Search

In this study, axial vibrations of bi-symmetrical variable cross-section bars were investigated using the transfer matrix method. The bar in the problem under examination is presumptively symmetrical about its mid-span and simply supported at both ends. The doubly symmetric tapered bar's equation of motion, written in spherical coordinates, is solved in closed form employing the separation of variables, and the solution is expressed in terms of Bessel functions. State vectors are obtained at the ends of the symmetrical bar for the first and second domains, and the transfer matrix is computed for both domains. The vibration equation is obtained by writing the total transfer matrix for the symmetrical bar and applying the boundary conditions. From the solution of this equation, free vibration frequencies and mode shapes are determined for different taper ratios. The effect of taper ratio and symmetry on axial vibration has been demonstrated., Bu çalışmada çift simetrili değişken kesitli çubukların taşıma matrisi yöntemi ile eksenel titreşimleri araştırılmıştır. Ele alınan problemdeki, çubuk açıklık ortasına göre simetrik ve her iki ucundan basit mesnetlidir. Konik çubuk için küresel koordinatlarda yazılan hareket denkleminin degişkenlerine ayırma yöntemi ile Bessel fonksiyonları cinsinden kapalı çözümü yapılmıştır. Simetrik çubuğun 1’inci ve 2’nci bölgesi için çubuk uçlarında durum vektörleri yazılmış ve her iki bölge için taşıma matrisi türetilmiştir. Simetrik çubuk için toplam taşıma matrisi yazılıp sınır koşulları uygulanarak titreşim denklemine ulaşılmıştır. Bu denklemin çözümünden serbest titreşim frekansları ve mod şekilleri farklı koniklik oranları için belirlenmiştir. Koniklik oranın ve simetrinin eksenel titreşim üzerine olan etkisi ortaya konmuştur.

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2010, Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2010, Yapı mekaniğinde çubukların burkulması çeşitli metotlarla incelenebilir. Bu çubuk elemanlarının kesin burkulma yükleri de bu metotlardan biriyle rahatlıkla hesaplanabilir. Ancak kesin hesap her durumda kolaylıkla yapılamaz. Çubuk kesitinin değişken olması veya birden fazla rijitlik sabitinin söz konusu olduğu durumlarda kesin burkulma yükü hesabı güçleşir. Bu çalışmanın kapsamı içerisinde gerek değişken kesitli çubukların gerekse iki rijitlik sabitinin söz konusu olduğu çift duvarlı karbon nanotüplerin burkulması yaklaşık taşıma matrisi ve başlangıç değerler metoduyla incelenmiştir. Ayrıca çeşitli sınır koşullarına sahip problemler incelenmiş, bunlar için hesaplanan kesin ve yaklaşık burkulma yükleri karşılaştırılmıştır. Yapılan incelemelere göre yaklaşık taşıma matrisi metodu diferansiyel denklemlerin integrasyonunun tek sefer yerine seri şekilde toplanarak hesaplanması esasına dayanmaktadır. Buna göre bu toplama serisi ne kadar ilerletilirse yaklaşık sonuçlar kesin sonuca o kadar yaklaşmaktadır. Elde edilen bir diğer sonuçta integral hesap aralığı ne kadar çok parçaya bölünürse yaklaşık burkulma yükü değerinin de kesin sonuca o kadar çok yakınsamasıdır., In mechanic of structures, buckling of bars can be examined with various methods. This exact buckling loads of bar staff in either of these methods can be calculated easily. But in each case, exact calculation can’t easily done. If we have variable bar with variable cross-section or more than one rigidity constant,calculation of exact buckling load is difficult. Within the scope of this study ; bars with variable cross section and double walled carbon nanotubes which have two rigidty constants examined with approximate principal matrix and initial values methods. Problems which have various boundary conditions has also examined for exact and approximate buckling loads; calculated and compared. According the reviews the aprroximate principal matrix method bases on calculating sum of integrations with series instead of once integration of differential equations. According to this, if sum series how much calculating forward, the result is so much closer the absolute value. Another result is used integral range divides how much more, the approximate buckling load value converges to the absolute one., Yüksek Lisans, M.Sc.

Türkiye’de binaların ısıl performansı konusunda ilk akla gelen ısıtma (kış konforu) amaçlı enerji tüketimini sınırlandırmaktır. Bu tüketimi sınırlayan TS 825’de açıklanan hesap metodu kararlı rejim esaslarına dayanır. Yaz mevsiminde güneş enerjisinin etkisiyle hem hava sıcaklığı ve hem de elemanın dış yüzey sıcaklığı, gündüz ve gece arasında büyük değişim gösterir. Uluslararası standartlarda, yaz şartlarında sıcaklık ve ısı akısının değişimi sinüzoidal kabul edilmekte ve hesaplar sinüzoidal değişim gösteren periyodik rejim şartları için gerçekleştirilmektedir. Binaların ısıl konfor açısından yeterli olabilmesi için, hem kış hem de yaz konforunun dikkate alınması ve her iki konfor açısından en uygun uygulamanın gerçekleştirilmesi gerekmektedir. Bu konudaki Türk Standardı TS EN ISO 13786’dır ve ISO 13786’nın Türkçe tercümesidir. Bu standarda, periyodik rejim şartlarında hesaplanması gereken en önemli büyüklük iletim matrisidir. İletim matrisinden hareketle diğer tüm değişkenler hesaplanabilmektedir. Bu çalışmada, periyodik rejim şartlarında yapı elemanlarının ısıl performanslarının değerlendirilmesi ile ilgili açıklamalar, temel bilgilerden başlayarak TS EN ISO 13786’da açıklanan hesap metoduna kadar geniş bir çerçeve içinde özetlenmiştir. In Türkiye, the first attempt to improve the thermal performance of buildings is to restrict the heating energy consumption. This is done based on the steady state method as outlined in TS 825. Both temperatures of air and external surface of elements show significant variations between day and night due solar energy in summer. In international standards, variations of temperature and heat flow in summer are assumed to be sinusoidal and calculations are performed accordingly. For efficiency of thermal comfort in buildings, both winter and summer comfort need to be taken into consideration at an optimum level. The relevant Turkish standard TS EN ISO 13786 is a translation of ISO 13786. In this standard, transfer matrix, which must be calculated in case of periodic regime conditions, is the most important entity from which all the other variables can be calculated. In this study, thermal performance of building components under periodic regime conditions were summarized comprehensively starting from basic information to the calculation method given in TS EN ISO 13786.

