Search

Goda kunskaper i algebra är viktiga för framtiden. De används såväl i skolan som i vardagslivet. Att lägga grunden och påbörja utvecklingen av dessa kunskaper i tidig grundskola blir därav viktigt. Detta kan göras i form av tidigt algebraiskt tänkande utifrån en av algebrans grunder, generaliserad aritmetik. Syftet med studien är att undersöka tidigt algebraiskt tänkande och hur det kopplas samman med aritmetik och generaliserad aritmetik. Detta syfte besvaras genom frågorna: varför det enligt matematikdidaktisk forskning är viktigt att elever får utveckla ett tidigt algebraiskt tänkande, på vilka olika sätt beskrivs begreppet generaliserad aritmetik i matematikdidaktisk forskning och hur beskriver matematikdidaktisk forskning att aritmetik och generaliserad aritmetik är en del av ett tidigt algebraiskt tänkande? Litteraturen som studien baseras på samlades in genom sökningar i databaser. Materialet som undersökts är vetenskapliga publikationer, där såväl nationella som internationella studier förekommer. Det insamlade materialet analyserades genom en översiktsmall, dessutom användes inklusionskriterier för att bedöma publikationernas relevans för studien. Resultatet visar att ett tidigt algebraiskt tänkande spelar en stor roll för utvecklingen av kunskaper i andra matematiska innehåll. Vidare framkommer det att begreppet generaliserad aritmetik inte har en entydig definition utan beskrivs på olika sätt av olika forskare. Slutligen visar studien att aritmetik och generaliserad aritmetik utgör en viktig del i utvecklingen av elevers tidiga algebraiska tänkande.

Denna kvalitativa studie syftar till att få större insikt i hur lärare kan arbeta för att möta och minska den problematik och de svårigheter som elever kan uppvisa med algebraiska ekvationer i grundskolans årskurs 4-6. Studien är baserad på klassrumsobservationer i två klasser i årskurs 6 och en semistrukturerad intervju med en yrkesverksam matematiklärare. Detta är därmed en fallstudie som grundar sig i teorin om algebrans fem stora idéer samt de fem olika undervisningsstrategierna enligt Trigwell och Prosser, vilka är antingen elev- eller lärarfokuserade. Resultatet från undersökningen visar att den deltagande läraren är medveten om många av de svårigheter som elever har med algebraiska ekvationer, där särskilt stor vikt läggs på likhetstecknets innebörd. Vidare visar resultatet att läraren bemöter dessa, och andra, svårigheter på olika sätt och med varierande metoder baserat på intentionen med undervisningen. Däremot finns ingen djupare kunskap om algebrans fem stora idéer hos läraren, något som kan påverka undervisningsmöjligheterna och i sin tur elevernas inlärning. Det blir därmed relevant att överväga om det är något som bör ingå i de lärarutbildningar som ges vid olika universitet. This qualitative study aims to gain greater insight into how teachers can work to meet and reduce the problems and difficulties that students may have with algebraic equations in primary school grades 4-6. The study is based on classroom observations in two classes in grade 6 and a semi-structured interview with a mathematics teacher. This is thus a case study based on the theory of the five big ideas of algebra and the five different teaching strategies according to Trigwell and Prosser, which are either student- or teacher-focused. The results of the study show that the participating teacher is aware of many of the difficulties that students have with algebraic equations, where particular emphasis is placed on the meaning of the equal sign. Furthermore, the results show that the teacher addresses these, and other, difficulties in different ways and with varying methods based on the intention of the teaching. However, the teacher has no deeper knowledge of the five big ideas of algebra, which can affect the teaching possibilities and in turn the students' learning. Therefore it becomes relevant to consider whether it is something that should be included in the teacher education programs offered at various universities.

Aritmetik handlar om de fyra räknesätten och innefattar beräkningar och operationer på tal. Algebra är däremot matematikområdet där elever räknar med bokstäver istället för med bara tal. Forskning har visat att när elever arbetar med algebra uppstår vissa missuppfattningar. Syftet med studien var att undersöka vad den matematiska forskningen pekar på som kan vara orsak till att elever har problem med områden av algebra. Denna litteraturstudie baserar sig på matematikdidaktisk forskning. Materialet har analyserats och bearbetats både enskilt och gemensamt utifrån förbestämda urvalskriterier. Det analyserade materialet består av åtta vetenskapliga artiklar, en review-artikel och ett konferensbidrag. I den forskning som har analyserats i studien beskrivs det olika anledningar till missuppfattningar med bokstavssymboler, operationssymboler och prioriteringsregler inom algebra. De två oftast nämnda anledningar är att elever saknar väsentliga kunskaper inom aritmetik och saknar en konceptuell kunskap. Några enstaka texter pekade ut läromedel och lärarens förklaringar som möjliga orsaker till elevers missuppfattningar.

Syftet med denna studie är att identifiera de svårigheter elever har och de misstag de gör när de individuellt löser ett ekvationsproblem i matematik. Totalt deltog åtta elever i årskurs åtta, samt åtta matematiklärare. Alla elever fick göra en uppgift, som handlade om att lösa en ekvation, sedan intervjuade vi eleverna. Vi intervjuade också åtta matematiklärare. Tidigare forskning identifierade 16 faktorer som påverkar problemlösning i grundskolans matematik, och sex typer av svårigheter relaterade till begreppsfel som påverkar ekvationslösning i grundskolor. Sex av de 16 faktorerna och fyra begreppsfel i ekvationslösning och problemlösning valdes ut och diskuterades i denna artikel som ett ramverk för studien. Vi använde oss av tre olika typer av data: elevernas skriftliga lösningar, intervjuer med eleverna, intervjuer med lärare. Faktorer som påverkar problemlösning klassificerades och visades i en tabell. Våra resultat visar att flera svårigheter som eleverna upplevt dök upp. En del av svårigheterna i problemlösning var gemensamma för alla elever som deltog i studien såsom svårigheter relaterade till bristerna i textförståelse, talförståelse, räkneförmåga och noggrannhet, och de hade flera andra svårigheter relaterade till bristerna i logik och matematiska begrepp. Eleverna som deltog i studien började lösa givna problemet, men de skilde sig åt när det gällde att lösa ekvationen och de hade svårt i förståelse av några begrepp variabel, negativt tecken och likhetstecken, de upplevde svårigheter med räkneoperationen. Fynden som identifierade svårigheter att lösa problem med ekvationer stämmer överens med tidigare forskningsresultat både när det gäller elevernas svårigheter att lösa problem och lösa ekvationer.

The purpose of this qualitative study is to show the relationships between mathematics and programming and to investigate what opportunities experienced teachers perceive with programming within the subject of mathematics. We have collected empirical material to achieve the aim by interviewing four experienced and qualified teachers in mathematics and programming. The empirical data was analyzed using the TPACK framework. The result showed that the teachers see several connections between programming and mathematics, where algebra including patterns and step-by-step instructions is the most distinctive. One conclusion is that a multimodal teaching gives the teacher opportunities to let the students consolidate both programming and mathematics skills in a fundamental way.

