Search

Метод зважених нев’язок набув широкої популярності протягом останніх років, особливо завдяки застосуванню в методах скінчених елементів. Він полягає в наближеному виконанні диференціальних рівнянь, тоді як граничні умови мають виконуватись точно. Ця мета досягається правильним вибором множин пробних (базових) функцій, які дають нев’язки. Нев’язки множать навагові функції та мінімізують, інтегруючи по всій області задачі. Множина пробних і вагових функцій визначає особливість та переваги кожного конкретного методу. Найбільш популярним є вибір пробних і вагових функцій у вигляді тригонометричних або поліноміальних функцій. У двовимірних задачах часто використовуються так звані “балочні функції”, які є рішеннями більш простих одновимірних задач для балки. В даній методичній роботі ми досліджуємо можливість використання множин функцій, побудованих на послідовних експо-ненціальних функціях, які точно задовольняють граничним умовам. Метод досліджено на прикладі простої осесиметричної задачі оболонки, точне рішення якої відоме для будь-якого навантаження. Для кількох прикладів розподіленого або концентрованого навантаження запропонований метод порівнюється з аналогічним методом Нав'є, в якому використовуються тригонометричні функції. Також ретельно досліджується правильний вибір вагових функцій. Зазначається, що запропоновані множини симетричних чи антисиметричних експоненціальних функцій мають хорошу перспективу для застосування в більш складних задачах структурної механіки. Weighted residuals method gained a wide popularity during last years especially due to its application in finite element methods. Its goal is in approximate satisfaction of the governingfferential equations while boundary conditions are to be fulfilled exactly. This goal is achieved by the proper choice of the sets of so-called trial (basic) functions which give the residuals. Residuals are multiplied by weight functions and minimized by integration over the whole area of task. In fact, they determine the peculiarity and advantages of each particular method. Most popular is the choice of trial and weight (test) function as the trigonometric and polynomial functions. In 2D applications so-called “beam functions” are often used, which are solutions of much simpler 1D problems for beam. In this methodological paper we explore the possibility of using the sets of functions constructed on the consequent exponential func-tions, which satisfy boundary conditions. The method is investigated on example of very simple 1D axisymmetrical task for shell, where exact solution exists for any loading. For several examples of distributed or concentrated loading the proposed method is compared with similar Navier’s method, which is the expansion on trigonometric functions. Also the proper choice of weight functions is carefully investigated. It is noted, that proposed sets (symmetrical or asymmetrical) of exponential functions has a good perspective in applica-tion for more complicated problems in structural mechanics. Метод взвешенных невязок приобрел широкую популярность в последние годы, особенно благодаря применению в методах конечных элементов. Он состоит в приближенном выполнении дифференциальных уравнений, тогда как граничные условия должны выполняться точно. Эта цель достигается правильным выбором множества пробных (базовых) функ-ций, которые дают невязки. Невязки умножают навесовые функциии минимизируют, интегрируя по всей области задачи. Множество пробных и весовых функций определяет особенность и преимущества каждого конкретного метода. Наиболее популярным является выбор пробных и весовых функций в виде тригонометрических и липолиномиальных функций. Вдвумерных задачах часто используются так называемые "балочные функции", которые являются решениями более простых одномерных задач для балки. В данной методической работе мы исследуем возможность использования множеств функций, построенных на последовательных экспоненциальных функциях, которые точно удовлетворяют граничным условиям. Метод исследован на примере простой осесимметричной задачи оболочки, точное решение которой известно для любой нагрузки. Для нескольких примеров распределенной или концентрированной нагрузки предложенный метод сравн ивается с аналогичным методом Навье, в котором используются тригонометрические функции. Также тщательно исследуется правильный выбор весовых функций. Отмечается, что предложенные множества симметричных или антисимметричных экспоненциальных функций имеют хорошую перспективу для применения в более сложных задачах структурной механики.