URL: http://sujest.selcuk.edu.tr/sumbtd/article/view/14, Bu çalışmada elastik zemine oturan kirişlerin birinci ve ikinci mertebe statik analizi için taşıma matrisi yöntemini temel alan bir yöntem sunulmuştur. Elastik zemine oturan kirişlerin yük altındaki davranışının Winkler hipotezine uyduğu kabulü yapılmıştır. Çalışmanın sonunda sunulan yaklaşımın matris-deplasman yöntemine yakınsaklığını araştırmak üzere literatürden alınan iki adet örnek sunulmuştur., In this study, a method based on transfer matrix method for the first and second order statical analysis of beams on elastic foundations is presented. It is assumed that the behavior of beams under loading is in agreement with the Winkler hypothesis. At the end of the study, two examples quoted from the literature are presented in order to investigate the advantage of the method to matrixdisplacement method.

Tez (doktora) - Anadolu Üniversitesi, Anadolu Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Sivil Havacılık Anabilim Dalı, Kayıt no: 174004, Bu tezde bir uçağın boyutsuz kararlılık türevlerinden oluşan katsayılara sahip pay ve payda polinomu biçimindeki transfer fonksiyonlarından oluşan transfer matrisi yapısının modellenmesi ve kontrolü ele alınmıştır. Sistemin dinamik denklemleri Newton'un ikinci yasasından başlayarak türetilmiş ve sistemin dinamiği doğrusal durum uzayı modeli ile gösterilmiştir. Uçağın doğrusallaştırılmış dinamik denklemlerinden türetilmiş transfer matrisi, MATLAB dilinde hazırlanan bir benzetim programı yardımıyla çözülerek sistemin tepkisi bulunmuştur. Uçağın koordine viraj hareketi yapmasını sağlamak üzere model referans tekniğinden oluşturulmuş kontrol kuralını kullanan bir uçuş kontrol sistemi tasarlanmıştır. Tasarlanan kontrolörler için sistemin benzetimi yapılarak elde edilen sonuçlar sunulmuştur.

ÖZET Bu çalışmada kendi düzlemine dik yükle yüklü, değişken kesitli, keyfi eğrilik yarıçapına sahip çubuklara ait taşıma matrisi hesaplanmıştır. Daha sonra eksen eğrisi parabolik olan değişken kesitli çubuklara ait taşıma matrisi hesaplanmıştır. Çubuğun başlangıçtaki yer değiştirmelerin ve kesit tesirlerinin bilinmesi halinde tüm çubuk boyunca yerdeğiştirmelerin ve kesit tesirlerinin analitik olarak hesaplanabilmesini sağlayan Başlangıç Değerleri Yöntemi Mathematica programının da yardımıyla çok çabuk ve kolay çözümler bulmaya yardımcı olmuştur. Başlangıç Değerleri Yöntemi; problemlerin çözümünde hiperstatiklik derecesinin yüksek olmasının ilave bir zorluk getirmemesi üstünlüğüne sahiptir. Bu çalışmada çubuk eksen eğrisinin ve eksen eğrisi parabolik olan, kesit değişimi ise değişken seçilen çubuğa ait farklı iki sistemde örnek problemler çözülmüştür. Birinci örnek problemde; eksen eğrisi parabolik şekilde olan iki ucu mafsallı bir sistemin tam ortasına mafsal yerleştirilmiştir. Aynı zamanda bu mafsalın üstüne tekil yük etki ettirilmiştir. (f/l=0.10) seçilmiştir. Daha sonra Bölüm 4 de elde edilen Taşıma Matrisi yardımıyla sistemin çözümü yapılmış ve problemin bilinmeyenleri boyutsuz olarak 0 ( x koordinatına karşı gelen açı: Bkz. Şekil 5.2.2) açısına bağlı fonksiyonlar şeklinde bulunmuştur. Fakat daha sonra bu fonksiyonların uzunluğu nedeni ile uygulama pratikliğinin olmadığı görülmüştür. Bundan dolayı; elde edilen fonksiyon eğrileri ile çakışan, daha kısa olan Yaklaşık Fonksiyonlar araştırılmış ve £,=x/l boyutsuz koordinatına bağlı 3. dereceden Yaklaşık Fonksiyon eğrileri elde edilmiştir. Kesin ve yaklaşık boyutsuz uç kuvvetleri ile yerdeğiştirmelere karşılık gelen diyagramlar çizdirilmiştir. İkinci örnek problemde; eksen eğrisi parabolik şeklinde olan iki ucu mafsallı bir sistemin tam orta noktasına tekil yük etki ettirilmiştir. Aynı şekilde birinci örnekte problemde olduğu gibi işlemler takip edilmiştir. Çalışma boyunca Mathematica, Latex, Ms Office Word, AutoCAD 2000 programları kullanılmıştır. 1^ vııı SUMMARY THE CARRY-OVER MATRIX OF A BAR LOADED PERPENDICULAR TO ITS PLANE AND SHEAR EFFECT The computer technology has highly developed in recent years and programs working analytically has been produced. Initial value method requires lenghty analytical calculations but using programs working analytically, this difficulty can be avoided. Analytical results have a lot of priorities with respect to numerical results. For example, after the analytical results have been obtained, numerical results for different values of parameters can be easily calculated by using a calculator. In this thesis the program Mathematica is used throughout. The basic equations for plane rods are ubf[e)+P[e].an[e]-p[e].^ = o Q>]-O>]-p[0].^ = o Q,[0]+Q,;[0]-p[0]-^g = O M,[e)-Mn[e]=o M,[e)+MAe]-p[e]-Tb[e]=o Th'[9]=0 where Ub is displacement components along the binormal: £>t is the rotation around the tangent; Q.` is the rotation around the normal; Mt is the moment around the tangent; Mn is the moment around the normal and Ti, is the shear force along the binormal. D, and Dn are the bending rigidity. ch is the shear rigidity. See Ref[7], Ref[8], Ref[9], Ref[10] Homogeneous system of equations must be solved by obtaining the carry over matrix. By successive integration the following results are obtained: ix 48

