Search

Bu çalışmada, genel müdahaleli rasgele yürüyüş süreci ele alınmıştır. İncelenen sürecin temel özelliği bazı durumlar dışında genel ifadeler elde edilmesidir. Süreç matematiksel olarak inşa edildikten sonra süreç için genel ergodik teorem ispat edilmiş ve sürecin ergodik dağılımı elde edilmiştir. Bu dağılıma ait karakteristik fonksiyonunun aşikâr şekli rasgele yürüyüşün temel özdeşliği yardımıyla bulunmuştur. Daha sonra sürecin sınır fonksiyonelinin momentleri için kesin ifadeler ve üç terimli asimtotik açılımlar bulunmuştur. Standartlaştırılmış sürecin karakteristik fonksiyonu için iki terimli asimtotik açılımı elde edilmiş ve bulunan açılım yardımıyla zayıf yakınsama teoremi ispatlanmıştır. Karakteristik fonksiyonlar için süreklilik teoremine göre standartlaştırılmış sürecin ergodik dağılımının müdahaleye karşılık gelen rasgele değişkenler dizisi tarafından üretilen yenileme sürecinin kalan ömrünün limit dağılımına yakınsadığı ispatlanmıştır. Ergodik dağılımın ilk beş momenti için kesin ifadeler bulunmuştur. Sürecin ilk beş ergodik momenti için üç terimli, ilk dört ergodik momenti için ise dört terimli asimtotik açılımlar sürecin sınır fonksiyonelleri için bulunan asimtotik açılımlar yardımıyla elde edilmiştir. Ergodik momentler için elde edilen asimtotik açılımlar yardımıyla sürecin değişim katsayısı, basıklık ve çarpıklık gibi karakteristikleri için yaklaşık formüller bulunmuştur. Ayrıca, literatürde özel durumlar için ulaşılan sonuçlar bu çalışmada bulunan genel asimtotik ifadeler yardımıyla farklı dağılımlara sahip müdahaleler (Weibull, simetrik üçgensel, üstel, Gamma) için hesaplanmıştır., In this study, a random walk process with general interference of chance is investigated. The main feature of the examined process is that general formulas are obtained, except for some special cases. The process is mathematically constructed, after that the general ergodic theorem is proved and the ergodic distribution of the process is obtained. The exact form of the characteristic function of this distribution is found with the help of the basic identity of random walk. Then, exact expressions and three-term asymptotic expansions are found for the moments of the boundary function of the process. Two term asymptotic expansion for the characteristic function of the standardized process is found and the weak convergence theorem is proved by using this expansion. It is been proved that the ergodic distribution of the standardized process according to the continuity theorem for characteristic functions converges to the limit distribution of the residual waiting time of the renewal process generated by a sequence of random variables expressing the discrete interference of chance. Exact expressions are found for the first five moments of the ergodic distribution. Three term asymptotic expansions for the first five ergodic moments and four term asymptotic expansions for the first four ergodic moments of the process are obtained with the help of asymptotic expansions for the boundary functionals of the process. Approximate formulas are found for the characteristics of the process such as coefficient of variation, kurtosis and skewness with obtained asymptotic expansions of ergodic moments. In addition, the results obtained in the literature for special cases are calculated for the discrete interference of chances with different distributions (Weibull, symmetric triangular, exponential, Gamma) with the help of found general asymptotic expressions in this study.

In this paper, a semi-Markovian random walk with delay and a discreteinterference of chance (X(t)) is considered.It is assumed that therandom variables {ζn } , n ≥ 1 which describe the discrete interferenceof chance have Weibull distribution with parameters (α, λ), α > 1, λ >0. Under this assumption, the ergodicity of this process is discussed andthe asymptotic expansions with three terms for the first four momentsof the ergodic distribution of the process X(t) are derived, when λ → 0.Moreover, the asymptotic expansions for the skewness and kurtosis ofthe ergodic distribution of the process X(t) are established.

