Search

Математика и музика, антипод једна другој, од најстаријих периода људске цивилизације развијале су се кроз природу и у природи. И једна и друга област полазеод практичне потребе човека за премеравањем, пребројавањем, упоређивањем – математика; односно, песмом, ритмом, плесом – музика. Указујући на историјски развој и филозофска становишта, како математике тако и музике, уочава се да су поменуте областипрешле пут од практичних делатности ка апстрактним дисциплинама науке и уметности. На том путу развоја, математика и музика, од самих почетака укрштале су своје теоријске основе и на тај начин међусобно допринеле формирању појединих математичких односно музичких закона и законитости. Ако би се теорија музике и/или дела великих уметникапосматрала оком математике, у њима би се пронашле математичке законитости, које су или биле основ за формирање музичких правила, или су, пак, и математика и музика у свом развоју прихватиле нека заједничка начела и принципе и по њима градиле своје теоријске основе. Кроз историјски развој,филозофска гледишта великих мислилаца, као и кроз указивање на конкретне примере везе математике и музике у раду се указује да су, иако априори неспојиве, математика и музика две дисциплине које се међусобно прожимају и међу којима постоји нераскидива веза. Педагошки део рада који је обухватио и емпиријско истраживање, има за циљ да представи у којој мери примена конкретне математичко-музичке игре доприноси дечјем социјалном, емотивном и когнитивном развоју, те развоју социо-емотивних и когнитивних вештина деце узраста од осам до дванаест година старости. Повезивање математичких и музичких садржаја и њихово обликовање у дидактичку игру1 идеја је водиља методолошког дела рада.Истраживање је спроведено у две интернационалне школе на територији Београда уз примену игреMusical Monkeys, а у сарадњи са тимом MusicMathиз Мексика, који су и креатори поменуте игре. ИграMusical Monkeys, одабрана је због своје интердисциплинарности, педагошке подобности, интерактивности, динамичности и иновативности.Резултати истраживања показали су да овакав приступ у раду са децом подстиче пажњу и мотивацију, активност и ангажовање у настави, захтева и подстиче критичко мишљење при решавању постављених математичких и/или музичких задатака, доприноси сарадњи, колаборацији, конструктивној комуникацији и тимском раду деце, уважавању мишљења других, проналажењу заједничке стратегије решења проблема, те поштовању правила игре, као и ентузијазму, осећању радости и међусобном уживању при реализацији постављених задатака. Добијени резултати потврђују да су деца повезала садржаје две области, математике и музикеи да је за њих, тај моменат био један у низу интересантних у самој игри... јер, питање је,како je заправо могуће повезати математику и музику? Mathematics and music, in a mutual antipodal position, have developed from the earliest periods of human civilisation through and within the nature. Both these areas start from the practical need of man to measure, build, count, compare in the case of mathematics, and song, rhythm and dance, in the case of music. Pointing to the historic development and the philosophical stance of both mathematics and music, it is apparent that these areas have progressed from practical activities to abstract scientific and artistic disciplines. On this development path, mathematics and music have from the very beginning interweaved their theoretical foundations, thereby jointly contributing to formation of individual mathematical and musical laws and rules. If we were to view the theory of music and/or works of great musicians from a mathematical point of view, we would discover mathematical rules as a base for formation of musical patterns, or it could be concluded that both mathematics and music have introduced certain mutual principles in their respective courses of development, using these principles to build their theoretical foundations. Following the course of historical development, philosophical stances of great thinkers, while also pointing to concrete examples of links between mathematics and music, the paper aims to show that although a priori unrelatable, mathematics and music represent two mutually interconnected disciplines, with unbreakable bonds. The pedagogical part of the paper included empirical research, aims to present the extent to which the application of the concrete mathematical and musical play contributes to the child‟s social, emotional and cognitive development, as well as development of the social and emotional and cognitive skills in children aged eight to twelve. By connecting mathematical and musical contents and their shaping in a didactic play2 is the guiding ide of the methodological part of the paper. The research was conducted in two international schools in Belgrade, using the play titled „Musical Monkeys‟ and in collaboration with the MusicMath team from Mexico. The results of the research have shown that this kind of approach in working with children encourages 2 Didactic play – a complex pedagogical activity which enables mastering if certain contents and knowledge, development of capabilities as well as an experience of consequences of own actions in the play (Bognar i Matijević,1993). attention and motivation, activity and engagement, while requiring and encouraging critical thinking in solving the set mathematical and/or musical tasks, contributing to cooperation, collaboration, constructive communication and team work of children, appreciating others‟ opinions, finding a joint strategy in problem solving, as well as respecting the rules of the game, developing enthusiasm, feeling of happiness and joy in working on the set tasks. The obtained results confirm that the children established connection between the mathematical and musical segments, reaching a culmination in a moment of interest within the play, because of the inevitable question – how can mathematics and music be connected?