KESİTLERİN KAYMASI VE EKSENİN UZAMASI DA GÖZÖNÜNE ALINARAK DÜZLEMİNDE YÜKLÜ PARABOLİK EKSENLİ ÇUBUKLARIN BAŞLANGIÇ DEĞERLERİ YÖNTEMİYLE HESABI ÖZET Bu çalışmada çubuk adı verilen, yüklemeleri çubuk düzlemi içinde olan, parabol eksenli, değişken enkesitli cisimlerin dış tesir altındaki davranışları incelenmiştir. Kesit tesirleri ve yerdeğiştirmeler tüm çubuk boyunca hesap lanmıştır. Çubuğun yapıldığı malzemenin elastik, homojen ve izotrop olduğu kabul edilecektir. Çubuk adını verdiğimiz cismin enine olan iki boyutunun da çubuk uzunluğu ve eğrilikler yanında çok küçük olduğu kabul edilmiştir. Eksen eğrisi bir düzlem içinde olan çubuklara düzlemsel çubuklar adı verilir. Bu çubuklarda burulma r = 0 veya binormal birim vektör (b = sabit) doğrul tu itibariyle de sabittir. Burada hesap edilmesi gereken T, M iç kuvvetlerle U, Ü, gibi yer değiştirme, dönme olmak üzere 4 vektör vardır, hesaplar skaler denklem lerden yürütülmek istenirse 12 denklemden oluşan diferansiyel den klem sistemi ile karşılaşılır. Ancak düzlemi içerisinde yüklü ya da düzlemine dik yüklü çubuklar için bu denklem sistemi 6 denkleme indirgenebilinir [1], [2]- [3] de iki mafsallı ve tek yükle yüklü parabolik kemer ayrıntılı olarak çözül müştür. Ancak kayma etkisi ve normal kuvvet bu çalışmada ihmal edilmiştir. Bu çalışmada aynı problem kayma etkisi ve normal kuvvetin etkisi gözönüne alınarak incelenmiştir. Bu etkilerin ihmal edilmesi durumunda sonuçlar [3] ile çakışmaktadır. Çubuğun başlangıçtaki yerdeğiştirmelerinin ve kesit tesirlerinin bilinmesi ha linde tüm çubuk boyunca yerdeğiştirmelerin ve kesit tesirlerinin analitik olarak hesaplanabilmesini sağlayan Başlangıç Değerleri Yöntemi, Mathe- matica programının da kullanılmasıyla çok çabuk ve kolay çözümler elde edilmesine yardımcı olmuştur. Bu yöntemde problemin hiperstatiklik dere cesinin yüksek olması ilave bir zorluk getirmez. Önce eksen eğrisi parabol olan çubukta kayma etkisi ve normal kuvvetin etkisi de gözönüne alınması durumunda Taşıma matrisi elde edilmiş ve bu matrisin tersi de verilmiştir. Bu çalışmada eğrisi parabol olan değişken enkesitli çubuğa ait örnek bir problem /// = 0.1 ve f/l = 0.2 için parametrelerin çeşitli değerleri için ayrıntılı olarak Taşıma Matrisi yardımıyla teğet ve normal doğrultusundaki yerdeğiştirmeler, binormal doğrultusundaki dönme ve kesit tesiri bileşenleri analitik olarak elde edilmiştir. Burada / çubuk eksen eğrisinin oku, l ise açık lıktır. Bulunan analitik çözümler oldukça uzun olup pratikte kullanılmaları ivoldukça zordur. Bu nedenle boyutsuz değişkenler cinsinden yaklaşık fonksiy onlar üretilmiştir. Daha sonra kesin ve yaklaşık çözümlere ait diyagram lar verilmiştir. Bu diyagramlardan da görülebileceği gibi, kesin ve yaklaşık fonksiyonlar hemen hemen çakışmaktadır. Çalışma boyunca Mathematica, MikTeX, Designer, Derive programları kullanılmıştır. THE INITIAL VALUES METHOD OF THE PARABOLIC BARS CONSIDERING THE SHEAR FORCE AND NORMAL FORCE FOR IN-PLANE LOADING SUMMARY In this work the carry-over matrices of plane curved bars have been obtained. As is well-known the 12 x 12 carry-over matrices of plane rods may be seper- ated into two 6x6 matrices. One of these matrices is for the coplanar forces; the other is for the forces perpendicular to the plane. The main equations for in-plane loading are (see [2], [3], [5], [8]) 1 dut un Tt - = 0 (1) p() = ( sin(y>)) p0 (9 + cos(2 y)) sec(y>) p03 tan(tp)4 + 240^ (25) t / x = O cos(y) - log(cos(y)) sin(y)) Po (-(y? cos(y)) + sin(y) + log(cos(y?)) sin(y>)) p0 c*o (7 + cos(2 y?)) sec(y) p03 tan(y>)3 48 Ao ( j ix +tx()=0 (46) W) = 0 (47) W) = 0 (48) tM = ^^ (49) Us(