Bu çalışmada, genel müdahaleli ödüllü yenileme süreci ele alınmıştır. Sürecin bazı olasılık karakteristikleri için kesin ifadeler ve asimtotik açılımlar elde edilmiştir. Modeli ifade eden X(t) stokastik süreci matematiksel olarak inşa edilmiş ve bir boyutlu dağılım fonksiyonu bulunmuştur. Ardından sürecin ergodikliği ispatlanmış ve ergodik dağılımın aşikar şekli elde edilmiştir. Bulunan aşikar ifadeler için bazı dağılımlarla (üstel dağılım, Erlang dağılımı) örnekler verilmiştir. Ayrıca, ergodik dağılım için zayıf yakınsama teoremi ispatlanmış ve limit dağılımı için iki terimli asimtotik açılım elde edilmiştir. Bunun yanı sıra, ergodik dağılımın momentleri için kesin formüller bulunmuştur. Genel müdahale koşulu altında ergodik momentler için iki terimli asimtotik açılımlar elde edilmiştir. Ergodik momentler için bulunan asimtotik açılımlar yardımıyla merkezi momentler, basıklık, çarpıklık ve değişim katsayıları için asimtotik açılımlar bulunmuştur. Elde edilen bu asimtotik açılımlarla farklı dağılımlara sahip müdahaleler (düzgün dağılım, simetrik üçgensel dağılım, simetrik olmayan üçgensel dağılım, genelleştirilmiş Beta dağılımı) söz konusu olduğu durumlar için örnekler verilmiştir. Son olarak sürecin üç önemli sınır fonksiyonelinin momentleri için kesin ifadeler ve asimtotik açılımlar elde edilmiştir., In this study, a renewal-reward process with a general interference of chance is considered. Exact expressions and asymptotic expansions for some of the probability characteristic are obtained. Stochastic process X(t) is constructed and one dimensional distribution function is gotten. Then, under weak conditions, the ergodicity of the process X(t) is proved and exact expression for the ergodic distribution is obtained. Examples for the found exact expressions under different distributions (exponential distribution, Erlang distribution) are presented. Moreover, weak convergence theorem is proved for the ergodic distribution and two term asymptotic expansion is obtained for the limiting distribution. Besides, exact expressions for the moments of the ergodic distribution are found. Within some assumptions for the discrete interference of chance in general form, two term asymptotic expansions for the moments of the ergodic distribution are obtained. Additionally, kurtosis, skewness coefficient and coefficient of variation of the ergodic distribution are computed. Examples are given when the random variable expresses the discrete interference of chance has several distributions (Uniform distribution, symmetric triangular distribution, nonsymmetric triangular distribution, generalized Beta distribution). Finally, exact expressions and asymptotic expansions for the moments of the three important boundary functionals are obtained.

Bu çalışmada, gecikmeli ödüllü yenileme süreci olarak adlandırılan yarı-Markov bir model (X(t)) ele alınmış ve bu modeli ifade eden stokastik süreç matematiksel olarak inşa edilmiştir. Bazı zayıf koşullar altında bu sürecin ergodik olduğu ispatlanmıştır. Bunlardan yararlanarak {zeta_n}},n>=oo rasgele değişkenler dizisinin dağılımı ( alpha,lambda) parametreli Pareto dağılımına sahip olması halinde sürecin bir takım sınır fonksiyonellerine ait ilk dört momentlerinin asimptotik açılımları E(zeta_n )->oo iken elde edilmiştir. Sonuçta da, Monte Carlo simülasyon metoduyla elde edilen bu asimptotik sonuçlar test edilmiştir. In this thesis, semi-Markov, a model called as 64

Bu çalışmada kesikli şans karışımlı yarı-Markov bir X(t) rastgele yürüyüş süreci ele alındı ve sürecin zayıf varsayımlar altında ergodikliği gösterildi. Kesikli şans karışımlı ?_1 rastgele değişkeni (S+s)/2 merkezli [s,S] aralığında üçgensel dağılıma sahip olduğunda sürecin ergodik dağılımının ilk dört momenti için kesin formüller elde edildi. Bu sonuçlara dayanarak a?(S-s)/2?? iken X(t) sürecinin ergodik dağılımının ilk dört momenti için üç terimli asimptotik açılımlar oluşturuldu. Ayrıca X(t) sürecinin ergodik dağılımının varyans, çarpıklık ve basıklıkları için asimptotik denklemler kuruldu. Son olarak a parametresinin küçük değerleri için bile verilen formüllerin yüksek doğruluk sağladığı Monte Carlo deneyleri ile gösterildi. Çalışmanın ikinci bölümünde ise yukarıda belirtilen tüm işlemler gecikmeli kesikli şans karışımlı yarı-Markov bir rastgele yürüyüş süreci için de uygulandı. In this study, a semi-Markovian random walk with a discrete interference of chance (X(t)) is considered and under some weak assumptions the ergodicity of this process is discussed. The exact formulas for the first four moments of ergodic distribution of the process (X(t)) are obtained when the random variable ?