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1. INTERACTIONS BETWEEN MODERATELY CLOSE INCLUSIONS FOR THE LAPLACE EQUATION

Author

Virginie Bonnaillie-Noël, Grégory Vial, Sébastien Tordeux, Marc Dambrine, Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR), Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Université de Rennes 2 (UR2)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-INSTITUT AGRO Agrocampus Ouest, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro), Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications [Pau] (LMAP), Université de Pau et des Pays de l'Adour (UPPA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), AGROCAMPUS OUEST, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes 2 (UR2), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut de Recherche Mathématique de Rennes ( IRMAR ), Université de Rennes 1 ( UR1 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -AGROCAMPUS OUEST-École normale supérieure - Rennes ( ENS Rennes ) -Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ) -Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Université de Rennes 2 ( UR2 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications [Pau] ( LMAP ), Université de Pau et des Pays de l'Adour ( UPPA ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique ( MIP ), Université Toulouse 1 Capitole ( UT1 ) -Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse ( INSA Toulouse ), and Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Université Paul Sabatier - Toulouse 3 ( UPS ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS )

Subjects
Laplace's equation, Singular perturbation, Applied Mathematics, 010102 general mathematics, Mathematical analysis, Zero (complex analysis), Boundary (topology), [ MATH.MATH-NA ] Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], First order, 01 natural sciences, Domain (mathematical analysis), 010101 applied mathematics, Modeling and Simulation, 0101 mathematics, Inclusion (mineral), Asymptotic expansion, [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], Mathematics
Abstract

The presence of small inclusions modifies the solution of the Laplace equation posed in a reference domain Ω0. This question has been studied extensively for a single inclusion or well-separated inclusions. In two-dimensional situations, we investigate the case where the distance between the holes tends to zero but remains large with respect to their characteristic size. We first consider two perfectly insulated inclusions. In this configuration we give a complete multiscale asymptotic expansion of the solution to the Laplace equation. We also address the situation of a single inclusion close to a singular perturbation of the boundary ∂Ω0. We also present numerical experiments implementing a multiscale superposition method based on our first order expansion.

Published
2009
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2. Structure of the Linearized Gravitational Vlasov–Poisson System Close to a Polytropic Ground State

Author

Pierre Raphaël, Mohammed Lemou, Florian Méhats, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique ( MIP ), Université Toulouse 1 Capitole ( UT1 ) -Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse ( INSA Toulouse ), Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Université Paul Sabatier - Toulouse 3 ( UPS ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Institut de Recherche Mathématique de Rennes ( IRMAR ), Université de Rennes 1 ( UR1 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -AGROCAMPUS OUEST-École normale supérieure - Rennes ( ENS Rennes ) -Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ) -Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Université de Rennes 2 ( UR2 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Laboratoire de Mathématiques d'Orsay ( LM-Orsay ), Université Paris-Sud - Paris 11 ( UP11 ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR), Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Université de Rennes 2 (UR2)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-INSTITUT AGRO Agrocampus Ouest, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro), Laboratoire de Mathématiques d'Orsay (LM-Orsay), Université Paris-Sud - Paris 11 (UP11)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), AGROCAMPUS OUEST, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes 2 (UR2), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA), and Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Paris-Sud - Paris 11 (UP11)

Subjects
linearization, polytrope, 01 natural sciences, Schrödinger equation, Hamiltonian system, 37K05, 37K45, 49S05, 82C40, 85A05, symbols.namesake, variational analysis, Linearization, 0101 mathematics, Nonlinear Schrödinger equation, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Mathematics, Applied Mathematics, 010102 general mathematics, Mathematical analysis, Linear system, kinetic equations, [ MATH.MATH-NA ] Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], Polytropic process, stability, Vlasov-Poisson, 010101 applied mathematics, Polytrope, Computational Mathematics, Classical mechanics, gravitation, symbols, Hamiltonian (quantum mechanics), [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], Analysis
Abstract

We deal in this paper with a generalized gravitational Vlasov–Poisson system that covers the three- and four-dimensional cases as well as the three-dimensional ultrarelativistic case. This system admits polytropic stationary solutions which are orbitally stable. We study in this paper the linear system obtained after a linearization close to these ground states and prove that the linearized flow displays at most algebraic instabilities. The heart of the proof is the derivation of a positivity property for the linearized Hamiltonian that implies a “quantitative” proof of the orbital stability statement. Our strategy follows the analysis by Weinstein [SIAM J. Math. Anal., 16 (1985), pp. 472–491], who obtained similar results for the nonlinear Schrodinger equation that turned out to be fundamental preliminary properties for the further description of the fine qualitative properties of the Hamiltonian system.

Published
2008
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3. Matching and multiscale expansions for a model singular perturbation problem

Author

Monique Dauge, Sébastien Tordeux, Grégory Vial, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique ( MIP ), Université Toulouse 1 Capitole ( UT1 ) -Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse ( INSA Toulouse ), Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Université Paul Sabatier - Toulouse 3 ( UPS ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Institut de Recherche Mathématique de Rennes ( IRMAR ), Université de Rennes 1 ( UR1 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -AGROCAMPUS OUEST-École normale supérieure - Rennes ( ENS Rennes ) -Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ) -Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Université de Rennes 2 ( UR2 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR), AGROCAMPUS OUEST, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes 2 (UR2), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), and Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)

Subjects
Laplace's equation, Dirichlet problem, Singular perturbation, 010102 general mathematics, Mathematical analysis, Perturbation (astronomy), [ MATH.MATH-NA ] Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], General Medicine, 01 natural sciences, Method of matched asymptotic expansions, 010101 applied mathematics, 0101 mathematics, [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], Mathematics
Abstract

International audience; We consider the Laplace-Dirichlet equation in a polygonal domain which is perturbed at the scale epsilon near one of its vertices. We assume that this perturbation is self-similar, that is, derives from the same pattern for all values of epsilon. On the base of this model problem, we compare two different approaches: the method of matched asymptotic expansions and the method of multiscale expansion. We enlighten the specificities of both techniques, and show how to switch from one expansion to the other.; On considère le problème de Laplace–Dirichlet dans un domaine polygonal qui présente une perturbation de taille ε en l'un de ses sommets. Cette perturbation est supposée auto-similaire, i.e. provient d'un motif fixe dilaté à l'échelle ε. Sur ce problème modèle, nous mettons en oeuvre deux méthodes : développements asymptotiques raccordés et développement multi-échelle. Nous mettons en évidence les particularités de chaque approche et montrons comment passer d'un développement à l'autre.

