Search

Проведений огляд існуючих методів дослідження стійкості розв’язків систем лінійних алгебраїчних рівнянь (CЛАР), що залежать від вхідних даних, тобто варіацій параметрів. Розглянуто методи оцінки стійкості розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, такі як числа зумовленості, модульні визначники та побудова таблиці знаків за оригінальним та поліпшеним методом побудови. Реалізоване програмне забезпечення для оцінки стійкості систем лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою чисел обумовленості, модульних визначників та побудови таблиці знаків для знаходження точних оцінок варіацій розв’язків залежних від варіацій параметрів СЛАР.В роботі показано, що дослідження стійкості за числами обумовленості дають дуже грубу оцінку можливих похибок розв’язків, але вони є простими в реалізації, та для СЛАР можуть одразу показати, що деякі системи є погано зумовленими, що значно економить час дослідження, особливо якщо СЛАР мають дуже велику розмірність. Дослідження стійкості за модульними визначниками потребують великих розрахунків, але дають досить надійну оцінку зверху щодо можливих варіацій окремих компонент розв’язків систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Це є дуже важливою особливістю метода тому, що окремі компоненти розв’язку можуть зазнавати значних варіацій, що не враховуються при дослідженні за числами обумовленості. Дослідження стійкості побудовою таблиці знаків надають можливість знайти максимальні варіації окремих компонент розв’язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що насправді можуть бути значно меншими, ніж верхня оцінка можливих варіацій за методом модульних визначників. В роботі запропоновано поліпшений метод побудови таблиці знаків, що знаходить більш точний діапазон можливих варіацій розв’язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь.Був проведений порівняльний аналіз між традиційним методом побудови таблиці знаків за окремими визначниками та поліпшеним методом побудови таблиці знаків за похідними від ділення визначників за формулою Крамера. Згідно аналізу, поліпшений метод у 30% випадків знаходить варіації, що в 1.3 рази більші ніж варіації, що знаходить попередній метод, та у 5% випадків ці варіації перевищують попередні у 2 або більше разів. Це говорить про те, що традиційний метод у деяких випадках недооцінював можливі відхилення розв’язків, що залежать від варіацій вхідних даних., Проведен обзор существующих методов исследования устойчивости решений систем линейных алгебраических уравнений (CЛАУ), зависящих от входных данных, то есть вариаций параметров. Рассмотрены методы оценки устойчивости решения систем линейных алгебраических уравнений, такие как числа обусловленности, модульные определители и построение таблицы знаков по оригинальному и улучшенному методам построения. Реализовано программное обеспечение для оценки устойчивости систем линейных алгебраических уравнений с помощью чисел обусловленности, модульных определителей и построения таблицы знаков для нахождения точных оценок вариаций решений зависимых от вариаций параметров СЛАУ.В работе показано, что исследование устойчивости по числам обусловленности дают очень грубую оценку возможных погрешностей решений, но они просты в реализации, и для СЛАУ могут сразу показать, что некоторые системы плохо обусловленными, что значительно экономит время исследования, особенно если СЛАУ имеют очень большую размерность. Исследование устойчивости по модульным определителями требуют больших расчетов, но дают достаточно надежную оценку сверху относительно возможных вариаций отдельных компонент решений систем линейных алгебраических уравнений. Это является очень важной особенностью метода потому, что отдельные компоненты решений могут испытывать значительные вариации, которые не учитываются при исследовании при помощи чисел обусловленности. Исследование устойчивости при помощи построения таблицы знаков дает возможность найти максимальные вариации отдельных компонент решений системы линейных алгебраических уравнений, которые на самом деле могут быть значительно меньше, чем верхняя оценка возможных вариаций методом модульных определителей. В работе предложен улучшенный метод построения таблицы знаков, который находит более точный диапазон возможных вариаций решений системы линейных алгебраических уравнений.