_1, which is describing a discrete interference of chance, has a triangular distributionin the interval [s,S] with center (S+s)/2. Based on these results, the asymptotic expansions with three-term are obtained for the first four moments of the ergodic distribution of X(t), as a a?(S-s)/2??. Furthermore, the asymptotic expansions fort he variance, skewness and kurtosis of the ergodic distribution of the process X(t) are established. Finally, by using Monte Carlo experiments it is shown that the given approximating formulas provide high accuracy even for small values of parameter a. In second section of this study above mentioned all processes carried out for semi-Markovian random walk with a discrete interference of chance with delay. 82

Son yıllarda Sturm-Liouville tipindeki problemlerinaraştırılması giderek daha da artan bir ilgi alanı olmaktadır.Esas itibariyle bu tipten sürekli problemler incelenmiş-//tir.Ancak matematikteki bazı problemlerin çözümü için uygun süreksizkatsayılı spektral problemlerin de incelenmesi gerekmektedir. Bukonuda literatürde çok az sayıda çalışmaya rastlanmaktadır .Bunların da büyük çoğunluğu bazı somut süreksiz Sturm-Liouvilletipindeki problemlerin sayısal yöntemlerle araştırılmasını konuedinmiştir. Bu tezde daha genel süreksiz Sturm-Liouville tipindekiproblemlerin özdeğer ve özfonksiyonlarının temel ve asimptotiközellikleri incelenecektir. Son bölümde ise bulunanözfonksiyonların bazı şartlar için grafikleri verilip, fizikselörneklerle karşılaştırılması yapılmıştır. The research of Sturm-Liouville type problems haveincreasingly become an area of interest in recent years. Inessence, continuous problems of this type have been investigated.However, discontinuous spectral problems, appropriate for thesolution of some mathematical problems, should also beinvestigated. There are very few studies in literature regardingthis subject. An overwhelming majority of these studies deals withthe study of some tangible discontinuous Sturm-Liouville typeproblems through numerical methods. In this thesis, fundamentaland asymptotic characteristics of eigenvalues and eigenfunctionsmore general discontinuous Sturm -Liouville type problems willbe investigated. In the last chapter, graphics for some conditionsof found eigenfunctions are given and compared with physicalexamples. 109

Bu çalışmada ikinci mertebeden lineer adi diferansiyel denklemler için bir süreksiz sınır değer problemi incelenmiştir. Diferansiyel denklem, süreksiz katsayı ve süreksizlik noktasındaki geçiş şartlarını içerir. Ayrıca özdeğer parametre hem diferansiyel denklemde hem de sınır ve geçiş şartlarında bulunması bakımından farklılıklar göstermektedir.Bu tezde araştırdığımız sınır değer problemine uygun olarak özel bir Hilbert uzayı ve bu uzayda tanımladığımız problem ile aynı özdeğere sahip olan bir operatör tanımlanmıştır. Böylece sınır değer problemi operatör denklem şeklinde ifade edilmiştir. Daha sonra diferansiyel denkleme ait özdeğer ve özfonksiyonların bazı temel özellikleri verilmiş ve de bu özdeğer ve özfonksiyonların asimptotik açılım formülleri elde edilmiştir. In this study, consideration is given to the second order linear differential equation for boundary value transmission problem. Differential equations include, discontinuous coefficients and discontinuity point at the transmission conditions. Also, the eigenvalue parameter shows differencies in terms of both differential equation, boundary and transmission conditions.In this thesis we investigate the boundary value problems according to a special Hilbert space and define an operator which has the same eigenvalue with the problem defined in this Hilbert space. Therefore the boundary value problem is expressed in the form of operator equation. After than some basic properties of the eigenvalues and eigenfunctions of differential equations are given and asymptotic expansion formulas of eigenvalues and eigenfunctions are obtained. 47

