Search

При исследовании римановых многообразий важное значение имеет установление связи между различными типами кривизны и топологией риманова пространства. Одной из особых кривизн при этом является секционная кривизна. Наиболее наглядными примерами этого являются теоремы Адамара – Картана, М. Громова, теорема о сфере, теорема сравнения углов треугольника А.Д. Александрова − В.А. Топоногова, уравнения теории относительности А. Эйнштейна и ряд других результатов. В общем случае задача исследования римановых многообразий с ограничениями на секционную кривизну представляется достаточно сложной. Естественно поэтому рассматривать ее в классе однородных римановых пространств, в частности в классе групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой. В данном направлении хорошо известны результаты М. Берже, С. Аллофа – Н. Уоллача, ряда других математиков по исследованию однородных римановых многообразий положительной секционной кривизны. Другим естественным ограничением является изучение секционной кривизны, а также ее оператора в классе конформно плоских римановых метрик. Данный класс метрик допускает удобное аналитическое представление, а спектр оператора секционной кривизны тесно связан с секционной кривизной. Исследован спектр оператора секционной кривизны конформно плоских римановых многообразий. Кроме того, изучен спектр оператора секционной кривизны в случае конформно полуплоских метрических групп Ли.DOI 10.14258/izvasu(2015)1.1-19, An establishment of communication between various types of curvature and topology of a Riemannian space is important for the research of Riemannian manifolds. The sectional curvature is one of the special types of curvatures. Some of the most known examples are Hadamard – Cartan’s theorem, M. Gromov’s theorem, the sphere theorem, the A.D. Alexandrov – V.A. Toponogov’s theorem of comparison of a triangle corners, the equations of A. Einstein’s theory of relativity, and some other results. Generally, a study of Riemannian manifolds with restrictions on the sectional curvature is assumed to be complicated. Therefore, it would appear reasonable to consider the study in a class of homogeneous Riemannian spaces, and, in particular, in a class of Lie groups with left invariant Riemannian metrics. In this direction there are well-known M. Berger’s, S. Alloff – N. Wallach’s research results and research results of some other mathematicians. Another natural restriction is a study of the sectional curvature and its operator in a class of conformally flat Riemannian metrics. This class of metrics allows convenient analytical representation, and the spectrum of the sectional curvature operator of such metrics is closely connected with the sectional curvature. In this paper, the sectional curvature operator spectrum of conformally flat Riemannian manifolds is investigated. Besides, the spectrum of the sectional curvature operator is investigated for the case of half conformally flat metric Lie groups.DOI 10.14258/izvasu(2015)1.1-19