Предмет докторске дисертације је израда оквира за дигитално архивирање у циљу очувања, представљања и омогућавања доступности дигитализованог и дигиталног садржаја за потребе историјских и других истраживања. Предложени оквир заснива се на концепту ,,тематских колекција“ и намењен је истраживачима који желе да креирају сопствене дигиталне збирке историјских извора и текстова како би ширу научну заједницу упознали са својим истраживањем, повезали га са ширим контекстом и створили услове за умрежавање и сарадњу. Оквир, на примеру дигитализације архивског материјала Математичког института САНУ и у складу са актуелним препорукама и прописима за дигитализацију културног наслеђа у Републици Србији, нуди смернице за: 1) економичан поступак превођења у дигитални облик ради добијања оперативних копија за представљање на вебу, 2) каталогизацију и опис дигиталних докумената помоћу Dublin Core скупа елемената, 3) креирање дигиталног архива помоћу Omeka Classic платформе, 4) израду упутства за архивско истраживање одређених историјских тема и 5) састављање историјских есеја у дигиталном окружењу. Посебни циљ докторске дисертације је примена предложеног оквира у историјским и другим истраживањима, конкретно у проучавању развоја Математичког института у периоду од његовог успостављања у крилу Српске академије наука 1946. године до његовог осамостаљивања 1961. године. Резултати рада су: 1) систематски обрађено питање прошлости Математичког института САНУ у поменутом хронолошком оквиру, 2) дигитална колекција посвећена историји математике и сродних наука у Србији и југоисточној Европи и 3) предлог оквира за дигитално архивирање дигиталног и дигитализованог садржаја за потребе историјских и других истраживања. The subject of this doctoral dissertation is construction of a model of a digital archive, the purpose of which is to preserve, present and give access to digitized and digital contents serving the needs of historical and other research. The proposed model is based on the concept of “thematic research collections”, and it is intended for researchers who want to create their own digital collections of historical sources and texts in order to acquaint the academic community with their research and connect that research with a broader context as well as create conditions for networking and cooperation. The model, on the example of digitization of archival material of the Mathematical Institute SANU and in accordance with the current recommendations and regulations for digitization of cultural heritage in the Republic of Serbia, provides guidelines for: 1) cost-effective conversion to digital form and creation of operational copies for presentation on the web, 2) cataloguing and description of digital documents using Dublin Core Metadata Element Set, 3) creating a digital archive using Omeka Classic web-publishing platform, 4) producing an Archival Research Guide of selected historical themes, and 5) writing a historical essay in digital environment. The specific goal of this doctoral dissertation is the application of the proposed model in historical and other research, specifically in the study of the development of the Mathematical Institute in the period between its establishment as an institution of Serbian Academy of Sciences in 1946 and its independence in 1961. The results of the paper are: 1) a systematical research of the history of Mathematical Institute SANU in the given chronological framework, 2) a digital collection dedicated to the history of mathematics and related sciences in Serbia and South East Europe, and 3) a proposed model for a digital archiving of digitized and digital contents serving the needs of historical and other research.

