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We consider a sequence of polynomials $\{P_n\}_{n \geq 0}$ satisfying a special $R_{II}$ type recurrence relation where the zeros of $P_n$ are simple and lie on the real line. It turns out that the polynomial $P_n$, for any $n \geq 2$, is the characteristic polynomial of a simple $n \times n$ generalized eigenvalue problem. It is shown that with this $R_{II}$ type recurrence relation one can always associate a positive measure on the unit circle. The orthogonality property satisfied by $P_n$ with respect to this measure is also obtained. Finally, examples are given to justify the results.

Orientador: Alagacone Sri Ranga Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: O objetivo do presente trabalho se divide em duas partes: na primeira, estudaremos uma regra de quadratura interpolatória sobre os zeros de polinômios núcleo obtidos a partir de uma sequência de polinômios L-ortogonais, oferecendo técnicas numéricas para a obtenção dos nós e pesos dessa regra de quadratura. Na segunda parte, forneceremos uma caracterização dos polinômios de Szegö em termos de duas sequências reais, dentre as quais uma é sequência encadeada. Tal caracterização afeta a relação entre os polinômios núcleo e os polinômios ortogonais no círculo unitário aos quais estes estão associados Abstract: The main goal of the present work falls under two parts: firstly, we'll study a quadrature rule over the zeros of the kernel polynomials obtained from a sequence of L-orthogonal polynomials, offering numerical techniques for evaluating the nodes and weights of such quadrature rule. Secondly, we'll give a characterization for Szegö polynomials in terms of two real sequences, in which one is a chained sequence. Such characterization influences the connection between the kernel polynomials and the related orthogonal polynomials over the unit circle Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada CAPES

Orientador: Edmundo Capelas de Oliveira Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Apresentamos operadores de integração e derivação fracionárias, que em particular, podem ser utilizados para descrever um processo difusivo anômalo através de uma equação diferencial fracionária. Como aplicação, discutimos uma equação diferencial fracionária associada ao processo de desaceleração de nêutrons, utilizando as transformadas integrais de Laplace e Fourier e através de uma conveniente implementação computacional, obtemos gráficos associados à solução dessa equação. Algumas propriedades dos operadores de integração e derivação fracionárias são mencionadas e utilizadas para escrever o teorema fundamental do cálculo fracionário. A clássica função de Mittag-Leffler, envolvendo um parâmetro e a função de Mittag-Leffler com dois parâmetros desempenham um papel importante no estudo das equações diferenciais fracionárias. A chamada função de Mittag-Leffler com três parâmetros, que generaliza as duas anteriores, emerge naturalmente no estudo da equação diferencial fracionária associada ao problema do telégrafo. Novas representações para as funções de Mittag-Leffler foram obtidas em termos de integrais impróprias de funções trigonométricas, a partir do cálculo da transformada de Laplace inversa sem usar um contorno de integração e como aplicação, encontramos algumas integrais impróprias interessantes que, geralmente, são demonstradas por aproximação com o uso de análise de Fourier ou teoria dos resíduos Abstract: We present the operators of fractional integration and differentiation, which can be used to describe an anomalous diffusion process by means of a fractional differential equation. As an application we discuss a fractional differential equation associated with the slowing-down of neutrons using Laplace and Fourier transforms. With the help of a convenient computational implementation we obtain graphs of the solutions of this equation. Some properties of the operators of fractional integration and differentiation are mentioned and used to demonstrate the fundamental theorem of fractional calculus. The classical Mittag-Leffler function with one parameter and the Mittag-Leffler function with two parameters play an important role in the study of fractional differential equations. The so-called Mittag-Leffler function with three parameters, which generalizes the previous two functions, naturally arises in the study of the fractional differential equation associated with the telegraph problem. By calculating the inverse Laplace transform without using contour integration we obtain new representations for the Mittag-Leffler functions in terms of improper integrals of trigonometric functions; as an application we obtain some interesting improper integrals which are usually proved by approximation using Fourier analysis or residue theory Doutorado Matemática Aplicada Doutora em Matemática Aplicada

Orientador: Dimitar Kolev Dimitrov Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Nesta tese abordamos alguns problemas relacionados com zeros de polinômios e de funções inteiras. Estabelecemos fórmulas explícitas para os polinômios da sequência de Sturm, gerada por um polinômio e pela sua derivada. Como consequência, obtemos condições necessárias e suficientes para que um polinômio sem zeros múltiplos tenha somente zeros reais. Provamos também a veracidade de algumas condições necessárias para a hipótese de Riemann, estendendo desta forma um resultado anterior de Csordas, Norfolk e Varga que estabelecem uma conjectura de Pólya Abstract: In this thesis we approach problems concerning zeros of polynomials and entire functions. We establish explicit formula for the polynomial in the Sturm sequence, generated by a polynomial and its derivative. As a consequence, we obtain necessary and sufficient conditions for a polynomial without multiple zeros to possess only real zeros. We prove also the truth of certain necessary conditions for the Riemann Hypothesis, thus extending a previous result of Csordas, Norfolk and Varga who established a conjecture of Pôlya Doutorado Análise Aplicada Doutor em Matemática Aplicada