Bu çalışmada ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemler için bir sınır değer geçiş problemi incelenmiştir.Diferansiyel denklem süreksiz katsayı ve süreksizlik noktasındaki geçiş şartlarını içermesi bakımından farklılıklar göstermektedir.Aynı zamanda özdeğer parametre hem diferansiyel denklemde hem de her iki sınır şartında bulunmaktadır.Bu çalışma beş bölüm halinde düzenlenmiştir:Literatür özeti bölümünde; tez konumla ilgili olan çalışmalar hakkında kısa bilgiler verilmiştir. Materyal ve metot bölümünde; tezde kullanılan kaynaklar ve uygulanan yöntemler hakkında bilgi verilmiştir. Giriş bölümünde; araştırılan sınır değer probleminin güncelliği, uygulama alanları, teorik ve pratik önemi belirtilmiştir. Genel bilgiler bölümünde; orijinal bölümde kullandığımız tanım, teorem ve bilgilere yer verilmiştir.Bulgular ve tartışma bölümü çalışmamızın orijinal kısmıdır.Bu bölümde araştırdığımız sınır değer problemine uygun olarak tanımladığımız özel Hilbert uzayında, tanımladığımız problem ile aynı özdeğere sahip olan operatör tanımlanmıştır. Diferansiyel denkleme ait özdeğer ve özfonksiyonların bazı temel özellikleri verilmiş ve bunlara ait asimptotik açılımlar elde edilmiştir. In this study, consideration is given to the second order differential equation for boundary value transmission problem.The original part of the problem is the discontinuity in the coefficient of differential equation and transmissions conditions. At the same time, the eigenvalue parameter is not only included in the differential equation but it is also included in both of the boundary conditions.This study consists of five main chapter:A brief information related to study is given in the literature summary chapter.The methods and sources used in this thesis are introduced in material and method chapter. Current interest application fields, theoretical and pratical importance of explored boundary value transmission problem are determined in introduction. Some basic defination, theorem and informations, which are used in the original part, are explained in general information chapterFindings and discussion chapter is formed the original part of our study.In this chapter , we introduced the special inner product in the Hilbert space and a symmetric operator defined on this Hilbert space such that definition of boundary value problem which is our study topic can be considered as the eigenvalue problem of this operator. 58

Ill ÖZET Bu çalışmada lineer olmayan Burgers' denklemi eşlenebilir (matched) asimtotik açılımlar yöntemi ile incelenmeye çalışılmıştır. Çünkü denklemdeki vizkozite katsayısının çok küçük olması dolayısıyla kararsız özellikler gösteren bu denklemin çözüm serisi içerisinde bu katsayıyı içerecek şekilde bir yapı oluşturulması amaçlanmış ve çok küçük vizkozite değerleri için çözüm elde edilmesi hedeflenmiştir. Birinci bölümde çalışma ile ilgili temel kavramlar verilmiştir. İkinci bölümde perturbasyon yöntemleri kısaca tanıtılmaya çalışılmıştır. Üçüncü bölümde çalışmada kullanılan eşlenebilir asimtotik açılımlar yöntemi bir örnekle açıklanmıştır. Dördüncü ve beşinci bölümlerde ise Burgers denkleminin birinci ve ikinci mertebeden eşlenebilir asimtotik açılımlar yöntemi ile küçük viskositeler için çözümler elde edilmiştir. Daha sonra elde edilen çözümün nümerik davranışı incelemek amacıyla seçilen optimum At ve Ax için vizkozitenin çeşitli değerleri için çizilen grafikler ve çözümün çeşitli değerlerine karşılık gelen nümerik yorumlar altınci bölümde verilmiştir. ANAHTAR KELİMELER Burgers denklemi, eşlenebilir (matched) asimtotik açılımlar yöntemi, vizkozite katsayısı ABSTRACT In this thesis, The Burgers' equation with appropriate boundary condition has been solved by using matched asymptotic expansions. The aim of the study was to find the solution of Burgers' equation with very small v values. Hence, the perturbation series is adapted such a way that v, viscosity number is taken as the perturbation parameter to be defined and solved accordingly. After finding the series numerical calculations are performed and the. results are given. Basic definitions related to this work are given in the first chapter whereas perturbation methods are briefly described in the second chapter. An example for the Matched Asymptotic Expansions Method is presented in chapter three. In the fourth and fifth chapters, the Burgers' equation is solved with first and second degree matched asymptotic expansions for low viscosities, respectively. To investigate the numerical behavior of the solutions, graphs drawn for various viscosity values at chosen At and Ax and numerical interpretations corresponding to different solutions are given in chapter six. KEY WORDS: Burgers' equation, the method of matched asymptotic expansions, viscosity number 55

