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We describe a correspondence between two different links associated to the same K3 orbifold. This duality is produced when two elements, one inside and the other on the boundary of the Kähler cone, are identified. We call this correspondence ∂-duality. We also discuss the consequences of ∂-duality at the level of metrics. Describimos una correspondencia entre dos enlaces asociados a un mismo espacio K3 que soporta a lo más, singularidades cíclicas de tipo orbifold. Esta dualidad se hace evidente cuando dos elementos, uno en el interior y el otro en la frontera del cono de Kähler, son identificados. Denominamos a esta correspondencia ∂-dualidad. También discutimos las consecuencias de ∂-dualidad al nivel de estructuras riemaniannas.

A cada problema de deformación se le asocia un álgebra de Lie diferencial graduada, E. El espacio de móduli asociado al problema de deformación viene dado por la variedad de Maurer-Cartan de E módulo la acción de gauge. Esta tesis se divide en dos partes. En la primera parte nos concentraremos en comprender la geometría de la variedad de Maurer-Cartan de un ́álgebra de Lie graduada donde el grupo de gauge es simple. Obtendremos que son variedades proyectivas invariantes por una acción lineal y generadas en grado dos. Hemos demostrado que cuando se toma el ideal de una ́órbita en grado dos, la variedad de Maurer-Cartan asociada es irreducible. Para esto hemos utilizado, entre otras cosas, el ́álgebra envolvente y la estructura de pesos de las representaciones. En la ultima parte de esta tesis hemos necesitado introducir variedades Grassmannianas y determinantales de complejos y de módulos de Lie. El objetivo fue el de analizar la variedad de estructuras de ́álgebras de Lie diferenciales graduadas. Veremos que cuando el grupo de gauge de las ́álgebras en cuestión es simple, las variedades de Maurer-Cartan de estas ́álgebras diferenciales graduadas son las estudiadas en la primera parte de la tesis. Each deformation problem has associated a differential graded Lie algebra, E. The moduli space of the deformation problem is given by the Maurer-Cartan variety of E modulo the gauge action. This thesis is divided in two parts. In the first part we will focus on understanding the geometry of the Maurer-Cartan variety on a graded Lie algebra where the gauge group is simple. We obtain that they are projective varieties generated in degree two and invariant under a linear action. We will show that if we take the ideal in degree two of an orbit then the associated Maurer-Cartan variety is irreducible. Proving this we needed, among other things, the enveloping algebra and the structure of weights of representations. In the last part of the thesis we will introduce the Grassmannian and determinantal varieties of com- plexes and of Lie modules. The aim is to analyze the variety of structures of differential graded Lie algebras. We will see that when the gauge group of the structure is simple, the Maurer-Cartan variety associated to this structure are the varieties studied in the first part of the thesis. Fil: Massri, César. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.