Published
2006
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4. A Markov jump process modelling animal group size statistics

Author

Robert L. Pego, Maximilian Engel, Jian-Guo Liu, Pierre Degond, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), department of mathematics, University of Maryland [College Park], University of Maryland System-University of Maryland System, Center for Nonlinear Analysis [Pittsburgh] (CNA), Carnegie Mellon University [Pittsburgh] (CMU), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), The Royal Society, and Engineering & Physical Science Research Council (EPSRC)

Subjects
POPULATION BALANCE-EQUATIONS, DYNAMICS, Work (thermodynamics), Population dynamics, q-bio.PE, General Mathematics, Population, Mathematics, Applied, self-consistent Markov process, COAGULATION, jump process, 01 natural sciences, 0101 Pure Mathematics, 010104 statistics & probability, Stochastic differential equation, 92D50, Simple (abstract algebra), 0102 Applied Mathematics, CONVERGENCE, DISTRIBUTIONS, 65C30, Statistical physics, [MATH]Mathematics [math], 0101 mathematics, Quantitative Biology - Populations and Evolution, education, 65C35, Mathematics, 45J05, education.field_of_study, Science & Technology, fish schools, SCHEME, Applied Mathematics, 010102 general mathematics, Populations and Evolution (q-bio.PE), 1502 Banking, Finance and Investment, 70F45, AGGREGATION, self-consistent Markov process Mathematics Subject Classification (2010): 60J75, Connection (mathematics), Nonlinear system, Distribution (mathematics), FOS: Biological sciences, Physical Sciences, Jump process, numerics
Abstract

International audience; We translate a coagulation-framentation model, describing the dynamics of animal group size distributions , into a model for the population distribution and associate the nonlinear evolution equation with a Markov jump process of a type introduced in classic work of H. McKean. In particular this formalizes a model suggested by H.-S. Niwa [J. Theo. Biol. 224 (2003)] with simple coagulation and fragmentation rates. Based on the jump process, we develop a numerical scheme that allows us to approximate the equilibrium for the Niwa model, validated by comparison to analytical results by Degond et al. [J. Nonlinear Sci. 27 (2017)], and study the population and size distributions for more complicated rates. Furthermore, the simulations are used to describe statistical properties of the underlying jump process. We additionally discuss the relation of the jump process to models expressed in stochastic differential equations and demonstrate that such a connection is justified in the case of nearest-neighbour interactions, as opposed to global interactions as in the Niwa model.

Published
2020
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5. Olive leaf extract as natural corrosion inhibitor for pure copper in 0.5 M NaCl solution: A study by voltammetry around OCP

Author

Mohamed Bouaziz, René Sabot, Ridha Abdelhedi, Marc Jeannin, Philippe Refait, Mohamed Masmoudi, Chahla Rahal, Laboratoire d'Electrochimie et Environnement, École Nationale d'Ingénieurs de Sfax | National School of Engineers of Sfax (ENIS), Laboratoire des Sciences de l'Ingénieur pour l'Environnement - UMR 7356 (LaSIE), Université de La Rochelle (ULR)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Laboratoire d'Etude des Matériaux en Milieux Agressifs (LEMMA), and Université de La Rochelle (ULR)

Subjects
General Chemical Engineering, Analytical chemistry, chemistry.chemical_element, 02 engineering and technology, 010402 general chemistry, 01 natural sciences, High-performance liquid chromatography, [SPI.MAT]Engineering Sciences [physics]/Materials, Analytical Chemistry, Corrosion, [SPI]Engineering Sciences [physics], Corrosion inhibitor, chemistry.chemical_compound, Oleuropein, Electrochemistry, [CHIM]Chemical Sciences, Polarization (electrochemistry), Voltammetry, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, [PHYS]Physics [physics], 021001 nanoscience & nanotechnology, Copper, 0104 chemical sciences, Dielectric spectroscopy, chemistry, 0210 nano-technology, Nuclear chemistry
Abstract

The inhibiting action of olive leaf extract on corrosion of copper in 0.5 M NaCl solution was investigated via potentiodynamic polarization and electrochemical impedance spectroscopy. For the highest inhibitor concentration considered here the inhibition efficiency reached 90% after 24 h of immersion. Polarization curves recorded around OCP were computer fitted with various kinetic laws to obtain detailed information on the inhibition process. This innovative procedure led to results consistent with those deduced from electrochemical impedance spectroscopy and confirmed that the olive leaf extract act as a cathodic-type corrosion inhibitor mainly hindering the transport and thus the reduction of dissolved O 2 . High performance liquid chromatography showed that oleuropein was the major compound of the leaf extract and thus more likely the main inhibiting species.

Published
2016
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6. An Uncertainty Quantification Approach to the Study of Gene Expression Robustness

Author

Degond, Pierre, Jin, Shi, Zhu, Yuhua, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Department of Mathematics [Madison], University of Wisconsin-Madison, Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), The Royal Society, and Engineering & Physical Science Research Council (EPSRC)

Subjects
generalized Polynomial Chaos, 0105 Mathematical Physics, 65M12, Gene Expression, spec- tral accuracy AMS subject classifications 35Q92, Numerical Analysis (math.NA), 92C37, 0101 Pure Mathematics, sensitivity analysis, 0102 Applied Mathematics, FOS: Mathematics, Mathematics - Numerical Analysis, [MATH]Mathematics [math], 65M70
Abstract

International audience; We study a chemical kinetic system with uncertainty modeling a gene regulatory network in biology. Specifically, we consider a system of two equations for the messenger RNA and micro RNA content of a cell. Our target is to provide a simple framework for noise buffering in gene expression through micro RNA production. Here the uncertainty, modeled by random variables, enters the system through the initial data and the source term. We obtain a sharp decay rate of the solution to the steady state, which reveals that the biology system is not sensitive to the initial perturbation around the steady state. The sharp regularity estimate leads to the stability of the generalized Polynomial Chaos stochastic Galerkin (gPC-SG) method. Based on the smoothness of the solution in the random space and the stability of the numerical method, we conclude the gPC-SG method has spectral accuracy. Numerical experiments are conducted to verify the theoretical findings.

Published
2019
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7. When some variational properties force convexity

Author

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Michel Volle, Constantin Zălinescu, Laboratoire d'Analyse non linéaire et Géométrie (LANLG), Avignon Université (AU), Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Octav Mayer Institute of Mathematics, Romanian Academy of Sciences, EA2151 Laboratoire de Mathématiques d'Avignon (LMA), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), University 'Al. I. Cuza' Iasi Faculty of Mathematics, Université 'Al. I. Cuza' Iasi, Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Alexandru Ioan Cuza University of Iași [Romania], Institute of Mathematics 'Octav Mayer', and Romanian Academy

Subjects
Pure mathematics, Control and Optimization, Mathematics::Optimization and Control, Banach space, 01 natural sciences, Convexity, Order (group theory), Metric projection, [MATH]Mathematics [math], 0101 mathematics, best approximation, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Mathematics, Convex analysis, essential smoothness, Mathematics::Functional Analysis, Convex duality, 010102 general mathematics, Mathematical analysis, Function (mathematics), 010101 applied mathematics, Computational Mathematics, Control and Systems Engineering, convex duality, 49J53 (46G05 49J50), well posed optimization problem, Convex function, essential strict convexity
Abstract

International audience; The notion of adequate (resp. strongly adequate) function has been recently introduced to characterize the essentially strictly convex (resp. essentially firmly subdifferentiable) functions among the weakly lower semicontinuous (resp. lower semicontinuous) ones. In this paper we provide various necessary and sufficient conditions in order that the lower semicontinuous hull of an extended real-valued function on a reflexive Banach space is essentially strictly convex. Some new results on nearest (farthest) points are derived from this approach.