ÖZET Bu çalışmada, nonlineer elastisite teorisinin referans konu mundaki üç boyutlu denklemlerinin asimptotik analizi yardımıyla geo metrik nonlineer ligi olduğu gibi fiziksel nonlineer ligi de içeren bir ince plak teorisi geliştirilmiştir. Çalışmanın ilk bölümünde asimptotik açılım tekniğinin plak teo rilerinin çıkarılmasında kullanılmasının şimdiye kadarki örnekleri üze rinde durulmuştur, önceleri lineer plak teorilerini daha sonra geomet rik nonlineerliği içeren plak teorilerini elde etmede kullanılan yön temin gelişimi kısaca özetlenmiştir. ikinci bölümde ilk olarak nonlineer elastisite teorisinin alan denklemleri maddesel koordinatlarda sunulmuştur. İnce plak tarafından işgal edilen bölge karşılaştırılabilir boyutlara sahip yeni bir bölgeye dönüştürülmüş ve daha sonra yerdeğiştirme vektörü ve gerilme tansörü kalınlık parametresinin yardımıyla von Karman teorisinde olduğu gibi ölçeklenmiştir. Üçüncü bölümde yerdeğiştirme vektörü ve gerilme tansörünü ka lınlık parametresi cinsinden asimptotik kuvvet serisi olarak açtıktan sonra bu açılımın denge denklemleri ve sınır şartlarında kullanılmasıy la, bu parametrenin kuvvetlerinin katsayılarını sıfıra eşitleyerek, denklem hiyerarşileri elde edilmiştir. Benzer bir yaklaşım ile, izo- trop elastik cisimlere ait bünye denklemi hiyerarşisi de çıkarılmıştır. Bu şekilde elde edilmiş denklem hiyerarşilerinin ilk iki mertebesi ay rıntılı olarak incelenmiş ve sıfırıncı mertebe yaklaşımın von Kirman teorisine karşı geldiği gösterilmiştir. Ayrıca fiziksel nonlineerliğin etkisinin birinci mertebede ortaya çıktığına işaret edilmiş ve sıkışa bilir hal için bulunmuş sonuçlardan sıkışmaz elastik cisimler için olanlara nasıl geçileceği açıklanmıştır. Son bölümde, önceki bölümde geliştirilen teorinin bir uygulaması olarak üst yüzünden uniform yüke maruz sonsuz şerit problemi incelenmiş tir. Hem ankastre hem de basit mesnetli haller için çözümler analitik olarak elde edilmiştir. Ko, Mooney-Rivlin ve Neo-Hookyen cisim halinde bulunan sayısal sonuçlar sadece geometrik nonlineerlikten hareket ede rek bulunanlar ile karşılaştırılmış ve fiziksel nonlineerliğin önem kazandığı bölge için çökmelerin mertebesi açısından yaklaşık bir sınır verilmiştir. - iv - AN ASYMPTOTIC THEORY OF THIN HYPERELASTIC PLATES SUMMARY There exist several works in the literature dealing with asymptotic derivation of the nonlinear equilibrium theory of plates. In these works, the plate theories of various orders are obtained by asymptotic expansions of field variables in terms of a small thickness parameter. However, it should be noted that approximations assumed in those papers are mostly valid only for linear stress-strain relations. The aim of present work is to develop a theory of' thin plates which is physically as well as geometrically nonlinear, using an asymptotic analysis of three dimensional equations of nonlinear elasticity in the reference configuration. To this end the nonlinear field equations, the asymptotic expansion technique and the results will be briefly summarized. As is known, the strain-displacement relation» in the curvi linear material coordinates Xr (K=l,2,3) are given by 2EKL = /;L + UL;K + V/jL where U is the displacement vector, E is the Lagrangian strain tensor, semicolon denotes the partial covariant differentiation and the summation convention is employed. For a body occupying a region R in the reference configuration the equilibrium equations are in the form o» ¦ W^ ¦ P/ ~ o where T is the second Pio la-Kir chhoff stress tensor, p is the initial density and FK is body force per unit mass. Similarly? at the boundary 3R of R, or on a part of it, the surface tractions /F- satisfy i-P- + W}1!)/ - tL where N is the unit exterior normal to 3R. On the other hand, the constitutive equations of isotropic nonlinear elasticity are _KL,32. T 32. TT 32 vrKL,32 T 32 * JSL ^ = «5Ç + ^ TffÇ + XIE 3ÎÎÇ)G ` aa& + »a*B + (»a0* °uB + °aa3 °u3 ) + (°a3a °uB ;y »3 ;a ; ;a »3 0`33 0.8 a + `ct33 uuK ) =0 »3 »3 iffa3 + l8, + (0ffOY iu3 + iCT«Y ou3 + oaa3 xu3 ;a,3,Y »Y »3 + iaa* °u3 ) + (°a3Y V + VY °u3 + V3 V ts to,Y »Y »3 + Ia33 °u3 ) =0 »3 i3 for the first order approximation. Similarly the boundary conditions for the lowest two_order are obtained in the form » V3 + °cr3a °u3 + V3 V =+ g3 »a,3 s+,~ °aag n = X3 a (°CTa3 + «ff0* °u3 + °0a3 °u3 )n = T3 on a) and oj on a »Y,3 a and V3 + °a3a °u3 + °a33 °u3 = 0 »a,3 1«33. 