­­­­­­­­­­I flera decennier har likhetstecknets betydande roll i matematikämnet studerats av en rad olika forskare. Där det tydligt framgår att den operativa uppfattningen av likhetstecknet dominerar i klassrummen, därav syftar vår studie till att undersöka hur elevers uppfattning och förståelse av likhetstecknets relationella funktion förändras om olika delar av undervisningsinnehållet varieras. Syftet kommer besvaras genom frågeställningarna; Hur visar sig elevernas förståelse för likhetstecknets funktion i förtestet, hur påverkar variationen av undervisningsinnehållet elevernas förståelse av likhetstecknet och vilken uppfattning av likhetstecknet visas av eleverna i eftertestet efter en variation av undervisningsinnehållet. Studien har sin utgångspunkt i variationsteorin som fokuserar på vad som ska läras och hur lärandet kan möjliggöras genom teorins centrala begrepp, kritiska aspekter och variationsmönster. För att uppfylla studiens syfte och besvara frågeställningarna kommer designbaserad forskning användas som forskningsmetod, i form av en lektionsserie på tre lektioner som baserats på ett förtest. Resultatet visar att variation av undervisningsinnehållet kan med hjälp av variationsmönster; kontrastering, generalisering och fusion, synliggöra och urskilja de kritiska aspekterna för att kunna utveckla elevernas förståelse av likhetstecknet. For several decades, the significant role of the equals sign in the subject of mathematics has been studied by several different researchers, where the operative conception of the equal sign dominates in the classroom. Therefore, our study aims to investigate how students' conception and understanding of the equal sign relational function changes if different parts of the teaching content are varied. In accordance with this aim, the following research questions are addressed in the present study; What is the students' understanding of the function of the equal sign in the pre-test, how does the variation of the teaching content affect the students' understanding of the equal sign and what perception of the equal sign is shown by the students in the post-test after a variation of the teaching content. The study has its starting point in variation theory, which focuses on what is to be learned and how learning can be made possible through the theory's central concepts, critical aspects, and patterns of variation. To fulfil the purpose of the study and answer the questions, design-based research will be used as a research method, in the form of a series of lessons (3) based on a pre-test. The results show variation of the teaching content can be by means of patterns of variation; contrasting, generalizing, and fusion, making visible and distinguishing the critical aspects to develop the students' understanding of the equal sign.

Skolverket (2018a) har ett obligatoriskt kartläggningsmaterial för förskoleklass som heter Hitta matematiken. Kartläggningsmaterialet syftar till att kartlägga elevers matematikkunskaper, där mönster utgör en del. I studien har enbart undervisning om mönster studerats. Studien grundar sig i en tidigare systematisk litteraturstudie som behandlar sambandet mellan mönster och algebra. Studiens syfte är att undersöka hur lärare i förskoleklass respektive årskurs 2 utformar sin undervisning om mönster. Vidare syftar studien till att undersöka vilken form av progression som sker. För att kunna besvara forskningsfrågorna har tio lärare intervjuats där intervjusvaren senare har analyserats och tematiserats. Studiens teoretiska utgångspunkt är det sociokulturella perspektivet. Analysen av resultatet indikerar att lärare utformar sin undervisning på olika sätt i förskoleklass och årskurs 2. I förskoleklass utformas undervisningen främst med laborativt material och stationsarbete medan lärare i årskurs 2 ofta utgår från läroboken och använder laborativt material som komplement. Gällande progressionen av arbetet om mönster från förskoleklass till årskurs 2 visar studiens resultat att beroende på hur lärarna utformar undervisningen sker progressionen exempelvis genom mönster i talföljder eller algebra på olika sätt.

Syftet med studien är att redovisa vilka inre och yttre faktorer som bidrar till elevers motivation i matematikämnet. Studien utgår från ett elevperspektiv i årskurs 6 med en avgränsning till algebra och ekvationer. Studien har sin teoretiska utgångspunkt i Self-determination theory (SDT) där ett kompletterande ramverk skapats utifrån fem motivationsvariabler som syftar till att mäta elevers motivation. Som insamlingsmetod används både intervjuer och observationer och utgår därmed från ett elevperspektiv. Observationerna genomfördes på två olika skolor i årskurs 6 och totalt deltog fyra elever från vardera skola i intervjuerna. Resultatet av studien visade bland annat att elevers motivation påverkas av både inre och yttre faktorer där exempelvis lärarens roll, betyg och elevers målsättning spelade en betydande roll. Samtliga elever ansåg dessutom att motivation är en viktig egenskap att erhålla sig för att lyckas och för att utveckla sina kunskaper inom matematikens algebra

Denna studie granskar algebraiska ekvationer i årskurs 6. Dessutom undersöks hur en variation kan påverka elevernas framgångar i algebra utifrån variationsteorin. Studien har inspirerats av en Learning study. Studiens syfte är att kartlägga elever i årskurs 6 svårigheter inom algebraiska ekvationer genom en deltagande observation. Dessutom diskuteras de insatser som kan gynna elevernas framgångar. Syftet skapades till följd av att svenska elever inte når de bästa resultaten i algebra gentemot andra länder. Dessutom för att undervisningen har visats vara en faktor för elevernas lärande. Två frågeställningar skapades inför kartläggningen: Vilka svårigheter har elever i årskurs 6 inom algebraiska ekvationer? Hur kan en variation inom algebraiska ekvationer utveckla elever i årskurs 6 kunskaper? Resultatet visar att eleverna har viss osäkerhet att lösa ekvationer till följd av låg förståelse för likhetstecknets betydelse och dolda multiplikationstecken. Eleverna visade olika kunskapsnivåer genom att några hade större svårigheter och andra mindre. Dessutom visade det sig att en variation inom algebra leder till att eleverna kan upptäcka kritiska aspekter som är avgörande förindividens lärande. Däremot är slutsatsen att det stora problemet är att eleverna inte använder sig av algebra och inser när de faktiskt gynnas av det både tidsmässigt och för att nå en korrekt lösning.

Syftet med detta arbete är att ta reda på hur lärare på gymnasiet ser på undervisning i linjär ekvationslösning och hur de utvecklar elevers förståelser och förmågor. Vi har genomfört semistrukturerade intervjuer med fem lärare på tre olika gymnasieskolor i södra Skåne. De intervjuade lärarna använder en mängd olika metoder för att undervisa linjär ekvationslösning, t ex god metod, konkretisering och balansmodellen för att nämna några exempel.

Algebra är ett grundläggande nyckelområde inom matematiken och tillsammans med matematisk resonemangsförmåga essentiellt inom skolan för elevers utveckling av matematisk färdighet. Studien analyserar gymnasieelevers kollektiva algebraiska resonemang vid algebraisk uppgiftslösning med avseende på resonemangsargumentens förankring i matematiska egenskaper, samt det algebraiska tänkande som indikeras av dessa. Resultatet visar att eleverna över lag för resonemang utifrån matematisk grund, med undantag av slutsatsernas utvärdering, och att även om uppgiftens matematiska innehåll är relevant för stimulerande av matematiskt grundat resonemang kan argumentationen indikera olika aspekter på algebraiskt tänkande beroende på elevernas lösningskonstruktion. Studien särskiljer sig gentemot tidigare forskning vilken företrädelsevis har inriktat sig på karaktärisering av individuellt resonemang i olika typer och vid studier av kollektivt resonemang har man fokuserat på yngre elever. Det studien också bidrar med är en beskrivning av hur elever kan skapa resonemang tillsammans, och identifierar en ny typ av argument, konventionella argument, kopplade till frågor om notation. Diskussionen berör bland annat vikten av förståelse för den matematik på vilken elever grundar sitt resonemang, som en aspekt att anpassa undervisning efter.