Был проведен сравнительный анализ между традиционным методом построения таблицы знаков по отдельным определителями и улучшенным методом построения таблицы знаков по производным от деления определителей по формуле Крамера. Согласно анализу, улучшенный метод в 30% случаев находит вариации, которые в 1.3 раза больше чем вариации, которые находит предыдущий метод, и в 5% случаев эти вариации превышают предыдущие в 2 или более раз. Это говорит о том, что традиционный метод в некоторых случаях недооценивал возможные отклонения решений, зависящих от вариаций входных данных., A review of existing methods for stability research of solutions of systems of linear algebraic equations (SLAE) depending on the input data, that is, parameter variations, have been carried out. Methods for stability research of solving systems of linear algebraic equations, such as condition numbers, modular determinants and the construction of a table of signs using the original and improved construction methods, were considered. Software for stability research of systems of linear algebraic equations have been developed. The software is using condition numbers, modular determinants, and construction of table of signs to find accurate estimates of the variations of solutions of SLAEs that depend on parameters variations.It is shown that stability research using condition numbers gives a very rough estimate of possible errors in solutions, but that research is simple to implement, and for SLAEs it can immediately show that some systems are ill-conditioned, which saves research time, especially if SLAEs have a very large dimensionality. The stability research using modular determinants requires large calculations, but they give a fairly reliable upper estimate with respect to possible variations of individual components of solutions of systems of linear algebraic equations. This is a very important feature of the method because the individual components of solutions may experience significant variations that are not taken into account in the research using condition numbers. The study of stability by constructing a table of signs makes it possible to find the maximum variations of individual components of solutions of a system of linear algebraic equations, which in fact can be significantly less than the upper estimate of possible variations found by method of modular determinants. The paper proposes an improved method for constructing a table of signs, which finds a more accurate range of possible variations of solutions of a system of linear algebraic equations.A comparative analysis was conducted between the traditional method of constructing a table of signs using individual determinants and an improved method of constructing a table of signs based on the derivatives of the division of determinants using the Cramer formula. According to the analysis, the improved method in 30% of cases finds variations that are 1.3 times greater than the variations that the previous method finds, and in 5% of cases these variations are 2 or more times greater than the previous ones. This suggests that the traditional method in some cases underestimated the possible deviations of solutions that depend on variations of the input data.

Запропоновано метод і алгоритм розв’язання задачі обернення лінійних динамічних систем в середовищі поліноміальних сигналів. Рішення задачі отримано на основі матричних уявлень поліноміальних вектор - функцій входу, виходу і стану і статичних матричних перетворень, що дозволило звести поставлену задачу до вирішення лінійної системи алгебраїчних рівнянь. Запропоновано метод аналізу робастности отриманих результатів. Розроблене відповідне програмне забезпечення., There has been proposed a method, algorithm and software solving the problem of inversion of linear dynamical systems in the polynomial signal environment. The solution of the problem was obtained on the basis of matrix representations of polynomial input, output, and state vector functions and static matrix transformations, which made it possible to reduce the problem posed to the solution of a linear system of algebraic equations. Also, there has been proposed a method for analyzing the robustness of the results obtained. There has been developed the software for implementing the proposed methods. The software includes the approximation of the initial information by polynomials of a given degree by the method of least squares, the formation of matrix analogs of the polynomial task by the output of the system, the formation of a matrix of a system of linear algebraic equations, and its solution. The maximum degree of approximating polynomials is corrected on the basis of estimation of the number of conditionality. The software contains a block for estimating the accuracy of the result of the call., Предложен метод и алгоритм решения задачи обращения линейных динамических систем в среде полиномиальных сигналов. Решение задачи получено на основе матричных представлений полиномиальных вектор - функций входа, выхода и состояния и статических матричных преобразований, что позволило свести поставленную задачу к решению линейной системы алгебраических уравнений. Предложен метод анализа робастности полученных результатов. Разработано соответствующее программное обеспечение.