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Una variedad de contacto M es una variedad de dimensión impar 2n+1 equipada con una 1-forma w que no se anula sobre M, y tal quew w^(dw)^n es una forma de volumen. La 1-forma w es llamada una forma de contacto sobre M. Sea H := Ker(w) la distribución diferencial inducida por w . La estructura de contacto w dota al haz vectorial T_HM := H +(TM/H) de una estructura de fibrado de grupos de Heisenberg con la cual T_HM adquiere también una estructura natural de grupoide. De manera análoga a la prueba de Connes [A. Connes, 1984] del teorema de Atiyah-Singer, en [Erp, 2006] se construye el grupoide parabólico tangente T_HM, una variedad cuyo interior es el grupoide M xM x(0,1) y cuya frontera es la unión disyunta de grupoides T_HMU(MxMx1). Como en la prueba del índice de Atiyah-Singer, el grupoide parabólico tangente T_HM es una deformación de grupoides de T_HM en MxM que define un índice topológico ind_t : K0(C*(T_HM)) - Z. Un operador diferencial tipo Rockland P en la variedad de contacto M induce un elemento [σ_H(P)] en K0(C*(T_HM)), el teorema cuya prueba estudiamos en la tesis (ver Teorema 17) afirma que ind_t([σ_H(P)]) = dim(Ker(P)) - dim(Ker(P*)); (0-1) es decir el índice topológico es igual al índice analítico. En el texto tratamos de dar los fundamentos básicos para entender la igualdad (0-1) y su demostración. Abstract: A contact manifold M is a 2m + 1 dimensional manifold equipped with a 1-form w such that w does not vanish on M, and w ^ (dw)^n is a volume form. The 1-form w is called a contact form on M. Let H := Ker(w) be the differential distribution induced by w. The contact structure endows to vector bundle T_HM := H x (TM/H) of a structure of principal bundle whose fibers are Heisenberg groups with which THM acquires also a natural groupoid structure. In a similar way to Connes [A. Connes, 1984] proof of Atiyah- Singer theorem, in [Erp, 2006] is builded the parabolic tangent groupoid THM, this is a manifold whose interior is the groupoid M xM x(0, 1) and the boundary is the disjoint union of the groupoids THMU [M xM x1]. As in the Atiyah- Singer index proof, the parabolic tangent groupoid THM is a deformation of groupoids of THM in M x M, this define a topological index indt : K0(C*(T_HM)) -Z. A Rockland type differential operator P in a contact manifold M induces an element [σH(P)] 2 K0(C*(THM)). The theorem that we study in this master thesis (see theorem 17) states that indt([σH(P)]) = dim(Ker(P)) - dim(Ker(P*)); (0-2) that is to say the topological index is the same that the analitical index. We try to provide the basic background to understand the statement and the proof of (0-2). Maestría

Esta tesis está dedicada al estudio de representaciones por operadores acotados en espacios Lp del álgebra de Leavitt LQ de un grafo. Sean Q un grafo orientado finito por filas y LQ su álgebra de Leavitt sobre C. Parap ∈ [1,∞) consideramos la noción de representación espacial de LQ por operadores linealesy acotados en un espacio Lp(X, μ), que generaliza la introducida por N.C. Phillips par el casoen que Q es la rosa de d pétalos, y LQ el álgebra de Leavitt Ld. Para cada p consideramos la completación Op(Q) de LQ bajo la norma ||a|| := sup ρ espacial ||ρ(a)|| (a ∈ LQ). Probamos que si LQ es simple y ρ es una Lp representación espacial no nula de LQ entonces ||a||ρ := ||ρ(a)|| no depende de ρ. En particular si LQ es simple, Op(Q) = ρ(LQ) paracualquier representación espacial no nula ρ. Probamos que si Q y F son dos grafos finitos por filas, y p y q distintos, no existe unmorfismo continuo de Op(Q) en Oq(F). Probamos además que Op(Q) es simple si y sólo si LQ lo es. Aquí, una Lp álgebra deoperadores A se dice simple si todo morfismo no nulo de A en otra Lp álgebra de operadoreses inyectivo. Esta definición de simplicidad no coincide con la de álgebras de Banach, puespodrían existir ideales cerrados que no sean el núcleo de un morfismo contractivo entre Lpálgebras de operadores, al contrario de lo que sucede en el caso de C*-álgebras. Probamos que existe una biyección entre la clase de ideales S1 invariantes en Op(Q) yel conjunto de subconjuntos de vértices hereditarios y saturados de Q. Este resultado esun análogo a la biyección ya conocida entre ideales graduados del álgebra de Leavitt y lossubconjuntos de vértices hereditarios y saturados. Para Q finito por filas arbitrario, calculamos la K-teoría topológica de Op(Q) y probamosque coincide con la de la C*-álgebra de Cuntz-Krieger de Q. This thesis is devoted to the study of Leavitt path algebra representations by boundedoperators on Lp spaces. Let Q be a row finite directed graph and LQ the associated Leavitt algebra over C. For p ∈ [1,∞) we consider a notion of spatial representation of the Leavitt algebra LQ onspaces of the form Lp(X, μ). This generalizes the definition introduced by N. C. Phillips forthe case where the graph Q is the rose with d petals, and LQ is the Leavitt algebra Ld. For each p, we consider the closure Op(Q) of LQ with respect to the norm ||a|| := sup ρ spatial ||ρ(a)|| (a ∈ LQ). We prove that if LQ is simple and ρ is a nonzero Lp spatial representation of LQ, then ||a||ρ := ||ρ(a)|| does not depend on ρ. In particular, if LQ is simple, the equality Op(Q) = ρ(LQ)holds for any nonzero spatial representation ρ. Let Q and F be row finite graphs. We show that if p, q ∈ [1,∞) are different then there isno nonzero continuous homomorphism from Op(Q) to Oq(F). We also prove that Op(Q) is simple if and only if LQ is simple. Here an Lp operatoralgebra A is called simple if every nonzero contractive homomorphism from A to another Lp operator algebra is injective. This definition of simplicity is not the same as for Banachalgebras, because, unlike what happens with C*-algebras, an Lp operator algebra may have aclosed ideal which is not the kernel of any contractive homomorphism to another Lp-operatoralgebra. In addition, we give a bijection between the class of gauge-invariant ideals in Op(Q) andthe set of hereditary and saturated subsets of vertices of Q. This result can be viewed as ananalogue of the known bijection between graduated ideals of the Leavitt algebra and the setof hereditary and saturated subsets of vertices. Finally, for Q a row finite graph, we calculate the topological K-theory of Op(Q) and weprove that it agrees with the K-theory of the Cuntz-Krieger C*-algebra of Q. Fil: Rodríguez, María Eugenia. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.

Estudiamos la K-teoría para las álgebras de todas las funciones continuas sobre ciertos espacios homogeneos, principalmente en los grupos de Lie conexos semi- simples y subgrupos discretos . Como subproducto consideramos un caso nilpotente en forma anáaloga.We study K-theory for thealgebras of all continuous functions on certain homogeneous spaces in the semi-simple connected Lie groups by the discrete subgroups , mainly. As a byproduct, we also consider a certain nilpotent case similarly.