I denna kvalitativa studie integreras kognitiv belastningsteori och användbarhet. Hur utbildningsmjukvara utvecklas är aktuellt att undersöka för att bidra med kunskaper om hur utbildningsteknologi kan utvärderas för lyckad implementering i klassrumspraktiken. Människans interaktion med teknologin och hennes kognitiva arkitektur tas i beaktning när utbildningsmjukvara struktureras på ett sätt som inte överbelastar arbetsminnet. Denna kvalitativa studies syfte är att undersöka hur det algebraiska ämnesinnehållet struktureras i interaktiva matematikböcker för att stödja inlärningsprocesser. Studien undersöker också hur användaren ges åtkomst till ämnesinnehållet i interaktiva matematikböcker utifrån hur detta bidrar till den totala kognitiva belastningen. Samtliga processer i studien har en distinkt teoretisk anknytning till kognitiv belastningsteori och insamlade data har bearbetats systematiskt i processen av en innehållsanalys. Datamaterialet består sammantaget av drygt 60 uppgifter från tre interaktiva matematikböcker, samt av tre heuristiska utvärderingar av samma tre böcker. Analysens resultat diskuteras utifrån tidigare forskning av riktlinjer för utbildningsdesign och dess påvisade effekter, samt hur dessa riktlinjer kognitivt belastar arbetsminnet för att främja eller hämma kunskapsutveckling. Diskussionen berör också användbarheten i de tre interaktiva matematikböcker som utvärderats och hur gränssnitten bidrar till åtkomst i belastningen av arbetsminnet. Av studiens resultat framkommer arbetade exempel och minskad vägledning som identifierade mönster i interaktiva matematikböcker. Analys av heuristiska utvärderingar visar att interaktiva matematikböcker är konsekvent designade internt med mindre externa skillnader, vilket utifrån studiens resultat ger användaren åtkomst till det matematiska ämnesinnehållet.

Forskning och internationella analyser har visat att elevers kompetenser inom algebra är bristfälliga. Syftet med denna studie är därför att undersöka vilka kompetenser eleverna på låg och mellanstadiet behöver befästa för att uppnå kunskapskraven och för att kunna ta sig an framtida studier. Syftet kommer att besvaras genom tre framtagna forskningsfrågor: I vilken utsträckning följer läromedlen på lågstadiet forskningen kring early algebra? Hur ser progressionen ut från lågstadiet till mellanstadiet i lärobokserier beträffande matematiska kompetenser inom algebraområdet? och I vilken utsträckning behandlar mellanstadiets läromedel de kompetenser som forskning menar är bristande kunskaper på högstadiet? En läromedelsanalys genomfördes för att få syn på i vilken utsträckning de olika kompetenserna finns representerade i läromedlen. Genom tidigare forskning har studien identifierat vilka kompetenser som eleverna behöver befästa på låg och mellanstadiet för att kunskapskraven ska uppnås.Resultatet från analysen visar på att de kompetenser som efterfrågas finns med till viss del i de analyserade läromedlen men att det finns utvecklings möjligheter. Research and international analyses have shown that students' skills in algebra are deficient. The purpose of this study is therefore to investigate whichcompetencies students in primary and middle school need to consolidate to achieve the knowledge requirements and to be able to take on future studies.The purpose will be answered through three developed research questions: To what extent do the teaching materials in primary school follow the research about early algebra? What is the progression from primary to middleschool in textbook series regarding mathematical skills in the field of algebra? To what extent do middle school teaching materials deal with the skillsthat research believes are lack of knowledge in high school? A teaching material analysis was implemented to see to what extent the different competencies are represented in the teaching materials. Through previus reasearch, the study has identified which competencies the students needto consolidate at the primary and intermediate leves for the knowledge requirements to be achieved. The results from the analysis show that the competencies that are in demandare included to some extent in the analysed teaching materials, but that thereare development opportunities

Ekvationslösning är ett matematiskt område som upplevs problematiskt för många elever. För ett godkänt betyg i matematik i både årskurs 9 samt matematik 1 krävs att eleverna kan lösa grundläggande ekvationer. Att många elever upplever området problematisk är således bekymmersamt. Syftet med studien är således att undersöka vad lärare använder för metoder vid undervisning i ekvationslösning. Föreliggande studie är av kvalitativ struktur. Genomförandet av studien har bestått av intervjuer med lärare samt insamling av elevlösningar med hjälp av ett uppgiftsformulär. Vid analysen av det empiriska materialet användes innehållsanalys som metod för elevlösningar, samt en metod inspirerad från den fenomenografiska analysmetoden vid analysen av intervjuerna. Resultatet visade att lärare använder sig främst av generella ekvationslösningsmetoder vid undervisningen. I de fall då icke generella lösningsmetoder var en del av undervisningen var det i syfte att utgå från elevernas förkunskaper. De missuppfattningar som framkom bekräftade delvis den tidigare forskningen, exempel på missuppfattningar som synliggjordes var problematik gällande minustecknet och likhetstecknets innebörd. Metoder som lärare använder för att förhindra samt arbeta vidare med missuppfattningar grundade sig i tydlighet, förtydligande och struktur i undervisningen. Slutligen togs aspekten om uppföljning med jämna mellanrum upp som en viktig del i arbetet med missuppfattningar.

Den här litteraturstudien handlar om likhetstecknet som är en viktig grund i algebran. Studien är relevant eftersom internationella undersökningar som TIMSS och PISA visar att svenska elevers algebraresultat är lågt och behöver förbättras. Resultaten tyder på att elever har svårigheter med likhetstecknet och därför är denna studies resultat användbart i utvecklingen av matematikundervisningen i svenska skolor. Litteraturstudien är även relevant för lärare för att få insikt i hur elever uppfattar likhetstecknet och vad detta har för påverkan längre fram i matematikutvecklingen. Syftet med denna litteraturstudie är att sammanställa vad matematikdidaktisk forskning säger om elevers förståelse av matematiska likheter samt hur elever kan ges goda möjligheter att utveckla kunskaper om likhetstecknet. Syftet vill vi uppfylla genom att besvara frågorna: Hur påverkas elevers algebraisk förståelse av en dynamisk respektive statisk uppfattning av likhetstecknet? och Hur kan undervisningen utformas för att utveckla elevernas förståelse av likhetstecknets innebörd? Den sammanställda litteraturen hittades genom sökningar i databaserna Primo och ERIC och består av vetenskapliga tidskriftsartiklar skrivna på engelska. Litteraturen analyserades genom en översiktstabell för att hitta likheter och skillnader mellan de olika artiklarna utifrån forskningsfrågorna. Resultatet visade bland annat att elever behöver utveckla en statisk förståelse av likhetstecknet i tidig ålder för att undvika missuppfattningar. Eleverna behöver möta en varierad undervisning och olika typer av ekvationer för att utveckla en statisk förståelse.

Det förväntas att eleverna tillägnar sig goda kunskaper om begreppet variabel och dess användningsområde efter grundskolan men resultatet utifrån olika mätningar visar tvärtom. Syfte med detta examensarbete är att belysa lärares uppfattningar om hur elever i årskurs 7-9 uppfattar begreppet variabel och hur de kan få en bättre förståelse för det. Olika styrdokument och tidigare forskning har studerats och sedan har semistrukturerade kvalitativa intervjuer med fyra matematiklärare genomförts. Genom att använda fenomenografisk metodansats kunde resultatet från lärarintervjuerna sammanställas och därefter analyserats enligt 3UV-modellen. Resultatet visade att enligt intervjulärarna är begreppet variabel svårförståeligt för elever, samt elever har brist på abstraktionsförmåga. Dessutom visade resultatet att man kan bidra till begreppsförståelse av variabel hos elever genom att introducera begreppet i tidigare åldern, samt variera i både uppgifter och undervisningsmetoder. Vidare visade sig att eleverna har det lättare att använda variabel som obekant, sedan variabel som generellt tal och till sist har de svårare att använda variabler i funktionella relationer.