Predmet istraživanja ove doktorske disertacije je razvoj novog metodološkog okvira, kao i praktična implementacija internog kreditnog rejtinga modela za segment velikih i srednjih preduzeća u Srbiji. Osnovni cilj jeste kvantifikacija kreditnog rizika preduzeća u Srbiji, koja je omogućena korišćenjem novo-razvijenog modela kreditnog skoringa, kao i procena boniteta preduzeća, na osnovu uspostavljenog internog kreditnog rejting modela. Podaci na kojima se bazira istraživanje, predstavljaju sedmogodišnje podatke iz finansijskih izveštaja, odnosno bilansa stanja i bilansa uspeha preduzeća u Srbiji za periode posmatranja od 2006. do 2012. godine. Korišćenjem ovih podataka omogućava se kvantifikacija verovatnoće difolta preduzeća u Srbiji, uzimajući u obzir specifičnosti ovog tržišta i poslovnog ambijenta. Na bazi uspostavljene originalne metodologije, od strane autora, u ovoj doktorskoj disertaciji pokrivene su tri velike oblasti. Kao prvo, urađena je analiza velikog broja finansijskih racija, kao i pronalaženje najprediktivnijeg finansijskog racija u Republici Srbiji, na osnovu raspoloživih višegodišnjih podataka. Primenjena je i odgovarajuća transformacija finansijskih racija i korišćenje u svrhu razvoja modela kreditnog skoringa. Kao glavni rezultat istraživanja razvijen je i predložen novi model kreditnog skoringa koji kvantifikuje verovatnoću difolta preduzeća. Ovaj novi model pokazuje veću prediktivnu moć od modela koji su razvijani i korišćeni za inostrana tržišta poput Altmanovog Z-skor modela. Kao konačni rezultat, predstavljen je i uspostavljen interni kreditni rejting model, primenom originalnog pristupa kojim se uobličavaju i koriste rezultati prethodno razvijenog modela kreditnog skoringa. Konačni modeli kao i njihovi rezultati su prošli proces validacije predložen od strane relevantne akademske literature i novih Bazelskih standarda. Izračunati su ponderi kreditnog rizika na osnovu principa Bazela II i III i kroz retrospektivu je pokazano je da su svi rezultati proistekli iz istraživanja dokazali polazne hipoteze ove doktorske disertacije. The main subject of interest of this doctoral thesis is development of new methodological framework and empirical implementation of internal credit rating model for medium and large companies in Serbia. The main goal is credit risk quantification of Serbian companies by employing newly developed credit scoring model, as well as, the assessment of credit quality of companies by utilizing developed internal credit rating model. The data, which has been used as the basis of this research, is given in form of seven years history of financial statements, in form of balance sheet and income statement, of Serbian companies for the periods from 2006., up to 2012. year. The utilization of this data enables to quantify probability of default of Serbian companies by taking into consideration specific properties of this market and business environment. Based on new and the originally established methodology by the author this doctoral dissertation covers three large areas. The first is represented by the analysis of large number of financial ratios, as well as, a search for the most predictive financial ratio in the Republic of Serbia, based on available data history. Corresponding data transformation of financial ratios has been utilized with a purpose of credit scoring model development. As main result, the new credit-scoring model that quantifies the default probability, has been developed and proposed. This new model has a greater predictive power compared to models, such as Altman Z-score model, which have been developed and used on the foreign markets. As the final result, the internal credit rating model has been proposed and established by applying original approach, which shapes and uses the results gathered from previously developed credit scoring model. The final models and its results have been governed through the validation process which has been proposed by relevant academic literature and new Basel Capital Accord standards. The credit risk weights based on Basel II and III principles have been calculated and it has been demonstrated that all results presented in this research have confirmed the starting hypothesis of this doctoral dissertation.