Published
2013
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8. Numerical approximation of a coagulation-fragmentation model for animal group size statistics

Author

Maximilian Engel, Pierre Degond, The Royal Society, Engineering & Physical Science Research Council (EPSRC), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Statistics and Probability, Mathematics, Interdisciplinary Applications, POPULATION BALANCE-EQUATIONS, Work (thermodynamics), Discrete group, Uniform convergence, FOS: Physical sciences, 010103 numerical & computational mathematics, 01 natural sciences, symbols.namesake, FISH, Convergence (routing), Applied mathematics, DISTRIBUTIONS, [MATH]Mathematics [math], 0101 mathematics, Quantitative Biology - Populations and Evolution, Newton's method, Mathematical Physics, Mathematics, Science & Technology, Group (mathematics), SCHEME, Applied Mathematics, Populations and Evolution (q-bio.PE), 92D50, 92C31, 82B40, 82B44, General Engineering, Time evolution, Mathematical Physics (math-ph), AGGREGATION, Computer Science Applications, 010101 applied mathematics, Distribution (mathematics), FOS: Biological sciences, Physical Sciences, symbols, LAW
Abstract

International audience; We study numerically a coagulation-fragmentation model derived by Niwa [17] and further elaborated by Degond et al. [5]. In [5] a unique equilibrium distribution of group sizes is shown to exist in both cases of continuous and discrete group size distributions. We provide a numerical investigation of these equilibria using three different methods to approximate the equilibrium: a recursive algorithm based on the work of Ma et. al. [12], a Newton method and the resolution of the time-dependent problem. All three schemes are validated by showing that they approximate the predicted small and large size asymptotic behaviour of the equilibrium accurately. The recursive algorithm is used to investigate the transition from discrete to continuous size distributions and the time evolution scheme is exploited to show uniform convergence to equilibrium in time and to determine convergence rates.

Published
2017
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9. Damped Arrow-Hurwicz algorithm for sphere packing

Author

Degond, Pierre, Ferreira, Marina, Motsch, Sébastien, The Royal Society, Engineering & Physical Science Research Council (EPSRC), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Imperial College London, Arizona State University [Tempe] (ASU), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Technology, Science & Technology, 02 Physical Sciences, Non-overlapping constraints, Physics, Applied Mathematics, Numerical Analysis (math.NA), CONSTRAINT, Sphere packing problem, Non-convex minimization problem, 09 Engineering, Physics, Mathematical, [MATH.MATH-MP]Mathematics [math]/Mathematical Physics [math-ph], Physical Sciences, Computer Science, FOS: Mathematics, Computer Science, Interdisciplinary Applications, Mathematics - Numerical Analysis, OPTIMIZATION, 01 Mathematical Sciences
Abstract

International audience; We consider algorithms that, from an arbitrarily sampling of N spheres (possibly overlapping), find a close packed configuration without overlapping. These problems can be formulated as minimization problems with non-convex constraints. For such packing problems, we observe that the classical iterative Arrow-Hurwicz algorithm does not converge. We derive a novel algorithm from a multi-step variant of the Arrow-Hurwicz scheme with damping. We compare this algorithm with classical algorithms belonging to the class of linearly constrained Lagrangian methods and show that it performs better. We provide an analysis of the convergence of these algorithms in the simple case of two spheres in one spatial dimension. Finally, we investigate the behaviour of our algorithm when the number of spheres is large in two and three spatial dimensions.

Published
2016
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10. Sobolev versus Hölder local minimizers and existence of multiple solutions for a singular quasilinear equation

Author

Jacques Giacomoni, Ian Schindler, Peter Takáč, Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications [Pau] (LMAP), Université de Pau et des Pays de l'Adour (UPPA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Fachbereich Mathematik [Rostock], Universität Rostock, Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Pure mathematics, 010102 general mathematics, Mathematical analysis, Boundary (topology), 01 natural sciences, Domain (mathematical analysis), Theoretical Computer Science, 010101 applied mathematics, Sobolev space, Mathematics (miscellaneous), Mathematics Subject Classification, Bounded function, [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], Order (group theory), 0101 mathematics, Mathematics
Abstract

International audience; In a bounded domain with smooth boundary, the authors pose the problem of finding a function that is strictly positive inside the domain, vanishing on the boundary of the domain and satisfies a quasilinear differential equation, inside the domain, whose left-hand side has the $p$-Laplace operator of the unknown function and whose right-hand side is a linear combination of the unknown function in positive and negative powers. The main result of the paper, which is a proof of the existence of at least two weak solutions of the above-mentioned problem in the corresponding Sobolev spaces, is obtained by a development of the well-known variational method. In addition, the authors prove that the weak solutions belong to Hölder spaces. They also establish a strong comparison principle.

Published
2009
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11. A hierarchy of diffusion models for partially ionized plasmas

Author

Brigitte Lucquin-Desreux, Isabelle Choquet, Pierre Degond, Department of Technology. Mathematics and Computer Science (DTMCS), Universty West, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Laboratoire Jacques-Louis Lions (LJLL), Université Pierre et Marie Curie - Paris 6 (UPMC)-Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3)

Subjects
Materials science, electron flow, Thermodynamic equilibrium, diffusion approximation, Hilbert expansion, 010103 numerical & computational mathematics, glow discharge, 01 natural sciences, 010305 fluids & plasmas, Electric arc, 76X05 (35Q35 76P05 82C70 82D10), Physics::Plasma Physics, Ionization, 0103 physical sciences, gas mixture, Astrophysics::Solar and Stellar Astrophysics, Discrete Mathematics and Combinatorics, 0101 mathematics, Diffusion (business), fluid limit, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Astrophysics::Galaxy Astrophysics, disparate masses, Glow discharge, impactionization, Applied Mathematics, Saha plasma, Plasma, Impact ionization, Arc discharge, inelastic collisions, Cathode ray, Atomic physics, [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA]
Abstract

Partially ionized plasmas corresponding to different ionization degrees are derived and connected one with each other by the diffusion approximation methodology. These plasmas are the following electrical discharges: a thermal arc discharge, glow discharges in local thermodynamic equilibrium -LTE- and in non-LTE, and a non-LTE glow discharge interacting with an electron beam (or flow).

Published
2007
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12. Numerical solution of the free boundary Bernoulli problem using a level set formulation

Author

Rachid Touzani, François Bouchon, Stéphane Clain, Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal (LMBP), Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand 2 (UBP)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Level set (data structures), Mathematical optimization, Mechanical Engineering, Numerical analysis, Computational Mechanics, Free boundary problem, General Physics and Astronomy, Boundary (topology), 010103 numerical & computational mathematics, 01 natural sciences, Computer Science Applications, 010101 applied mathematics, Bernoulli's principle, Mechanics of Materials, [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], Applied mathematics, Boundary value problem, Level sets, 0101 mathematics, Bernoulli problem, Mathematics
Abstract

International audience; We present a numerical method based on a level set formulation to solve the Bernoulli problem. The formulation uses time as a parameter of boundary evolution. The level set formulation enables to consider nonconnected domains. Numerical experiments show the efficiency of the method if boundary conditions are handled accurately. In particular, the case of multiple solutions is treated.