Denna studie är en läromedelsanalys som granskar algebraiska uttryck och ekvationer i två läromedel för årskurs 6: Koll på Matematik 6A och Mattedirekt borgen 6A. Studiens syfte är att studera algebraiska uttryck och ekvationer utifrån variationsteorins fusion, kontrast och generalisering. Syftet skapades till följd av att svenska elever inte når de bästa resultaten i algebra gentemot andra länder. Dessutom för att kunna undersöka varför flera elever upplever området som svårt och abstrakt. Två frågeställningar togs fram för granskning: Hur presenteras algebraiska uttryck och ekvationer i två olika läromedel? Hur varieras innehållet inom algebraiska uttryck och ekvationer? Resultatet visar att läromedlen har likheter och skillnader i sin presentation av algebraiska uttryck och ekvationer. Ett läromedel ger större utrymme för variabelns värde i olika ekvationer och behandlar även decimaler. Ett annat läromedel har större variation av olika variabler och behandlar aldrig decimaler. En variation kan även utläsas i kontrast, fusion och generalisering. Kontrast presenteras genom att visa flera felaktiga exempel för att visa vad något inte är. Dessutom genom jämförelse av två olika räknesätt för att kunna se samband, karaktärsdrag och skilja dem åt. Generalisering syns genom att visa samma figurer men uttrycka dem på olika sätt. Fusion uttryckts genom att variera innehållet från vad som tidigare varit känt för eleven. Slutsatsen är att läromedlen skapar goda förutsättningar för eleverna att upptäcka kritiska aspekter inom algebraiska uttryck och ekvationer.

Hur elever utvecklar algebraiska resonemang är inte så välförstått, vilket i kombination med svenska elevers låga resultat vid algebraiska uppgifter på internationella mätningar utgör en problematik. Denna problematik syftar studien att minska genom att undersöka förstaklasselevers kollektiva algebraiska resonemang om funktioner, för att identifiera vilka typer av algebraiskt tänkande som ges uttryck. För att undersöka detta observerades nio grupper av förstaklasselever i deras möte med tre uppgifter om funktioner som sedan kodades efter resonemang, argument, algebraiska aspekter, generalisering, och funktionellt tänkande. Resultatet visar att förstaklasselever är kapabla att resonera kring algebra och närma sig intern säkerhet på sina svar. Elevernas resonemang visade också tecken på alla algebraiska aspekter, relaterande och sökande men inte utökande generaliseringar, och alla kategorier av funktionellt tänkande. Den rekursiva kategorin av funktionellt tänkande kopplades endast till den första uppgiften, vilken var av en dynamisk karaktär vilket är intressant för verksamma lärare då det har implikationen att introducera funktioner med två objekt som variabler.

Syftet med den här studien är att belysa faktorer som möjliggör eller hindrar förståelsen av likhetstecknet hos elever och dess övergång mellan aritmetik och algebra. Med en systematisk litteraturstudie som metod söktes vetenskapliga artiklar som sammanställdes i fem olika kategorier. Svårigheter i tidig algebra, matematikens språk, relationell/instrumentell förståelse samt relationella tolkningar och till sist lärarperspektivet. Resultatet från den systematiska litteraturstudien bekräftade att elever inte har en relationell förståelse av likhetstecknet. Artiklarna visade framför allt att traditionell aritmetikundervisning hindrar elevers utveckling i algebraiskt tänkande. Uppgifter med operationer skrivna i vänsterled visade sig stärka elevers instrumentella förståelse av likhetstecknet. Ett instrumentellt och relationellt språk (både skriftligt och verbalt) framträdde också som en avgörande faktor för elevers förståelse. Utifrån artiklarnas resultat undersöktes vilka faktorer av likhetstecknet som elever får möjlighet att öva i digitala spel med hjälp av en innehållsanalys. Det visade sig att de digitala spelen i den här studien inte är utformade för att stödja elevers relationella förståelse av likhetstecknets betydelse utan fortsätter att stärka den instrumentella förståelsen hos elever. The purpose of this study is to illustrate factors concerning the concept of the equal sign and its impact on the transition from arithmetic to algebra. Using a systematic literature study as a method, scientific articles were compiled into five different categories. Difficulties linked to early algebra, The language of Mathematics, Relational/instrumental understanding as well as relational interpretations and finally the Teacher perspective. Our systematic literature review confirmed that students do not have a relational understanding of the equal sign. Indeed, it highlighted that traditional arithmetic teaching methods tended to hinder student development in algebraic thinking through tasks, such as operations being on the left side of the equal sign and the answer as an outcome on the right side of the equal sign. This has been shown to strengthen students' instrumental understanding of the sign rather than dismantling it. Further, instrumental, and relational language (both written and verbal) proved to be decisive factors in students’ learning. Based on the results of our scientific articles, we undertook a content analysis of digital resources and examined whether the equal sign strengthens students instrumental or relational understanding of the equal sign. It turned out that the digital games analysed in this study are not designed to support students’ relational understanding of the equal sign but continues to strengthen their instrumental understanding.

Syftet med denna kvalitativa studie är att genom lärares berättelser belysa hur undervisningen i skolans tidiga år skapar förutsättningar för en relationell förståelse av likhetstecknet. Hur introducerar och utformar lärare undervisning som handlar om likhetstecknet i matematikundervisningen i skolans tidiga år så att relationell förståelse av tecknet kan uppnås. Sex halvstrukturerade intervjuer genomfördes med verksamma lärare i förskoleklass och årskurs 1. Med hjälp av det teoretiska ramverket variationsteorin analyserades sedan det insamlade materialet. Resultatet går att koppla till centrala begrepp inom variationsteorin. Från lärarnas beskrivningar går det tydligt att se att det överensstämmer med tidigare forskning om lärandeobjektet och gällande styrdokument. Studien visar att det finns en stor utmaning för lärarna att lyckas skapa en relationell förståelse av likhetstecknet. Matematik

Denna kvalitativa intervjustudie syftar till att undersökavilka kunskaperfyra verksamma lärare uppfattar attde behöver ha för att undervisa i matematikområdet algebra på lågstadiet, samt hur de beskriver sin undervisning i förhållande till elevers lärande av prealgebra och algebra på lågstadiet. Empirin samlades in via semistrukturerade intervjuer och analyserades därefter med hjälp av det teoretiska ramverket The Knowledge Quartet. Resultatet visar att lärare har en bra uppfattning om vad som är centralt för matematikområdet algebra på lågstadiet samt för undervisningen i området. En slutsats är att det till viss del saknas en medvetenhet hos lärarna kring komplexiteten gällande användande av begrepp och hur det påverkar elevernas algebraiska tänkande.

