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This the speech Luis Santaló delivered in the ceremony were he was awarded with the Honoris Causa Doctorate by the University of Seville, Spain, in 1990. Este es el texto que Luis Santaló ofreció en su discurso al conferírsele el título de Doctor Honoris Causa por la Universidad de Sevilla, España, en el año 1990.

La naturaleza probabilística del proceso de deposición de energía por la radiación en sitios microscópicos, y el número relativamente pequeño de iones pesados que son suficientes para depositar dosis importantes en dichos sitios, hacen de la Terapia por Captura Neutrónica en Boro (BNCT) un campo de investigación especialmente propicio para la aplicación del formalismo y métodos de la Microdosimetría. La Microdosimetría es la rama de la física de las radiaciones que estudia el proceso estocástico de deposición de energía en estructuras microscópicas. Cuando la microdosimetría es aplicada al estudio de los efectos biológicos de la radiación, constituye el nexo entre la dosimetría convencional y la radiobiología. Tanto el núcleo celular (la principal región sensible al daño por radiación en una célula eucariota) como la trayectoria de una partícula cargada, pueden ser tratados como objetos geométricos aleatorios, de cuya intersección al azar devienen los efectos inducidos por la radiación. Esta posibilidad permite aplicar exitosamente los conceptos y métodos de las Probabilidades Geométricas y de la Geometría Integral. BNCT es una técnica para el tratamiento del cáncer, que se basa en la producción de reacciones de captura de neutrones térmicos en 10B, isótopo que es preponderantemente localizado en tejido tumoral, gracias a las características bioquímicas del compuesto transportador utilizado. Sin embargo, su distribución no es en general uniforme a escala celular, y la eficiencia de la reacción dependerá fuertemente de su localización microscópica. En esta tesis estudiamos la microdosimetría de las partículas alfa y 7Li, productos de la reacción de captura en 10B, y de otros iones pesados generados por la interacción de los neutrones con los elementos constitutivos del tejido biológico. Estos iones depositan toda su energía cinética en distancias del orden del tamaño típico de una célula. Cuando estas trayectorias intersectan aleatoriamente un región microscópica, la energía depositada en ésta dependerá de muchos factores, los que en conjunto determinan la forma de la función densidad de probabilidad de dicha cantidad. El conocimiento de esta función y el cálculo de todas las cantidades relevantes que de ella se deducen fueron los primeros objetivos de este trabajo. Para ello se ha explorado la superposición aleatoria de segmentos y volúmenes convexos, clasificando el tipo de intersección y relacionando su densidad de probabilidad con la densidad de cuerdas del volumen, la que surge entonces como el elemento básico de la geometría del problema. Dado que es menester obtener esta información para distintos tipos de tejidos biológicos, se concibió una manera de relacionar la densidad de cuerdas obtenida sobre secciones aleatorias de un cuerpo convexo con la propia densidad de cuerdas del cuerpo, en un desarrollo basado en conceptos de geometría integral y estereología. Se aplicó esta metodología a distintos tipos de tejidos de interés. Para el cálculo de la densidad de energía depositada, primero se estudió el caso de distribuciones uniformes y no uniformes de trazas de iones pesados de una misma especie y luego se encaró el caso más complejo de las reacciones de boro, que generan partículas correlacionadas espacialmente. Se obtuvo una descripción analítica completa de la dependencia de las cantidades microdosimétricas de interés con la geometría de la región sensible y la distribución espacial de reacciones con generación de iones, explorándose los casos uniforme, bivaluado o en la superficie de la región. Se contrastó el formalismo con resultados obtenidos por simulación estocástica de las reacciones generadoras de iones pesados de interés. Finalmente se llevó a cabo un análisis exhaustivo de las consecuencias microdosimétricas de la naturaleza probabilística de las reacciones de boro, remarcando la influencia que la no uniformidad tiene en la dosis media realmente recibida por las células. Como consecuencia de esto, se obtuvieron factores microscópicos que permiten corregir la dosis calculada macroscópicamente. Se llegó además a una expresión que describe la eficacia de la reacción de boro como un producto de un factor geométrico y de un factor de radiosensibilidad intrínseca del tejido en particular, que son aplicados sobre un valor de eficacia biológica relativa medido experimentalmente en condiciones que garanticen la uniformidad del boro. The stochastic nature of the energy deposition process by radiation in microscopic sites, and the relatively small number of heavy ions required to produce appreciable doses in them, turn Boron Neutron Capture Therapy (BNCT) into an especially suitable research field for the application of the formalism and methods of Microdosimetry. Microdosimetry is the branch of radiation physics that studies the stochastic process of energy deposition in microscopic structures. When microdosimetry is applied to the study of the biological effects of radiation, it constitutes the connection between the conventional dosimetry and radiobiology. Both the cell nucleus (the main region sensitive to radiation damage in eukaryotic cells) and the charged particle trajectory can be conceived as random geometric objects, whose stochastic intersection gives place to radiation-induced effects. This possibility permits applying successfully the concepts and methods of Geometric Probabilities and Integral Geometry. BNCT is a technique for the treatment of cancer which is based on the production of thermal neutron capture reactions in 10B, isotope prevalently localized in tumor tissue by virtue of the biochemical characteristics of the carrier compound used. However, its distribution is not, in general, uniform at cellular scale, and the reaction efficiency will strongly depend on its microscopic localization. In this thesis we study the microdosimetry of the alpha and 7Li particles, products of the 10B capture reaction, and several different heavy ions that are created by neutron interactions with the constitutive elements of biological tissues. These ions deposit their energy within distances of the order of the size of a typical cell. As the ion trajectories intersect randomly a microscopic region, the energy deposited in it will be a function of several factors, which jointly determine the shape of the energy probability density function. Knowledge of this function and derivation of all the associated relevant quantities were the first goals of this work. In order to achieve this, the random overlapping between segments and convex volumes was explored, classifying the kind of intersection, and relating its probability density with the chord length density of the volume, which becomes then the basic element describing the geometry of the problem. Since it is important to obtain this information for different kinds of biological tissues, a relationship between the volume’s chord length density and the chord length densities of its random sections was established, based on concepts of integral geometry and stereology. The resulting methodology was applied to several tissues of interest. Regarding the calculation of the deposited energy density, the cases of uniform and non uniform distributions of heavy ion tracks were first studied, and then the more complex case of boron reactions, where spatially correlated particles are produced. A complete analytical description of the dependence of the microdosimetric quantities of interest with the geometry of the sensitive region and the spatial localization of ionproducing reactions was obtained, exploring the cases of uniform, bi-valued and surface distributions. Finally, an exhaustive analysis of the microdosimetric consequences of the random nature of boron reactions was accomplished, highlighting the influence of the non uniformity on the average dose actually deposited in cells. As a consequence, microscopic correction factors were obtained that can be applied to the macroscopically calculated dose to get the actual cell average dose. We also arrived to an expression that describes the efficiency of boron reactions as a product of geometrical and intrinsic radiosensitivity factors of the particular tissue studied, which are applied to a relative biological effectiveness value experimentally measured assuring boron uniformity conditions. Fil: Santa Cruz, Gustavo A.. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.

