Search

Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Ana Bilim Dalı, Bu çalışma üç ve dört boyutlu Öklid uzayında eğriler, üç boyutlu Öklid uzayında yüzeyler ve dört boyutlu Öklid uzayında hiperyüzeyler için Tzitzeica şartı üzerine yapılmış ve orijinal sonuçlar elde edilmiştir. Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, giriş bölümüdür. İkinci bölümde, çalışma için gerekli olan temel tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, bazı özel tanımlı eğrilerin Tzitzeica eğrisi (Tz-eğrisi) olma koşulları incelenmiştir. Bu eğriler normal, rektifiyan, 1. ve 2. mertebeden involute eğrileridir. Dördüncü bölümde, Tzitzeica yüzeyi (Tz-yüzeyi) olma şartı yüzeyin temel form elemanları cinsinden ifade edilmiştir. Bazı özel yüzeyler incelenmiş ve örnekler verilmiştir. Bu yüzeyler Monge, öteleme, çarpanlarına ayrılabilir, küresel çarpım, dönel ve regle yüzeylerdir. Ayrıca bu kısımda düzlemsel Tz-eğrisi tanımlanmıştır. Beşinci bölümde, dört boyutlu Öklid uzayında Tz-eğrisi olma şartı üç çeşit olarak belirlenmiştir. Bazı özel eğrilerin bu üç çeşit altında Tz-eğrisi olma şartları elde edilmiş ve örnekler verilmiştir. Altıncı bölümde, dört boyutlu Öklid uzayında bir hiperyüzeyin Tz-hiperyüzey olma şartı hiperyüzeyin temel form elemanları cinsinden ifade edilmiştir. Bazı özel hiperyüzeyler incelenmiş ve örnekler verilmiştir., This study has been done on the Tzitzeica condition for curves in three and four dimensional Euclidean spaces, surfaces in three dimensional Euclidean space and hypersurfaces in four dimensional Euclidean space and some original results has been obtained. This thesis consists of six chapters. The first chapter is the introduction. In the second chapter, basic definitions and theorems which will be used in the other chapters are given. In the third chapter, the conditions for some specially defined curves (i.e. normal, rectifying, first and second order involute curves) to be Tzitzeica curves (Tz-curve) are examined. In the fourth chapter, the condition of being a Tzitzeica surface (Tz-surface) is expressed in terms of the fundamental form elements of the surface. Some special surfaces are examined and examples are given. These surfaces are Monge, translation, factorable, spherical product, revolution and ruled surfaces. In addition, in this chapter planar Tz-curves are defined. In the fifth chapter, Tz-curve condition for the four dimensional Euclidean space are determined as three types. Tz-curve conditions are obtained for some special curves under these three types and some examples are given. In the sixth chapter, the condition for a hypersurface to be Tz-hypersurface in four dimensional Euclidean space is expressed in terms of fundamental form elements of the hypersurface. Some special hypersurfaces are examined and examples are given.

Bu çalışmada, 3-boyutlu Minkowski uzayında Bishop çatısına göre null olmayan regle yüzeylerin Gauss ve ortalama eğrilikleri hesaplanmış ve regle yüzeylerin sabit Gauss ve ortalama eğriliğe sahip olmaları için gerekli koşullar elde edilmiştir. Ayrıca regle yüzeylerin açılabilir ve minimal olması için denklemlerinin hangi formda olması gerektiği gösterilmiştir. Buna ilaveten teğet vektör alanı tarafından üretilen sabit ortalama eğrilikli null olmayan regle yüzeylerin dayanak eğrisinin Bishop slant helis olduğu tespit edilmiştir. Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde Bishop çatısının tarihçesi, literatür özeti ve tezin amacından bahsedildi. İkinci bölümde eğriler ve yüzeyler ile ilgili tanım ve teoremlere yer verildi. Üçüncü bölümde Ahmed Tawfik Ali'nin 'Non-lightlike ruled surfaces with constant curvatures in Minkowski 3-space' adlı makalesi ve bu makalede yapılan çalışmalar hakkında bilgi verildi. Dördüncü bölümde 3-boyutlu Minkowski uzayında Bishop çatısına göre non-lightlike bir eğri tarafından üretilen null olmayan regle yüzeylerin açılabilir ve minimal olma durumları iki ayrı bölümde incelendi. Beşinci bölümde konu ile ilgili örneklere yer verildi. Son bölümde ise bu çalışmada elde edilen bulgular tartışıldı ve sonraki çalışmalar için önerilere yer verildi. In this study, the Gaussian and mean curvatures of non-null ruled surfaces according to Bishop frame in 3-dimensional Minkowski space are calculated and obtained the necessary conditions for their curvatures to be constant. Moreover, in case the ruled surfaces to be developable and minimal, we find parametric forms. In addition, the base curve of non-null surfaces with constant mean curvares is specified to be Bishop slant helix. This study consists of six parts. In the first part, the story of the Bishop frame, the summary of the literature and the purpose of the thesis were mentioned. In the second chapter, definitions and theorems about curves and surfaces are given. In the third part, information was given about Ahmet Tawfik Ali's article named 'Non-lightlike ruled surfaces with constant curvatures in Minkowski 3-space' and the studies in this article. In the fourth chapter, the developable and minimal states of non-lightlike ruled surfaces produced by a non-lightlike curve in the 3-dimensional Minkowski space with respect to the Bishop framework are examined into separate sections. In the fifth chapter, examples related to the subject were given. In the last section, the findings of this study were this discussed and recommenditions for future studies were given.

