Search

Bu tez çalışmasında amaç; yüksek mertebeden fark denklemlerinin çözümlerinin salınımlılığı hakkında bilgi vermektir. Tez, beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde gerekli temel tanımlar ve kavramlar sunulmuştur. Üçüncü bölümde, birinci mertebeden gecikmeli fark denklemlerinin çözümlerinin salınımlılığı incelenmiştir. Dördüncü bölüm monoton olmayan argümanlı yüksek mertebeden gecikmeli fark denklemlerinin çözümlerinin salınımlılığı ile ilgilidir. Son bölümde ise; yüksek mertebeden fark denklemlerinin çözümlerinin salınımlılığı ve salınımlı olmayan çözümleri incelenmiştir. The aim of this thesis is to give information about the oscillation of the solutions of higher order difference equations. This thesis consists of five chapters. The first chapter is devoted to introduction. In the second chapter, necessary basic concepts and definitions are presented. In the third chapter, the oscillation of solutions of first order delay difference equations are investigated. Fourth chapter, deals with oscillation of solutions of higher order delay difference equations with non-monotone arguments. In the last chapter, oscillation and non oscillating solutions of higher order difference equations are studied.

Bu çalışmada ikinci mertebeden yarı-lineer diferensiyel denklemlerin salınımı ve salınımsızlığı incelenmektedir.Çalışma üç bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde genel tanım ve kavramlara yer verilmektedir.İkinci bölümdeşeklindeki ikinci mertebeden diferensiyel denklemler için salınım ve salınımsızlık kriterleri incelenmektedir, burada , , ve dır.Üçüncü bölümdeşeklindeki yarı-lineer diferensiyel denklemler için salınım ve salınımsızlık kriterleri verilmektedir. Burada ve olmak üzere şeklinde tanımlıdır.Anahtar Kelimeler: Salınım, Salınımsızlık, Salınımlı Çözümler, Salınımsız Çözümler, Yarı-lineer Diferensiyel Denklemler. In this work, it is studied the oscillation and nonoscillation of half-linear differential equations of the second order.This work consist of three chapters.The first chapter is devoted to the preliminaries and the basic consept is given.In the second chapter, oscillation and nonoscillation criterias are examined for the second order differential equations of the formwhere and .In the third chapter, oscillation and nonoscillation criteria are given for the second order half-linear differential equations of the formwhere and is defined by with is a fixed number.Keywords: Oscillation, Nonoscillation, Oscillation Solutions, Nonoscillation Solutions, Half-Linear Differential Equations. 130

Bu yüksek lisans tezi dört bölümden olusmaktadır. ?lk bölüm giris kısmınaayrılmıstır. ?kinci bölümde, fark analizi, lineer fark denklemleri teorisi, lineerhomogen sabit katsayılı fark denklemlerinin çözümleri ve fark denklemlerininsalınımlılığı ile ilgili temel bilgiler verilip bunlara iliskin bazı teorem ve lemmalarverilecektir. Üçüncü bölümde, seklindeki yüksek mertebeden lineer olmayanneutral gecikmeli fark denklemi incelenmistir. Bu bölümde, (1) denkleminin tümçözümlerinin salınımlılığı için yeter sartlar verilmistir. Orijinal sonuçlarımızın yeraldığı dördüncü bölümde ise, seklindeki yüksek mertebeden lineer olmayanfark denklemi ele alınmıstır ve bu denklemin sınırlı çözümünlerinin salınımlığıiçin yeter sartlar elde edilmistir. This thesis consists of four chapters. The first chapter has been devoted to theintroduction. In the second chapter, some main topics for difference calculus, theoryof linear difference equations, solutions of linear homogeneous autonomousdifference equations, oscillations of difference equations have been given and someknown theorems and lemmas concerning these concepts have also been recalled. Inthe third chapter, the higher order nonlinear neutral delay difference equationis studied. In this chapter, sufficient conditions for oscillation of all solutions of (1)are given. In the four chapter, where our original results are given, the higher ordernonlinear delay difference equationis considered and sufficient conditions for oscillationof bounded solutions of this equation are given.

