Search

V diplomskem delu si ogledamo nekaj dejstev o obstoju neničelnega zveznega tangentnega vektorska polja na $n$-dimenzionalnih sferah. Najprej eksplicitno pokažemo konstrukcijo oz. nakažemo neobstoj takega vektorskega polja pri nižjih dimenzijah, nato pa idejo posplošimo na višje dimenzije. Pri dveh dimenzijah si ogledamo tudi druge objekte in nakažemo indikator, ki določi število izoliranih točk, kjer vektorsko polje izgine. Kot posledico glavnega izreka dokažemo tudi Browerjev izrek o negibni točki. In this thesis we show some facts about existence of a non vanishing continuous tangent vector field on a $n$-dimensional sphere. At first we explicitly construct such vector field or we indicate the non existence of such vector field at low dimensions and then we generalize the idea to higher dimensions. In the two-dimensional case we also examine other objects and point out the indicator that sets the number of isolated points at which the vector field vanishes. As a consequence of our main theorem we also prove the Brower fixed-point theorem.

Geometrijsko ploskev lahko približno opišemo s končnim vzorcem njenih točk. V delu se ukvarjamo z vprašanjem, s koliko točkami, glede na način vzorčenja in rod ploskve, lahko zanesljivo rekonstruiramo originalno geometrijsko ploskev. Najprej opišemo različne načine vzorčenja točk s ploskve, kaj je enakomerni in kaj je slučajni vzorec točk z izbrane ploskve. Vzorce lahko obravnavamo s topološkimi metodami, natančneje metodami vztrajne homologije. Iz vzorca točk s programskim paketom Javaplex konstruiramo filtracijo Vietoris-Ripsovih simplicialnih kompleksov in opazujemo črtni diagram Bettijevih števil. V zaključku predstavimo računske rezultate za sfero in torus glede na različna modela vzorčenja, ter nekaj možnosti za nadaljnje izboljšave. A geometric surface can be approximately described using a finite point-sample. The main question of this thesis is the following: how many points, depending on the sampling model and surface genus, are needed to confidently reconstruct the original geometric surface. First we present different sampling models of surface points — the uniform and the random sample. We use topological methods, in particular persistent homology, to process our data. Using Javaplex software package we construct a filtration with Vietoris-Rips simplicial complexes and consider the bar-code diagram of its Betti numbers. Finally we present our computational results for both the sphere and the geometric torus with respect to the two sampling models , and several options for further improvements.