Bu tez çalışmasında Öklid uzayındaki conchoid eğrileri ve yüzeyleri ele alınmıştır. Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölümde bu çalışmanın ilerleyen bölümlerinde kullanılacak olan Öklid uzayındaki eğri ve yüzeylerle ilgili bazı temel tanımlar ve kavramlar ele alınmıştır. Üçüncü bölümde düzlemde ve 3-boyutlu uzayda conchoid eğrileri tanımlanmıştır. Ayrıca bu eğrilerin eğrilikleri hesaplanıp bunlarla ilgili sonuçlar verilmiştir. Elde edilen sonuçlara göre bazı örnekler verilip grafikleri çizdirilmiştir. Dördüncü bölümde 3 ve 4-boyutlu Öklid uzayında conchoidal yüzeyler çalışılmıştır. İlk olarak 3-boyutlu Öklid uzayında daha önceden verilen conchoidal yüzey tanımına bağlı olarak eğrilikleri ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca 3-boyutlu uzayda bir conchoid eğrisinin döndürülmesi ile elde edilen dönel yüzey ile ilgili sonuçlar verilip grafikleri çizdirilmiştir. Son olarak 4-boyutlu Öklid uzayındaki conchoidal yüzey tanımı verilip bu yüzeylerin düz ve minimal olmaları ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca 4-boyutlu uzayda rotasyonel yüzeyler ve meridyen yüzeylerinin conchoidal yüzey olması örnek olarak verilmiştir. In this thesis, conchoid curves and surfaces in Euclidean space are considered. This thesis consists of four chapters. The first chapter is the introduction. The second chapter contains some well-known definitions and terms about curves and surfaces in Euclidean space which will be used in other chapters. In the third chapter, conchoid curves are defined on plane and 3- dimensional Euclidean space. Furthermore, the curvatures of these curves are calculated and the results are given. According to the results, some examples are given and plot their graphics. In the fourth chapter, conchoidal surfaces are studied in 3 and 4- dimensional Euclidean space. Firstly, in the 3- dimensional Euclidean space, the results of the curvature of the conchoidal surface are obtained. Also, the results are given of the surface of revolution obtained by rotating a planar conchoid curve in 3- dimensional space and are plotted the graphics of the surface. Finally, the definition of the conchoidal surface in the 4- dimensional Euclidean space is given. Also some results are obtained that these surfaces become flat and minimal. In the last part the rotational surfaces in the 4- dimensional space and the meridian surfaces are conchoidal surfaces are given as examples.

Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, tezle ilgili bazı temel tanım ve kavramlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, öteleme yüzeyinin birinci ve ikinci temel formunun katsayıları, şekil operatörü matrisi, ortalama eğriliği, Gauss eğriliği, asli eğrilikler ile ilgili bazı hesaplamalar yapılmıştır. Dördüncü bölümde, öteleme yüzeyinin bazı noktalarının bir sınıflandırması verilmiştir. Beşinci bölümde, küresel gösterge eğrileri tarafından üretilen öteleme yüzeyleri tanımlanmıştır. Sırasıyla teğetler, normaller ve binormaller gösterge eğrileri tarafından üretilen öteleme yüzeyleri için çeşitli karakterizasyonlar elde edilmiştir. Son bölümde ise tezden elde edilen sonuçlara yer verilmiştir. This thesis consists of six chapters. The first chapter is devoted to the introduction. The second chapter, concepts and definitions which are needed in the further chapters are given. The third chapter, some calculations about the coefficients of the first and second fundamental forms, the shape operator matrix, the mean curvature, the Gaussian curvature, the principal curvatures of the translation surface have been made. The fourth chapter, a classification of some special points of the translation surface is given. The fifth chapter, the translation surfaces generated by the spherical indicatrix curves are defined. Some characterizations about the translation surfaces generated by the tangents, principal normals and binormals indicatrices curves have been obtained, respectively. In the last chapter, the results obtained from the thesis are given. 69