TEZ3901 Tez (Doktora) -- Çukurova Üniversitesi, Adana, 2001. Kaynakça (s.122-124) var. x, 175 s. : res. ; 29 cm. … Bu çalışma Ç.Ü. Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi Tarafından Desteklenmiştir. Proje No:FBE97D107

in ÖZET Yüksek Lisans Tezi BOND GRAF MODELİNDEN YARARLANARAK PARÇA -PARÇA LİNEER SİSTEMLERİN TRANSFER MATRİSİNİN BULUNMASI NusretTURKBAY Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı 1999,Sayfa: 43 Bu tezde, bond graf modelinden yararlanarak parça -parça lineer sistemlerin transfer matrisinin elde edilmesi sunulmuştur. Parça-parça lineerlik yaklaşımına göre lineer olmayan elamanlar; anahtarlar, kaynaklar ve lineer elemanlardan oluşan eşdeğer devrelerle modellenmektedir. Ayrıca BONTRAN isimli bir bilgisayar programı hazırlanmıştır. Bu çalışmanın özelliklerim ortaya koyabilmek için değişik örnekler üzerinde çalışılmıştır. ANAHTAR KELİMELER: Bond Graf Modeli, Transfer Matrisi, Parça-Parça Lineerlik Yaklaşımı IV ABSTRACT Masters Thesis TRANSFER MATRIX OF PIECE-WISE LINEAR SYSTEMS USING THE BOND GRAPH MODEL Nusret TÜRKBAY Fırat University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Electirical and Electronics Engineering 1999,Page:43 In this thesis, an algorithm is presented to obtain the transfer matrix by use of the bond graph model of piece-wise linear systems. The piece-wise linear approximation is based on modelling nonlinear componnet by use of equivalent circut which contains switches, sources and linear components. In order to constraint the methot a FOTRAN programme 'BONTRAN ' has been develodep. There are different examples have been studied to demostrade the usefullness this method in general. KEY WORDS: Bond Graph Model, Transfer Matrix, Piece- Wise Linear Approximation 43

ÖZET Bu çalışmada, taşıma matrisinden faydalanarak birbirine eksenel normal kuvvet alan çubuklar ile bağlı düzlemsel iki çubuk incelenmiştir. Birinci bölümde; konunun kısaca özeti yapılmıştır. İkinci bölümde; çubuk geometrisi hakkında bilgi verilmiş ve çubuğa ait genel denklemler elde edilmiştir. Üçüncü bölümde; taşıma matrisi ve tekil etkiler hakkında bilgi verilmiştir. Bu bölümde, çubuk probleminin başlangıç değerleri ile çözümünün genel formülasyonu yapılmıştır. Dördüncü bölümde; doğru eksenli çubuğun taşıma matrisi çıkartılmış ve kapalı şekilde elde edilemeyen taşıma matrisleri için bir sayısal yöntem formüle edilmiştir. Beşinci bölümde; birbirine eksenel normal kuvvet alan çubuk ile bağlı iki çubuğun formülasyonu, daha önceki bölümlerde elde edilen bilgiler yardımı ile yapılmıştır. Formülasyonda çubuklardan biri doğru, diğeri ise parabol alınmıştır. Altıncı bölümde; oluşturulan bilgisayar programı hakkında bilgi verilmiş ve çözülen örnek sistemlere ait bazı özellikler ve sonuç değerleri verilmiştir. SUMMARY THE ANALYSIS OF TWO RODS CONNECTED WITH RODS CARRYING ONLY NORMAL FORCES BY USING THE CARRY-OVER MATRIX In this work, two rods that are connected with rods only carrying normal forces have been solved by the carry-over matrix. As it is well-known, the 12*12 carry-over matrices of plane rods may be separated into two 6*6 matrices. One of these matrices is for the coplanar forces, the other one is for the forces perpendicular to the plane. We have used for parabolic arcs 6*6 carry-over matrix. For straight rods the order of this matrix is 4*4 The work is composed of seven parts. In the second part, the geometry of the plane rod has been introduced. The tangent to the elastic curve is t-direction, the direction of the normal in the plane to t- direction is n-direction and the direction normal to the plane is b-direction. The equilibrium equations are: -> dM -»-»-> - -+txT+m = 0 as ^ + P = ° Where T is the resultant of the stresses in the cross-section, while M is the resultant of the couples obtained from transformation of the distributed moments to the -* -> centroid. On the other hand p and m are distributed forces and couples -» respectively. Here, the independent variable s represents the arch length and t is the unit tangent vector. The compatibility equations are: dU - -> -* -- = y+Qxt dsda ds = co Where U is the displacement vector, Q is the rotation of the cross-section, y is -> correlative deformation of unit length of the rod and a is correlative rotation of unit -> -> length of the rod. Due to these equations show the relation between U and Q, it is named as compatibility equation. -> -» -> -> Constitution equations show relation between T, M and y,co which can be written in the follownig form: -> -» T=C.y -* where D is the rigidity of the rod with respect to couples M. C is the rigidity of the -> rod with respect to forces T. The four vectorial equations form a system of 12 equations which can be written as: ^ = AS+P For the non-homogenous case, S is composed of U, Q, T, M. The principal matrix is of course 12*12. But as mentioned above it is 6*6 for parabolic rods and 4*4 for straight rods, s can be written as curved coordinate by s = p.d * m S(5) = F( s). S(0) + J F(s - Ç). p(£. dğ +£ F(s - 4 ). K(£ ) 0 '=1 For s = tp and F(s) = eSA equation written above may be shown in the following form: S(