Differential equations has been studied for a long time and its applications are avaliable in many scientific branches. In many years there has been much research activity concerning the oscillaton of delay differential equations. In the first chapter of the thesis, we tread some results given for differential equations in the literature. In the second chapter, general defination and some theorems for oscillation of delay differential equations are given. In the third chapter, conditions for oscillations of autonomous and non-autonomous differential equations ′( ) + ( − ) = 0, ′( ) + ( ) ( − ) = 0 have been examined and, techniques to analyze the generalized characteristic equations to obtain some infinite integral conditions for oscillation of the non-autonomous delay differential equations have been introduced. In the fourth chapter, we have examined some integral conditions for the oscillations of all solutions of nonlinear first order neutral delay differential equations and, sufficient conditions for the existence of a positive solution of the neutral delay differential equations. Diferensiyel denklemler üzerinde uzun yıllardır çalışılmaktadır ve diferensiyel denklemlerin bir çok bilim dalında uygulaması mevcuttur. Yıllardır gecikmeli diferensiyel denklemlerin çözümünün salınımlılığını inceleyen çok sayıda çalışma yapılmıştır. Bir çok yazar diferensiyel denklemin çözümünün salınımlılığı konusunu incelemiştir. Bu tezin birinci bölümünde diferensiyel denklemlerin salınımlılığı ile ilgili elde edilen sonuçlardan bahsedilmiştir. İkinci bölümde diferensiyel denklemlerin salınımlılığı için gerekli olan temel kavram ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde otonom ve otonom olmayan ′( ) + ( − ) = 0, ′( ) + ( ) ( − ) = 0 diferensiyel denklemlerinin salınımlılık durumları incelenmiştir. Ayrıca otonom olmayan diferensiyel denkleminin salınımlılığı için genel karakteristik denkleminin sonsuz integral şartını veren teknikler sunulmuştur. Dördüncü bölümde birinci mertebeden lineer olmayan neutral gecikmeli diferensiyel denklemlerin çözümü için integrasyon durumları belirlendi ve son olarak neutral gecikmeli diferensiyel denklemlerinin pozitif çözümünün varlığı için yeterli koşullar verilmiştir.

Bu tez üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, amaca yönelik temel kavramlara değinilip üçüncü basamaktan denklemlerin çözümlerinin salınımlılığına ilişkin bazı önemli çalışmalara yer verilmiştir. Tamamen orijinal sonuçlardan oluşan üçüncü bölümde belli sınıftan üçüncü basamaktan denklemlerin salınımlılığına ilişkin kriterler inşa edilmiştir. This thesis consists of three chapters. The first chapter is the introduction. The second chapter deals with the fundamental concepts and provides a survey of literature relevant to oscillation of solutions of third order equations. The third chapter, which presents completely new results, is the criteria regarding the oscillation of solutions of a class of third order equations. 74

Bu çalısmada, ikinci ve üçüncü mertebeden lineer olmayan diferensiyel denklemlerinçözümlerinin salınımlı ve salınımsız davranısları incelenecektir.Tez üç bölümden olusmaktadır. Birinci bölümde, temel tanım ve kavramlara yerverilecektir.5kinci bölümde, belli yapıya sahip ikinci mertebeden lineer ve lineer olmayandiferensiyel denklemlerin salınımı incelenecektir.Son olarak üçüncü bölümde, üçüncü mertebeden lineer olmayan diferensiyeldenklemlerin çözümlerinin davranısı ile ilgili bazı kriterler ifade ve ispat edilecektir.Anahtar Kelimeler: Salınımlılık, Salınımsızlık, Salınımlı Çözümler, SalınımsızÇözümler, Diferensiyel Denklemler In this study, we is deal with oscillatory and nonoscillatory behaviour of solutions ofthe second and third order nonlinear differential equations.This thesis consists of three chapters. In the first chapter, it is given the basic concepts.In the second chapter, we deal with oscillation of solution of linear and nonlinear thesecond order differential equations.Finally in the third chapter, some criteria related to behaviour of solutions of the thirdorder nonlinear differential equations were examined.Keywords: Oscillation, Nonoscillation, Oscillating Solutions, Nonoscillation Solutions,Differential Equations 64

Bu tezde, ikinci basamaktan lineer ve lineer olmayan diferensiyel denklemlerinçözümlerinin salınımsız davranısları ile asimptotik davranısları incelenmektedir.Çalısma dört bölümden olusmaktadır. Birinci bölümde temel kavramlar ve teoremlerverilmistir.kinci ve üçüncü bölümde ikinci mertebeden lineer ve lineer olmayan denklemlerinsalınımsız çözümlerinin davranısı incelenmistir.Dördüncü bölümde ikinci mertebeden lineer olmayan diferensiyel denklemlerinsalınımsız çözümlerinin asimptotik davranısı üzerinde durulmustur.Anahtar Kelimeler: Salınımlılık, Salınımsızlık, Salınımlı Çözümler, SalınımsızÇözümler, Asimptotik Davranıs, Diferensiyel Denklemler In this thesis, it is studied the nonoscillation solutions and the asymptotic behavior ofthe linear and nonlinear differential equations of the second order.This work consists of four chapters. The first chapter is devoted to the preliminaries andthe basis theorems.In the second and third chapters, it is searched nonoscillation behavior of solutions ofthe linear and nonlinear differential equations of the second-order.In the fourth chapter, the asymptotic behavior of nonoscillatory solutions of nonlinearsecond-order differential equation were examined.Keywords: Oscillation, Nonoscillation, Oscillating Solutions, Nonoscillation Solutions,Asymptotic Behavior, Differential Equation. 47

