Search

Diplomska naloga se ukvarja s friznimi grupami. Na Evklidski ravnini, opremljeni z Evklidsko metriko, definira množico vseh izometrij, nato pa obravnava najpreprostejše primere le-teh (to so translacija, rotacija in zrcaljenje). S pomočjo kompozitumov translacij, rotacij in zrcaljenj nato predstavi tudi vse frizne grupe. Cilj diplomske naloge je opisati (klasificirati) frizne grupe ter dokazati, da jih je, geometrijsko gledano, natanko sedem. The diploma thesis deals with frieze groups. In the Euclidean space under the Euclidean metric, it defines the set of all isometries and then deals with the most basic cases of such isometries (them being translation, rotation and reflection). Using compositions of translations, rotations and reflections, it then presents all the frieze groups. The goal of the diploma thesis is to classify frieze groups and prove that there are exactly seven geometrically different types of them.

Predstavimo drevesno uverižljive kontinuume in izreka o konstrukciji drevesno uverižljivega kontinuuma brez lastnosti fiksne točke z drevesnimi verigami v prostoru ali ravnini. Podamo tudi zgled konstrukcije prvih dveh drevesnih verig takšnega kontinuum v ravnini, če obstaja. Predstavimo še nekatere odprte probleme. We present tree-like continua and prove two theorems about construction of tree-like continua which do not have the fixed point property using tree-chains in a three-dimentional space or a plane. We present an example of a construction of first two tree-chains of such a continuum in plane, if there is one. We also present some open problems.

V delu predstavimo diferencirano zasebnost. Gre za matematično definicijo zasebnosti pri javni objavi ter rudarjenju podatkov. Predstavljena je splošna definicija v kontekstu metričnih prostorov in verjetnostne mere, ki omogoča enotno obravnavo različnih vrst podatkov. Pokažemo nekaj osnovnih izrekov, ki omilijo zahteve definicije. Obravnavan je Laplaceov mehanizem za numerične podatke. Podana je izpeljava spodnjih mej za največjo napako zasebnih odzivnih mehanizmov. V nadaljevanju se osredotočimo na funkcijske podatke. S pomočjo teorije Gaussovih procesov in Hilbertovih prostorov z reprodukcijskim jedrom pokažemo uporabo diferencirane zasebnosti na primeru jedrne cenilke gostote. Osnovne mehanizme implementiramo in predstavimo rezultate. We introduce the concept of differential privacy, mathematical definition for privacy preserving data publishing and data mining. General definition in context of metric spaces and probability measure is given. Further, we present some theorems which help to alleviate the requirements of described definition. Laplace mechanism for numerical data and lower bounds on errors of response mechanisms are presented. We later turn focus to functional data. Using Gaussian processes and Reproducing Kernel Hilbert Spaces we present how differential privacy is used for privatization of density kernel estimator. Most of the described mechanisms are also implemented and results are presented at the end

Diplomsko delo v prvem poglavju obravnava Sylvester-Gallaijev izrek: predstavitev, formulacijo, možne posplošitve in dokaze ter zgodovino. Začetek slednje sega v konec 19. stoletja, ko je James Joseph Sylvester ustvaril temelje, ki so se kasneje razvili v oblikovanje Sylvester-Gallaijevega izreka. Sam je namreč pri raziskovanju raznih konfiguracij sestavljenih iz mrež ugotovil, da ni možno določiti končnega števila točk tako, da bo vsaka premica, ki poteka skozi dve točki šla še skozi tretjo iz iste množice, razen, če vse točke ležijo na isti premici. Njegovo ugotovitev je kasneje v afini realni ravnini dokazal Tibor Gallai, katerega dokaz pa ni ostal osamljen. V diplomskem delu sta podana še dokaza L. M. Kellya in R. Ste inberga. Poleg vsega naštetega pa so v prvem poglavju, predvsem zaradi lažjega razumevanja dokazov Sylvester-Gallaijevega izreka, predstavljene osnovne značilnosti evklidske, afine in projektivne geometrije in Motzkinov izrek kot ena izmed mnogih posplošitev Sylvester-Gallaijevega izreka. Drugo poglavje v uvodnem delu zajema definicije pojmov kot so: metrični prostor, premica v poljubnem metričnem prostoru, trojna relacija, vmesnost. Sicer pa je v celoti namenjeno posplošitvi Sylvester-Gallaijevega izreka za metrične prostore, tako imenovanemu Sylvester-Chvátalovemu izreku. Vašek Chvátal je namreč razširil pojem premic v poljubnih metričnih prostorih in podal domnevo, ki posplošuje Sylvester-Gallaijev izrek. Chvátalova domneva je bila potrjena kot izrek, ki smo ga, zaradi lažjega dokazovanja, tudi s pomočjo primerov, razdelili na dva dela: Če za vsake 3 točke iz M velja, da ležijo na neki skupni premici, potem ta premica vsebuje vse točke iz M. Oziroma, če obstajajo 3 točke iz M, ki ne ležijo na skupni premici, potem obstaja premica, ki vsebuje natanko 2 točki. This diploma thesis in first chapter beginns with Sylvester-Gallai theorem: its presentation, formulation, generalizations, proofs and history. James Joseph Sylvester has been investigated a figure which is a discrete set of points having the property that the line joining any two of them contains not only these two but infinitely many. It was probably the investigation of such configurations that led Sylvester to propose his problem of 1893: Prove that it is not possible to arrange any finite number of real points so that a right line through every two of them shall pass through a third, unless they all lie in the same right line. A Sylvester question was solved by Gallai, who gave an affine proof, proves has been followed by a Steinberg’s proof in the projective plane and Kelly’s Euclidean proof. First chapter also describes features of Euclidean, affine, projective plane and Motzkin generalization as one of many generalizations of Sylvester-Gallai theorem. The second chapter begins with definitions of concepts like metric space, a line in arbitrary metric space, a ternary relation, betwenness. The main purpose of the chapter is to present and prove Sylvester-Chvátal theorem. Vašek Chvátal extended the notion of lines to arbitrary metric spaces and made a conjecture that generalizes the Sylvester-Gallai theorem. Proof splits into two parts: If every three points of M are contained in some line, then some line consists of all points of M and if some three points of M are contained in no line, then some line consists of precisely two points.