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Robotic systems are becoming more and more complex and the traditional control law theories lose robustness, increasing the difficulty with which the robot can be controlled to interact with the environment around it. The objective of this research work is the study of complex nonlinear systems with the particularity of having flexible joints and rigid links. Such flexibility causes an interesting behavior in the robotic systems because duplicates the number of variables involved in the control task. Several studies have been carried out in the research of flexible robots, however most of them use the classical Euler-Lagrange framework to describe the mechanical systems. This work has been focused on the implementation of nonlinear controllers within the port-Hamiltonian framework, and the singular perturbation multi-scale systems theory. In this sense, the mathematical description of two different control laws proposed by [1] and [2] are presented and adapted to the physical plant of the two degrees of freedom Quanser robotic arm. Moreover, the equations of the proposed port-Hamiltonian controllers have been implemented into a simulation to test the validity of the control laws for the rigid and the flexible configuration of the robot. Finally, the controllers have been implemented into the physical plant of the robotic arm to validate experimentally the proposed mathematical control theory. The experimental implementation of the proposed port-Hamiltonian controllers showed an improvement in the control of the position error for the rigid and the flexible configuration in comparison with a benchmark controller proposed by the manufacturer of the robotic arm, with an error rate for the RMS value of the signal lower than 1.2% of the RMS value of the desired trajectory. Further studies and experimental tests should be aimed to the implementation of port- Hamiltonian controllers to achieve an even lower error rate. Los sistemas robóticos se están volviendo cada vez más complejos y las teorías de la ley de control tradicional pierden robustez, lo que aumenta la dificultad con la que se puede controlar el robot para interactuar con el entorno que lo rodea. El objetivo de este trabajo de investigación es el estudio de sistemas no lineales complejos con la particularidad de tener articulaciones flexibles y enlaces rígidos. Dicha flexibilidad provoca un comportamiento interesante en los sistemas robóticos porque duplica el número de variables involucradas en la tarea de control. Se han llevado a cabo varios estudios en la investigación de robots flexibles, sin embargo, la mayoría de ellos utilizan el marco clásico de Euler-Lagrange para describir los sistemas mecánicos. Este trabajo se ha centrado en la implementación de controladores no lineales dentro del marco portuario-hamiltoniano, y en la teoría de sistemas de perturbación singular a escala múltiple. En este sentido, la descripción matemática de dos leyes de control diferentes propuestas por [1] y [2] se presentan y adaptan a la planta física del brazo robótico Quanser de dos grados de libertad. Además, las ecuaciones de los controladores port-hamiltonianos propuestos se han implementado en una simulación para probar la validez de las leyes de control para la configuración rígida y flexible del robot. Finalmente, los controladores se han implementado en la planta física del brazo robótico para validar experimentalmente la teoría matemática de control propuesta. La implementación experimental de los controladores puerto-hamiltonianos propuestos mostró una mejora en el control del error de posición para la configuración rígida y flexible en comparación con un controlador de referencia propuesto por el fabricante del brazo robótico, con una tasa de error para el valor RMS de la señal inferior al 1,2% del valor RMS de la trayectoria deseada. Otros estudios y pruebas experimentales deben estar dirigidos a la implementación de controladores porto-hamiltonianos para lograr una tasa de error aún más baja.

In this paper we consider a monopoly producing a consumer good of high demand. Its market price depends on the volume of the produced goods described by the Cobb-Douglas production function. A production-sales activity of the firm is modeled by a nonlinear differential equation with two bounded controls: the share of the profit obtained from sales that the company reinvests into expanding own production, and the amount of short-term loans taken from a bank for the same purpose. The problem of maximizing discounted total profit on a given time interval is stated and solved. In order to find the optimal production and sales strategies for the company, the Pontryagin maximum principle is used. In order to investigate the arising two-point boundary value problem for the maximum principle, an analysis of the corresponding Hamiltonian system is applied. Based on a qualitative analysis of this system, we found that depending on the initial conditions and parameters of the model, both, singular and bang- bang controls can be optimal. Economic analysis of the optimal solutions is discussed. En este artículo consideramos un monopolio produciendo un producto de consumo de gran demanda. Su precio de mercado depende del volumen de producción descrito por la función de producción de Cobb-Douglas. Una actividad de producción y ventas de la firma es modelada por una ecuación diferencial no lineal con dos controles de frontera: la participación en el resultado de las ventas que la compañía reinvierte para expandir su propia producción, y el monto de los préstamos a corto plazo adquiridos del sistema bancario con el mismo propósito. Se plantea y resuelve el problema de maximizar la ganancia total descontada en un intervalo de tiempo dado. Para encontrar las estrategias óptimas de producción y ventas para la compañía, se usa el principio del máximo de Pontryagin. Para investigar el problema de valores de dos puntos de frontera que aparece para el principio del máximo, se aplica un análisis del sistema hamiltoniano correspondiente. Basado en un análisis cualitativo del sistema, encontramos que dependiendo de las condiciones iniciales y los parámetros del modelo, tanto el control singular como el bang-bang pueden ser óptimos. Se discute un análisis económico de las soluciones óptimas.

The classic Lotka-Volterra model belongs to a family of differential equations known as “Generalized Lotka-Volterra”, which is part of a classification of four models of quadratic fields with center. These models have been studied to address the Hilbert infinitesimal problem, which consists in determine the number of limit cycles of a perturbed hamiltonian system with center. In this work, we first present an alternative proof of the existence of centers in Lotka-Volterra predator-prey models. This new approach is based in algebraic equations given by Kapteyn, which arose to answer Poincaré’s problem for quadratic fields. In addition, using Hopf Bifurcation theorem, we proof that more realistic models, obtained by a non-linear perturbation of a classic Lotka-Volterra model, also possess limit cycles. El modelo clásico de Lotka-Volterra pertenece a una familia de ecuaciones diferenciales denominada “Lotka-Volterra generalizado”, que forma parte de una clasificación de cuatro modelos de campos cuadráticos con centro. Estos modelos han sido estudiados para responder el problema infinitesimal de Hilbert, que consiste en determinar el número de ciclos límites que posee un sistema hamiltoniano perturbado y con centro. En este trabajo, en primer lugar presentamos una prueba alternativa de la existencia de centros en el modelo depredador-presa de Lotka-Volterra. Esta nueva prueba se basa en ecuaciones algebraicas dadas por Kapteyn, que surgieron para responder al problema de Poincaré para campos cuadráticos. En segundo lugar, usando el teorema de la bifurcación de Hopf, probamos que modelos depredador-presa más realistas, obtenidos por una pertubación no lineal del modelo de Lotka-Volterra clásico, poseen ciclos límites.