Bu çalışmada deki eşlenik ve asimptotik doğrultulara yüzeylerin bir karakterizasyonu verilmiştir.Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölümde çalışmanın ilerideki bölümlerinde kullanılan yüzeyinin birinci ve ikinci temel form Gauss eğriliği temel tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde deki yüzeyler üzerindeki noktaların tiplerinin bir sınıflandırılması verilmiştir. Aslında 1. normal uzayın boyutu (nokta eş boyutu) ve ikinci temel form matrisinin diskriminantı bu noktaların tipini tayin etmektedir. Örnek olarak, Vranceanu yüzeyinin nokta eş boyutunun 2 olduğu gösterilmiştir. Ayrıca bu yüzeyin parabolik noktalara sahip olması için gerek ve yeter şart verilmiştir. Dördüncü bölümde deki lineer kongrüanslar ele alınmıştır. Bu bölümde Aminov yüzeyleri ile ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir. In this thesis, a characterization of surfaces in which has asymptotic and conjugate directions is given.This thesis consist of four chapters. Firs chapter is introduction.In the second chapter some basic definitions and theorems of first and second fundamental forms and curvatures of the surfaces are given. These basic concepts will be use in the other chapters. In the third chapter the types of points on the surfaces are considered. The dimension of first normal space and discriminant of the second fundamental matrix characterizes the type of the points which are parabolic, hyperbolic or elliptic type. It has been shown that the dimension of first normal space Vranceanu surface is 2. Furthermore the necessary and sufficient condition for Vranceanu surface to has parabolic points is given. In the fourth chapter linear congruences of the surfaces are considered. Some of the original results related with the Aminov surfaces are obtained. 38

Bu tez çalışmasında Öklid 3-uzayında regle yüzeylerin paralel yüzeylerini elde ederek, yüzeylerin eğrilikleri arasında bağıntılar kurulmuştur. Özel olarak, dayanak eğrisi striksiyon çizgisi olan açılamayan regle yüzeylerin paralel yüzeyleri elde edilmiştir. Bu durumda, elde edilen paralel yüzeylerin hangi koşul altında regle yüzey olduğu kanıtlanmıştır. Yine bu durumda, yüzeylerin eğrilikleri arasındaki ilişkilerin daha özel olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, bazı özel hallerde striksiyon çizgisinin helis, slant helis, Bertrand veya Mannheim eğrisi olduğu ispatlanmıştır. Son olarak striksiyon çizgisisnin paralel yüzeyi üzerindeki görüntüsü elde edilmiştir ve bu eğriler diferansiyel geometri açısından incelenmiştir. In this thesis, it is established the relations between the curvatures of the surfaces by obtaining parallel surfaces of the ruled surfaces in Euclidean 3-space. Specifically, the parallel surfaces of the non-developable ruled surfaces that the base curve is the striction line of the ruled surfaces are obtained. In this case, it is proved that to be ruled surface under which condition of the obtained parallel surfaces. Again, in this case it is shown that relations between the curvatures of the surfaces are more special. Besides, it is proved that striction line is helix, slant helix, Bertrand or Mannheim curve in some special cases. Finally, the ımage of the striction line on the parallel surfaces is obtained and these curves are examined in terms of the differential geometry. 59

Bu tezde E^3 de dönel yüzeyler, tüp yüzeyleri ve regle yüzeylerin sabit sırt uzaklıklı yüzeyleri elde edildi ve bu yüzeylerin belli durumlarda korunduğu gösterildi. Sonra, eğrilikleri hesaplandı ve bazı özel durumlar için dönel yüzeyler, tüp yüzeyleri ve regle yüzeylerin eğrilikleri ile bu yüzeylerin sabit sırt uzaklıklı yüzeyleri arasındaki ilişkiler verildi. In this thesis, surfaces at a constant distance from the edge of regression on surfaces of revolution, tubular surfaces and ruled surfaces in E^3 are obtained and it is shown that these surfaces are preserved in certain cases. Then, their curvatures are calculated and it is given relationships between curvatures of surfaces of revolution, tubular surfaces and ruled surfaces and curvatures of surfaces at a constant distance from the edge of regression on these surfaces for some special cases. 113

Bu çalışmada R^n deki eğriler ve yüzeylerin sabit oranlı olma durumları incelenmiştir. Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölümde çalışmanın ilerideki bölümlerinde kullanılan temel tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde R^n deki eğriler ele alınmıştır. Bu bölümde sabit oranlı eğriler ile ilgili temel sonuçlar elde edilmiştir. Dördüncü bölümde R^n deki yüzeyler ele alınmıştır. Bu bölümde sabit oranlı yüzeyler ile ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir. In this thesis, a characterizations of constant curvature ratio surfaces in R^n with the help of coefficients of the first and second fundamental form are given. This thesis consist of four chapters. Firs chapter is introduction. In the second chapter it is given some basic definitions and theorems which will be use in the other chapters. In the third chapter constant curvature ratio curves in n-dimensional Euclidean space R^n are considered. In the fourth chapter constant curvature ratio surfaces in n-dimensional Euclidean space are considered. Some of the original results were obtained.