ÖZET Yapılan bu çalışmada eksen eğrisi sikloid olan çubuğa ait taşıma matrisi verilmiş ve çeşitli yüklemeler altında çubuğun davranışları incelenmiştir. Çubuğun başlangıçtaki yerdeğiştirmelerinin ve kesit tesirlerinin bilinmesi halinde tüm çubuk boyunca yerdeğiştirmelerin ve kesit tesirlerinin analitik olarak hesaplanabilmesini sağlayan Başlangıç Değerleri Yöntemi, Mathematica programının da kullanılmasıyla çok çabuk ve kolay çözümler elde edilmesine yardımcı olmuştur. Başlangıç Değerleri Yöntemi; problemlerin çözümünde hiperstatiklik derecesinin yüksek olmasının ilave bir zorluk getirmemesi üstünlüğüne sahiptir. Bu çalışmada eksen eğrisi sikloid olan sabit enkesitli çubuğa ait farklı üç örnek problem çözülmüştür. Birinci örnek problemde; eksen eğrisi sikloid olan iki ucu ankastre bir sistemin tam orta noktasına bir burulma momenti etki ettirilmiştir. Daha sonra 2. Bölümde elde edilen taşıma matrisi yardımıyla sistemin çözümü yapılmış ve 6 adet olan problemin bilinmeyenleri: binormal doğrultuda yerdeğiştirme, teğet ve normal etrafındaki dönmeler, eğilme ve burulma momentleri ve kesme kuvveti boyutsuz olarak ip açısına bağlı fonksiyonlar şeklinde bulunmuştur. Fakat bulunan bu fonksiyonların uzunluğu nedeniyle uygulama pratikliğinin olmadığı görülmüştür. Bundan dolayı, elde edilen fonksiyon eğrileriyle çakışan, daha kısa olan Yaklaşık Fonksiyonlar araştırılmış ve £ = x/l boyutsuz koordinatına bağlı Yaklaşık Fonksiyon eğrileri elde edilmiştir. Daha sonra elde edilen Yaklaşık Fonksiyonlar ve Kesin Fonksiyonlar karşılaştırılmıştır. Bu durumu göstermek için yaklaşık ve kesin boyutsuz uç kuvvetleri ile yerdeğiştirmelere karşı gelen diyagramlar çizdirilmiştir. Bu diyagramlardan da görülmüştür ki; Kesin ve Yaklaşık Fonksiyonlar birbirleriyle hemen hemen çakışmaktadır. Sonraki aşamada çeşitli v Poisson oranı değerleri için aynı problemin çözümü yapılmış ve bu çözümlerden Kesin ve Yaklaşık Fonksiyonlar elde edilmiştir. Çizilen diyagramlarla bu fonksiyonların da birbirleriyle hemen hemen çakıştığı görülmüştür. Daha sonra v değerleri için elde edilen kesin fonksiyonların uzunluğu nedeniyle sadece Yaklaşık Fonksiyonların yazılması yeterli görülmüştür. Bulunan Yaklaşık Fonksiyonların her v değeri için geçerli olması amacıyla, fonksiyonların katsayıları da z/'ye bağlı olarak elde edilmiş ve Katsayılar Fonksiyonları olarak verilmiştir. ikinci örnek problemde; eksen eğrisi sikloid olan sabit enkesitli kemere orta noktasından düzlemine dik doğrultuda tekil yük etki ettirilmiştir. Aynı şekilde birinci örnek problemde olduğu gibi sikloid için verilen Taşıma Matrisi yardımıyla sistemin çözümü yapılmış, binormal doğrultudaki yerdeğiştirme, teğet ve normal etrafındaki dönmeler, eğilme ve burulma momentleri ve kesme kuvveti olmak üzere 6 adet olan problemin bilinmeyenleri bulunmuştur. Üçüncü örnek problemde; aynı kemere düzlemine dik doğrultuda düzgün yayılı yük etki ettirilmiştir. Aynı şekilde birinci örnek problemde olduğu gibi sikloid için verilen Taşıma Matrisi yardımıyla sistemin çözümü yapılmış ve benzer şekilde problemin bilinmeyenleri bulunmuştur. Elde edilen fonksiyon eğrileriyle çakışan daha kısa olan Yaklaşık Fonksiyonlar araştırılmış ve £ = x/l boyutsuz koordinatına bağlı Yaklaşık Fonksiyon eğrileri elde edilmiştir. Daha sonra elde edilen Yaklaşık Fonksiyonlar ile Kesin Fonksiyonların hemen hemen çakıştığı görülmüştür. Çalışma boyunca Mathematica, Latex, Windows Charisma ve Mathematica programları kullanılmıştır. vıu SUMMARY THE ANALYSIS OF CYCLOIDAL RODS LOADED PERPENDICULAR TO ITS PLANE BY THE METHOD OF INITIAL VALUES In this work the carry-over matrix for a bar of cycloidal axis is given. By the use of the carry-over matrix the behaviour of the bar under various loadings is investigated. The method used in this work is the method of initial values. The method readily gives the values of every unknown at every point. The degree of static indeterminacy brings no extra hardship and the discontinuities caused by singular loads are as easy to take into account as uniformly distributed loads. Since the program Mathematica gives the exponential of any matrix immediately, the solution is easily accessible. As is known ([2], [3]) the governing equations of a plane bar loaded perpendic ular to its plane are as follows: dub dip + PO. = dip L>t dün _ -V/n dip Dn dip dMn m Mt + -r1 - pTb dip d% d/p 0 0 0 0 0 0 Where M4, Mn are torsion and bending moments, TJ, is the shear force, uf, is the displacement perpendicular to the plane; Çlt ve ün are the rotations about the tangent and binormal; Dt ve Dn are torsional rigidity and bending rigidity. If a rod is unloaded, the relations among the stress resultants at any point and initial values can be given by the components Y,j of the carry-over matrix as follows: IXFor a cycloidal rod the curvature changes as p = po COS » 69 po3 sin-p - 12 po3 sin(2` - Dt + 2 Du cos » + 2 Dt + 2 Dn cos 3£>BDt -2p02 cosip po2 cosip po2 (4 cos(2c/3) + 3^ sin(2t/?)) 