Denna studie syftar till att undersöka hur två lärare använder konkretisering inom algebra och laborativt material för att öka elevernas förståelse om förstagradsekvationer i årskurs 6. Undersökningen är gjord med hjälp av semistrukturerade intervjuer samt klassrums-observationer som baseras på en kvalitativ undersökning. Intervjuerna är gjorda med två lärare, ljudet har spelats in och materialet har transkriberats. Totalt två lärare som undervisar i matematik på mellanstadiet deltar i studien. Datamaterialet har analyserats med hjälp av tematisk analys. Resultaten av intervjuarna visar att båda lärarna betonar vikten av konkretisering och användandet av laborativt material i matematikundervisning. Samtidigt som resultatet av klassrumsobservationerna visar att lärarna inte använder sig av laborativt material i den utsträckning som de uttrycker att de gör. I huvudsak anser lärarna att konkretiserad matematikundervisning ökar elevers förståelse av matematiska begrepp, då de anser att eleverna ska arbeta praktiskt med ämnesbegrepp i relation till problemlösningsfrågor i undervisningen och inte enbart teoretiskt. Ytterligare anser lärarna att kommunikation utgör ett viktigt redskap i undervisningen, då kommunikationen ger utrymme till konkretisering av ämnesbegrepp. Lärarna uttrycker även att elever visar mindre intresse för matematikämnet än andra ämnen i skolan. För att locka och fånga elevers intresse för matematikämnet har lärarna använt konkretisering och laborativt material i undervisningen. Detta anser lärarna har påverkat eleverna positivt då det har underlättat för de att förstå olika begrepp inom algebra. Enligt lärarna leder detta i sin tur till att eleverna kan uppnå kunskapsmålen och utveckla sig i ämnet.

Denna studie är en läromedelsanalys som granskar introduktionen av algebra med variabler i tre läromedel för årskurs 5: Koll på Matematik 5B, Favorit Matematik 5A och Mattespanarna 5A. Studiens syfte är att studera introduktionen av området algebra med variabler i årskurs 5, särskilt avseende utrymme, representationsformer och samspelet mellan text och bild. Tre frågeställningar togs fram för granskningen: Hur stort utrymme får introduktionen av området algebra med variabler i förhållande till helheten av läromedlet? Vilken eller vilka representationsformer används i uppgifter vid introduktion av algebra med variabler? På vilket sätt samspelar text och bild med varandra vid introduktion av algebra med variabler i läromedlen? Metoden var av en komparativ design i form av en flerfallsstudie för att finna möjliga likheter och skillnader mellan läromedlen. Ramverk skapades för att finna likheter och skillnader mellan läromedlen. Resultatet visar att: algebra med variabler får mellan 2–20 procent av det totala utrymmet i läromedlen; de tre mest förekommande representationsformerna är verbal, bildlig och symbolisk; det mest förekommande samspelet mellan text och bild är när bilden behövs till texten för att lösa uppgiften. Slutsatsen blir att de tre läromedlen skiljer sig åt avseende hur mycket utrymme som ges till området algebra med variabler; från relativt litet utrymme med endast två procent till relativt mycket utrymme med 20 procent. De representationsformer som finns i läromedlen ger eleverna en möjlighet för att skapa sig en konkret förståelse, vid introduktionen av algebra med variabler, i det sociala samspelet mellan eleverna samt mellan elever och lärare.

Syftet med den här studien är att analysera olika läromedels uppbyggnad och struktur med fokus på representationsformernas progression i kunskapsområdet algebra. Anledningen till att studien handlar om just detta är för att algebra är ett väldigt viktigt område i matematiken för att förbereda elever för framtida matematiska områden. Dagens undervisning är också i hög grad läromedelsstyrd, vilket också motiverar till studien. För att undersöka de olika läromedlen användes en innehållsanalys där väsentliga uppgifter valdes ut och analyserades. Resultatet visade att det var svårt att få en tydligt bild av progressionen, men att uppgifterna i samtliga läromedel i hög grad representerades fullständigt symboliskt. Slutsatsen som dras är att den läromedelsstyrda skola vi har idag kan vara bristfällig och att det är lärarens uppgift att inkludera de relevanta representationsformerna elever behöver för att ta till sig algebra.

Förskoleklassen har ett obligatoriskt kartläggningsmaterial som heter Hitta matematikendär syftet är att lärarna ska få förståelse för elevers kunskaper i matematik. I materialet utgör mönster en del av bedömningen. Med en systematisk litteraturstudie som metod har tio artiklar analyserats och sammanställts med fokus på mönster och algebra. Syftet med studien är att klargöra på vilka sätt förskoleklasselevers förståelse för mönster kan ha påverkan på den framtida algebrainlärningen. Syftet är också att se hur läraren kan arbeta för att främja förskoleklasselevers lärande av mönster. I artiklarna synliggörs bland annat det sociokulturella perspektivet, positivismen och det kognitiva perspektivet. Resultatet av artiklarna indikerar att tidig mönsterinlärning har en positiv påverkan på den framtida algebrainlärningen om undervisningen sker på rätt sätt. Utifrån artiklarna presenteras några arbetssätt som främjar elevernas lärande av mönster.

I gymnasieskolans matematikkurser utgör algebra en större del ju högre upp i kurserna mankommer. Men i vilken utsträckning använder gymnasielever algebra när de löser matematiskaproblem? Detta examensarbete är en studie av hur elever resonerar när de löser matematiskaproblem och vilka strategier de använder. Studien använder sig av konstruktivistisk teori ochser den algebraiska problemlösningsstrategi som ett schema hos eleven som samexisterar ochkonkurrerar med andra strategier som en elev kan ha skaffat sig både innanför och utanförskolans värld.Studien visar att en majoritet av eleverna söker en algebraisk lösning på problemen de ställsinför. Den visar dock också att de elever som använder matematik i något av sinafritidsintressen ofta använder alternativa problemlösningsmetoder som de känner sig merbekväma med. Det kan finnas en risk att sådana elever hämmas i sin matematiska utvecklingom de inte fångas upp av läraren.

I detta arbete har lösningar till ekvationen xn+yn= 1 i en ändlig kropp av primtalsordning studerats. Både konkreta lösningar för vissa givna förutsättningar samt resultat gällande antalet lösningar har varit målet för dessa studier. I uppsatsen redovisas även de metoder som använts för att nå nämnda resultat. Eftersom ekvationen kan studeras för en oändlig mängd kroppar presenteras inget heltäckande resultat. Vissa resultat är dock generella under premissen att antingen kroppen eller ekvationen fixeras för något primtal p respektive exponent n. För sådana specialfall presenteras flera exempel. Huvudresultatet i arbetet visar att det alltid finns många icke-triviala lösningar för ekvationen över stora ändliga kroppar.

Studien i detta arbete undersöker hur svenska ämneslärarstudenter ger skriftlig återkoppling på elevers lösningar i det matematiska kunskapsområdet ekvationer med absolutbelopp. Under datainsamlingen formulerade femton ämneslärarstudenter från två olika lärosäten sin återkoppling till tre elevers lösningar. Den återkoppling som gavs beskrivs i detta arbete utifrån Hattie och Timperleys kategorier för återkoppling (2007) som också fungerar som ramverk för analysen av insamlad data. Studien visar att ämneslärarstudenterna som grupp ger återkoppling riktad mot alla nivåer: uppgiftsnivå, processnivå, metakognitiv nivå samt individnivå, men också att det är en stor spridning mellan olika individer. Den vanligaste formen av återkopplingen ges på uppgiftsnivå följt av processnivå, båda som feed-back. Endast enstaka studenter formulerar återkoppling som feed-forward. Vidare indikerar resultaten att studenter med svårighet att sätta sig in i lösningarna i stor utsträckning ger återkoppling på individnivå. Dessa kategorier utgör en ytterligare dimension vid analysen. Studien visar med stöd i tidigare forskning att många studenter har mycket att vinna på att utveckla sin kompetens inom området återkoppling för att kunna formulera kommentarer som på ett effektivare sätt utvecklar eleverna. Avslutningsvis lyfts uppslag till fortsatta studier inom området samt förslag på inslag i lärarutbildningen för att utveckla ämneslärarstudenters kompetens rörande medvetenhet och förmåga att ge effektiv återkoppling till elever.