Euclid uzaylarında sonlu tipten alt manifoldlar kavramı 1970'lerin sonlarında B. Y. Chen tarafından tanıtılmıştır. Euclid veya yarı-Euclid uzayında bir altmanifoldun yer vektörü alt manifold üzerinde tanımlı Laplace operatörünün sonlu sayı da özvektörlerinin toplamı olarak yazılabiliyorsa, alt manifolda sonlutipten alt manifold denir. Eğer bu özvektörler Laplace operatörünün k tane ayrık özdeğerine karşı geliyorsa alt manifolda k-tipindendir denir. Euclid veyayarı-Euclid uzayında sonlu tipten alt manifoldlar,geometri ile uğraşan pek çok kişi tarafından çalışılmış ve önemli sonuçlar elde edilmiştir. Halen deüzerinde uğraşılan pek çok açık problem bulunmaktadır.Zaman içinde, sonlu tipten alt manifold kavramı Euclid ve yarı-Euclid uzaylarının alt manifoldları üzerinde tanımlı düzgün tasvirlere genişletilmiş ve sonlutipten tasvir tanımı verilmiştir. Özellikle alt manifoldların Gauss tasvirleri bir çok makalede bu yönüyle incelenmiştir. Euclid veya yarı-Euclid uzayınınbir alt manifoldunun /nu Gauss tasviri /Delta/nu=/lambda(/nu+C) denklemini bir /lambda sabiti ve bir C sabit vektörü için sağlıyorsa alt manifolda 1-tipindenGauss tasvirine sahiptir denir. Bununla birlikte, 3-boyutlu Euclid uzayında katenoid, helikoid gibi bazı önemli yüzeyler ile daha yüksek boyutlu Euclid veyarı-Euclid uzaylarında Clifford tor yüzeyi, küresel n-koniler, Enneper hiperyüzeyleri gibi bir çok ilginç alt manifoldun Gauss tasvirlerinin bu denklemi/lambda sabitinin bir fonksiyon olması durumunda sağladıkları iyi bilinmektedir.Euclid veya yarı-Euclid uzayının bir alt manifolduna /nu Gauss tasviri, /Delta/nu=f(/nu+C) denklemini düzgün bir f fonksiyonu ve bir C sabit vektörü içinsağlıyorsa, noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir denir. Eğer bu denklem C=0 için sağlanıyorsa Gauss tasvirine birinci çeşit noktasal 1-tipinden;aksi taktirde, yani C/neq 0 ise ikinci çeşit noktasal 1-tipindendir denir. Diğer taraftan, /Delta/nu=0 ise alt manifolda harmonik Gauss tasvirine sahiptirdenir.Yakın geçmişte Euclid ve yarı-Euclid uzaylarında noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip dönel yüzeyler ile ilgili bir çok çalışma yapılmıştır. örneğin,E^4 Euclid uzayında noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip yegane düz Vranceanu yüzeyinin Clifford tor yüzeyi olduğu bir çalışmada gösterilmiştir. Ayrıca,ikinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip düz basit dönel yüzeylerin sınıflandırılması başka bir çalışmada elde edilmiştir.Diğer taraftan, E^4Euclid uzayında minimal olmayan bir yüzeyin birinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olmasının ortalama eğrilik vektörünün paralel olmasınadenk olduğu yakın zamanda bir makalede gösterilmiştir. Ayrıca, E^4 Euclid uzayında bir minimal yüzeyin birinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirinesahip olması için gerek ve yeter koşulun normal demetinin düz olması olduğu; ikinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için gerek veyeter koşulun ise yüzey üzerinde tanımlı, karşı gelen şekil operatörü A_3=diag(/rho,-/rho), A_4=adiag(/rho,/rho) formunda olan bir {e_1,e_2;e_3,e_4} çatıalanının mevcut olması olduğu da aynı çalışmada gösterilmiştir.Bu tez çalışmasında Euclid ve yarı-Euclid uzaylarında noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip, karşıt boyutu 2 olan alt manifoldlar ele alınmıştı r. İlkolarak keyfi boyuta ve keyfi indekse sahip bir yarı-Euclid uzayının yönlendirilmiş bir alt manifoldunun Gauss tasvirinin Laplasyeni elde edilmiştir. Ayrı ca,Euclid ve yarı-Euclid uzayları nda noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip alt manifoldların sınıflandırılmasında kullanılabilecek bazı yardımcı teoremlerverilmiştir. Daha sonra bu genel sonuçlar kullanılarak aşağıdaki yüzey sınıflarının Gauss tasvirleri incelenmiştir.İlk olarak E^4 Euclid uzayı nda meridyen eğrileri düzlemsel olan genel dönel yüzeyler ele alınmıştır. Bu yüzeylerden noktasal 1-tipinden Gauss tasvirinesahip olanları elde edilmiştir. E^4 Euclid uzayında birinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip bir basit dönel yüzeyin genelleştirilmiş bir toryüzeyinin açık bir parçasından ibaret olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, E^4 Euclid uzayı nda psuedo-umbilical genel dönel yüzeylerin ve minimal genel dönelyüzeylerin sınıflandırmaları yapılmış, bu tip yüzeylerden ikinci çeşit noktasal 1-tipinden olanları belirlenmiştir.Daha sonra E^4 Euclid uzayında basit dönel yüzeyler incelenmiştir. Birinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip basit dönel yüzeylerin tamsınıflandırması verilmiştir. Ayrıca, bir basit dönel yüzeyin ikinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olmasının ancak ve ancak koordinatfonksiyonlarından birinin üçüncü mertebeden bir adi diferansiyel denklemi sağlamasıyla mümkün olabileceği gösterilmiştir. Bu karakterizasyon kullanılarakikinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine ve sabit Gauss eğriliğine sahip basit dönel yüzeylerin sınıflandırması yapılmıştır.Son olarak E^4_1 Minkowski uzayında uzaysal yüzeyler çalışılmıştır. Bu yüzeylerden Gauss tasviri harmonik olanlarının bir karakterizasyonu elde edilmiştir.Bu karakterizasyon kullanılarak S^3_1(r^2) de Sitter uzayında veya H^3(-r^2) hiperbolik uzayında kalan harmonik Gauss tasvirine sahip yüzeylerin tamsınıflandırmaları verilmiştir. Ayrıca, E^4_1 Minkowski uzayında uzaysal bir yüzeyin birinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması içingerek ve yeter koşulun yüzeyin ortalama eğrilik vektörünün paralel olması olduğu gösterilmiştir. Diğer taraftan, E^4_1 Minkowski uzayında ikinci çeşitnoktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip uzaysal yüzeyler ile ilgili bazı sınıflandırma teoremleri ispatlanmıştır. The notion of finite type submanifolds of Euclidean spaces and pseudo-Euclidean spaces was introduced by B. Y. Chen in the late 1970's. A submanifold of aEuclidean or a pseudo-Euclidean space is said to be of finite type if its position vector can be expressed as a sum of finitely many eigenvectors of theLaplace operator. If these eigenvectors are corresponding to k distinct eigenvalues of the Laplace operator, then the submanifold is said to be of k-type.Finite type submanifolds of Euclidean spaces and pseudo-Euclidean spaces have been extensively studied by several geometers and many results have beenpublished. Even now, there are several open problems on this subject which are currently being dealt with.In time, the notion of finite type submanifolds has been extended to the differentiable mapping defined on submanifolds of the Euclidean spaces or pseudo-Euclidean spaces. In particular, the Gauss map of oriented submanifolds has been studied in many works.The Gauss map of a submanifold of a Euclidean space or a pseudo-Euclidean space is said to be of (global) 1-type if its Gauss map nu satisfies the secondorder differential equation Deltanu=lambda(nu+C) for a constant lambda and constant vector C, where Delta denotes the