Rad se sastoji od tri glave. Prva glava sadrži dobro poznate činjenice o Hardijevim klasama harmonijskih, analitičkih i logaritamsko subharmonijskih funkcija u disku i njihove primene. Zatim kratko govorimo o harmonijskim i minimalnim površima i klasičnoj izoperimetrijskoj nejednakosti, kao i o rezultatima koji su povezani sa ovom nejednako šću. Jedan od najelegantnijih načina da se ustanovi izoperimetrijska nejednakost je preko Karlemanove nejednakosti za analitičke funkcije u disku. U drugoj glavi prezentujemo rezultate našeg skorijeg rada [29] koji se odnose na harmonijska preslikavanja diska na proizvoljnu Jordanovu površ. U ovoj glavi su klasični rezultati Karateodoria i Smirnova za konformna preslikavanja razmotreni za prethodni tip preslikavanja. Na kraju glave prethodne rezultate primenjujemo u cilju dokaza izoperimetrijske nejednakosti za Jordanove harmonijske površi omedjene rektificijabilnom krivom. U trećoj, prema [35], izvodimo dokaz jedne nejednakosti izoperimetrijskog tipa, slične Karlemanovoj, za analiti čke funkcije više promenjivih. Prva verzija ove nejednakosti je za analitičke funkcije u proizvoljnoj Reinhardtovoj oblasti, a druga se odnosi na funkcije koje pripadaju Hardijevim prostorima na polidisku. This work consists of three chapters. The first one contains some well known facts about Hardy classes of harmonic, analytic, and logarithmically subharmonic functions in the unit disk, as well as their applications. Then we briefly talk about the harmonic and minimal surfaces, the classical isoperimetric inequality, and the more recent results related to this inequality. One of the most elegant way to establish the isoperimetric inequality is via Carleman’s inequality for analytic functions in disks. In the second chapter we present the results from our recent work [29] for harmonic mappings of a disc onto a Jordan surface. In this chapter we establish the versions of classical theorems of Carath´eodory and Smirnov for mappings of the previous type. At the end of the head we apply these results to prove the isoperimetric inequality for Jordan harmonic surfaces bounded by rectifiable curves. In the third chapter, according to the author paper [35], we prove an inequality of the isoperimetric type, similar to Carleman’s, for functions of several variables. The first version of this inequality is for analytic functions in a Reinhardt domain. The second one concerns the functions that belong to Hardy spaces in polydiscs.

Овај рад представља прилог проучавању историје и филозофије златног пресека сагледане кроз еволуцију ликовног стваралаштва које је обухватило раздобља од Старијег палеолита до Раног холоцена, а затим и примену геометријско-конструктабилних метода у стваралаштву из ранохолценских епоха и филозофије природе конципиране током Старог века (до објављивања Еуклидове математичке збирке „Елементи“). Широк обухват истраживање био је условљен потребама за дефинисањем различитих фаза и процеса еволуције геометријског мишљења који су претходили математичкој формализацији и историјским основама златног пресека. У том погледу рад представља теоријску синтезу резултата истраживања у оквиру којих је установљена аналогија геометријских вредности на нивоу природних и артефицијалних структурација. Поменута аналогија је указала на различита искустава проистекла из несвесног и интуитивног транспоновања геометријско-сразмерских вредности златног пресека, која су током времена довела до стадијума њихове свесне примене и разумевања њихових природно-филозофских основа. Радом су обухваћени резултати истраживања више стотина археолошких артефаката и писаних извора који су указали на континуитет различитих видова практичне примене, а затим и теоријске имплементације геометријских основа ове значајне сразмере. У основи, рад је базиран на представљању и аналитичкој имплементацији оригиналних геометријских метода – примарне конструкције по златног пресека и лествичне/ангуларне деобе по златном пресеку, помоћу чијих конструктабилних елемената је генерисан скуп вредности које се као геометријске доминанте проналазе како у различитим видовима природних структурација, тако и у артефицијалним садржајима и теоријским конструктима на којима је била базирана античка филозофија природе. У том погледу, резултати истраживања су указали да се доминантни геометријски образасци генерисани у оквиру античке филозофије природе могу бити сведени на истоветне вредности (размере, углове и облике), који коинцидирају са геометријским основама структуре молекула воде, односно геометријским карактеристикама пропагације светлости, попут примарног и секундарног дугиног угла, Брустеровог упадног угла, углова терестријалне рефракције светлости, а затим, у одређеним случајевима, и са астрометријским карактеристикама који се доводе у вези са одређивањем положаја и привидног кретања небеских тела (посебно оних који се тичу геометријских основа проистеклих из одређивања равнодневница и солстиција). Посебно место у том погледу имају геометријске карактеристике система питагоријске музичке лествице и Платонове космолошке константе, чије свођење на јединствену геометријско-конструктабилну матрицу указује на посебно епистемолошко и онтолошко место које је приликом рационалног дефинисања процеса у природи и визуелизације космолошких принципа и појава (космографија) током раздобља Класичне Грчке било додељено сразмерским вредностима златног пресека. Рад је поткрепљен графичким студијама и прилозима са упоредним анализама чији садржаји сведоче о нивоима несвесне, интуитивне и рационлне транспоновања и примене