I denna uppsats studerar vi kommutativitet i polynomringar i en variabel med icke-kommutativ multiplikation över en domän, så kallade Ore-utvidgningar. Vi Ore-utvidgar en polynomring i en variabel med koefficienter tillhörande en kropp. Vi studerar centralisatorer i denna Ore-utvidgning. Centralisatorn av ett icke-konstant element visar sig vara kommutativa och fria moduler. Vi undersöker även när centralisatorerna som en algebra är genererade av ett element. Några nya exempel av sådana centralisatorer presenteras. Vi undersöker också en ny metod för att bestämma om centralisatorn som en algebra är genererad av ett element. In this thesis, we study commutativity in polynomial rings in one variable with noncommutative multiplication over a domain, which is called Ore extensions. We look at the Ore extension of a polynomial ring in one variable with coefficients belonging to a field. We study centralizers in this Ore extension. The centralizer of a nonconstant element turns out to be commutative and a free module. We also investigate when the centralizers as an algebra are generated by one element. Some new examples of such centralizers are presented. We also look into a new method to determine if the centralizers as an algebra are generated by one element.

Studiens syfte är att kartlägga vilka likheter och skillnader det finns mellan matematikuppgifter i nivåindelade läromedel. Fokus ligger på att studera om och i så fall hur de fem matematiska förmågorna aktualiseras i uppgifterna på respektive nivå. Insamling av data har skett baserat på särskilda urvalskriterier och datamaterialet har sedan analyserats genom en innehållsanalys där matematikuppgifter i nivåindelade läromedel kategoriserats utifrån en matris baserad på studiens teoretiska ramverk. Studiens resultat visar att det finns en liten men genomgående skillnad mellan nivåerna där nästan varje matematisk förmåga aktualiseras i fler uppgifter på den avancerade nivån jämfört med den grundläggande. På den avancerade nivån finns även fler uppgifter där flera förmågor tränas i en och samma uppgift. För att kunna använda läromedel på bästa möjliga sätt krävs därmed en kännedom om dess innehåll och uppbyggnad för att kunna ge eleverna möjlighet att utveckla alla matematiska förmågor oavsett vilken nivå de arbetar på i läromedlet.

Sedan hösten 2018 är programmering en del av det centrala innehållet inom bland annat matematikämnet i läroplanen för den svenska grundskolan. Syftet med studien är att belysa hur några lärare för årskurs 7–9 i den svenska grundskolan ser på användandet av semiotiska representationer i form av symboler som används inom både programmerings- och matematikundervisning och vad användandet av symboler som förekommer inom båda områdena får för konsekvenser för lärarnas undervisning. De teoretiska utgångspunkter som ligger till grund för studien är semiotiska representationer i matematik enligt Raymond Duval (2006) samt Anna Sfards (1991) och Carolyn Kierans (1981) utgångspunkter om matematiska begrepps dubbla natur. I studien gjordes sex kvalitativa intervjuer med lärare som undervisar i årskurs 7–9 i den svenska grundskolan. En tematisk analys gjordes sedan utifrån det material som intervjusvaren gav. I lärarnas svar framkom skillnader mellan semiotiska representationer av objekt i tre olika kategorier. Lärarna beskrev fall där samma symbol representerar olika objekt och fall där olika symboler representerar samma objekt. De talade också om ett strukturellt eller operationellt synsätt då det gäller likhetstecknet. Då lärarna resonerade om vilka konsekvenser införandet av programmering får för deras undervisning fanns det ingen enighet i svaren. Det fanns lärare som ansåg att programmering förenklar matematikundervisningen, lärare som ansåg att programmering försvårar matematikundervisningen samt lärare som ansåg att programmering vare sig förenklar eller försvårar matematikundervisningen.

Matematik är uppbyggt av olika områden som alla hänger samman. Ett av de viktigaste områdena är algebra som ofta inleds med mönster och talföljder. Algebra har varit, och är fortfarande, svenska elevers svagaste område visar resultat från internationella jämförelser. Det som påverkar elevers kunskaper är till stor del undervisningen i skolan. Undervisning påverkas av lärare som i sin tur påverkas av läroplanen. Studiens syfte är att ta reda på hur matematiklärare tolkar det som står i läroplanen om mönster, vad de ser för syfte själva med att undervisa om mönster och vad området innebär för dem. Eftersom svenska läroplanen till skillnad från andra länders läroplaner inte är så detaljstyrande kan innehållet uppfattas på olika sätt. För att undersöka lärares uppfattningar har studien inspirerats av fenomenografi. I resultatet presenteras nio olika kategorier som ämnar besvara studiens tre forskningsfrågor: ”Hur beskriver lärare mönster inom matematik?”, ”Vad uppfattar lärare för syfte med att undervisa om mönster?” och ”Hur tolkar lärare innehållet om mönster i läroplanen?”. Kategorierna är presenterade efter skillnader och likheter. Resultatet visar bland annat att lärare tolkar läroplanen som otydlig och att förståelsen för mönster kan vara en medfödd talang. Det har även framkommit att lärare ser flera syften med att undervisa om mönster. Det uppfattas vara positivt för både algebra, problemlösning och logiskt tänkande. I diskussionen vägs resultatet mot tidigare forskning och ett resonemang om styrdokument och läromedel förs. Avslutningsvis ges förslag på vidare forskning.

Denna läroboksanalys har undersökt i vilken utsträckning elever ges möjlighet att utveckla matematiska kompetenser när de arbetar med algebra i läroböcker. Två läroböcker i samma läroboksserie har analyserats, en för årskurs 4 respektive årskurs 6. Detta för att kunna undersöka om det finns en progression, förvärvad kunskap som byggs vidare på, mellan läroböckerna. Enligt den teoretiska utgångspunkten som analysen baseras på finns sex matematiska kompetenser. Läroböckernas algebrauppgifter analyserades för att se vilken eller vilka av dessa kompetenser som gavs möjlighet att utvecklas i varje uppgift. Kompetenserna delades sedan in i nivåerna ingen, liten, medelstor eller stor utsträckning. Resultatet visade att samma matematiska kompetenser förekom i lika stor utsträckning i båda läroböckerna, med ett undantag. En kompetens förekom i ingen utsträckning i årskurs 4 och i liten utsträckning för årskurs 6. Två kompetenser förekom i liten utsträckning för årskurs 4 och tre kompetenser för årskurs 6. Samma kompetens utvecklas i medelstor utsträckning och stor utsträckning i båda läroböckerna. Progression identifierades i fyra kompetenser. En kompetens delades upp i två underkategorier för att se om en progression fanns mellan läroböckerna inom denna specifika kompetens. Det fanns en progression. Den matematiska kompetens som inte ges möjlighet att utvecklas har i tidigare forskning visats viktig. Att den inte ges möjlighet att utvecklas kan ha att göra med att den inte är med i läroplanen för grundskolan (Lgr11, 2018). En annan studie med samma teoretiska utgångspunkt har gjorts på nationella prov. I studierna förekom en kompetens i olika utsträckning på grund av att studierna valt att definiera den på olika sätt. Studierna visar i stort sett samma resultat vad gäller progression mellan årskurser. Slutsatsen är att kompetenserna hade behövt ges möjlighet att utvecklas i större utsträckning i läroböckerna, samt att Lgr11 skulle behöva ha med alla sex kompetenserna i läroplanen.