Published
2005
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13. Local uniqueness and continuation of solutions for the discrete Coulomb friction problem in elastostatics

Author

Yves Renard, Patrick Hild, Laboratoire de Mathématiques de Besançon (UMR 6623) (LMB), Université de Bourgogne (UB)-Université de Franche-Comté (UFC), Université Bourgogne Franche-Comté [COMUE] (UBFC)-Université Bourgogne Franche-Comté [COMUE] (UBFC)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Franche-Comté (UFC), Université Bourgogne Franche-Comté [COMUE] (UBFC)-Université Bourgogne Franche-Comté [COMUE] (UBFC), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Applied Mathematics, Weak solution, 010102 general mathematics, Linear elasticity, Mathematical analysis, Unilateral contact, 01 natural sciences, Implicit function theorem, 010101 applied mathematics, Coulomb friction, Uniqueness theorem for Poisson's equation, local uniqueness, bifurcation, Clarke’s gradient, Uniqueness, 0101 mathematics, Signorini problem, [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], Eigenvalues and eigenvectors, unilateral contact, Mathematics
Abstract

International audience; This work is concerned with the frictional contact problem governed by the Signorini contact model and the Coulomb friction law in static linear elasticity. We consider a general nite dimensional setting and we study local uniqueness and smooth or nonsmooth continuation of solutions by using a generalized version of the implicit function theorem involving Clarke's gradient. We show that for any contact status there exists an eigenvalue problem and that the solutions are locally unique if the friction coe cient is not an eigenvalue. Finally we illustrate our general results with a simple example in which the bifurcation diagrams are exhibited and discussed

Published
2005
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14. Alternative integral equations for the iterative solution of acoustic scattering problems

Author

Xavier Antoine, Marion Darbas, Robust control of infinite dimensional systems and applications (CORIDA), Institut Élie Cartan de Nancy (IECN), Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Université Henri Poincaré - Nancy 1 (UHP)-Université Nancy 2-Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Université Henri Poincaré - Nancy 1 (UHP)-Université Nancy 2-Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Laboratoire de Mathématiques et Applications de Metz (LMAM), Université Paul Verlaine - Metz (UPVM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Paul Verlaine - Metz (UPVM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Inria Nancy - Grand Est, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL)-Université Nancy 2-Université Henri Poincaré - Nancy 1 (UHP)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL)-Université Nancy 2-Université Henri Poincaré - Nancy 1 (UHP)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Laboratoire de Mathématiques et Applications de Metz (LMAM), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), and Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Paul Verlaine - Metz (UPVM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Paul Verlaine - Metz (UPVM)-Inria Nancy - Grand Est

Subjects
Scattering, Iterative method, Applied Mathematics, Mechanical Engineering, Fast multipole method, Mathematical analysis, 010103 numerical & computational mathematics, Krylov subspace, Condensed Matter Physics, 01 natural sciences, Integral equation, 010101 applied mathematics, Formalism (philosophy of mathematics), Mechanics of Materials, Acoustic radiation, Boundary value problem, 0101 mathematics, [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], Mathematics
Abstract

This paper addresses the first step of the derivation of well-conditioned integral formulations for the iterative solution of exterior acoustic boundary-value problems. These new formulations are designed to be implemented in a fast multipole method coupled to a Krylov subspace iterative algorithm. Their construction is based on the on-surface radiation condition formalism. Both theoretical developments and numerical aspects are examined in detail. This approach can be viewed as a generalization of the usual Burton–Miller integral equations.

Published
2005
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15. On a Vlasov–Schrödinger–Poisson Model

Author

Naoufel Ben Abdallah, Florian Méhats, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Applied Mathematics, 010102 general mathematics, Born–Oppenheimer approximation, Vlasov equation, Electron, Eigenfunction, 01 natural sciences, 010101 applied mathematics, symbols.namesake, Quantum electrodynamics, Quantum mechanics, symbols, [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], Boundary value problem, 0101 mathematics, Poisson's equation, Fermi gas, Analysis, Schrödinger's cat, Mathematics
Abstract

International audience; A Vlasov-Schrödinger-Poisson system is studied, modeling the transport and interactions of electrons in a bidimensional electron gas. The particles are assumed to have a wave behaviour in the confinement direction (z ) and to behave like point particles in the directions parallel to the electron gas (x). For each fixed x and at each time t, the eigenfunctions and the eigen-energies of the Schrödinger operator in the z are computed. The occupation number of each eigenfunction is computed through the resolution of a Vlasov equation in the x direction, the force field being the gradient of the eigen-energy. The whole system is coupled to the Poisson equation for the electrostatic interaction. Existence of weak solutions is shown for boundary value problems in the stationary and time-dependent regimes.

Published
2005
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16. Entropic Discretization of a Quantum Drift-Diffusion Model

Author

Florian Méhats, Samy Gallego, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Numerical Analysis, Computer simulation, Discretization, Applied Mathematics, 010102 general mathematics, Geometry, Charge (physics), Space (mathematics), 01 natural sciences, Computational Mathematics, 0103 physical sciences, Convex optimization, [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], Statistical physics, 0101 mathematics, 010306 general physics, Quantum, Energy (signal processing), Variable (mathematics), Mathematics
Abstract

International audience; This paper is devoted to the discretization and numerical simulation of a new quantum drift-diffusion model that was recently derived. In a first step, we introduce an implicit semi-discretization in time which possesses some interesting properties: this system is well-posed, it preserves the positivity of the density, the total charge is conserved, and it is entropic (a free energy is dissipated). Then, after a discretization of the space variable, we define a numerical scheme which has the same properties and is equivalent to a convex minimization problem. Moreover, we show that this discrete solution converges for long times to the solution of a discrete Schrödinger-Poisson system. These results are illustrated by some numerical simulations.

Published
2005
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17. The treatment of the locking phenomenon for a general class of variational inequalities

Author

Leila Slimane, Yves Renard, Université de Moncton, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Nonconforming methods, Class (set theory), Applied Mathematics, Uniform convergence, Numerical analysis, Mathematical analysis, 010103 numerical & computational mathematics, Variational inequalities, 01 natural sciences, 010101 applied mathematics, Numerical locking, Signorini problems, Computational Mathematics, Stiff transmission, Numerical approximation, Phenomenon, Variational inequality, 0101 mathematics, Signorini problem, [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], Mathematics
Abstract

International audience; We present the analysis of a class of variational inequalities depending on a small nonnegative parameter in a singular way, for which direct numerical approximation yield a numerical locking phenomenon. It consists in extending some robust approaches to variational inequalities, mainly, conforming and nonconforming methods. We give general sufficient conditions on the discrete problem insuring a uniform convergence relatively to the small parameter, and consequently avoiding numerical locking.

Published
2004
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18. Well-posedness for the spatially homogeneous Landau–Fermi–Dirac equation for hard potentials

Author

Véronique Bagland, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Laplace's equation, General Mathematics, Weak solution, Characteristic equation, symbols.namesake, Dirac equation, Quantum mechanics, symbols, Two-body Dirac equations, Fermi–Dirac statistics, Heat equation, [MATH]Mathematics [math], Hyperbolic partial differential equation, Mathematical physics, Mathematics
Abstract

International audience; We study the Cauchy problem for the spatially homogeneous Landau equation for Fermi-Dirac particles, in the case of hard and Maxwellian potentials. We establish existence and uniqueness of a weak solution for a large class of initial data.