Laplace operator of the submanifold.However, the Gauss map of several surfaces and hypersurfaces such as helicoids of the 1st, 2nd, and 3rd kind, conjugate Enneper's surface of thesecond kind and B-scrolls in the 3-dimensional Minkowski space E^3_1, generalized catenoids, spherical n-cones, hyperbolical n-cones and Enneper'shypersurfaces in E^{n+1}_1 satisfies Delta nu =f(nu +C) for some smooth function f and some constant vector C. A submanifold whose Gauss map satisfiesthat equation is said to have pointwise 1-type Gauss map. In particular, if C is zero, the pointwise 1-type Gauss map is said to be of the first kind.Otherwise, it is said to be of the second kind. Moreover, if f is a non-constant smooth function, then the submanifold is said to have proper pointwise 1-type Gauss map. On the other hand, a submanifold is said to have harmonic Gauss map if Laplacian of its Gauss map vanishes identically.Rotational surfaces in Euclidean spaces E^3 and E^4 with pointwise 1-type Gauss map was worked in several papers. For example, it was proved that rotationalsurfaces with pointwise 1-type Gauss map of the first kind in Euclid space E^3 coincide with rotational surfaces with constant mean curvature in E^3 andthe right cones are the only rational rotational surfaces in E^3 with pointwise 1-type Gauss map of the second kind. On the other hand, only some partialresults has been appeared on the surfaces in E^4. For example, in a paper, it was proved that Cliffors torus is the only flat Vranceanu rotational surfacewith pointwise 1-type Gauss map. The complete classification of flat simple rotational surfaces was given in another work.On the other hand, it was proved that a minimal surface in the Euclidean space E^4 has pointwise 1-type Gauss map of the first kind if and only if its normalbundle is flat, and also it has pointwise 1-type Gauss map of the second kind if it has a local orthonormal frame field {e_1,e_2;e_3,e_4} such that thecorresponding shape operators are of the form of A_3=diag(rho,-rho), A_4=adiag(rho,rho). Furthermore, a non-minimal surface in the Euclidean space E^4 haspointwise 1-type Gauss map of the first kind if and only if its mean curvature vector is parallel.In this thesis, the submanifolds of the Euclidean spaces and pseudo-Euclidean spaces of codimension 2 are studied in terms of having pointwise 1-type Gaussmap. Laplacian of the Gauss map of a submanifold of a pseudo-Euclidean space of arbitrary dimension and arbitrary index is obtained. Some lemmas which areuseful to classify submanifolds with pointwise 1-type Gauss map of the second kind are proved. By using these general results, the following type of surfacesare studied in terms of their Gauss map.First, general rotational surfaces in the Euclidean space E^4 whose meridian curves lie in two dimensional planes are considered. It is proved that such ageneral rotational surface has pointwise 1-type Gauss map of the first kind if and only if it is an open part of a generalized torus given by F(s,t)=(r_0cosfrac{s}{r_0} cos at,r_0cos frac{s}{r_0} sin at,r_0sin frac{s}{r_0} cos bt,r_0sin frac{s}{r_0} sin bt). It is also showed that upto congruency theonly general rotational surface with proper pointwise 1-type Gauss map of the first kind is the generalized torus given above with aneq b. Note that thegeneralized torus given above becomes the Clifford Torus if a=b. Furthermore, all minimal general rotational surfaces with pointwise 1-type Gauss map ofthe second kind are obtained. Finally, it is proved that if a general rotational surface in E^4 has flat normal bundle and proper pointwise 1-type Gauss mapof the second kind then it is nothing but a plane. Although it is not directly relevant with the subject of the thesis, the complete classifications ofminimal general rotational surfaces in E^4 and pseudo-umbilical general rotational surfaces in E^4 are also obtained. By using this classification, minimalgeneral rotational surfaces and pseudo-umbilical general rotational surfaces with pointwise 1-type Gauss map of the second kind are determined.Secondly, simple rotational surfaces in the Euclidean space E^4 with pointwise 1-type Gauss map are studied in terms of having pointwise 1-type Gauss map.Complete classification of simple rotational surfaces with pointwise 1-type Gauss map of the first kind is given. A characterization of simple rotationalsurfaces with pointwise 1-type Gauss map of the second kind is obtained. It is proved that a simple rotational surface which completely lies in the Euclideanspace E^4 has pointwise 1-type Gauss map of the second kind if and only if one of its coordinate functions satisfies a non-linear ordinary differentialequation of order 3. As a consequence of this characterization, it is proved that a simple rotational surface with constant Gauss curvature has pointwise 1-type Gauss map of the second kind if and only if it is an open part of a flat rotational surface whose meridian curve is a special helix.Next, space-like surfaces in the Minkowski space E^4_1 with pointwise 1-type Gauss map of the first kind are considered. Firstly, the complete classificationof maximal surfaces with harmonic Gauss map is given. A characterization theorem of non-maximal space-like surfaces in the Minkowski space E^4_1 withharmonic Gauss map is obtained. Furthermore, the complete classification of space-like surfaces with harmonic Gauss map lying in de-Sitter space S^3_1(r^2)E^4_1 is given. Namely, it is proved that a surface lying in S^3_1(r^2) has harmonic Gauss map if and only if it is congruent to a surface whose positionvector is given by x(u,v) = (r(u^2+v^2)/2+ 1/r,u,v,r(u^2+v^2)/2 right). A similar work on the surfaces lying in the hyperbolic space H^3(-r^2) is also done.Further, the characterization and classification of space-like surfaces with pointwise 1-type Gauss map of the first kind are given. It is proved that a space-like surface has such Gauss map if and only if its mean curvature vector is parallel. Some explicit examples are also mentioned. It is also proved thata surface with light-like mean curvature vector has pointwise 1-type Gauss map of the first kind if only if it has harmonic Gauss map.Finally, space-like surfaces in the Minkowski space E^4_1 with pointwise 1-type Gauss map of the second kind are studied. The maximal surfaces and space-like surfaces with constant mean curvature are dealt with. It is proved that there is no non-planar maximal surface in the Minkowski space E^4_1 with pointwise 1-type Gauss map of the second kind. A classification theorem on space-like surfaces in the Minkowski space E^4_1 with constant mean curvature and pointwise 1-type Gauss map of the second kind is also given. Namely, it is showed that an oriented space-like surface in the Minkowski space E^4_1 with flat normal bundle and non-zero constant mean curvature has pointwise 1-type Gauss map of the second kind if and only if it is congruent to some special helicial cylinders. 134