36 = 9D^ 9Dt + 360; po2 (9 - cos(2t/?) + 666 = 1 Having obtained the members of the carry-over matrix, a number of problems have been solved. The cross-section has been assumed to be a circle. The axis of the polar coordinate system passes through the apex of the cycloid. If the diameter of cross-section is D. then we have `ttD4 ` kD4 Dt = G- -, Dn = E 32 ' 64 where G is the shear modulus, E is the elasticity modulus. Here we denote the ratio of the rigidities by 8 which is equal to 1 + is where v is Poisson ratio. For a rod loaded by a singular moment /i at the apex, the initial values at the apex are XIand at the support p - the boundary values are Ub = o, ftt = o. n` = o The unknown initial values can be obtained by using the boundary values given at the support. The non-dimensional quantities ML = nj Mn n' = a uh Ub PPo Dn 1 VPo Dn UPo2 are used throughout. The computation proves to be tedious since the mem bers of the carry-over matrix are quite complicated functions. To make it more amenable some polynomial expressions to replace exact expressions of members are searched. The approximate polynomials give very accurate results. This brought the generalization of the approximate polynomials to expressions de pending on a parameter, namely v. So, the polynomials are given in such para metric expressions that for a. chosen u an adequate approximation polynomial is obtainable. The actual expressions are given below: M' = fM + fM (0-5 - 0* + fM (0.5 - o + /](0-5-O3 - iiM(0.5-O*+iaM(0.5-O + İ3M(o.5-ol+İ4H(o.5-Ol 0.000963917 z/3 = -0.00010422 - 0.167424 v + 0.0536943 v2 - 0.0127833 v3 = 0.839022 + 0.0361136 v - 0.0115893 v2 + 0.00275 i/3 = -0.2447 + 0.436736 v - 0.140091 v2 + 0.0333667 v3 = -0.160721 - 0.876242 v + 0.281168 v2 - 0.0670833 v3 = 0.0457752 + 1.81819 v - 0.583189 v2 + 0.138917 v3 = -0.144204 - 1.41041 u + 0.452457 v2 - 0.107833 v3 = -0.497154 - 0.0235738 v + 0.00757857 v2 - 0.00183333 v3 = 0.974523 - 0.876884 v + 0.281257 u2 - 0.067 v3 = -1.47285 + 6. 1274 v - 1.96543 ı/2 + 0.46825 v3 = 4.16917 - 17.0663 v + 5.47446 v2 - 1.3045 v3 = -3.66198 + 15.6649 v - 5.02426 v2 + 1.1965 v3 = -0.0000194332 + 0.00274524 v + 0.00215157 v2 = 1.16953 + 0.194824 v - 0.403179 v2 + 0.0958333 v3 = 0.339917 - 2.74505 u - 1.65021 v2 + 0.39275 v3 = 0.184447 - 6.0583 v - 3.61539 v2 + 0.8605 v3 = 0.365668 - 4.97314 v - 3.0479 v2 + 0.726583 u3 = 0.000348252 - 0.00016823 v - 8.92857 10-8 v2 + 8.33333 10~: = 1.37726 + 0.0704071 v + 0.0000714286 u2 + 3.67761 10-15 v3 = -1.32376 + 0.131076 v + 0.000678571 v2 - 0.000833333 v3 = -0.519892 - 0.39585 v + 4.01103 10~14 v2 - 1.54425 10~14 v3 = -0.218581 - 0.06527 v + 1.22706 10~14 v2 - 3.27516 10`15 v3 = -0.0212921 + 0.014034 v - 8.92857 10~6 v2 + 8.33333 10 = 0.137894 - 0.0501993 v + 7.14286 10-6 v2 - 2.88485 10 = 0.349363 + 0.197201 v + 7.14286 10-6 u2 + 7.14706 10 = -0.544926 - 0.186959 v + 7.14286 10~6 v2 ~ 1.24102 10~14 v3 -6 3 V 1-15 u3 ı-16 3 1 V yi V X1UThe nondimensional exact and approximate torsional moments for v = 0.3 As a second problem, the rod fixed at both ends is loaded by a singular force at center. The cross-section is a circle again. Here the initial values are and the boundary conditions at the support are ub = 0 a = o nn = o After obtaining the unknown initial values using boundary conditions, all of the unknowns of the problem are obtained. Again appropriate approximate polynomials for the members of the carry-over matrix are constructed and their adequacy is demonstrated. M'tv[Ç] = 0.166638 -0.4 1 1446 (0.5 -£)* XIV- 0.187913 (0.5 - £)* + 0.439658 (0.5 - £) + 0.239632 (0.5 - £)2 + 0.132826 (0.5 - £)5 Ky/(] = 0.249975 + 0.279149(0.5-0' - 1.05165 (0.5 - 0* - 0.0788922 (0.5 - £) + 0.0345617 (0.5 -03 Sl'ty[£] = 0.292009 - 0.321704(0.5 - Ç)* - 0.279224 £ - 0.710495 £2 + 0.587412 £4 - 0.731745 £6 = 0.0000281703 - 0.786625 (0.5 - £)* + 0.616909 (0.5 - f ) + 0.76457 (0.5 - if - 0.256536 (0.5 - if = -0.0000210361 + 0.0183551 (0.5 - £)« - 0.0911131 (0.5 - f ) - 0.24438 (0.5 - £)* + 0.375556 (0.5 - £)* Ky/İ/