[spa] La teoría algebraica de números tiene sus inicios en los trabajos de Kummer sobre la ecuación de Fermat. En los anillos ciclotómicos deja de ser cierto el teorema fundamental de la aritmética: los elementos descomponen en producto de elementos "primos", pero no de manera única. Kummer, en una intuición genial, apuntó que esta dificultad podía salvarse considerando la existencia de números ideales que permitirían recuperar la unicidad en la descomposición en producto de números ideales primos. Estas ideas las culminó Dedekind en 1878 fundando la teoría de ideales tal como la conocemos hoy en día. Los anillos de enteros de los cuerpos de números son dominios de Dedekind, es decir, todo ideal descompone de manera única en producto de ideales primos. No obstante, la teoría de Dedekind no es efectiva. Cuando nos enfrentamos a un problema concreto, como por ejemplo resolver una ecuación diofántica, que exige considerar un cuerpo de números “K”, de anillo de enteros “O”, necesitamos resolver en general dos cuestiones fundamentales: (a) Determinar el tipo de descomposición pO = p(e1/) …… p(e/g) de los primos racionales en “K”. (b) Determinar generadores de los ideales P(1). Usualmente querremos computar estos datos a partir de una ecuación definidora del cuerpo K. Este aspecto efectivo lo cubre parcialmente Dedekind, usando ideas de Kummer, permitiendo resolver las dos cuestiones para todos los primos “p” excepto un número finito. El siguiente paso, extraordinariamente importante tanto desde un punto de vista conceptual como de la efectividad, lo da Rensel, con la introducción de los cuerpos p-ádicos. Esta idea revolucionaria permite "descomponer" los problemas aritméticos globales en una suma de problemas locales, donde se focaliza la atención en los fenómenos que afectan a un primo concreto ”p”. Esta filosofía da como resultado práctico que el problema de la efectividad puede resolverse mediante técnicas locales que comportan esencialmente la factorización de polinomios en cuerpos p-ádicos (que se traduce en la práctica en factorizar módulo una potencia suficientemente alta de p) y la determinación de bases de enteros de órdenes locales. Utilizando distintas variantes de estas ideas se han obtenido diversos algoritmos para hallar la descomposición en producto de ideales primos. Destaquemos los de Pohst-Zassenhaus, Boffgen-Reichert y Buchmann-Lenstra. El objetivo principal de la memoria es el de desarrollar un nuevo algoritmo, basado en la técnica del polígono de Newton. El polígono de Newton se utilizó en el siglo pasado para estudiar las singularidades de curvas planas. En 1907 Bauer reconvirtió la técnica para su aplicación a cuestiones aritméticas; sus propuestas fueron extensamente ampliadas por Ore, quien en una serie de artículos en los años 20, introduce un concepto más general de polígono, el q)(X)-polígono, que permite tratar el caso en que los factores irreducibles de F(X) no son necesariamente lineales. En la terminología clásica, la aplicación estricta del polígono (Bauer-Ore) es conocida como la "segunda aproximación", mientras que la información extra que obtiene Ore de cada lado se bautizó como la "tercera aproximación" (el teorema de Kummer-Dedekind) era la "primera aproximación". Esas aproximaciones han sido mejoradas y generalizadas por distintos autores; por ejemplo, Ore puso en un contexto más general la segunda aproximación inicial de Bauer, ó Montes-Nart refinaron la tercera aproximación. Ahora bien, los autores clásicos ya eran conscientes de que por mucho que se refinaran esas aproximaciones, siempre quedarían polinomios para los cuales todavía no se obtiene la respuesta definitiva. También intuían que debería ser posible introducir aproximaciones de más alto nivel que permitieran resolver la cuestión para cualquier polinomio en un proceso iterativo finito. Ésa es precisamente la cuestión que resolvemos en la memoria con nuestros polígonos de orden superior. Pasamos a describir brevemente el contenido de los distintos capítulos de la memoria. En el capítulo 1 se exponen los principales resultados de Ore sobre el polígono de Newton trasladados al contexto de cuerpos locales. Se distinguen cuatro fases distintas, cada una culminando con un resultado clave que denominamos respectivamente teorema del producto (de carácter instrumental), del polígono (segunda aproximación), del polinomio asociado (tercera aproximación) y del índice. El conjunto de estas fases constituye lo que llamamos el nivel 1 ó orden 1. Cada fase marca los distintos obstáculos que será necesario superar en cada nivel con los polígonos de orden superior. Este es el objetivo del segundo capítulo, que constituye el núcleo principal de la memoria. Dentro del segundo capítulo merecen mención especial las definiciones del polígono y del polinomio asociado en orden r. La definición correcta de "polígono a otro nivel" requiere considerar extensiones adecuadas de la valoración p-ádica al anillo de polinomios, marcadas por datos proporcionados por el polígono de orden anterior. Valoraciones de este tipo fueron introducidas por MacLane también con el propósito de obtener un algoritmo para determinar la descomposición de los primos en cuerpos de números; no obstante, sus métodos no son efectivos. La definición del polinomio asociado en orden r es el obstáculo cuya superación presentó mayores dificultades. En el fondo su construcción se reduce a encontrar "buenos" representantes de ciertas clases residuales módulo las valoraciones que acabamos de mencionar; ahora bien, la elección correcta (es decir, que funcione) de esos representantes pasa por un delicado trabajo con fracciones racionales. Finalmente, el teorema del índice es el resultado clave en el control de la finitud del proceso iterativo. En el tercer capítulo se describe un proceso de obtención de "representantes optimales" , que permiten recoger toda la información posible que se puede obtener a un nivel determinado antes de verse obligado a pasar al nivel superior. Con esta técnica se obtiene una implementación mucho más ágil del algoritmo que la que se obtendría con una aplicación ciega de los resultados del capítulo 2. En el cuarto capítulo se usan las técnicas del capítulo 2 para determinar de manera no algorítmica el discriminante absoluto y el tipo de descomposición de los primos en un cuerpo cuártico arbitrario.