Bu çalışmada E 4 deki yüzeylerin 1. ve 2. temel form katsayıları yardımıyla bazı sınıflandırmaları verilmiştir. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölümde çalışmanın ilerideki bölümlerinde kullanılan tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde E 3 deki yüzeyler ele alınmıştır. Bu yüzeylerin Gauss eğriliği ve ortalama eğriliği ile ilgili eşitlikler incelenmiştir. Dördüncü bölümde E 4deki yüzeyler ele alınmıştır. Bu yüzeyleri Gauss eğriliği K ,Kn ortalama eğriliği H ve normal eğriliği ile ilgili eşitlikler incelenmiştir. Bu bölüm üç kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda ve K ile H ilgili eşitlikler, ikinci kısımda K ve Kn ile ilgili eşitlikler, üçüncü kısımda ise K , Kn ve H ile ilgili eşitlikler incelenmiştir. Son bölümde ise Chen yüzeylerinin süperkonformal oldukları ispatlanmıştır.Anahtar Kelimeler: Gauss eğriliği, Ortalama eğrilik, Normal eğrilik, Süper konformal yüzey, Wintgen ideal yüzey In this thesis, a characterizations of surfaces in E 4 with the help of coefficients of the first and second fundamental form are given. This thesis consist of five chapters. First chapter is introduction. In the second chapter it is given some basic definitions and theorems which will be use in the other chapters. In the third chapter Euler equation of a surfaces in E 3 are considered. In the fourth chapter surfaces in the 4-dimensional Euclidean space E 4 are considered. Some curvature equations of K ,Kn ve H are obtained. In the final chapter Chen surfaces in the 4-dimensional Euclidean space E 4 are considered. It has been proved that every Chen surfaces are Wintgen ideal surface of E 4Key words: Gaussian curvature, Mean curvature, Normal curvature, Superconformal surface, Wintgen Ideal surface 48