In this study, both in-plane and out-of-plane free vibration of uniform arcs of an elastic, homogeneous and isotropic material having a double-symmetrical cross section have been studied numerically by the transfer matrix method with the Timoshenko's beam theory. The effects of the vibrational parameters such as the shapes of cross sections, the opening angles, the slenderness ratios, the boundary conditions on the natural frequencies have been investigated in detail.

In the present study, The Myklestads method has been emyloyed for the free vibration problems of the barrel, of the hypberboloidal and of the conical helical springs which are commonly used in recent years. Using both the elastic element transfer matrices in statical form and the point mass matrices, the overall dynamic transfer matrix has been obtained approximately. In this study, the elastic element transfer matrix comprising the axial and shear deformations has been computed numerically upto any desired accuracy. Considering the rotary inertia terms, the point mass matrix of helices has been also determined by the D'Alambert's principle applying it on the concentrated masses. For the dynamic problems, acceptable approximate solution can be obtained with less unknows by this method according to the other methods.

ÖZET Çalışmada Winkler Zemin tipi ele alınarak, elastik zemin üzerine oturan daire eksenli çubukların farklı yüklemeler altındaki davranışları başlangıç değerleri metodu ile incelenmiştir. Başlangıç değerleri metodu mühendislik problemlerinde sayıların fazlalığının meydana getirdiği zorluklan ortadan kaldırmak için sınır değer problemlerini; başlangıç değerleri problemlerine dönüştüren bir metoddur. Bu metod uygulanarak daire eksenli çubukların ve elastik zemine oturması hali için farklı yollarla kapalı şekilde taşıma matrisleri elde edilmiştir. Birinci bölümde, incelenen problem ana hatlarıyla tanıtılarak, bu konu ile ilgili literatürde yapılan çalışmalara yer verilmiştir. İkinci bölümde, elastik zemine oturan homojen, lineer lineer elastik çubuklar için temel alan denklemleri verilmiştir. Üçüncü bölümde, daire eksenli çubuklar için literatürde bulunan taşıma matrisi, idempotent ve nilpotentlerin yardımı ile ve Cayley-Hamilton Teoremi yardımı ile elde edilmesi şeklinde faklı iki yolla elde edilmiştir. Daire eksenli çubukların elastik zemine oturması durumunda da taşıma matrisi benzer şekilde Sylvester Teoremi ve Cayley-Hamilton Teoremi yardımı ile farklı yollardan çözüm yoluna gidilmiştir. Dördüncü bölümde, daire eksenli çubukların dinamik olarak serbest titreşim problemi ele alınmış; serbest titreşim frekanslarına kesin çözüm olan Başlangıç Değerleri Metodu ile Frekans Determinantı kullanılmış ve yaklaşık çözüm olan Ayrık Kütle Metodu ile çözüm yoluna gidilmiştir. Beşinci bölümde, sayısal uygulamalara yer verilmiş, kesin çözümleriyle karşılaştırma yapılmıştır. Altıncı bölümde, yapılan çalışmadan elde edilen sonuçlar açıklanmaktadır. SUMMARY Circular Beams On Elastic Foundation and Transfer Matrix Beams on elastic foundations are widely used as structurel elements in engineering aplication. According to the beam axis geometry, beams can be either straight and cicvlinear. In this research straight and circular beams on Winkler foundations under various loads are studied. Examples of the straight beams on elastic foundations are: continous foundations being in one or two directions, beams traversing beneath the railway, and vertical piles which are loaded horizontally in the ground. Likewise examles of the circular beams are circular foundations of water tanks and silos. Foundation could be clafssified into groups according to its responds. For examples Pasternak, Vlassov, Winkler, Filonenko-Borodich, Reissner foundations. Assuming that the base is consisted of closely independent linear springs Winkler provided the simplest representation of a continuous elastic foundation. The relation between the pressure and the deflection of the foundation surface, both parallel to the z axes is given as; P(y) = ku(y) where k is the foundation modulus. The corresponding deformations of the foundation surface for a uniform load, are shown in Figure 1. It can be seen that for this foundation model, The displacements of the loaded region will be constant whether the foundation is subjected to a rigid stamp or a uniform load. While for both types of loading the displacements are zero outside the loaded region, however for most media the displacements of the foundation surface shown in Figure 2., dose not exactly follow the previous statements of the theory. ^jhİmhİ?,^,^^** >^d »' '^: (a) (b) Figure 1. The coresponding deformations of the foundation surface VI'//?