Published
2004
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19. Simulation and control of three-dimensional wakes

Author

Philippe Poncet, Georges-Henri Cottet, Laboratoire de Modélisation et Calcul (LMC - IMAG), Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)-Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
General Computer Science, Computer science, Three-dimensional flows, 010103 numerical & computational mathematics, Wake, 01 natural sciences, 010305 fluids & plasmas, Physics::Fluid Dynamics, Reduction (complexity), Control theory, Control, 0103 physical sciences, Cylinder, [PHYS.MECA.MEFL]Physics [physics]/Mechanics [physics]/Fluid mechanics [physics.class-ph], 0101 mathematics, ComputingMethodologies_COMPUTERGRAPHICS, Wakes, General Engineering, Vortex shedding, [INFO.INFO-MO]Computer Science [cs]/Modeling and Simulation, Transition to turbulence, Vortex, Flow control (fluid), Drag, Stochastic optimization, [MATH.MATH-OC]Mathematics [math]/Optimization and Control [math.OC]
Abstract

International audience; We illustrate the problem of wake optimization on two examples. In the first example, the destruction of trailing vortices, we show that stochastic optimization is a flexible tool to identify vortex systems enhancing natural instabilities. In the second example, the problem of drag reduction in a cylinder wake, a priori information on the flow dynamics is highly desirable and we give some preliminary results which should be useful to select the most efficient parameters in an optimization strategy based on differential rotation of the cylinder.

Published
2004
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20. Stability of travelling waves in a model for conical flames in two space dimensions

Author

Régis Monneau, Jean-Michel Roquejoffre, François Hamel, Laboratoire d'Analyse, Topologie, Probabilités (LATP), Université Paul Cézanne - Aix-Marseille 3-Université de Provence - Aix-Marseille 1-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques, Informatique et Calcul Scientifique (CERMICS), Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-École des Ponts ParisTech (ENPC), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Partial differential equation, Stability criterion, General Mathematics, 010102 general mathematics, Mathematical analysis, Conical surface, stability, Space (mathematics), 01 natural sciences, Parabolic partial differential equation, 010101 applied mathematics, MSC: 35K1115, 35K57, 47F05, Reaction–diffusion system, Attractor, [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], Bunsen flames, reaction-diffusion equation, Boundary value problem, 0101 mathematics, Curved fronts, Mathematics
Abstract

This paper deals with the question of the stability of conical-shaped solutions of a class of reaction-diffusion equations in $\R^2$. One first proves the existence of travelling waves solutions with conical-shaped level sets, generalizing earlier results by Bonnet, Hamel and Monneau. One then gives a characterization of the global attractor of these semilinear parabolic equations under some conical asymptotic conditions. Lastly, the global stability of the travelling waves solutions is proved.

Published
2004
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21. A Maxwell-Bloch model with discrete symmetries for wave propagation in nonlinear crystals: an application to KDP

Author

Christophe Besse, Brigitte Bidégaray-Fesquet, Olivier Saut, Pierre Degond, A. Bourgeade, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Laboratoire de Modélisation et Calcul (LMC - IMAG), Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)-Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Commissariat à l'Energie Atomique et aux Energies Alternatives (CEA-CESTA), Commissariat à l'énergie atomique et aux énergies alternatives (CEA), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Physics, Numerical Analysis, Field (physics), Wave propagation, Applied Mathematics, Symmetry group, Wave equation, 01 natural sciences, 010309 optics, Computational Mathematics, symbols.namesake, Classical mechanics, Maxwell's equations, [MATH.MATH-MP]Mathematics [math]/Mathematical Physics [math-ph], Modeling and Simulation, Quantum mechanics, 0103 physical sciences, symbols, MSC: 78A60, 81V80, Crystal optics, 010306 general physics, [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], Analysis, Bloch wave, Discrete symmetry
Abstract

International audience; This article presents the derivation of a semi-classical model of electromagnetic-wave propagation in a non centro-symmetric crystal. It consists of Maxwell’s equations for the wave field coupled with a version of Bloch’s equations which takes fully into account the discrete symmetry group of the crystal. The model is specialized in the case of a KDP crystal for which information about the dipolar moments at the Bloch level can be recovered from the macroscopic dispersion properties of the material.

Published
2004
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22. Approximations par ondelettes d'un opérateur de collision en théorie cinétique

Author

Mohammed Lemou, Xavier Antoine, Robust control of infinite dimensional systems and applications (CORIDA), Institut Élie Cartan de Nancy (IECN), Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Université Henri Poincaré - Nancy 1 (UHP)-Université Nancy 2-Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Université Henri Poincaré - Nancy 1 (UHP)-Université Nancy 2-Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Laboratoire de Mathématiques et Applications de Metz (LMAM), Université Paul Verlaine - Metz (UPVM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Paul Verlaine - Metz (UPVM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Inria Nancy - Grand Est, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), This work was supported by an 'ATIP-Jeunes Chercheurs' CNRS project., Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL)-Université Nancy 2-Université Henri Poincaré - Nancy 1 (UHP)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL)-Université Nancy 2-Université Henri Poincaré - Nancy 1 (UHP)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Laboratoire de Mathématiques et Applications de Metz (LMAM), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Integrodifferential equation, Fokker Planck Landau equation, 010103 numerical & computational mathematics, 01 natural sciences, Plasma physics, Wavelet, Applied mathematics, Distribution function, Spectral method, 0101 mathematics, Kinetic theory, Mathematics, Mathematical physics, Numerical analysis, Isotropy, Finite difference, Finite difference method, General Medicine, Wavelet approximation, Collision, Collision operator, 010101 applied mathematics, Fast algorithm, [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA]
Abstract

International audience; This Note is devoted to the derivation of conservative and entropic fast wavelet approximations for the isotropic Fokker–Planck–Landau collision operator arising in the modeling of charged particles in plasma physics. The present approach combines the advantages of both the finite difference schemes (conservation and entropy) and the spectral methods (accuracy) which are developed in the literature. Furthermore, the wavelet approach provides a fast algorithm for the evaluation of such a collision operator. The present work is a first step to the development of wavelet approximations to more complex collision operators in kinetic theory.; Cette Note présente un schéma conservatif et entropique basé sur l'utilisation des ondelettes pour l'équation de Fokker-Planck-Landau isotrope qui modélise l'évolution des particules chargées dans un plasma. La présente approche possède à la fois les propriétés des schémas aux différences finies (conservation et entropie) et celles des méthodes spectrales (essentiellement la précision) qui sont développés dans la littérature. De plus, l'approche ondelette fournit un algorithme rapide d'évaluation de l'opérateur de collision. Ce travail constitue un premier pas vers le développement d'approximations par ondelettes d'opérateurs de collision plus complexes.

Published
2003
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23. Hybrid finite element methods for the Signorini problem

Author

Yves Renard, F. Ben Belgacem, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Mathematical optimization, Lemma (mathematics), Algebra and Number Theory, Partial differential equation, Applied Mathematics, bubble-stabilization, 010103 numerical & computational mathematics, Mixed finite element method, finite element approximation, 16. Peace & justice, 01 natural sciences, Finite element method, 010101 applied mathematics, Computational Mathematics, Rate of convergence, Saddle point, Variational inequality, Applied mathematics, mixed formulation, 0101 mathematics, Signorini problem, variational inequalities, [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], Mathematics
Abstract

International audience; We study three mixed linear nite element methods for the numerical simulation of the two-dimensional Signorini problem. Applying Falk's Lemma and saddle point theory to the resulting discrete mixed variational inequality allows us to state the convergence rate of each of them. Two of these nite elements provide optimal results under reasonable regularity assumptions on the Signorini solution, and the numerical investigation shows that the third method also provides optimal accuracy.