Daha önce Dr. Fahrettin Akbulut tarafından, Darboux vektörü olarak isimlendirilen vektör kullanılarak diferansiyel geometrinin bilinen bazı formülleri elde edilmiştir. Bu formüller, yüzeyin bir M noktasından geçen parametre eğrilerinin birbirine dik alınmasıyla çıkarılmış olup, bu çalışmada dik kesişmemeleri durumunda Darboux vektörünün ve dolayısıyla formüllerin nasıl bir forma dönüşeceği, bir anlamda yüzeyin diferansiyel geometrisinin birbirine dik olmayan parametre eğrileriyle incelenmesi amaçlanmıştır. By using the Darboux Vector, various well-known formulas of differential geometry had been produced by Doctor Fahrettin Akbulut. These formulas were obtained through formulating parametric curves which pass through a point M on a surface which are perpendicular each other. The aim of this study is to investigate the Darboux Vector and the related formulas if the parametric curves do not intersect at an angle different from ??2. In this way, the study aims to analyze differential geometry of surfaces using parametric curves which are not intersecting perpendicularly. 63

Bu çalışmanın iki amacı vardır. Bunlardan biri Riemann'ın manifold kavramını nasıl açıkladığının hesabını vermektir. Riemann bir yandan Herbart'ın felsefesi diğer yandan da Gauss'un matematiği tarafından etkilenmiştir. Bu sebeple Erhard Scholz manifold kavramının yarı felsefi bir kavram olduğunu iddia eder. Öyleyse Riemann'ın manifold kavramında felsefesinin oynadığı rolü açıklamak önemlidir çünkü bu bize felsefenin matematikle ve diğer çalışma alanlarıyla nasıl ve ne ölçüde ilgili olabileceğini gösterecektir. Ardından bu kavramın geometri (özellikle mekân fikirlerinin evrimi ile ilgili meselelerde) mümkün sonuçlarını bilgi kuramsal bakış açısından tartışacağım. This thesis aims to achieve two things. One is to give an account of how Riemann explains his notion of manifold. Riemann was influenced by Herbart?s philosophy on the one hand and Gauss?s mathematics on the other. For this reason, Erhard Scholz claims that the notion of manifold is a quasi-philosophical concept. It is therefore important to explicate the role philosophy plays in Riemann?s notion of manifold as this will show how and to what extend philosophy can be relevant to mathematics and perhaps other fields of study as well. I will then discuss possible consequences of this notion for geometry (especially issues regarding the evolution of ideas of space) from an epistemological point of view. 170

Bu tezin amacı Lorentz uzayındaki yüzeylerin diferansiyel geometrisi üzerine çalışmaktır. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde gauss eğriliği, hiperyüzey, kısmi türev, ortalama eğrilik, şekil operatörü ve Taylor formülü tanıtılmıştır.İkinci bölümde Lorentz uzayında simetrik bilineer form, skalar çarpmalı uzay, Minkowski uzay zaman, yarı Riemann manifoldları, 2 boyutlu Lorentz uzayı ve hiperbolik radyan ile ilgili bazı tanımlar ve teoremler verilmiştir.Üçüncü bölümde temel kuadratik formlar, yüzeyin bir noktasındaki eğrisel uzunluk, birim normal vektörünün birinci mertebeden kısmi türevleri, Weingarten ve Olinde-Rodrigues formülleri için bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir.Dördüncü bölümde lorentz uzayındaki temel formlar, Weingarten ve Olinde-Rodrigues formülleri verilmiştir.Beşinci bölümde de orjinal bir çalışmamızı içermektedir.Anahtar Kelimeler : Gauss eğriliği, hiperyüzey, kısmi türev, ortalama eğrilik, Olinde-rodrigues formülleri, şekil operatörü, Taylor formülü, Weingarten formülleri This thesis which is the aim working on differantial geometry of surfaces on which Lorentz spaces. This thesis takes part from five parts.In the first part, Gauss curvature, hypersurface, partial derivate, mean curvature, figure operatör,and Taylor Formula were introduced.In the second part, symetric bilinear form at Lorentz space, scaler product space, Minkowski space time, semi-Riemann manifold, Lorentz space with two dimmension and somedefinations and theorem connected with hyperbolic raidon were given.In the third part, basic quadratic forms, curvilinear length in any point of surface, unit normal vektör of which first degree partial derivatives, connected with Weingarten and Olinde-Rodrigues formulas same basic defination and theorems were given.In the fourth part, basic formulas at Lorentz spaces, Weingarten and Olinde-Rodrigues formulas were given.In the fifth part, it includes of our original work.Keywords:Gauss curvature, hypersurface, partial derivate, mean curvature, formulas of Olinde-Rodrigues, figure operatör, Taylor Formula, Weingarten formulas 63

