Search

Einstein'in kütleçekim teorisi olan Genel Görelilik teorisi Riemannsal geometride yazılmıştır. Riemannsal geometride nonmetrisiti ve burulma tensörleri sıfır, fakat eğrilik tensörü sıfır değildir. Genel Görelilik teorisi Newton kütleçekim teorisinin bazı yetersizliklerini ortadan kaldırmıştır. Ancak, kronik bir sorun olan Genel Görelilik Teorisinin kuantumlanamaması probleminin yanında ilaveten geçen 10-20 yıl içinde galaksilerde gözlenen ve açıklanamayan kütle hız grafikleri (karanlık madde problemi) ile evrenin genişleme hızında gözlenen ve açıklanamayan hızlanma olayı (karanlık enerji problemi) düşünüldüğünde yeni kütleçekim teorileri arayışları ortaya çıkar. Bu tez çalışması ile burulmanın sıfır fakat eğriliğin yanında nonmetrisinin de sıfır olmadığı alternatif bir kütleçekim teorisi üzerinde çalışmalar yapılacaktır. Özellikle yazacağımız kütleçekim teorisine Dirac alanını minimal ekleyeceğiz. Böylece geometrik bir nicelik olan nonmetrisiti tensörüne fiziksel yorumlar aranacaktır ve Dirac alanının kütleçekimiyle yeni etkileşim türleri araştırılacaktır. Einstein's theory of Relativity, the theory of gravity, was written in the Romanian geometry. Nonmetricity and torsion tensors in zero geometric geometry, but curvature tensor is not zero. General Relativity theory has eliminated some of the shortcomings of Newton gravitation theory. However, in addition to the problem of not quantuming the General Relativity Theory, which is a chronic problem, in addition to the inexplicable mass velocity graphs (dark matter problem) observed in the galaxies in the past 10-20 years, the search for new gravity theories that are observed and unexplained (dark energy problem) is considered. arises.With this thesis, studies will be conducted on an alternative gravitational theory where torsion is zero but curvature is not zero. In particular, we will add the Dirac field minimally to the gravitation theory we will write. Thus, physical interpretations will be searched for the nonmetricity tensor, which is a geometric quantity, and new types of interaction with the gravity of the Dirac field will be investigated. 66

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, çalışmamızın tarihsel gelişimi hakkında bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, tezin içeriği ile ilgili temel tanımlar verilmiştir. Ayrıca, 4-boyutlu Öklid uzayında Darboux helisler, slant helisler, slant helislerin karekterizasyonu ve -tipi adı verilen yeni tip slant helisler incelenmiştir. Üçüncü bölümde, 4-boyutlu Öklid uzayında yeni bir frenet çatı ve bu çatıya göre -tipi slant helisler elde edilmiştir. Dördüncü bölümde ise sonuçlar verildikten sonra son bölümde kaynaklar yazılmıştır. This thesis consists of five chapters. In the first chapter, the historical development of our study is given. In the second chapter, basic definitions about the content of the thesis are given. In addition, Darboux helices, slant helices, the characterization of slant helices and new types of slant helix called -type in Euclidean 4-space are examined. In the third chapter, a new frenet frame and -type slant helix according to this frame are obtained.In the fourth chapter, after the results are given, the references are written in the last chapter. 59

In this study, the effect of different parameters like concrete class, longitudinal tensile and compression reinforcement ratios on the moment-curvature behavior of reinforced concrete beams was investigated. A numerical study was performed by changing the values of the parameters. For this purpose, 66 rectangular cross-section reinforced concrete beams with different parameters were designed. The behavior of the beams was obtained from the moment-curvature relationship by considering the nonlinear behavior of the materials. Unconfined concrete model was used for the beam sections in the analysis. Moment-curvature values in the case of yield and ultimate stages, curvature ductility values and stiffness ratios were obtained by using analysis results. The results obtained from the analysis by using different parameters were presented in tables and the results were evaluated. The behavior of the rectangular cross-section beams was interpreted by using the curvature ductility, stiffness ratios, yield and ultimate moments. With the increase in the ratio of compression reinforcement in the reinforced concrete beam elements, yield moment, ultimate moment and maximum curvature values are increased but yield curvature values decrease. With the increase in the ratio of compression reinforcement in the reinforced concrete beam elements, the ductility and stiffness of elements are increased., Bu çalışmada betonarme kirişlerde farklı parametre olarak beton sınıfı, boyuna donatı olarak çekme ve basınç donatısı oranlarının moment-eğrilik davranışına etkisi araştırılmıştır. Parametrelerin değerleri değiştirilerek sayısal bir çalışma yapılmıştır. Bu amaçla, 66 adet farklı parametrelere sahip dikdörtgen en-kesitli betonarme kiriş tasarlanmıştır. Kirişlerin davranışı, malzemelerin doğrusal olmayan davranışları göz önüne alınarak moment-eğrilik ilişkililerinden elde edilmiştir. Analizlerde kiriş kesitlerinde beton için sargısız beton modeli kullanılmıştır. Analiz sonuçları kullanılarak akma ve kırılma durumunda moment-eğrilik değerleri, eğrilik sünekliği ve rijitlik oranları elde edilmiştir. Analiz sonuçlarından farklı parametrelerden elde edilen verilerin sonuçları çizelgeler halinde sunulmuş ve sonuçlar değerlendirilmiştir. Dikdörtgen en-kesitli kirişlerin davranışı, eğrilik sünekliği, rijitlik oranları, kirişlerin akma ve kırılma momentlerinin değerlerinden yararlanarak yorumlanmıştır. Betonarme kiriş elemanlarında basınç donatısı oranının artması ile akma momenti, kırılma momenti ve maksimum eğrilik değerleri artmakta fakat akma eğrilik değerleri azalmaktadır. Betonarme kiriş elemanlarında basınç donatı oranının artması ile elemanların süneklikleri ve rijitlikleri artırmaktadır.

In (2n+1)-dimensional non-Sasakian contact metric manifolds, we consider Legendre curves whose mean curvature vector fields are C-parallel or C-proper in the tangent or normal bundles. We obtain the curvature characterizations of these curves. Moreover, we give some examples of these kinds of curves which satisfy the conditions of our results.

Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde projektif geometrinin temel kavramları ve öklid geometrisi ile olan ilişkisinden söz edilmiştir. Üçüncü bölümde projektif geometrinin önemli teoremleri ele alınmıştır. Dördüncü bölümde projektif geometride yapılan hesaplamalar incelenmiştir. Beşinci bölümde tezin esas konusu olan projektif eğri ele alınarak örnek verilmiştir. Son bölümde, tezde elde edilen sonuçlar özetlenmiştir. This thesis consists of six chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second section, the fundamental concepsts of projective geometry and Euclidean geometry has been mentioned. In the third chapter, the fundamental theorems of projective geometry are discussed. In the fourth chapter, the calculations of projective geometry are searched. In the fifth chapter, which is the main subject of the thesis by taking an example of a projective curve. In the last chapter, the results obtained in the thesis are summarized. 70

Bu tez toplam dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölüm giriş kısmı için ayrılmıştır.İkinci bölümde, ilerdeki bölümler için gerekli olan kavramlar ve tanımlara yer verilmiştir.Üçüncü bölümde, Öklid uzayında regle yüzeylerin temel özellikleri geniş şekilde ele alınmıştır.Son bölüm ise `Structure and Characterization of Ruled Surface in Euclidean 3-Space` makalesinin genişletilmiş haline ayrılmıştır.( Yu, Liu, Jung 2014 )Haziran 2017, 45 sayfaAnahtar Kelimeler: regle yüzeyler, helis, darboux fonksiyonu, eğrilik, Bertrand eğrileri, minimal yüzeyler, boğaz eğrisi This thesis consists of four chapters.The first chapter is placed for the introduction.The second chapter deals with notions and definitions that are necessary for the next chapters. In the third chapter, it is discussed that basic properties of ruled surfaces widely.Last chapter is placed for `Structure and Characterization of Ruled Surface in Euclidean 3-Space` which is extended form in this thesis. ( Yu, Liu, Jung 2014 )June 2017, 45 pagesKey Words: ruled surfaces, helix, darboux function, curvature, striction curve, Bertrand curves, minimal surfaces 56

The main purpose of this paper is to show how to obtain rigidity theorems with the help of curvature invariants in submanifolds of a semi-Riemannian manifold. For this purpose, the bounded sectional curvature is introduced and some special submanifolds of r-lightlike submanifolds of a semi-Riemannian manifold are investigated.

Bu tez çalışmasında Seiberg-Witten denklemleri iki ana başlık altında incelenmiştir. İlk olarak Clifford cebirleri, Vektör demetleri, Asli lif demetleri, Konneksiyon 1-formları gibi Seiberg-Witten denklemlerini ifade etmekte kullanılan temel kavramlara değinilmiştir. Sonraki bölümde de spinor demeti üzerinde kovaryant türev operatörü ve Dirac operatörü incelendikten sonra literatürde çok iyi bilinen 4-boyutlu manifoldların yapısını incelemekte kullanılan Seiberg-Witten denlemleri irdelenmiş ve buna bağlı olarak 4-boyutlu Hiperbolik uzaylar üzerinde Seiberg-Witten denklemleri yazılmıştır. Yüksek boyutlarda da genelleştirilmiş self-dualite kavramına bağlı olarak verilen Seiberg-Witten denklemlerinden olan eğrilik denklemine literatürdeki ifade edilişlerine denk olan alternatif formüller verilmiştir. Ayrıca 8-boyutta farklı bir self-dualite seçimine bağlı olarak Seiberg-Witten denklemleri elde edilmiş ve bu denklemlere çözüm verilmiştir. Bu bölümün sonunda 8-boyutta Hiperbolik uzaylar üzerinde Seiberg-Witten denklemleri yazılmıştır. Daha sonra spinor uzayı üzerinde tanımlanan Hermityen iç çarpım kullanılarak eğrilik denkleminin ifadesinde kullanılan sigma dönüşümünün bazı özellikleri incelenmiş ve buna bağlı olarak bazı yararlı eşitlikler elde edilmiştir. Son bölümde de öncelikle 4-boyuttaki klasik denklemlere self-dualite kavramına ihtiyaç duymadan alternatif bir yaklaşım öne sürülmüş ve bu yaklaşımın literatürde çok iyi bilinen klasik denklemlerle benzerliği gözlemlenmiştir. Son olarak da bu yaklaşım ile 5,6,7 ve 8-boyutlu manifoldlar üzerinde self-dualite kavramı olmaksızın Seiberg-Witten denklemleri yazılmış ve bu denklemlere çözümler verilmiştir.Anahtar Kelimeler: Dirac Operatörü, Seiberg-Witten Denklemleri, Spinor, Eğrilik, Self-Dualite In this thesis, Seiberg-Witten equations have been examined under two main catagories. Firstly, some basic concepts such as Clifford algebra, Vector bundles, Principal bundles and Connection 1-form were addressed to describe Seiberg-Witten equations. In the next section, after Dirac operator and covariant derivative operator were studied on spinor bundle, Seiberg-Witten equations, which are used to analyze the structure of the 4-manifold and well-$known in the literature, have been discussed. According to this, Seiberg-Witten equations have been written on the 4-dimensional Hyperbolic space. In higher dimension, depending on the concept of the generalized self-duality, alternative formulas of Curvature equation, which are equivalent to wording in the literature, was given. In 8-dimension Seiberg-Witten equations were also obtained according to the different selection of a self-duality and then solutions to these equations were given. At the end of this section, Seiberg-Witten equations on 8-dimensional Hyperbolic space were written. Then, some properties of the quadratic map sigma, which is used in the expressions of the Curvature equation, were investigated on the spinor space by using defined hermitian inner product. According to these, some useful equations were obtained. In the final section, instead of clasical equations which are defined on 4-dimensional manifolds, at first an alternative approach has been suggested without the need of self-duality concept. Finally, by this approach, without using the concept of self-duality Seiberg-Witten equations were written and solutions to these equations were given in dimensions 5,6,7 and 8.Keywords: Dirac Operator, Seiberg-Witten Equations, Spinor, Curvature, Self-Duality 135