Published
2003
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24. Existence and uniqueness result for elastodynamic friction with a 'surface inertia'

Author

Jean-Claude Paumier, Yves Renard, Laboratoire de Modélisation et Calcul (LMC - IMAG), Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)-Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
020303 mechanical engineering & transports, 0203 mechanical engineering, Uniqueness theorem for Poisson's equation, Existence theorem, 010103 numerical & computational mathematics, 02 engineering and technology, General Medicine, 0101 mathematics, 01 natural sciences, [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], Mathematics, Mathematical physics
Abstract

International audience; We present an existence and uniqueness result for a regularized problem of unilateral contact and friction in elastodynamic obtained with a perturbation of a dynamic elasticity operator defined on the contact boundary. This perturbation keep the local characteristic of the friction law. This is a step in the analysis of the multi-solutions appearing in this kind of problems when a decreasing friction coefficient is used.; On présente un résultat d’existence et d’unicité pour un problème régularisé de contact unilatéral avec frottement en élastodynamique obtenu d’une part en régularisant de façon classique la loi de frottement et la condition de contact unilatéral et, d’autre part, en perturbant le système à l’aide d’un opérateur d’élasticité dynamique défini sur le bord de frottement. Un des intérêts de cette perturbation est de conserver le caractère local de la loi de frottement. C’est une étape dans l’analyse des multi-solutions qui apparaissent lorsque l’on utilise un coefficient de frottement décroissant en vitesse de glissement, et fait suite à des travaux dans le cas monodimensionnel.

Published
2000
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25. Minimax Controls for Uncertain Parabolic Systems

Author

Maïtine Bergounioux, Nadir Arada, Jean-Pierre Raymond, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Mathématiques - Analyse, Probabilités, Modélisation - Orléans (MAPMO), Université d'Orléans (UO)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), and Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université d'Orléans (UO)

Subjects
minimax, 0209 industrial biotechnology, Control and Optimization, Applied Mathematics, 010102 general mathematics, Mathematical analysis, Uncertain systems, Minimax problem, 02 engineering and technology, semilinear parabolic equations, Minimax, 01 natural sciences, Pontryagin's minimum principle, necessary optimality conditions, Nonlinear system, 020901 industrial engineering & automation, uncertain systems, Pontryagin's principle, AMS 93C73, 93C20, 93C10, 49K20, 49J20, Initial value problem, [MATH.MATH-OC]Mathematics [math]/Optimization and Control [math.OC], 0101 mathematics, existence of optimal solutions, Mathematics
Abstract

We consider systems governed by a nonlinear parabolic equation, with a distributed control and a disturbance in the initial condition. We prove the existence of solutions to a corresponding minimax problem, and we obtain necessary optimality conditions in the form of Pontryagin's principles.

Published
2000
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26. Les fonctions d'appui de la Jacobienne généralisée de Clarke et de son enveloppe plénière

Author

Cyril Imbert, Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Combinatorics, 0209 industrial biotechnology, 020901 industrial engineering & automation, enveloppe plénière, fonction d'appui, 010102 general mathematics, jacobienne généralisée, [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], 02 engineering and technology, General Medicine, 0101 mathematics, 01 natural sciences, Mathematics
Abstract

Resume Etant donne F : O ⊂ ℝ n → ℝ m localement lipschitzienne et J F ( x ¯ ) sa jacobienne generalisee (au sens de Clarke) en x ¯ ∉ O , nous determinons la fonction d'appui de J F ( x ¯ ) , c'est-a-dire: max { 〈 〈 X , M 〉 〉 | X ∈ J F ( x ¯ ) } pour tout M e Mm,n(). L'enveloppe pleniere de J F ( x ¯ ) est definie par { X ∈ M m , n ( ℝ ) | X u ∈ J F ( x ¯ ) u pour tout u ∈ ℝ n } ; c'est un convexe compact dont nous determinons egalement la fonction d'appui.

Published
1998
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27. A lagrange multiplier theorem for control problems with state constraints

Author

Jean-Pierre Raymond, Jean-Jacques Alibert, Institut de Mathématiques de Toulon - EA 2134 (IMATH), Université de Toulon (UTLN), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
0209 industrial biotechnology, Control and Optimization, Picard–Lindelöf theorem, Eberlein–Šmulian theorem, Fixed-point theorem, 02 engineering and technology, 01 natural sciences, symbols.namesake, Constraint algorithm, 020901 industrial engineering & automation, Arzelà–Ascoli theorem, Lagrange multipliers in Banach spaces, [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], Applied mathematics, Lagrange's four-square theorem, 0101 mathematics, Brouwer fixed-point theorem, Mathematics, Optimality conditions, Fundamental theorem, 010102 general mathematics, Mathematical analysis, 16. Peace & justice, Optimal control, Computer Science Applications, Karush\-Kuhn\-Tucker type theorems, Inequality constraints in Banach spaces, Signal Processing, symbols, Analysis
Abstract

International audience; We prove an existence theorem of Lagrange multipliers for an abstract control problem in Banach spaces. This theorem may be applied to obtain optimality conditions for control problems governed by partial differential equations in the presence of pointwise state constraints.

Published
1998
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28. Bearing Fault diagnosis using a pre-filtering and a spectral identification algorithm

Author

Erik Etien, Sandrine Moreau, Anas Sakout, Mohamed Lamine Masmoudi, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université de Sherbrooke (UdeS), Laboratoire des Sciences de l'Ingénieur pour l'Environnement - UMR 7356 (LaSIE), La Rochelle Université (ULR)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), and Université de La Rochelle (ULR)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
0209 industrial biotechnology, Engineering, Signal processing, Bearing (mechanical), business.industry, 020208 electrical & electronic engineering, Condition monitoring, 02 engineering and technology, Fault (power engineering), Signal, law.invention, Time–frequency analysis, [SPI]Engineering Sciences [physics], Identification (information), 020901 industrial engineering & automation, law, 0202 electrical engineering, electronic engineering, information engineering, Pre filtering, business, Algorithm, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS
Abstract

The Time Synchronous Averaging (TSA) is a well known method used for early detection of defects in rolling elements. This paper applies and evaluates the effectiveness of this method, spefifies its limitations, and improves it using a pre-filtering of the envelop signal associated with an identification method based on Marquardt algorithm. The proposed procedure is evaluated and applied theoretically and practically on simulated and real signals.

