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RESUMEN: El estudio de matrices cuyos elementos son variables aleatorias, o simplemente, teoría de matrices aleatorias, es un área de investigación activa de física matemática y probabilidad, con importantes aplicaciones en múltiples disciplinas de física, matemáticas puras y aplicadas e ingeniería. El objetivo en este trabajo es presentar una introducción a la teoría básica de matrices aleatorias. Se llevará a cabo un estudio detallado de las denominadas colectividades Gaussianas y colectividades circulares de matrices aleatorias, incluyendo en ambos casos, un análisis de la distribución y propiedades de los valores propios. ABSTRACT: The study of matrices whose entries are random variables, or simply, random matrix theory, is an active research area of mathematical physics and probability, with important applications in multiple disciplines of science, engineering and finance. The aim in this work is to present an introduction to the basic theory of random matrices. A detailed study of the so-called Gaussian ensembles and circular ensembles of random matrices will be carried out, including in both cases, an analysis of the distribution and properties of the eigenvalues. Grado en Matemáticas

Resumen Se presenta una revisión selectiva de los desarrollos más recientes en la estimación de la matriz de covarianza con un número de muestras menores a la dimensión ambiente. En particular se consideran estimadores para las estructuras bajo rango y dispersa, dando especial atención a los algoritmos más utilizados en la práctica. Se presentan estimadores que recurren al uso de técnicas clásicas como umbrales y descomposición de valor único (SVD), así como estimadores más novedosos basados en matrices aleatorias y optimización convexa. Una de las principales conclusiones del estudio es que a pesar de los grandes avances en el desarrollo de nuevos estimadores, temas relacionados al tiempo de cómputo de los programas convexos que utilizan los estimadores han sido poco explorados. Además, se observa la falta de trabajos sobre el desarrollo de estimadores para matrices con estructura conjuntamente dispersa y bajo rango. Abstract A selective review of the most recent developments in the estimation of the covariance matrix with a number of samples smaller than the ambient dimension is presented. In particular, estimators are considered for low rank and sparse structures, paying special attention to the algorithms most used in practice. Estimators that resort to the use of classical techniques such as thresholds and singular-value decomposition (SVD), as well as newest estimators based on random matrices and convex optimization are presented. One of the main conclusions of the study is that, in spite of the great advances in the development of new estimators, issues related to the computation time of the convex programs that use the estimators have been little explored. Additionally, lack of works on the development of estimators for matrices with jointly sparse and low rank structure is observed