Anadolu Üniversitesi ve Bilecik Şeyh Edebali Üniversitesi tarafından ortak yürütülen program. Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde Öklid uzayındaki temel kavramlar ve eğriler konusu tanıtıldı. Ayrıca Frenet Çatıları ve Serret-Frenet formülleri üzerinde duruldu. Üçüncü bölümde 3-boyutlu Öklid Uzayında Frenet çatısına göre Smarandache eğrileri tanıtılmış bu eğrilerin eğrilik ve torsiyonları ayrı ayrı hesaplandı. Dördüncü bölümde eğrinin helis eğrisi olma durumları üzerinde duruldu ve bunun ile ilgili teoremlere yer verildi. Elde edilen bulgular değerlendiriltikten sonra‘’Smarandache eğrileri ne zaman helis olur? ‘’sorusunun cevabı araştırıldı. This thesis consists of four chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, basic concepts and curves in Euclidean space subject introduced. Also it is mentioned in the Frenet frame and Serret-Frenet formulas over.- In third chapter, it is introduced the Smarandache curves according to Frenet frame in 3-dimensional Euclidean Space. In the fourth chapter, it is focused on the states being helix of a curve and however was given to the related theorems. The findings were evolated after ‘’When the curve happens a helix?’’was investigated in response to the question

In this paper, we discuss some geometric properties of almost contact metric submersions involving symplectic manifolds. We show that the structures of quasi-K-cosymplectic and quasi-Kenmotsu manifolds are related to (1, 2)-symplectic structures. For horizontally submersions of contact CR-submanifolds of quasi-K-cosymplectic and quasi-Kenmotsu manifolds, we study the principal characteristics and prove that their total spaces are CR-product. Curvature properties between curvatures of quasi-K-cosymplectic and quasi-Kenmotsu manifolds and the base spaces of such submersions are also established. We finally prove that, under a certain condition, the contact CR-submanifold of a quasi Kenmotsu manifold is locally a product of a totally geodesic leaf of an integrable horizontal distribution and a curve tangent to the normal distribution.

Bu tez çalışması iki bölümden oluşmaktadır.Tezin birinci bölümünde konuyla ilgili temel tanım ve teoremler verildi.İkinci bölümde uzay eğrisinin yer vektörü kullanılarak küre üzerindeki izdüşüm eğrisinin eğrilikleri bulunmuştur. Uzay eğrisinin eğriliklerine göre izdüşüm eğrisi için elde edilen sonuçlar verilmiştir. This thesis consists of two chapters.In the first chapter, the basic definitions and theorems are given related to this subject.In the second chapter, curvatures of the projection curve on the sphere found in by using a vector space curve. For a projection space it is obtained some results according to curvatures of the projection space. 56

Daha önce Dr. Fahrettin Akbulut tarafından, Darboux vektörü olarak isimlendirilen vektör kullanılarak diferansiyel geometrinin bilinen bazı formülleri elde edilmiştir. Bu formüller, yüzeyin bir M noktasından geçen parametre eğrilerinin birbirine dik alınmasıyla çıkarılmış olup, bu çalışmada dik kesişmemeleri durumunda Darboux vektörünün ve dolayısıyla formüllerin nasıl bir forma dönüşeceği, bir anlamda yüzeyin diferansiyel geometrisinin birbirine dik olmayan parametre eğrileriyle incelenmesi amaçlanmıştır. By using the Darboux Vector, various well-known formulas of differential geometry had been produced by Doctor Fahrettin Akbulut. These formulas were obtained through formulating parametric curves which pass through a point M on a surface which are perpendicular each other. The aim of this study is to investigate the Darboux Vector and the related formulas if the parametric curves do not intersect at an angle different from ??2. In this way, the study aims to analyze differential geometry of surfaces using parametric curves which are not intersecting perpendicularly. 63

YÖK Tez ID: 387912 Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş için ayrılmıştır.İkinci bölümde Minkowski 3-uzayı ve yarı- Öklidyen uzayları tanıtılarak bu uzaylardaki bazı geometrik özellikler ile spacelike, timelike, null, pseudo null ve partially null eğriler ve bu eğrilerin Frenet denklemleri verilmiştir.Üçüncü bölümde yarı- Öklidyen uzayında sırasıyla spacelike, timelike, null, pseudo null ve partially null W- eğriler incelenmiştir.Dördüncü bölüm tartışma ve sonuç için ayrılmıştır. This thesis consist of four chapters. The first chapter is reserved for introduction.In the second chapter, we introduce Minkowski 3-space and semi- Euclidean space with their properties. Also we introduce spacelike, timelike, null, pseudo null, partially null curves and their Frenet frames in the same space.In the third chapter, we study spacelike, timelike, null, pseudo null and partially null W- curves in 4- dimensional semi- Euclidean space with index 2.The fourth chapter is reserved for discussion and conclusion.

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır.Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.İkinci bölümde, çalışmamız için gerekli olan tanım ve teoremler verilmiştir.Üçüncü bölümde, E? de sabit eğrilik oranlı eğriler incelenmiş ve bu eğrilerin W eğrileri, genel helisler ve CCR-eğrileri olma şartları verilmiştir.Dördüncü bölümde, yeni bir helis tipi olan slant helisler incelenmiş ve bu eğriler için bazı karakterizasyonlar verilmiştir.Beşinci bölümde, E? de bir helisin Bertrand çifti ve involüt-evolütü incelenmiştir.Anahtar Kelimeler: W-eğrisi, CCR-eğrisi, Genel helis, Slant helis, Salkowski eğrileri, Bir helisin Bertrand çifti ve involüt-evolütü. This thesis consists of five chapters.The first chapter is devoted to the introduction.In the second chapter the required definitions and theorems are given.In the third chapter, the curves with constant curvature ratio in E? are examined and the necessary conditions for these curves to be W-curves, generalized helices and CCR-curves.In the fourth chapter, slant helices, which are new type of helices, are examined and given some characterizations for these curves.In the fifth chapter, Bertrand mate and involute-evolute couple of a helice in E? is examined.Key Words: W-curve, CCR-curve, Generalized helice, Slant helice, Salkowski curves, Bertrand mate and involut-evolut couple of a helice. 81

Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde Öklid ve Minkowski uzayında temel kavramlar verilmiştir. Ayrıca, Öklid ve Minkowski uzaylarında yüzey üzerindeki eğrilerin Darboux çatısı tanıtılmış ve yine Darboux çatısının Frenet çatısı ile olan ilişkisi verilmiştir.Üçüncü bölümde Öklid ve Minkowski uzayında varyasyonel eğri hareketi tanımı verilmiş olup, bu hareketin elastik olmama koşulu ve buna bağlı olarak eğrilikler arasındaki ilişkilere ait karakterizasyonlar ifade edilmiştir.Dördüncü bölümde , 3-boyutlu Öklid uzayında yönlendirilebilir bir yüzey üzerindeki bir eğrinin Darboux çatısına göre eğri hareketi ve bu eğri hareketinin elastik olmama koşulları verilmiştir.Beşinci bölüm bu çalışmanın orijinal kısımını oluşturmaktadırlar. Bu bölümde Minkowski uzayında alınan bir yüzey üzerindeki eğrinin Darboux çatısına göre varyasyonel hareketi tanımlanmış ve yine bu hareketin elastik olmama koşulu karakterize edilmiştir. Ayrıca, yüzey üzerinde aldığımız eğrinin geodezik eğri, asimptotik çizgi ve eğrilik çizgisi olma durumu incelenmiş ve buna dayalı sonuçlar verilmiştir.Altıncı bölümde çalışmanın özeti yapılmış ve bundan sonra yapılacak araştırmalara yönelik öneride bulunulmuştur. This thesis consists of six chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, basic concepts in the Euclidean and Lorentzian space are introduced. Darboux frame is defined in Euclidean and Minkowski space, respectively and its relationships with Frenet Frame are given.In the third chapter, inextensible flow of curve in Euclidean and Minkowski space is defined. The necessary and sufficient conditions for an inextensible flows of curves are expressed as a partial differential equation involving the curvature and torsion.In the fourth chapter, inextensible flow of curve on oriented surface in Euclidean space is defined. The necessary and sufficient conditions for an inextensible flows of curves are expressed as a partial differential equation involving the geodesic curvature, the normal curvature and the geodesic torsion.The fifth chapter is the original parts of this study. In this chapter, the general formulation for inextensible flow of curve on oriented surface is investigated in Minkowski space, respectively. The necessary and sufficient conditions for inextensible curve flow lying an oriented surface are expressed as a partial differential equation involving the geodesic curvature, the normal curvature and the geodesic torsion. Moreover, some special cases of inextensible curves on oriented surface are elaborated. 78

Dört bölümden oluşan çalışmamızın amacı, sabit holomorfik kesiteğrilikli indefinite Kaehler manifoldu anlamına gelen indefinite kompleks uzayformlarını incelemektir. Çalışmanın giriş bölümünde, konunun, tarihselgelişimi ifade edilmiştir. Bir sonraki bölümde de konu ile ilgili temel tanım,teorem ve kavramlara yer verilmiştir.Üçüncü bölümde, çalışmanın ilerleyen kısımları için temel teşkil edenkompleks vektör uzayları ve Hermitian skalar çarpım tanımları verilerek, bukavramlarla ilgili önerme ve teoremler incelenmiştir.Dördüncü bölümde, indefinite kompleks uzay formları ve bu formlarıoluşturan indefinite Kaehler manifold ve holomorfik kesitsel eğrilik kavramınayer verilmiştir. Ayrıca indefinite Kaehler altmanifold için lokal formüllerincelenmiştir ve kompleks uzay formları sınıflandırılmıştır. The aim of this thesis is to study, constant holomorphic sectional curvaturewith indefinite Kaehler manifold defined indefinite complex space forms areexamined. The historical development of the subject is presented in `Abstract?.At the after chapter fundamental definitions, theorems and concepts related tosubject are given.In the third chapter, the concepts of complex vector spaces and Hermitianinner product, which are indispensable for the subsequent parts of the work, areexamined.In the fourth chapter, indefinite complex space forms and contains the basicfor this forms, indefinite Kaehler manifold and holomorphic sectional curvatureare given. Besides, local formulas for indefinite Kaehler submanifolds areexamined and some complex space forms are classified. 81

Anahtar kelimeler: Öklid Uzayı, Kuaterniyonlar, Uzaysal Kuaterniyonik Eğri, Kuaterniyonik Eğri, İnvolüt-Evolüt Eğri Çifti, EğrisiBu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, Öklid uzayında ve kuaterniyonlar kümesinde temel kavramlar tanıtılmıştır. Ayrıca, temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.Üçüncü bölümde, , boyutlu Öklid uzayında çalışmamızın temelini oluşturan involüt-evolüt eğri çiftleri tanıtılmış ve ilgili teoremler verilmiştir. Buna ek olarak, , boyutlu Öklid uzayında yapılan hesaplamaların , boyutlu Öklid uzayında da karşılıkları gösterilmiştir.Dördüncü bölüm bu çalışmanın orijinal kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümde, , boyutlu Öklid uzayındaki bir eğrinin reel-kuaterniyonlar kümesindeki uzaysal kuaterniyonik eğriyle birebir eşleşmesi temel alınarak ve kuaterniyonların özellikleri kullanılarak involüt-evolüt eğri çiftlerinin karakterizasyonu elde edilmiştir. Ayrıca için involüt-evolüt eğri çiftlerinin karakterizasyonları elde edilirken kuaterniyonik eğrileri göz önüne alınmıştır.Beşinci bölümde tüm çalışmanın geniş bir özeti yapılmış ve bundan sonra yapılacak araştırmalara yönelik öneride bulunulmuştur. Key words: Euclidean Space, Quaternions, Spatial Quaternionic Curve, Quaternionic Curve, Involute-Evolute Curve Couple, CurveThis thesis consists of five chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, basic concepts in the Euclidean space and set of quaternions are introduced. Moreover, the fundamental definitions and theorems are given.In the third chapter, involute-evolute curve couples which are the base of our study in the , Euclidean 3-space are introduced and related theorems are given. In addition this, it is shown that the calculations done in the , Euclidean 3-space can be done in the , Euclidean 4-space.The fourth chapter is the original part of this study. In this chapter, by considering there is a bijective correspondence between a curve in the , Euclidean 3-space and a spatial quaternionic curve in the set of real quaternions and using the properties of quaternions, the characterizations of involute-evolute curve couples are obtained. Moreover, the quaternionic curves are considered while obtaining the characterizations of involute-evolute curve couples for .In the fifth chapter of this thesis, a brief summary of the study is given and a suggestion is proposed for investigations in future. 108