0 3d i. 3 i~3EY Aag + 1E0tB) + A V3 A0*5 + [* A (°EY °E* loy o u 3 Y Ğ - °e/ »E6 ) + A °EY °E6jAaB - A V °EaB 6 Y * Y $ 3 Y + A °Ea °EYB 2 Y otS where A is the metric tensor of the middle plane and A (n=0, 1,2,3,4) are the material constants evaluated as some derivatives of the stress potential E* with respect to invariants at the natural state. The values of these coefficients are given below for some well-known materials. For the Ko solid the strain energy function is defined as where y is constant. Choosing the scale factor T = p it is found that o 1 4 4 A=T,A=1, A=-8, A=T, A = - -s- 0-Jl 2 3 J k 9 The strain energy function for the Murnaghan solid is given by Z = i (X + 2y)l- 2yIIE + £l+ mlgllg** nlllg where X, y and Ü, m, n are Lame and Murnaghan' s constants respectively. In this case the above coefficients are obtained as a _ ^ AiAnA 2(m + n) Ao - XTTjT ' Aa = *? A2 = y ' A3 = X+2y A - [8y2(3Jl + m) - 4X(X + y)(m + n) - X3n/y]/(X + 2y)* where TQ = y. It is obvious that A2 = A3 = A^ = 0 for the classical linear stress- strain relations. As is seen from the above constitutive equations for the lowest two order the effect of physical nonlinearity comes into effect at the first order approximation. If the condition that the components of stress tensor with a negative supercript vanish in the hierarchy of constitutive equations is imposed then this leads to forms V(Ç) = Vç1,?2), °ua(Ç) =.v°(çl,ç*) - e Va ~ ~ » for the displacement field. After some calculations the first order displacement components are also found in the form V(Ç) = »wC?1,?2) + Va1,?2,?3) - ix -where 1U3 and XU are known functions of only the zeroth order terms. These equations prove that the lowest order displacement field is a Kirchhoff-Love field. But it is not possible to forward the same claim for the first order approximation. The theories corresponding to the lowest two order members in the hierarchy of field equations so obtained is. studied in detail and it is shown that the zeroth order theory corresponds to. the well- known von Ka'rman theory. On the other hand, in first approximation it has been observed that the total stress cannot be decomposed into bending and membrane stress components due to the coupling between bending and stretching. Moreover the stress components in the transverse direction have been determined and the Cauchy stress tensor which represents the actual state of stress in the deformed plate is also evaluated. A similar expansion is given for an incompressible nonlinear elastic material and the incompressibility condition is used to eliminate the arbitrary pressure function. Later, it is shown that the results obtained for the compressible elastic solid are also valid for the incompressible solid under the following transformation A ?*? 1, A -*. A, A -* - 4(A -A), A.*? 4A, A -*- - 4(A +A) Q 10 2 0 13 0`+ 01 where A and A, are the material constants for the incompressible solid. °As is known, for the Mooney- Rivlin material the Z function is given as Z = C (I_ - 3) + C (II_ - 3) 1 C 2 C where C and C are the material constants. In this case A and A take the following values ° * A = 2(1 + 6), A = - 26 o i where 6 = C /C and T is chosen as C. If 5 = 0 Cor C2 = 0) is substituted2 *in the0 above expressions then the results are valid for a material which is called Neo-Hookean. Finally, as an example the problem of infinitely long strip under uniform lateral load is studied for various edge conditions. Using the plane strain assumption the solutions are calculated analytically for both simply supported strip and clamped strip problems. Later these problems are numerically investigated for the various thickness parameters and for the various materials. In the special cases of Ko, Mooney-Rivlin and Neo-Hookean solids, the maximum deflections are plotted versus the lateral load. The results are compared with the solutions based upon the geometric nonlinearity and at very large deflections it is found that the material nonlinearity plays an important part. Moreover, for this range of deflections the variations of the axial force, the bending moment and the Cauchy stress along the length of the strip are plotted. From these figures it is seen that the solutions are dominated by membrane field. - -x - 76