//r f'/S rs Figure 2. The Displacement of the foundation surface This leads to the conclusion that the Winkler hypotesis is not exactly verified but provides sufficient convergence to the exact behaviour. Beams on elastic foundation have been investigated by numerous scientist and researchers. Heteny [3] studied bems on Winkler foundations and came up with an exact solutions. No matter how simplified it was, this solution seems to be really time consuming. In 1967, a general solution method was developed using initial values method and transfer matrix given by înan [6] etc. In this study linear elastic beams is cosidered into two groups; a) With Straight axis b) With circular axis but only circular axis beams are studied. Beams With Circular Axis Field equations for circular beams are d0 dM d9 dMt de dnt de -qR + kRUb = 0 2- - Mt + R Tb - R mn = 0 + M` - R mt =0 - nn - r - i- = o n Dt a- + a -R - ^ = 0 d6 * Dn ^Hk+Rn r i=0 de n cb Vllwhere Tb, Mn, Mt, Qn, Qt, Ub are shear force, bending moment, twisting moment, angle of bending, angle of twisting, displacement of axis of beam in directions perpendicular to plane of beam, respectively. Those are unknows to be obtained. Dn, Dt, Cb are bending rigidity, torsional rigidity and shearing rigidity of the beam, respectively. R is radius of the beam; k represent the madulus of the foundation, q, mn, mt are external distrubituve load and moments, respectively. In this study, circular beams on elastic foundation and their transfer matrix is tried to be obtained. Static and dynamic analysis of circular beams on elastic foundation is done. To solve circular beams on elastic foundation by using initial values method and transfer matrix. Transfer matrix is a matrix which obtains any x, from an initial x=0 with step by step integration and transfer matrix can be axpressed as follows: S(x) = F(x).S(0) In this equation, S(0) shows initial (x=0) boundary conditions and S(x) shows any x points' boundary conditions. Transfer matrix, F(x) is an exponential matrix form as F(x) = e*D If transfer matrix F(x) is shown in a form of matrix polynomial series the equation accurs as below;,xD xk-k F(x) = ew=I + xD+-D+... +- D V ; 2! k! here D is coefficient matrix. In this study, loads which apply verticaly to the axis direction of circular beams is taken as a column matrix; Ub(cp)' S(q>) = nt(cp) Mn(cp) Mt(q>) Also, from diferantial equation of circular beams o on elastic foundations, the below characteristic equation can be aptained; m6 + 2m4 + 1 + kR4 Dn 2 kR* m =0 Dt vniAt first, transfer matrix is obtained for k=0 by using two diferent theorems. First one is Nilpotent and Idempotents theorem. In this theorem, if the square of an endomorphism is equal to itself such an endomorphism is called an Idempotent and if a k' th power of an endomorphism is zero such an endomorphism is called a Nilpotent. The resolvent of an endomorphism can be expressed as m. `m i i i `b I RU,D)= Z/r x +, x2+L + */fr-K) (x-xj (x~xj« J where the sum is over i < n distinct eigenvalues of D. In this theorem; Spectral expansion can be written as, where, I is unit matrix, i are numbers of the disting value, Xt are eigenvalues of D, Sk are the indices of the eigenvalues, P; are idempotent, Q; are nilpotents. Nilpotents and Idempotents can be obtained by using mathematical functions of D matrix. Then transfer matrix is obtained by inserting nilpotents, idempotents and X^s in the below equation (See (3.38));.w^w^ + T^ql} i i r! Secondly transfer matrix can be obtained by using Cayley-Hamilton's theorem. In this theorem transfer matrix can be expressed as; O(d) = a0 1 + a, D + % D2+ -+an_, Dn_1 and to obtained this equation, a; values must be calculated by using eigenvalues of D matrix. By using either Nilpotents and Idempotents or Cayley-Hamilton Theorems, the same transfer matrix obtained. (See (3.47)) The most important aim of this study is to obtain the transfer matrix of cicular beams on elastic foundations. As known the eigenvalues of the characteristic equation of circular beams on elastic foundation are six different roots. Therefore, there are any nilpotents; so Sylvester's Theorem must be used. [22] IXSylvester's Theorem: An Idempotent of a diagonable endomorphism can be given as; n (v-d) fc'.j*' n (v*J By using Sylvester's Theorem, six idempotents are obtained, and by these idempotents in exponential matrix equation. With this theorem transfer matrix of circular beams on elastic foundations is obtained as in (3.97). Cayley-Hamilton Theorem gives the same transfer matrix as well.(See (3.103)) With the obtained transfer matrix of circular beams problems are solved for some static and Dynamic loads. In dynamic analysis for free vibration, frequency determinant of circular beams are obtained and explained. Also for this problem, a computer program is developed by using both Mathematica [23] programing language nd Basic programing language with sweeping matrix. In this thesis Mathematica Programing Language is used where needed. Comparison of the results in terms of different parameter shown that convergency the proposed method and obtained tranfer matrix of circular beams is excellent. 99

VIII ÖZ Bu çalışmada, daire eksenli düzlem çerçevelerin statik yükler altındaki davranışları taşıma ve rijitlik matrisi metodlarıyla çözülmüştür. Daire eksenli elemanların eleman rijitlik matrisi ve eleman yük vektörleri taşıma matrisi yöntemiyle elde edilmiştir. Çalışmanın son bölümde ise, taşıyıcı sistem çeşidini artırmak için doğru eksenli düzlem elemanlar da dahil edilmiştir. Bu çalışmada; düzlemi içinde yüklü ve düzlemine dik yüklü, daire ve doğru eksenli elemanlardan oluşan bileşik sistemler iki ana başlıkta incelenmiş ve buna göre MATHEMATICA dilinde genel amaçlı iki bilgisayar programı geliştirilmiştir. IX ABSTRACT In this study, statical behaviour of planar frames with members of circular axes is investigated with the aid of both transfer and stiffness matrix methods. Element stiffness matrices and load vectors for the planar rods with circular axes are derived based on the transfer matrices associated with the elements. At the final chapter of this thesis, compound planar frames are analysed where both straight and circular members are present. General purpose computer programs are prepared using the computer algebra system MATHEMATICA. 193