Bu çalışmanın amacı, bazı manifoldlar üzerinde warped çarpım yapısını incelemektir. Fernando Dobarro ve Enrique Lami Lami Dozo tarafından yayınlatılan ?Scalar Curvature and Warped Products of Riemann Manifolds? ile Bang-Yen Chen tarafından yayınlatılan ?Warped Products in Real Space Form? çalışmalarında verilen teoremler detaylı bir şekilde incelenmiştir.Giriş bölümünde, Riemann ve yarı-Riemann manifoldları üzerinde warped çarpımı yapısının tarihsel gelişim süreci açıklanmıştır.Çalışmanın ikinci bölümünde, yapılacak hesaplamalarda yardımcı olacak olan Riemann manifoldları, yarı-Riemann manifoldları ve Çarpım uzayları için bazı önemli tanım ve teoremlere yer verilmiştir.Üçüncü bölümde ise yarı-Riemann manifoldlarda warped çarpımı kavramı ele alınmış ve çarpım manifoldları da kullanılarak warped çarpım manifoldlarında bir eğrinin geodezik olması için gerekli şartlar araştırılmıştır. Daha sonra warped çarpım eğriliği bulunmuştur.Çalışmanın son bölümünde ise, Riemann manifoldlarda warped çarpımı üzerinde skalar eğrilik hesaplanmıştır. Ayrıca reel uzay formlar üzerinde warped çarpımı ile ilgili bazı teoremler ve ispatları verilmiştir.Anahtar Kelimeler: Çarpım manifoldları, warped çarpımı, eğrilikler The aim of this study is to examine the structure of warped product on some manifolds. In this thesis, some theorems have been examined in detail, proved in the studies, titled ?Warped Products in Real Space Form? by Bang-Yen Chen and titled ?Scalar Curvature and Warped Products of Riemann Manifolds? by Fernando Dobarro and Enrique Lami Lami Dozo.In the introduction section, the historical development of the structure of warped product on the Riemann and semi-Riemann manifolds is explained.In the second chapter of the study, significant definitions and theorems for the Riemann manifolds, semi-Riemann manifolds and product space which are used for all calculations are presented.In the third chapter, the concept of warped product on the semi-Riemann manifolds is discussed and necessary conditions for a curve to be geodesic on the warped product manifolds are investigated as well using the product manifolds. Then the curvature of warped product is found.In the last chapter, scalar curvature of warped products on the Riemann manifolds is calculated. Additionally, some theorems and proofs regarding warped product on the Real space forms are presented.Key words: Product manifolds, Warped products, Curvatures 74

Bilgi, insanın nitel ve nicel gözlemler sonucunda doğrudan elde ettiği veri ve/veya bu veriyi işleyerek, analiz ederek dolaylı ve/veya dolaysız olarak ulaştığı sonuçlar ve kanılardır. Yapılan analizin niteliği, bilginin soyutlama seviyesini belirler. Semantik analiz, doğrudan ölçülebilen bilgi niteliklerinden dolaylı, daha üst seviyede yer alan bilgi niteliklerine erişilmesini sağlayan yöntemlerdir ve semantik analiz sonucunda erişilen bilgi de semantik bilgidir. Semantik analiz bir yöntemler bütünüdür, bu alanda tek, genel geçer bir yaklaşımdan bahsedilemez.Bu tez çalışmasının amacı, bilgiyi semantik seviyede temsil edecek bir bilgi modelinin altyapısı hakkında bir değerlendirme yapmaktır.Semantik bilgi bir manifold üzerinde modellenebilir. Manifold, varolan modellerde kullanılan metrik uzaylardan daha genel bir çerçeve sunarken, konum özelleştirmesi yolu ile özelleşmiş bilgilerin de aynı zamanda karşılanmasını sağlar. Spesifik olarak, uzunluk metriğine ek olarak eğrilik metriğinin kullanımını mümkün hale getirir.Çalışma kapsamında, bilginin manifold üzerinde modellenmesi fikrini doğrulamak üzere Öklidyen olmayan geometri temelli bir semantik analiz yöntemi önerilmektedir. Önerilen yaklaşım manifold üzerindeki jeodezik uzunluk kavramına dayanmaktadır. Yapılan uygulamada jeodezik uzunluklar dokümanlar arasındaki benzerliği ölçmek üzere kullanılmaktadır.Önerilen jeodezik benzerlik ölçüsü metin tabanlı bağlı veri seti Wikipedia XML Corpus üzerinde denenmektedir. Wikipedia bağ çizgesi üzerinden hesaplanan kümelenme katsayısı değerleri eğrilik değerleri olarak kabul edilmekte ve metinden hesaplanan Cosine benzerlik ölçüsü değerleri ile çember üzerindeki jeodezik formülü kullanılarak birleştirilmektedir. Deneysel çalışma kümelenme bağlamında gerçekleştirilmiş ve sonuçlar kümelenme metrikleri üzerinden yorumlanmıştır.Çalışma, bilgi modellemesinde manifold fikrini ortaya koyması ve bu fikrin geçerliliğini manifold fikrine dayanan bir semantik analiz yöntemi ve uygulaması sunarak test etmesi açısından özgündür. Bu niteliği ile gelecekte yürütülecek çalışmalara öncülük etmektedir. Information has a broad meaning. It can be interpreted as raw material that is directly acquired via observations. At a higher level, information is the results and opinions that are reached directly and/or indirectly through data processing and analysis. In fact, the level of analysis determines the information abstraction level. The semantic analysis can be defined as the methods by which the high-level information characteristics can be addressed in terms of the low-level, directly measurable information attributes. The semantic analysis is a suite of methods, there exists no unique semantic solution.In this thesis, in order to represent semantic information, the information modeling requirements are considered.Semantic information can be modeled on a manifold. Manifold is a generalized space than the metric space but through the local properties it provides specialization at the same time. The specialization comes from the position dependence by which curvature metric becomes available in addition to ordinary distance metric.As part of the work, a manifold based semantic analysis method is proposed in order to support the idea of modeling semantic information on a manifold. The proposed approach is based on the concept of geodesic distance on a manifold. The aim is to utilize geodesic distances for making similarity measurements.The proposed geodesic similarity measure is tested on the Wikipedia XML Corpus, which is a text-based linked data set. The clustering coefficient values that are computed using the link graph are substituted as curvature values by the assumption that clustering coefficients are rough estimates of curvatures. Then, the curvatures are combined with the Cosine text similarity measure in the formula of geodesic distance. The experimental work is conducted in the clustering context and clustering metrics are used in order to evaluate the experimental results.Finally, the work's originality comes from the fact that it proposes the manifold structure for representing information, develops and tests a manifold-based semantic analysis method to justify the information manifold idea. Thus, it opens a new research area and motivates similar approaches for future research. 94