Derleme niteliğindeki bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde amaca yönelik bazı önemli tanım, teorem ve sonuçlara değinilmiştir. Üçüncü bölümde ikinci basamaktan denklemlerin çözümlerinin salınımlığına ilişkin bazı önemli sonuçlara yer verilmiştir. Dördüncü bölümde de yakın zamanda incelenen bir denklem sınıfının çözümlerin salınımlığı na ağırlıklı olarak irdelenmiştir.Anahtar Kelimeler : Diferensiyel Denklem, İkinci Basamaktan Lineer Olmayan Diferensiyel Denklemler, Salınımlılık, Salınımsızlık. This thesis, a compile of studies which have been conducted so far, consists of four chapters. The first chapter is allocated to the introduction. In the second chapter, some important definitions, theorems and results regarding the topic have been mentioned. In the third chapter, on the oscillation of solutions of second order differential equations have been given some important results. In the fourth chapter, on the oscillation of solutions of a class of equation, which has recently investigated, has been thorougly analized.Key Words : Differential Equation, Second Order Nonlinear Differential Equations, Oscillation, Nonoscillation. 62

İKİNCİ BASAMAKTAN LİNEER OLMAYAN DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE (Doktora Tezi) Devrim ÇAKMAK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Kasım 2003 ÖZET Bu tez üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, amaca yönelik temel kavramlara değinilip ikinci basamaktan denklemlerin çözümlerinin salınımlılığına ilişkin bazı önemli çalışmalara yer verilmiştir. Tamamen orijinal sonuçlardan oluşan üçüncü bölümde belli sınıftan ikinci basamaktan denklemlerin salınımlılığına ilişkin kriterler inşa edilmiştir. Bilim Kodu : 4030600 Anahtar Kelimeler : Diferensiyel Denklem, İkinci Basamaktan Lineer Olmayan Diferensiyel Denklemler, Salınıml ılık, Salınımsızlık Sayfa Adedi : 78 Tez Yöneticisi : Prof. Dr. Aydın TİRYAKİ ON THE OSCILLATION OF SOLUTIONS OF SECOND ORDER NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS (Ph. D. Thesis) Devrim ÇAKMAK GAZI UNIVERSITY INSTUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY November 2003 ABSTRACT This thesis consists of three chapters. The first chapter is devoted to introduction. The second chapter deals with the fundamental concepts and provides a survey of literature relevant to oscillation of solutions of second order equations. The subject of the third chapter which consists of brand new results is the criteria with regard to the oscillation of solutions of a class of second order equations. Science Code -.4030600 Key Words : Differential Equation, Second Order Nonlinear Differential Equations, Oscillation, Nonoscillation Page Number : 78 Adviser : Prof. Dr. Aydın TİRYAKİ 78

ÖZET İKİNCİ VE ÜÇÜNCÜ BASAMAKTAN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN SALINIMLI OLMASI VEYA OLMAMASI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE GÜRBÜZ, Ramazan Yüksek Lisans Tezi, Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Tez Danışmanı: Doç. Dr. Cemil TUNÇ Ocak 2000, 45 sayfa Beş bölümden oluşan bu çalışmanın amacı, diferansiyel denklemlerde salınım kavramım tanıtmak ve belli türden diferansiyel denklemler için bazı salınım kriterleri vermektir. Birinci bölümde literatür bildirişleri sunuldu. İkinci bölümde diferansiyel denklemler kuramında belirgin bir öneme sahip bazı temel tanım ve teoremler verildi. Ayrıca bu kavramlara ilişkin örnekler üzerinde duruldu. Üçüncü bölümde kanonik formda yazılmış ikinci basamaktan homogen denklemler için bazı salınındı olma / olmama kriterleri verilip, bu kriterler belli örneklere uygulandı. Dördüncü bölümde ise, literatürde geçen belli türdeki üçüncü basamaktan homogen /homogen olmayan lineer diferansiyel denklemlerin çözümlerine (veya denklemlerin kendilerine) ilişkin bazı salınım kriterleri üzerinde inceleme ve irdeleme yapıldı. Son bölümde ise tartışma ve sonuç verildi. Anahtar kelimeler : Salınınıhlık, Salınımsızlık, C, sınıfı, Cu sınıfı, İkinci basamaktan lineer homogen denklemler, Üçüncü basamaktan lineer homogen olmayan diferansiyel denklemler. ABSTRACT ON THE OSCILLATION AND NONOSCILLATION PROPERTIES OF SECOND AND THIRD ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS GÜRBÜZ, Ramazan M. Sc, Math Education Dept. Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Cemil TUNÇ January 2000, 45 pages The aim of this study is to present the concept of oscillation in differential equations and to give some oscillation criteria for certain differential equations. The study consists of five parts. In the first part, literature notices were given. In the second part, certain definitions and theorems of marked importence for differential equations were given. In addition some examples pertaining to these theorems were presented. In the third part, some oscillation and nonoscillation criteria for second order linear homogen equations written in canonic form were given. These criteria were applied to some examles. In the fourth part, some oscillation criteria related to the solutions of third order homogen and nonhomogen linear differential equations, mentioned in the literature, were examined. In last part, discussions and results were given. Key words: Oscillation, Nonoscillation, Cx class, C2 class, Second order linear homogeneous differential equations, Third order linear non-homogeneous differential equations. Ill 45