Published
2013
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29. A perturbative analysis of the time-envelope approximation in strong Langmuir turbulence

Author

Thierry Colin, Luc Bergé, Brigitte Bidégaray, Risø National Laboratory, Danish Ministry of Science, Technology and Innovation, Centre de Mathématiques et de Leurs Applications (CMLA), École normale supérieure - Cachan (ENS Cachan)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Bordeaux (MAB), Université Bordeaux Segalen - Bordeaux 2-Université Sciences et Technologies - Bordeaux 1 (UB)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), and Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Bordeaux Segalen - Bordeaux 2-Université Sciences et Technologies - Bordeaux 1

Subjects
Cauchy problem, Langmuir Turbulence, media_common.quotation_subject, 010102 general mathematics, Mathematical analysis, Solution set, Statistical and Nonlinear Physics, Condensed Matter Physics, Space (mathematics), Inertia, 01 natural sciences, 010101 applied mathematics, Nonlinear system, [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], Limit (mathematics), 0101 mathematics, Mathematics, media_common, Envelope (waves)
Abstract

International audience; We investigate a nonlinear set of coupled-wave equations describing the inertial regime of the strong Langmuir turbulence, namely$$\frac1{\omega^2}\frac{\partial^2E}{\partial t^2}-2i\frac{\partial E}{\partial t} - \Delta E = -nE,$$$$\frac1{c^2}\frac{\partial^2n}{\partial t^2}- \Delta n = \Delta|E|^2,$$which differs from the usual Zakharov equations by the inclusion in the first equation for $E$ of a second time-derivative, multiplied by the parameter $1/\omega^2$ that vanishes under the so-called time-envelope approximation $\omega^2\to+\infty$. From these perturbed Zakharov equations, it is shown that the latter limit is not compatible with a strongly dominant ion inertia corresponding to the formal case $c^2\to0$. In the opposite case, i.e. as $c^2$ remains of order unity, the local-in-time Cauchy problem attached to the above equations is solved and the limit $\omega^2\to+\infty$ is detailed for a fixed value of $c^2$. Under some specific initial data, the solution $E$ is proved to blow up at least in an infinite time provided that $\omega$ lies below a threshold value. When this condition is not fulfilled, the global existence of the solution set $(E, n)$ is finally restored in a one-dimensional space.

Published
1996
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30. Analysis of spectral methods for the homogeneous Boltzmann equation

Author

Filbet, Francis, Mouhot, Clément, Apollo - University of Cambridge Repository, Institut Camille Jordan (ICJ), École Centrale de Lyon (ECL), Université de Lyon-Université de Lyon-Université Claude Bernard Lyon 1 (UCBL), Université de Lyon-Institut National des Sciences Appliquées de Lyon (INSA Lyon), Université de Lyon-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Jean Monnet - Saint-Étienne (UJM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics (DAMTP), University of Cambridge [UK] (CAM), Département de Mathématiques et Applications - ENS Paris (DMA), École normale supérieure - Paris (ENS-PSL), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), European Project: 239983,H2020 Pilier ERC,ERC-2009-StG,NUSIKIMO(2010), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut Camille Jordan [Villeurbanne] (ICJ), Université de Lyon-Université Jean Monnet [Saint-Étienne] (UJM)-Institut National des Sciences Appliquées de Lyon (INSA Lyon), Université de Lyon-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision (CEREMADE), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Paris Dauphine-PSL, Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL), Université de Lyon-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Jean Monnet [Saint-Étienne] (UJM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École normale supérieure - Paris (ENS Paris), École normale supérieure - Paris (ENS Paris), and Université Paris Dauphine-PSL

Subjects
Boltzmann equation, spectral methods, numerical stability, asymptotic stability, Fourier-Galerkin method, asymptotic stability, math.NA, Fourier-Galerkin method, Applied Mathematics, General Mathematics, 010103 numerical & computational mathematics, 82C40, 65M70, 76P05, 16. Peace & justice, 01 natural sciences, 010305 fluids & plasmas, Boltzmann equation, 010101 applied mathematics, Mathematics - Analysis of PDEs, numerical stability, spectral methods, 0103 physical sciences, [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], Mathematics - Numerical Analysis, 0101 mathematics, [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], math.AP
Abstract

The development of accurate and fast algorithms for the Boltzmann collision integral and their analysis represent a challenging problem in scientific computing and numerical analysis. Recently, several works were devoted to the derivation of spectrally accurate schemes for the Boltzmann equation, but very few of them were concerned with the stability analysis of the method. In particular there was no result of stability except when the method is modified in order to enforce the posivity preservation, which destroys the spectral accuracy. In this paper we propose a new method to study the stability of homogeneous Boltzmann equations perturbed by smoothed balanced operators which do not preserve positivity of the distribution. This method takes advantage of the "spreading" property of the collision, together with estimates on regularity and entropy production. As an application we prove stability and convergence of spectral methods for the Boltzmann equation, when the discretization parameter is large enough (with explicit bound)., Comment: 41 pages; Transactions of the American Mathematical Society (2010) To appear

Published
2011
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31. Asymptotic behavior for a viscous Hamilton-Jacobi equation with critical exponent

Author

Philippe Laurençot, Thierry Gallay, Institut Fourier (IF ), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Grenoble Alpes [2016-2019] (UGA [2016-2019]), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut Fourier (IF), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Grenoble Alpes (UGA), Université Toulouse 1 Capitole (UT1)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
35B33, Truncation, General Mathematics, 010102 general mathematics, Invariant manifold, Mathematical analysis, 35B40, 35K55, 37L25, 01 natural sciences, Hamilton–Jacobi equation, 010101 applied mathematics, Mathematics - Analysis of PDEs, Convergence (routing), FOS: Mathematics, [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], Heat equation, Nabla symbol, 0101 mathematics, Critical exponent, Linear equation, Mathematics, Analysis of PDEs (math.AP)
Abstract

The large time behavior of non-negative solutions to the viscous Hamilton-Jacobi equation $u_t - \Delta u + |\nabla u|^q = 0$ in the whole space $R^N$ is investigated for the critical exponent $q = (N+2)/(N+1)$. Convergence towards a rescaled self-similar solution of the linear heat equation is shown, the rescaling factor being $(\log(t))^{-(N+1)}$. The proof relies on the construction of a one-dimensional invariant manifold for a suitable truncation of the equation written in self-similar variables., Comment: 17 pages, no figure

Published
2006
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32. Ergodic type problems and large time behaviour of unbounded solutions of Hamilton-Jacobi Equations

Author

Guy Barles, Jean-Michel Roquejoffre, Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique (LMPT), Université de Tours-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université de Tours (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Mathematics - Analysis of PDEs, ergodic problems, 35B40, 35F20, 35F99, 35B37, geodesics, FOS: Mathematics, unbounded solutions, [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], Hamilton-Jacobi Equations, large time behavior, Analysis of PDEs (math.AP)
Abstract

We study the large time behavior of Lipschitz continuous, possibly unbounded, viscosity solutions of Hamilton-Jacobi Equations in the whole space $\R^N$. The associated ergodic problem has Lipschitz continuous solutions if the analogue of the ergodic constant is larger than a minimal value $\lambda_{min}$. We obtain various large-time convergence and Liouville type theorems, some of them being of completely new type. We also provide examples showing that, in this unbounded framework, the ergodic behavior may fail, and that the asymptotic behavior may also be unstable with respect to the initial data.