Principis bàsics de l' Estereologia i la seva aplicació en els espais euclidians i hiperbòlics

Problems related to the random approximation of convex bodies fall into the field of integral geometry and geometric probabilities. The aim of this paper is to give a survey of known results about the stochastic model that has received special attention in the literature and that can be described as follows: Let K be a d-dimensional convex body in Eucliden space Rd, d = 2. Denote by Hn the convex hull of n independent random points X1, ..., Xn distributed identically and uniformly in the interior of K. If f is a random variable on d-dimensional polytopes on Rd, we define the random variable fn by: fn = f (conv {X1, ..., Xn}), where conv denotes the convex hull. Typical random variables studied in the literature are numbers of vertices and facets, volume, surface area and mean width. Our main interest concerns the study of the mathematical expectation E(fn) of fn. Some further stochastic models and other problems related to random points studied in the literature will be presented.

The classical fundamental mean-value formulae of Stereology (Vv = Aa = Ll, Sv =(4/π)La = 2Pl, Lv = 2Pa) as given for instance in UNDERKOOD and STOYAN-KENDALL-MECKE, which refer to sections of a given convex body in E3 by lines and planes, generalized to the case of sectioning the body by curves or surfaces of arbitrary shape

Article sobre l’origen, evolució i estat actual de les probabilitats geomètriques i sobre les aplicacions de la geometria integral i la geometria estocàstica

El problema que queremos resolver es el siguiente: "Consideremos el plano hiperbólico dividido en polígonos por rectes dadas al azar, con una densidad uniforme tal que el valor medio E(A) del área de estos polígonos sea igual a la unidad, E(A) = 1. Se piden los valores medios del número de lados N de cada polígono, del perímetro S de cada polígono y, especialmente, del cuadrado del área de cada polígono". Para el plano euclidiano el problema fue considerado y resuelto por S. A. Goudsmit. Luego fue generalizado al espacio por nosotros y recientemente ha sido nuevamente objeto de estudio y generalización en diversas direcciones por R. E. Miles, P. I. Richards y D. G. Kendall. Estas generalizaciones se refieren a nuevos valores medios para el caso del plano y su extensión al espacio euclidiano de n dimensiones. La generalización al plano hiperbólico presenta cierto interés como nuevo ejemplo del diferente comportamiento de este plano respecto del euclidiano, en cuanto a sus subdivisiones en dominios poligonales. Vamos a resumir los resultados obtenidos y su comparación con el caso euclidiano

Article on es plantegen i es resolen diferents problemes sobre probabilitats geomètriques. Es proposen quatre models de problemes: a) figures convexes planes col·locades arbitràriament unes sobre les altres, b) bandes paral·leles col·locades arbitràriament sobre una figura plana convexa, c)franges de plans paral·lels que tallen a un cos convex i d) cilindres convexos que tallen a un cos convex