Bu tez, beş bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, çalışmanın kapsamı ve amacıbelirtilmiştir.İkinci bölümde, çalışma için gerekli olan temel tanım ve teoremler verilmiştir.Üçüncü bölümde, 4-boyutlu Öklid uzayına immersed edilmiş 2-boyutlu manifoldun Gausseğriliği ve ortalama eğriliğine dair eşitsizlikler verilmiştir.Dördüncü bölümde, 6-boyutluÖklid uzayına immersed edilmiş 4-boyutlu manifoldun Gauss eğriliği ve Betti sayılarına daireşitsizlikler verilmiştir.Beşinci bölümde, Öklid uzayında elde edilen eşitsizliklerin 4-boyutluLorentz uzayındaki karşılıkları verilmiştir.Anahtar Kelimeler: Gauss eğriliği, ortalama eğrilik, birinci ve ikinci tipten ? inci eğrilikler,Betti sayıları, Lorentz uzayı, Öklid uzayı, Lipschitz-Killing eğriliği, total mutlak eğrilik. This thesisis composed of five chapters.In the first chapter, the aim and content of thesis areexplained.In the second chapter, basic definitions and theorems are given.In the third chapter,inequalities with related to Gauss curvature and mean curvature of 2-dimensional manifoldwhich is immersed into 4-dimensional Euclidean space are given.In the fourth chapter,inequalities with related to Gauss curvature and Betti numbers of 4- dimensional manifoldwhich is immersed into 6-dimensional Euclidean space are given.In the fifth chapterinequalities in the euclidean space are obtained in the 4-dimensional Lorentz space.Key Words: Gauss curvature, mean curvature, the ?th curvature of first andsecond kind , Betti numbers, Lorentz space, Öklid space, Lipschitz-Killingcurvature, total absolute curvature. 57

IV RECIPROCAL HİPERYÜZEYLERİN BAZI KARAKTERİSTİK ÖZELLİKLERİ ÖZET Bu çalışma temelde beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde konunun ele alınma nedeni tartışıldı. İkinci bölümde konuya temel teşkil eden çalışmalara, üçüncü bölümde ise Öklid uzayı ve yüzeyler teorisi ile ilgili temel kavramlara yer verildi. Dördüncü bölümde, £3, 3- boyutlu Öklid uzayında tanımlı reciprocal yüzeylerle ilgili temel kavramlar verilerek, Sanoğtugil ve Kuruoğlu [14] tarafından verilen `On The Characteristic Properties Of The Reciprocal Surfaces In The Euclidean Space £3` adlı çalışma incelendi Çalışmamızın orijinal kısmım meydana getiren beşinci bölümde ise En+1, (w+l)- boyutlu Öklid uzayında reciprocal hiperyüzey tanımlandı ve bu yüzeyin temel formları, hiperalan elementi, Gauss ve ortalama eğrilikleri, yüksek mertebeden Gauss eğriliği, hacim elementi, şekil operatörünün matrisi ve karakteristik polinomu hesaplandı. Anahtar Kelimeler: Öklid uzayı, reciprocal hiperyüzey, destek fonksiyonu, temel formlar, Gauss ve ortalama eğrilikleri SOME CHARACTERISTIC PROPERTIES OF THE RECIPROCAL HYPERSURFACES ABSTRACT This study consists of five fundamental chapters. In the first chapter, it is discussed why this study is taken into consideration. In the second chapter, studies which is main into subject has been presented. In the third chapter, fundamental concept about Euclidean space and surfaces theory has been examined. In the fourth chapter, fundamental concept about 3- dimensional reciprocal surfaces in Euclidean space E3 has been examined and the article given by Sanoğlugil & Kuruoğlu [14] has been investigated. The fifth chapter is the orijinal part of this study. In this chapter, the (n+iy dimensional reciprocal hypersurfoce has been presented in Euclidean space En+l and fundamental forms, hyper area element, Gauss and mean curvature, higher order Gaussian curvatures, volume element, the matrix of shape operatör and characteristic polynom for this surface has been calculated. Key words: Euclidean space, reciprocal hypersurface, support function, fundamental forms, Gauss and mean curvatures 37

ÖZET Bu tezde, afin yüzeylerin pick inveryantı, afin ortalama eğriliği ve Gauss eğriliği üzerine çalışılmıştır. R3 de M2 non-dejenere yüzeyler için Egregium Afin teoremi ifade edilmiştir. Yüzeylerin klasik afin diferensiyel geometrisi üzerine çalışılmıştır. 11 SUMMARY Iıı tlıis thesis we studied on the pick invariant, the affine mean curvature and the Gauss curvature of affine surfaces. The Affine Theorema Egregium for nondegenerate surfaces M2 in R3 was stated. We studied to the classical differential geometry of surfaces. 48