İlk olarak, 3-boyutlu uzayda yüzeylerle ilgili birçok sonuç Gauss tarafından elde edildi ve ardından Riemann daha soyut bir yaklaşımla bu temeller üzerinde durdu. Daha sonra Levi-Civita ve Ricci, klasik anlamdaki tensörlerde paralel transportun genel düşüncesini geliştirdiler. Bu yaklaşım Einstein'ın izafiyet teorisindeki çalışmalarında yol gösterici oldu.Bu tezde amacımız, bu çalışmalar ışığında elde edilen verilerden yararlanarak manifoldlar, manifoldlar üzerinde tanımlı konneksiyonlar ve eğrilik tensörleri hakkında genel bilgiler vermek ve bazı sonuçlar elde etmektir.Bu doğrultuda ilk olarak tez boyunca kullanacağımız bazı temel tanım ve teoremleri sunduk. Ardından Riemann manifoldu üzerinde eğrilikler ve onlarla ilgili teoremlere yer verdik. Temel diferensiyel geometride kullandığımız Gauss denkleminin, Weingarten dönüşümünün ve Codazzi-Mainardi denkleminin genellemelerini yaptık. Daha sonra konneksiyonları tanıtarak, torsiyon tensörü ve Cartan Yapı denklemlerini verdik. Son olarak da Sasakian manifoldu üzerinde tanımlı bazı temel tanım ve teoremler vererek tezimizi tamamlandık. First, many results concerning surfaces in 3-space were obtained by Gauss, and then Riemann laid the foundations for a more abstract approach. Later Levi-Civitae and Ricci developed the concept of paralel translation in the classical language of tensors. This approach received a tremendous impetus from Einstein?s work of relativity.Our aim in this thesis using data obtained from this study is to provide general information and to obtain some results about manifolds, connections defined on manifolds and curvature tensors.Accordingly, we present some basic definitions and theorems which will be used throughout the thesis first. Then we gave curves in Riemannian manifolds and theorems about them. We generalized Gauss equation, Weingarten equation and Codazzi-Mainardi equation that we frequently use in basic differential geometry. After that we gave torsion tensor and Cartan structure equations introducing connections. Finally, we have completed our thesis giving some basic definitions and theorems defined on Sasakian manifold. 58

Bu çalışma üç bölüm halinde düzenlenmiştir. Birinci bölümde eğriler ve yüzeyler teorisi ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.İkinci bölümde E^3, 3-boyutlu Öklid Uzayı'nda regle yüzeyler tanıtılmış ve bu regle yüzeylerle ilgili temel karakterizasyonlar verilmiştir.Üçüncü bölümde E^4, 4-boyutlu Öklid Uzayı'nda regle yüzeler ve hiperregle yüzeyler tanıtılarak, bu regle yüzeylerle ilgili bazı teoremler verilmiştir. Ayrıca E^n, n-boyutlu Öklid Uzayı'nda 2-boyutlu regle yüzeler tanıtılmış, temel tanım ve teoremler verilmiştir. This study is prepared as three chapters. In the first chapter of this study, definitions and theorems are given which are about curves and surfaces theories.In the second chapter of this study, the ruled surfaces in E^3 3-dimensional Euclidean Space are defined and basic characterizations are given about this surfaces.In the third chapter of this study, the ruled surfaces in E^4 4-dimensional Euclidean space and hyperruled surfaces are defined and some theorems are given about this surfaces. Further the 2-dimensional ruled surfaces in E^n n-dimensional Euclidean space are defined and basic definitions and theorems are given. 62

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde tezin içeriği ile ilgili giriş yapıldı.İkinci bölümde, eğriler, Serret-Frenet vektörleri ve eğrilikler hakkında temel tanım ve teoremler verildi.Üçüncü bölümde, küresel eğriler ve Bertrand eğrileri hakkında tanımlar ve teoremler ifade ve ispat edildi.Dördüncü bölümde, helisler hakkında tanımlar ve teoremler ifade ve ispat edildi. Silindirik helislerin düzlem eğrilerinden inşa edilmesi üzerine bir teorem ispatlandı. This study consists of four sections.In first section, there is an intrduction about the content of the thesis.In the second section, basic definitions and theorem about curves Serret-Frenet vectors and curvatures and their theory were presented.In the third section, definitions and theorems about spherical curves and Bertrand curves were stated and proved.In the fourth section, definitions and theorems about helixes were stated and proved. A theorem about contruction of cylindirical helixes on plane curves was proved. 65

Bu çalışmanın amacı 3-boyutlu de-Sitter uzayında spacelike yüzeylerin lokal teorisi ve sabit asal eğrilikli tam spacelike yüzeyler ile ilgili bazı özellikleri ifade etmektedir.Birinci ve ikinci bölümlerde ele aldığımız konunun tarihsel gelişimi ile çalışmamızda gerekli olan tanım ve teoriler verildi.Üçüncü bölümde de-Sitter uzayında spacelike yüzeyler ile ilgilenildi. De-Sitter 3-uzayındaki spacelike yüzeyler için Hermitian matris modeli, görünmez top modeli, slab modeli ve immersiyonun lax çifti gibi bazı kavramların tanımları ve metrikleri incelendi. Ayrıca bir immersiyonun causal karakteristiğinden bahsederek spacelike immersiyonlar ve sabit ortalama eğrilikli immersiyonlar ele alınarak bir immersiyonun total umbilik olma şartı incelendi. Daha sonra hiperbolik Gauss dönüşümünün geometrik yorumu verilerek örnekler incelendi.Son bölümde ise, 3-boyutlu de-Sitter uzayında sabit asal eğrilikli tam spacelike yüzeylerin umbilik olmasıyla ilgili bazı özellikler ile bir teorem ve ispatı verildi. Ayrıca uzayında tam bağlantılı yüzeylerin ailesi elde edildi. The aim of this study is to examine some features related to the local theory of spacelike surfaces on the 3-dimensional de-Sitter space and the complete spacelike surfaces with constant mean curvature. In this thesis, especially, the paper whose name `complete spacelike surfaces with a constant principal curvature in the 3-dimensional de Sitter space? by Juan A. Aledo and Jose A. Galvez is studied.The historical development of the subject and the necessary definitions and theories are presented in chapter 1 and 2.In chapter 3, spacelike surfaces on de-Sitter space are dealt with. Definitions and metrics of some concepts like the Hermitian matrix model, the hollow ball model, slab model and immersion lax pair are examined for spacelike surfaces on 3-dimensional de-Sitter space. In addition, the condition of an immersion to be a total umbilic is analyzed by mentioning the causal characteristic of an immersion and handling the spacelike immersions and constant mean curvature immersions. Afterwards, examples are examined by giving the geometrical comment of hyperbolic Gauss map.In the last chapter, some characteristics related to the spacelike surfaces with constant principal curvature and their being umbilical are indicated together with a theorem and its proof. Furthermore, the family of complete orientable surfaces is obtained. 56