Published
2006
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33. Chapman-Enskog derivation of the generalized Smoluchowski equation

Author

Mohammed Lemou, Philippe Laurençot, Pierre-Henri Chavanis, Physique Statistique des Systèmes Complexes (LPT) (PhyStat), Laboratoire de Physique Théorique (LPT), Institut de Recherche sur les Systèmes Atomiques et Moléculaires Complexes (IRSAMC), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut de Recherche sur les Systèmes Atomiques et Moléculaires Complexes (IRSAMC), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut de Recherche sur les Systèmes Atomiques et Moléculaires Complexes (IRSAMC), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Statistics and Probability, Kramers equation, Smoluchowski coagulation equation, Statistical Mechanics (cond-mat.stat-mech), FOS: Physical sciences, Statistical mechanics, Condensed Matter Physics, 01 natural sciences, Uniform rotation, 010305 fluids & plasmas, Vortex, symbols.namesake, Formalism (philosophy of mathematics), 0103 physical sciences, symbols, Fokker–Planck equation, [PHYS.COND.CM-SM]Physics [physics]/Condensed Matter [cond-mat]/Statistical Mechanics [cond-mat.stat-mech], 010306 general physics, Cahn–Hilliard equation, Condensed Matter - Statistical Mechanics, Mathematical physics, Mathematics
Abstract

We use the Chapman-Enskog method to derive the Smoluchowski equation from the Kramers equation in a high friction limit. We consider two main extensions of this problem: we take into account a uniform rotation of the background medium and we consider a generalized class of Kramers equations associated with generalized free energy functionals. We mention applications of these results to systems with long-range interactions (self-gravitating systems, 2D vortices, bacterial populations,...). In that case, the Smoluchowski equation is non-local. In the limit of short-range interactions, it reduces to a generalized form of the Cahn-Hilliard equation. These equations are associated with an effective generalized thermodynamical formalism., Comment: In press

Published
2004
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34. Sharp decay estimates and vanishing viscosity for diffusive hamilton-jacobi equations

Author

Benachour, S., Ben-Artzi, M., Philippe Laurençot, Institut Élie Cartan de Nancy (IECN), Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Université Henri Poincaré - Nancy 1 (UHP)-Université Nancy 2-Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Insitute of Mathematics, The Hebrew University of Jerusalem (HUJ), Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL)-Université Nancy 2-Université Henri Poincaré - Nancy 1 (UHP)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
49L25, Bernbstein estimates, Applied Mathematics, 35F25, 35K15, 35K55, General initial data, 35F25, 35K15, 35K55, 49L25, Mathematics - Analysis of PDEs, FOS: Mathematics, [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], Hamilton-Jacobi equations, Analysis, Analysis of PDEs (math.AP)
Abstract

Sharp temporal decay estimates are established for the gradient and time derivative of solutions to a viscous Hamilton-Jacobi equation as well the associated Hamilton-Jacobi equation. Special care is given to the dependence of the estimates on the viscosity. The initial condition being only continuous and either bounded or non-negative. The main requirement on the Hamiltonians is that it grows superlinearly or sublinearly at infinity, including in particular H(r) = r^p for r non-negatif and p positif and different from 1., 20 pages

35. Analyse non lisse : - Fonction d'appui de la Jacobienne généralisée de Clarke et de son enveloppe plénière - Quelques applications aux équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre (fonctions de Hopf-Lax, Hamiltoniens diff. convexes, solutions sci)

Author

Cyril Imbert, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Paul Sabatier - Toulouse III, Hiriart-Urruty Jean-Baptiste, Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
solutions de viscosite, formules de Hopf-Lax, analyse non lisse, équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre, [MATH]Mathematics [math], analyse variationnelle, jacobienne généralisée de Clarke
Abstract

The work we present in this manuscript is divided into two parts. The first part deals with the calculus of the support functions of Clarke's generalized jacobian and of its plenary hull, associated with a locally Lipschitz continuous mapping with range in \R^m. In 1975, Clarke established that the support function of his generalized subdifferential was a generalized directional derivative. It is therefore satisfactory to prove that the support function of the generalized jacobian is a ``generalized directional divergence''. The second part deals with several results concerning the application of methods from Nonsmooth analysis to first order Hamilton-Jacobi equations. Techniques such as convex duality or subdifferential calculus are used to prove that Hopf-Lax formulae provide explicit solutions of the associated Hamilton-Jacobi equation. We use neither the famous comparison principle from viscosity solution theory nor regularization procedures. The finite and the infinite dimensional cases are treated successively. These results are applied to get estimates for solutions of Hamilton-Jacobi equations whose hamiltonians are differences of convex functions. The last part is devoted to the construction of a lower semicontinuous solution of a Hamilton-Jacobi equation whose hamiltonian is the supremum of a parametric family of hamiltonians H(x,u,p) that are convex in p. We use the same techniques to prove the existence of a minimal lsc solution for Hamilton-Jacobi equations under weaker assumptions than the ones found in the traditional viscosity solution theory.; Le travail présenté dans ce mémoire est divisé en deux parties. La première partie est consacrée aux calculs des fonctions d'appui de la Jacobienne généralisée de Clarke et de son enveloppe plénière, associées à une fonction localement lipschtizienne à valeurs vectorielles. Clarke avait établi en 1975 que la fonction d'appui du sous-différentiel généralisé était une dérivée directionnelle généralisée. Il est donc satisfaisant de constater que la fonction d'appui de la Jacobienne généralisée est une sorte de "divergence directionnelle généralisée". Dans la seconde partie, nous présentons un certain nombre d'applications de techniques issues de l'Analyse non lisse à la résolution d'équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ainsi nous utilisons la dualité convexe et le calcul sous-différentiel pour prouver que les formules dites de Hopf-Lax définissent des solutions explicites des équations de Hamilton-Jacobi associées (avec données initiales semicontinues inférieurement). Nous n'utilisons ni le fameux principe de comparaison de la théorie des solutions de viscosité ni régularisation. Nous traitons successivement le cas de la dimension finie et de la dimension infinie. Ces résultats nous permettent de trouver des estimations des solutions d'équations dont l'hamiltonien est la différence de deux fonctions convexes. Enfin, nous nous attachons à l'étude des solutions sci dans des espaces de Banach dits ``lisses''. Le théorème de la valeur moyenne de Clarke et Ledyaev nous permet de montrer un résultat d'``enveloppe'' : nous construisons une solution sci pour une équation dont l'hamiltonien est le supremum d'une famille d'hamiltoniens. Nous appliquons enfin les mêmes techniques pour prouver l'existence d'une solution sci minimale sous des hypothèses plus faibles que celles que l'on recontre généralement dans la littérature.

36. Convex Analysis techniques for Hopf-Lax formulae in Hamilton-Jacobi equations

Author

Cyril Imbert, Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Convex analysis, Legendre-Fenchel conjugate, lsc solutions, MSC: 35D-05, 34A-05, 34A-12, 49J-99, 26B-25, epi-sum, [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], lsc initial data, Clarke-Ledyaev mean value inequality, Hopf-Lax functions
Abstract

International audience; The purpose of the present paper is to prove, solely using Convex (and Nonsmooth) analysis techniques, that Hopf-Lax formulae provide explicit solutions for Hamilton-Jacobi equations with merely lower semicontinuous initial data. The substance of these results appears in a paper by Alvarez, Barron and Ishii (1999) but the proofs are fundamentally different (we do not use the comparison principle) and a distinct notion of discontinuous solutions is used. Moreover we give a maximum principle for the Lax function. This approach permits us to fully understand the role of the convexity of the data.

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