геометријско-сразмерских вредности ове значајне сразмере. Графички прилози конципирани су тако да на непосредни и јасан начин укажу на висок степен установљене аналогије између геометријских вредности које с једне стране чине садржаје различитих артфицијалних објеката, а с друге, елеменате на које се своди геометрија одређених видова природног структурирања. Посебна пажња и обухват резултата истраживања усмерени су у правцу разумевања положаја које су геометријске основе златног пресека имале у еволуцији интелигенције и стваралачкој еволуцији током различитих палеолитских фаза, а затим и рационалних приступа у генерисању (синтези) геометријско-конструктабилних вредности остварених почетком и у току холоценског раздобља. Циљ овог рада је да укаже да елементи геометријске аналогије чине важну аналитичку основу преко које се на непосредан начин могу установити релације и садржаји који су утицали на развој свести и апстрактног мишљења које је током времена довело до ширег спектра искустава у вези са математизацијом и природнофилозофским дефинисањем геометријских законитости златног пресека. У том смислу овај рад доприноси употпуњавању савремених историјских контекста и погледа на еволутивне и историјске чињенице у вези са развојем идеје о златном пресеку. This dissertation represents a contribution to the history and philosophy of the golden ratio observed through the evolution of visual arts covering the period from Upper Palaeolithic to Early Holocene, including the usage of geometrical-constructible methods within Early Holocene epochs and the philosophy of nature that was conceived during the Classical epoch ending with the Hellenistic period, i.e. after Euclid's „Elements“. Such wide scope of the research was determined by the need to define different phases and processes of geometrical thought evolution that preceded the mathematical definition and history of the golden ratio. In this view, this work represents a theoretical synthesis of research results where the analogy between geometrical values of natural and artificial structurations has been drawn. The mentioned analogy points out various experiences in subconscious and intuitive transposition of geometric-proportional values of the golden ratio, which in the course of time led to their conscious application and understanding of their naturalphilosophical bases. The work comprises the research results of several hundreds of archaeological artefacts and written sources that indicate the continuity of various aspects, first of practical use and then of theoretical implementation of geometrical bases/foundations of this important ratio. Basically, the work rests on presentation and analytical implementation of the original geometrical methods – primary construction by golden ratio and scalar/angular division by golden ratio, whose elements have been used to generate a set of identical values that can be found as geometric dominants both in different aspects of natural structurations and in artificial contents and theoretical foundations of the ancient philosophy of nature. Therefore the research results indicate that the dominant geometrical patterns are reduced to the genesis of the identical values (proportion, angles and shapes) that coincide with the geometrical bases of the water molecule structure, i.e. geometrical characteristics of light propagation, like primary and secondary rainbow angles, Brewster’s angle, tertiary light refraction angles, and then, in certain cases, also with astrometric characteristics concerning to the position and apparent motions of celestial bodies, especially those related to geometry used for calculating equinoxes and solstices. A special place thus belongs to geometrical characteristics of Pythagorean musical scale and Plato's cosmological constant whose reduction to a unique geometric-constructible pattern points out a special epistemological and ontological place that was given to proportional values of the golden ratio in defining the processes in nature and visualisation of cosmological principles and phenomena (cosmography) in the Ancient Greek epoch. The dissertation is illustrated by comparative graphic studies and appendices whose contents show the levels of unconscious, intuitive and rational usage of geometric-proportional values of this important ratio. The graphic studies are presented so as to directly and clearly show the high level of the established analogy between geometrical values that make the contents of different artificial objects on one hand, and the elements which the geometry of natural structure is reduced to, on the other. Special attention and the research results' analysis have been directed towards understanding the position of geometricал bases of the golden ratio in the evolution of intelligence and creativity in different phases Palaeolithic art, and later the rational approaches in generating (synthesis) of geometric-constructible values achieved during the Holocene epochs. The purpose of this paper is to show that the elements of geometrical analogy make an important analytical basis that can be used to establish directly the relations and contents that influenced the development of conscience and abstract thought that in the course of time broadened the range of experiences related to the mathematisation and natural philosophical defining of geometric regularities of the golden ratio. Thereby, this dissertation contributes to extend contemporary historical contexts and aspects on evolutional and historical facts related to the development of the idea of golden ratio