Undervisning med växande geometriska mönster ses som en bro mellan aritmetiskt och algebraiskt tänkande genom att elever möter uppgifter som möjliggör generalisering av aritmetiska uttryck. Eftersom svenska elever i internationella tester visar upp bättre resultat inom aritmetik än algebra är syftet med studien att ta reda på vilka aspekter som är kritiska för elevers utveckling från ett aritmetiskt till ett algebraiskt tänkande. Studien är en learning study där en lektion planerades och genomfördes i tre klasser i årskurs 5 och 6. Lektionerna kompletterades med ett för- och eftertest som tillsammans med lektionerna bidrog till studiens resultat. Vid planering och analys av lektionerna tillämpades variationsteorin som fokuserar på vilket lärande som möjliggörs, vilket lärande som sker och vad som kan förbättra lärande. Resultatet är att det kan vara kritiskt för elever att urskilja regelbundenheten i växande geometriska mönster och att särskilja regelbundenheten från proportionalitet. En ytterligare kritisk aspekt kan vara att urskilja bokstävers betydelse inom matematik. I resultatet framkommer även att två av de variationsmönster som använts kan möjliggöra urskiljning av aspekter som kan vara kritiska för elever. Vid undervisning med växande geometriska mönster finns det flera aspekter som lärare behöver möjliggöra för elever att urskilja. Genom att använda genomtänkta variationsmönster kan aspekterna synliggöras och därmed utveckla elevers förståelse för algebra. Teaching of growing geometrical patterns should be seen as a bridge between arithmetic and algebraic thinking, that through giving the students tasks that enables generalization of arithmetic expressions. Swedish students’ results show that they perform better arithmetically than algebraically therefore, the aim of this study is to ascertain which aspects that are critical to students’ development from an arithmetic thinking to an algebraic thinking. This study is a learning study where a lesson was planned and performed in three different classes in grade 5 and 6. The lessons included a pre-test and a posttest to further validate the study and the tests, combined with the lessons, contributed to the result of the study. When planning and analyzing the lessons the theory that was applied was variation theory which focuses on what is learned, what learning that takes place and what can be improved to further the learning. The result of this study shows that it can be critical for students to discern regularities in growing geometrical patterns and also to separate regularity from proportionality. Furthermore, the study found another critical aspect which is to discern the meaning of letters within mathematics. The result also reveals two variation patterns which enables discerning of aspects that appear critical for students. When teaching about growing geometrical patterns there are several aspects teachers need to make possible for students to discern. Through utilization of variation patterns that are well prepared and thought through these aspects can be visualized and consequently auxiliary advance students understanding for algebra.

Syftet med denna studie är att undersöka vilka möjligheter elever i årskurs 1–3 har för att utveckla en förståelse för likhetstecknet samt vilken förståelse för likhetstecknet elever i årskurs 1–3 visar att de faktiskt har. Tre observationer genomfördes hos en lärare för att se hur läraren undervisade om, benämnde och förklarade likhetstecknet. Därefter genomfördes ett test med sjutton elever för att undersöka vilken förståelse för likhetstecknet de har. Som uppföljning av testet, intervjuades nio elever i grupper om tre för att undersöka vilken förståelse för likhetstecknet eleverna har. Observationerna, testet och intervjuerna visade att läraren benämner likhetstecknet som ”lika med” samt att majoriteten av eleverna har en relativt välutvecklad förståelse av likhetstecknet, då de med egna ord kan förklara och visa på att det ska vara lika mycket på vardera sida av likhetstecknet för att likhetstecknet ska kunna användas. Genom intervjuerna med eleverna framkom det att eleverna fått arbeta med olikhetstecknet ”skilt från” och att det underlättade deras förståelse för likhetstecknets betydelse. De har även fått arbeta med klossar och brukar regelbundet arbeta med likhetstecknets betydelse i undervisningen, främst i deras lärobok där det är ständigt återkommande.

Innehållet i studien handlar om att kategorisera olika typer av fel som elever i åk 1 på gymnasiet gör i algebra. Data utgörs av 80 elevprov skrivna av elever på samhällsvetenskapsprogrammet och VVS- och fastighetsprogrammet läsåret 2017/2018 och 2018/2019. Uppgifterna som eleverna har fått göra är lösa ekvationer, förenkla uttryck, räkna värdet av ett uttryck samt problemlösning. Elevernas svar har analyserats och kategoriserats i sex feltyper: 1. Förståelsefel, 2. Procedurfel, 3. Modelleringsfel eller problemlösningsfel, 4. Resonemangsfel, 5. Redovisningsfel eller kommunikationsfel, 6. Övriga fel. I resultatet preseneteras varje feltyp illustrerad med elevexempel. Med tidigre forskning som utgångspunkt identifieras och diskuteras vilka missuppfattningar och svårigheter som kan vara den bakomliggande orsaken till att eleverna gjort dessa fel. Några exempel på orsaker är att eleverna inte uppfattar variabelns (x) symboliska värde, förstår inte variablers generella beteckning (a och b), att variabeln kan representera en siffra, eleverna övergeneraliserar, förstår inte räkning med negativa tal, kan inte hantera aritmetik, förstår inte likhetstecknets betydelse, har oeffektiv resonemang (gissar, testar sig fram), samt skriver av uppgiften fel.

Algebra is an important part of the Swedish curriculum and is something that many students have difficulties with. Every student in upper secondary school in Sweden has to be given opportunities to develop their knowledge according to the curriculum. Therefor it is important to adapt the education conducted in order to give all students possibility to develop their knowledge. The aim of this study is to investigate how students with low achievements in mathematics experience the education in algebra in their first year at a vocational program in upper secondary school and investigate what difficulties they have with algebra. To reach the aim, qualitative interviews with eight students from vocational programs in their first year upper secondary school were conducted. The result shows that the students have a positive view on the recent education in algebra. Their experience put forth the education pace, work models and content and outlines of the lessons. Their difficulties in algebra is related to insecurity and can be explained through difficulties with the mathematic language, flaws in arithmetic and low level of abstraction. The result reinforces previous research and contributes with important knowledge to be aware of when planning and teaching algebra. Algebra är ett av de centrala innehållen i matematikkurserna och är något som många elever har svårt med. Enligt läroplanen för gymnasieskolan ska skolan ge alla en möjlighet till att utvecklas. Därför är det viktigt att undervisningen utformas så att den ger möjlighet till alla elever att utvecklas. Syftet med studien är att undersöka hur elever med låga prestationer i matematik upplever algebraundervisningen i årskurs ett på yrkesförberedande program i gymnasieskolan och undersöka vilka svårigheter dessa elever har i algebra. Kvalitativa intervjuer med åtta elever som går i årskurs ett på yrkesförberedande program i gymnasieskolan genomfördes. Resultatet visar att eleverna har en positiv syn på algebraundervisningen som de nyligen fått. Deras upplevelse handlar om undervisningstempot, arbetsformer och lektionernas innehåll och form. Svårigheterna beror på osäkerhet i att arbeta med algebra och kan förklaras utifrån bristande aritmetiska kunskaper, brister i det matematiska språket och låg abstraktionsförmåga. Resultatet förstärker tidigare forskningsresultat och visar viktiga aspekter att beakta vid planering och utformande av algebraundervisningen.

