con ideas matematicas. Estos recursos o modalidades incluyen comunicaciones simbolicas y orales asi como dibujos, gestos, la manipulacion de artefactos y el movimiento corporal (Arzarello, 2006; Radford, Edwards & Arzarello, 2009).