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.İkinci bölümde, eğrilerin temel özellikleri verilmiştir.Üçüncü bölümde, E^{3} Öklid uzayın da bir M hiperyüzeyi üzerindeki ? eğrisinin eğrilikleriyle bu eğriye ait şeridin eğrilikleri arasındaki ilişkiler ele alınmıştır.Son bölümde ise üçüncü bölümde 3-boyutlu Öklid uzayın da bilinen ilişkilerin n-boyutlu Öklid uzayında genellemeleri matrisler yardımıyla yapılmıştır. Dahası bu ilişkiler n=3 özel hali doğrulanmıştır. This thesis consists of four chapters.The first chapter is devoted to the introduction.In the second chapter, general properties of a curve have been given.In the third chapter, the connections in between the curvatures of a curve ? on MCE^{3} and the curvatures of a strip {? ,M} have been researched.In the last chapter, the connections in between the curvatures of a curve ? on MCE^{3} and the curvatures of a strip {? ,M} have been genaralized in E^{n} with using the matrixes. Also the connections have been proved the special case n=3. 53

Semi-simetrik metrik konneksiyonlu Riemann uzayı ele alınarak bu uzayın hangi koşullar altında özel uzaylara dönüşeceği incelenmiştir. Reküran burulma tensörüne sahip semi-simetrik metrik konneksiyonlu Riemann uzayının /pi_k kovaryant vektörü gradyent ise bu uzayın konsörkılır vektör alanına sahip olduğu ve Kagan anlamında alt projektif uzaya dönüşeceği gösterilmiştir. Bu uzayın birinci temel formunun yapısı belirlenmiş olup uzayın iç çarpım uzayı olacağı gösterilmiştir. Ayrıca burulma tensörünün kovaryant türevinin sıfır olduğu semi-simetrik metrik konneksiyonlu Riemann uzayı araştırılmıştır. Fiziksel uygulamalarda önemli yer tutan semi-simetrik metrik konneksiyonlu Einstein uzayının, aynı zamanda Levi-Civita konneksiyonuna göre de Einstein uzayı olması koşulları bulunmuştur. Semi-simetrik metrik konneksiyonlu genelleştirilmiş 3-reküran Riemann uzayları ile ilgili teoremler ifade ve ispat edilmiştir. Bu uzayların hangi durumlarda genelleştirilmiş konformal 3-reküran uzay olacağı ve projektif, konsörkılır ve konformal eğrilik tensörlerinin hangi durumlarda birbirine eşit olduğu araştırılmıştır. Riemannian space with semi-symmetric metric connection is considered and under which conditions this space becomes into special spaces is examined. If /pi_k covariant vector of Riemannian spaces with semi-symmetric metric connection whose torsion tensor is recurrent is gradient, this space has a concircular vector field and becomes subprojective space in the sense of Kagan. Its first fundamental form is in a form and the case that the space is a warped product space is found. Then Riemannian spaces with semi-symmetric metric connection whose covariant derivative of its torsion tensor is equal to zero are examined. It is studied that which conditions are needed for Einstein spaces, which is very important in physical applications, with a semi-symmetric metric connection is also Einstein space for the Levi-Civita connection. The theorems about generalized 3-recurrent Riemannian spaces with semi-symmetric metric connection are proposed and proved. In which cases that these spaces are generalized conformally recurrent and that projective, concircular and conformal curvature tensors are equal to each other are studied. 43

Beş bölümden oluşan bu çalışmanın ilk bölümünde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı tanımlara yer verilmiştir.İkinci bölümün ilk kısmında Hessian manifold kavramı tanıtılmış, ikinci kısmında Hessian manifold örnekleri verilmiş, üçüncü kısmında sabit Hessian kesit eğriliğine sahip Hessian manifoldlar ve yapıları, dördüncü son kısmında da sabit Hessian kesit eğirilikli Hessian manifoldların Ricci ve skalar eğrilikleri incelenmiştir.Üçüncü bölümde Hessian manifoldların Hessian hiperyüzeyleri tanımlanmış konu ile ilgili tanım ve teoremlere yer verilmiştir.Dördüncü bölümde Hessian manifoldlar ve hiperyüzeylerin eğrilikleri arasında bazı bağıntılar elde edilmiştir.Son bölüm sabit eğrilikli Hessian manifoldların hiperyüzeyleri ve pseudo-umbiliklik ilişkileri ile ilgili olup, bu konuyla ilgili teoremleri içermektedir. In the first chapter of this thesis that consists of five chapters, we give some fundamental definitions and theorems which will be used in the later chapters.In the first, second, third and fourth sections of second chapter, the concept of Hessian manifold is intoduced, some examples of Hessian manifold are given, structures of Hessian manifold with constant Hessian sectional curvature and its Ricci and scalar curvatures are examined, respectively.In the third chapter Hessian hypersurfaces of Hessian manifolds are defined and related definitions and theorems are given.The curvature relationships between Hessian manifolds and Hessian hypersurfaces are obtained in the fourth chapter.The last chapter concerns with the Hessian hypersurfaces with constant curvature and their pseudo umbilical structures, some theorems on this subject are also give 58

ÖZET Yüksek Lisans Tezi KOMPAKT RİEMANN MANİFOLDLARIN EĞRİLİKLERİ ÜZERİNE Betül BULUT Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı 2003, Sayfa : 124 Bu çalışma üç bölümden oluşmuştur. Birinci bölümde, konuya ilişkin kavramlar ve teoremler verildi. İkinci bölümde, yüzeylerin topolojik özellikleri incelendi ve bununla ilgili tanım, teorem ve örnekler verildi. Ayrıca E3 deki dönel yüzeyler arasında AG = AG, A e İR, eşitliğini sağlayan kapalı yüzeyler ve küreler üzerinde duruldu. Üçüncü bölümde, Riemann ve Kompakt Riemann manifoldları tanımlandı. Em de 3-boyutlu altmanifold ve onun 2-hiperküresinin ortalama eğrilikleri arasındaki bağıntı ile ilgili bir uygulama verildi. Ayrıca Em de 3-boyutlu Riemann alt manifoldu ve onun 2-hiperküresinin ikinci temel formları ve skalar eğrilikleri arasındaki bağıntı ile ilgili teoremler verildi. Anahtar Kelimeler: Riemann Manifold, Kompakt Manifold, Eğrilik. £¦ III ABSTRACT ON THE CURVES OF THE COMPACT RIEAMANN MANIFOLDS Betül BULUT Fırat Üniversitesi Graduate School of Science and Tecnhnology Department of Mathematics 2003, Page: 124 This thesis consists of three chapters. In the first chapter, some definitions and theorems are given. In the second chapter, the topological properties of the surfaces are investigated and some examples are given. Furthermore, between revolutional surfaces and proving of the equalities of AG = AG, AE IRJ for and closed surfaces and sphere in E3 are discussed. In the third chapter, Riemann and Compact Riemann manifolds are defined. An implementation of the relationship of the mean curvature of the 3-dimensional submanifold and its 2-hipersphere in Em is given. In addition to this, some related theorems of second fundamental form and scalar curvatures of the 3-dimensional submanifold and its 2- hipersphere in Em are given. Key words : Riemannian Manifold, Compact Manifold, Curvature. IV 125