Många gymnasieelever har svårt att förstå algebra, specifikt linjära ekvationer och linjära ekvationssystem, vilket hindrar deras vidare lärande i både matematik och andra ämnen. Lärare måste därför ha en klar uppfattning om vilka dessa svårigheter är för att kunna hjälpa sina elever till förståelse och lärande av detta område i algebra. I studien undersöks forskningslitteraturens resultat om vilka dessa svårigheter är. Påvisade svårigheter som har illustrerats med exempel på elevlösningar är: brister i elevers algebraiska förkunskaper, procedurkunskaper och konceptuella kunskaper (särskilt om likhetstecken, konstanter och variabler), brister i elevers kunskaper om algebraisk syntax, samt brister i elevers hantering av de operationer som används för lösning av ekvationer och ekvationssystem, t ex hur man hanterar negativa koefficienter och konstanter och använder substitutionsmetoden. Many students of secondary school find it difficult to understand algebra, specifically linear equations and systems of linear equations, which prevents their further learning in both mathematics and other subjects. Teacher must therefore have a clear idea of what these difficulties are in order to assist their students in understanding and learning this area in algebra. The study examines the findings of the research literature as to what these difficulties are. Proven difficulties that have been illustrated with examples of students´ solutions are: deficiencies in their algebraic prerequisites, procedural knowledge and conceptual knowledge (especially about similarities, constants and variables), lack of knowledge of the algebraic syntax, and incorrect handling of the operations used to solve equations and systems of equations, for example how to handle negative coefficients and constants and use the substitution method.

Syftet med denna studie är att undersöka vilka matematiska och språkliga svårigheter nyanlända gymnasieelever har när de arbetar med algebra, både deras uppfattningar om undervisning i algebra och hur de löser textuppgifter inom algebra. Samtliga elever i studien är nyanlända och går ett introduktionsprogram och de har ett annat modersmål än svenska. Flera studier visar på att elever som har ett annat modersmålspråk än svenska har svårare att klara matematik i skolan och därmed presterar sämre i matematikundervisningen än andra elever som har svenska som modersmål (Malmer, 2002). I denna studie undersöks vad detta beror på och hur undervisningen kan anpassas för att bättre gynna den berörda elevgruppen. För att besvara frågeställningarna gjordes elevintervjuer med åtta elever samt ett test i algebra med eleverna som deltog i intervjuerna. Resultaten i denna studie visar på att eleverna hade språkliga svårigheter som påverkade deras problemlösningsförmåga i algebra. En orsak till detta är språkliga svårigheter och detta kan delvis bero på bristfälliga svenskkunskaper som leder till svårigheter att förstå textuppgifter och svårigheter att uttrycka sig när man kommunicerar inom matematik.

Algebra är ett komplext område. Syftet med studien är att undersöka elevernas begreppsförståelse i matematikens algebra. Undersökningen studerar varierad undervisning där elever bland annat arbetar i grupper med uppgifter som exempelvis spel. Studien är kvalitativt genomförd med videoobservationer som insamlingsmetod. Resultatet visar att elevernas begreppsförståelse kan öka när de får förståelse för likhetstecknets betydelse, bokstavssymbolernas betydelse och genom att förstå algebraiskt uttryck. Även om begreppsförståelsen ökar visar resultatet att eleverna inte explicit använder de relevanta begreppen inom algebra. Slutsatsen är att eleverna behöver förstå delarna i algebra för att förstå helheten. Att gå utanför läroböcker i algebra kan öka begreppsförståelsen. Vidare forskning är att undersöka elevers explicita begreppsanvändande i området algebra.

Denna studie undersöker hur lärare ser på algebraundervisningen i årskurs 4-6 och vilka tankar och beliefs de har om algebra och matematik. Fyra matematiklärare som undervisar i matematik har intervjuats. Intervjuerna har analyserats utifrån teorier om hur beliefs står i relation till praktik. Resultaten indikerar att det verkar finnas en koppling mellan de idéer som fanns under lärarutbildningen och de beliefs som lärarna har idag. Matematik

Studien undersöker vilka digitala resurser som matematiklärare använder i matematikundervisningen i grundskolan, möjligheter samt hinder. Då digitala resurser kan nyttjas på olika nivåer analyseras även vilken nivå som undervisningen ligger på. Fokus har varit att identifiera lärare som använder dynamiska programvaror och/eller digital teknik. Studien är en fallstudie, genomförd genom en inledande enkät för att identifiera lärare att intervjua. Efter intervjuer har de aktiviteter som lärare anger att de använder digitala resurser till eller ser möjligheter i analyserats för att se på vilken nivå de kan anses utveckla och förnya undervisningen. Studien visar att lärare i vissa fall använder digitala resurser i form av dynamisk programvara på en hög nivå, men att flertalet aktiviteter har potential att utvecklas. Utbildning av lärare i användandet av dynamisk programvara är en framgångsfaktor och krävs för att matematiklärare ska nå högre nivå på undervisningen. Matematik

Syftet med det här arbetet är att lösa kubiska ekvationer utifrån både algebraiska och geometriska perspektiv. Läsaren kommer att möta olika metoder att finna rötter av kubiska ekvationer med fokus på Cardanos metod. Kapitel 3 introducerar Khayyams metod för att hitta en positiv reell rot med hjälp av geometrisk algebra. Kapitel 4 presenterar Cardanos metod för att hitta en positiv reell rot med geometrisk och algebraisk metod. Kapitel 5 visar bisektionsmetoden och Newton-Raphsons metod för att hitta en reell rot med numeriska beräkningar. För att underlätta metoder (för moderna ögon) använde jag mig av spel, tabeller och moderna matematikprogram. Förståelsen av dessa metoder med faktorsatsen visas i kapitel 6 hur vi kan hitta alla reella rötter när vi har en rot. Dessutom innehåller kapitlet Cardanos formel för tre rötter av den allmänna kubiska ekvationen. Kapitel 7 presenterar Eulers metod för att lösa den allmänna bikvadratiska ekvationen med hjälp av Cardanos metod. Dessutom beskrivs Descartes metod för att lösa bikvadratiska ekvationer med användningen av geometriskalgebra. Läsaren får även en inblick i kvintiska ekvationer.

Att förstå det abstrakta området algebra kan för elever vara komplicerat. För att komma närmare en förståelse för eleverna läggs stor vikt vid lärarens förklaring och arbetssätt som kan vara traditionellt inriktad eller mer sociokulturellt inriktad. Syftet med kunskapsöversikten är att undersöka vad forskning visar om hur lärare undervisar i matematik inom området algebra och vad lärare kan göra annorlunda för att nå en bättre förståelse hos eleverna. Resultatet framhäver att lärare behöver kunna konkretisera uppgifter genom visualisering och för att uppnå detta behövs rätt kompetens och mer tid till förberedelser och planering. Slutsatsen är att det är lättare att engagera och motivera sina elever genom varierad undervisning. Dock syns de långsiktiga resultaten av detta i den här kunskapsöversikten som varken positiva eller negativa för elevernas begreppsförståelse. Vidare forskning att studera lärarnas kompetens i algebraundervisning är att föredra.