El problema que se resuelve en este artículo es: averiguar todos los subgrupos del grupo de las colineaciones del plano proyectivo real, respecto de los cuales los conjuntos de puntos o los conjuntos de rectas admiten una medida invariante y dar la forma explícita de esta medida en cada caso

En la primera parte de este artículo se hace la demostración de las hipersuperficies en espacios de curvatura constante y en la segunda se hace aplicación de la fórmula obtenida al cálculo de ciertas expresiones duales y a algunas cuestiones de geometría integral

Aquest article té com objectiu demostrar una sèrie de fòrmules integrals i una definició d' àrea q-dimensional d'un conjunt de punts

El principal objetivo de este artículo es demostrar la medida del conjunto de figuras convexas congruentes contenidas en el interior de un rectángulo o de un triángulo

Using some results of integral geometry a direct and simple proof of the following inequality of Ueno-Hombu-Naito is obtained. Let D be a measurable domain of the n-dimensional space Sa of constant curvature K= k2 contained in the non-Euclidean sphere of radius a. Suppose that the intersection of D with any r-space Lr has a measure not exceeding a fixed constant ᵷ. Then the inequality (9) holds, where M is the measure of D and On—r—l, Hr.n—r—1 are given by (3) and (2) respectively. This generalizes a geometric inequality of Feller which corresponds to r=1, K=0. For the case r = l a more general inequality is given by (13) which holds for any Riemannian space not necessarily of constant curvature (F = area of a convex hyper surface which contain D) Sea D un dominio del espacio n-dimensional Sn de curvatura constante K= k2, contenido en una esfera geodésica de radio a. Supongamos que la intersección de D con todo subespacio lineal Lr de r dimensiones de Sn, tanga una medida no superior a un valor constante ᵷ. Ueno- Hombu-Naito[4] han considerado el problema de hallar una acotación de la medida M de D en función de ᵷ y a, generalizando de esta manera un problema análogo considerado por F e l l e r [ l ] , el cual se refería únicamente al caso r = l y al espacio euclidiano K= 0. El objeto de esta nota es ver como se puede llegar al resultado de Ueno- Hombu-Naito de manera mucho más rápida que la seguida por estos autores utilizando fórmulas conocidas de geometría integral. Además en el N.° 4 generalizamos el caso considerado por Feller (r = l) a un espacio de Riemann cualquiera, no necesariamente de curvatura constante

Aquest article té com objectiu demostrar una sèrie de fòrmules integrals relacionades amb els cossos convexos de l'espai

Article on es donen definicions i exemples de probabilitats finites, numerables i geomètriques i de geometria integral

En una nota anterior (Revista de la Unión Matemática Argentina, vol. VII, 1940-41) hallamos el valor medio del número de partes en que una figura convexa del plano es dividida por n rectas arbitrarias. Queremos ahora generalizar este resultado al caso de un cuerpo del espacio cortado por n planos arbitrarios. Supondremos que el cuerpo tenga la conexión de la esfera, pero sin necesidad de que sea convexo

Artículo que tiene como objetivo hallar el valor medio del número de regiones o partes en que una figura convexa es dividida por n rectes arbitrarias

Article on s’analitzen diferents casos per aplicar la geometria integral a grups projectius del pla que depenen de més de tres paràmetres

El objeto de esta nota es establecer por vía geométrica elemental unas expresiones integrales para las figuras planas convexas y para los cuerpos también convexos del espacio ya obtenidas por nosotros y por camino diferente en otros lugares

Objeto de este trabajo es extender la parte de geometría integral derivada del concepto de medida cinemática al caso de ser ilimitada a alguna de las figuras. Por figuras ilimitadas se entienden las bandas de plano limitadas por rectas paralelas y en general las llamadas redes uniformes. Este estudio se hace en I para el plano y en I I para el espacio permitiendo, en ambos casos, obtener varios valores medios y problemas de probabilidades geométricas. En I I I se trata de una aplicación de estos conceptos a la demostración de un teorema de BLICHFELDT y otros teoremas análogos

A set of points Q in the hyperbolic plane is said to be h-convex (convex with respect to horocycles) if for each pair of points A, B belonging to Q, the entire segments of the two horocycles determined by A, B belong to Q. In this paper we give the following properties for h-convex sets: 1. If Q is an h- convex, the whole horocyclic lentil bounded by the horocycles O, O' determined by two points A, B of Q belongs to Q and we get the inequalities (2 . 8) between the length L of the boundary Q, the area F, the width A and the diameter D of Q. 2. If kg. denotes the geodesic curvature of the boundary Q of a set Q, then Q is an h-convex if and only if xg > 1. 3. For each point A of the boundary ‘Q of an h-convex set Q we consider the two tangent horocycles O- and O+ and define the breadth of Q with respect to each of them. These h-breadths O-, n+ satisfies the formulae (5.3) and (5.4). 4. The sets of constant breadth are considered specially. For them the formula (6.1) holds the last theorem states that the Reuleaux triangle has minimal length and minimal area among all the sets of the same constant breadth of the hyperbolic plane