[spa] Entenderemos por anillos "blowup" cierto tipo de anillos graduados asociados a filtraciones de un anillo conmutativo A. Los anillos blowup aparecen a menudo en Algebra Conmutativa y Geometría Algebraica. Expondremos a continuación algunas de las aplicaciones de estos anillos en diversos problemas y que han motivado el estudio de sus propiedades. En el estudio de singularidades aparecen también anillos "blowup" asociados a filtraciones no ádicas. Otra de las aplicaciones de los anillos blowup es la construcción de contraejemplos al Problema 14 de Hilbert. Además, buenas propiedades aritméticas de los anillos "blowup" asociados a un ideal nos aseguran un buen comportamiento de sus funciones de Hilbert y viceversa. Lo anterior supone una pequeña ilustración de las múltiples ocasiones en que aparecen los anillos "blowup" y de porqué es interesante el estudio de sus propiedades aritméticas. En esta memoria estudiaremos principalmente la profundidad, y en particular la propiedad Cohen-Macaulay de los anillos y módulos "blowup" noetherianos asociados a filtraciones generales de un anillo local (A, m) de dimensión d. Diversos autores se han dedicado al estudio de tal propiedad en el caso de filtraciones ádicas en los últimos años el número de trabajos en esta dirección ha sido muy alto. Podemos destacar esencialmente dos tipos de resultados. Por una parte, los que relacionan la propiedad Cohen-Macaulay de A, GA{I) y RA{I) y, por otra, resultados positivos acerca de la propiedad Cohen-Macaulay de los mismos. Un tercer tipo de resultados sería el estudio de la propiedad Cohen-Macaulay de Fm(/), pero los resultados conocidos en este sentido son escasos.

El objeto de esta nota es el de dar una construcción natural de una topología para el conjunto de los ideales cerrados de codimensión n de un álgebra de Banach conmutativa, dando una condición necesaria y suficiente para que el mismo sea compacto. En

Sea y una rama de curva algebraica con origen en un punto p del espacio proyectivo complejo de dimensión tres, P3. A principios del presente siglo se admitía como resultado establecido la coincidencia de la composición de y (i. e., las multi­plicidades en y de p y los sucesivos puntos infinitamente próximos a p en y) con la de su proyección plana desde un punto genérico del espacio. Se debe a Zariski (1) la observación de que tal resultado es, en general, falso. Mostraré aquí como pueden caracterizarse las ramas de curva alabeada cuya composición coincide con la de su proyección plana desde un punto genérico.

El presente trabajo se puede considerar como prolongación del trabajo (I) del autor, se amplía un resultado de este último que era válido sólo en el caso metrizable, y aquí se estudia el caso general; se hace un estudio de los cuerpos reales maximales y completos, y, finalmente se da un apéndice sobre cuerpos reales contenidos en un cuerpo algebraicamente cerrado y de característica 0