LORENTZ MANIFOLDU ÜZERİNDE NULL EĞRİLERİN GEOMETRİSİ (Yüksek Lisans Tezi) Diler AMAÇ GAZI ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Şubat 2003 ÖZET Bu çalışmada, bir Lorentz manifoldunda bir null eğrinin Frenet çatıları ve Frenet denklemleri verildi. Ayrıca, farklı lokal parametrelere karşılık gelen Frenet çatıları ve eğrilikler arasındaki bağıntılar incelendi. Bilim kodu Anahtar Kelimeler Sayfa adedi Tez Yöneticisi 403.0201 Lorentz manifold, null eğri, Frenet çatı, eğrilik. 80 Yrd. Doç. Dr. Aysel TURGUT VANLI GEOMETRY OF NULL CURVES ON A LORENTZ MANIFOLD (M.Sc. Thesis) Diler AMAÇ GAZI UNIVERSITY INSTITUE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY February 2003 ABSTRACT In this study, the Frenet frames and Frenet equations for a null curve of a Lorentz manifold are given. In addition, the relation between Frenet frames and curvatures correspond to different local parameters are studied. Science Code Key Words Page Number Adviser 403.0201 Lorentz manifold, null curve, Frenet frame, curvature 80 Asst. Prof.Dr. Aysel TURGUT VANLI 80

ÖZET Bu yüksek lisans tezi iki bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde Lorentz uzayı, Yarı Riemann manifoldları, Rf Minkowski uzayı üzerinde vektörel çarpım, eğrilikler ve Regle yüzeyler ile ilgili bazı temel kavramlar ve teoremler verilmiştir. ikinci bölümde ise öncelikle timelike ve null vektörler ile ilgili bazı özellikler verilmiş ve R13 Minkowski uzayında null eğriler ve çatılar ifade edilmiş, son olarak da B-Scroll yüzeyi tanımlanıp, B-Scroll yüzeyi ile ilgili bazı eşitlikler elde edilmiştir. VI SUMMARY This master thesis consists of two chapters. In the first chapter, we give some basic concepts such as Lorentz space, semi riemann manifolds, vector product on Minkowski space Rf. curvature and ruled surfaces. In the second chapter, first we give the some properties of the timelike, null vectors and frames. Finally, the definition of the B-Scroll surface is given and some equalities of B-Scroll surface are obtained. 54

Bu çalışmada ; [1] de tanımlanan transversal simetrik afin immersiyon ile orijinal immersiyonun ; eğrilik tensörleri arasındaki bağıntılar elde edildi., In this study, some relationship between the cuvature tensor of thr transversally symmetric immersion which is defined in [1] and the curvature tensor of the original immersion are obtained.

ÖZET Yüksek Lisans Tezi DÖNEL YÜZEYLERDE EĞRİLİKLER ARASINDAKİ İLİŞKİ Zuhal YÜKSEL Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman : Doç.Dr.M.Kemal SAĞEL Jüri : Doç.Dr.M.Kemal SAĞEL Doç.Dr.YusufYAYLI Yrd.Doç.Dr.Ayşe ALTIN Bu tez 8 bölümden oluşmaktadır. İlk iki bölümde, dönel yüzeyler ve Lorentz uzayları hakkında temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, herhangi bir dönel yüzeyin Weingarten dönüşümünün matrisi hesap edilmiştir. Dördüncü bölüm herhangi bir dönel yüzeyin Gauss ve ortalama eğriliklerinin hesabını içermektedir. Gauss ve ortalama eğrilikleri arasındaki ilişki bölüm beş'te verilmiştir. Altıncı bölüm Sağel (1998) tarafından verilen Lorentz uzaylarında dönel yüzeyin Weingarten dönüşümün matrisi, Gauss ve ortalama eğriliklerinin hesabı ile ilgilidir. Gauss ve ortalama eğrilikler arasındaki ilişkinin incelenmesi yedinci bölümde verilmiştir. Son bölüm dönel yüzeyler hakkında bazı örnekleri içermektedir. 2000, 44 sayfa ANAHTAR KELİMELER : Dönel yüzey, Gauss eğriliği, ortalama eğrilik, Weingarten dönüşümünün matrisi, Lorentz uzayı ABSTRACT Master Thesis THE RELATIONSHIP BETWEEN CURVATURES OF A SURFACES OF REVOLUTION Zuhal YÜKSEL Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Deperttnent of Mathematics Supervisor : Assoc.Prof.Dr.M.Kemal SA?EL Jun : Assoc.Prof.Dr.M.Kemal SA?EL Assoc.Prof.Dr. Yusuf YAYLI AsstProfDr.Ayşe ALTIN The thesis consists of eight chapters. In the first two chapters, basic concepts about surface of revolution and Lorentz space are given. In the third chapter, the matrix of Weingarten map of any surface of revolution is calculated. Chapter four includes the calculations of Gauss and mean curvature of any surface of revolution and the relationship between Gauss and mean curvature of any surface revolution is given in chapter five. Chapter six is a review of the calculation of the Weingarten matrix of surface of revolution and the calculations at Gauss and mean curvatures for Lorentz space given by Sağel (1998). An examination of the relationship between Gauss and mean curvatures of any surface of revolution is given in chapter seven. The final chapter consists of some examples about surface of revolutions. 2000, 44 pages KEY WORDS : Surface of revolution, Gauss curvature, mean curvature, the matrix of Weingarten map, Lorentz space 44