Search

Работа посвящена исследованию спектральных асимптотик эллиптических операторов произвольного четного порядка в ограниченной области со степенным вырождением вдоль всей границы. Исследуемые операторы порождаются с помощью полуторалинейных форм, которые могут не удовлетворять условию коэрцитивности. Основная часть опубликованных работ по этому направлению относится к случаю, когда коэффициенты исследуемых операторов представимы в виде произведения ограниченной функции и степени расстояния до границы. В отличие от этого здесь изучаем эллиптические операторы, младшие коэффициенты которых принадлежат некоторым L_p-пространствам со степенным весом. Ранее во многих работах, где изучалась оценка резольвенты несамосопряженных операторов, порожденных с помощью полуторалинейных форм, доказывалось неравенство вида (A-lambda E)-1leq Mlambda-1/2. Здесь доказано одно представление резольвенты исследуемого оператора A, которое позволяет получить неравенство такого типа с показателем 1 вместо 1/2. На основе таких неравенств можно исследовать вопросы суммируемости в смысле Абеля Лидского системы корневых вектор-функций оператора A. Также доказывается, что оператор A имеет дискретный спектр, и изучается асимптотика функции N(t), указывающей число собственных значений оператора A, не превосходящих по модулю t, с учетом их алгебраических кратностей., The paper is devoted to the study of the spectral asymptotics of elliptic operators of arbitrary even order in a bounded domain with power degeneration along the entire boundary. The operators under study are generated by sesquilinear forms that may not satisfy the coercivity condition. The main part of the published papers in this area refers to the case when the coefficients of the studied operators can be represented as a product of a bounded function and the degree of distance to the boundary. In contrast, here we study elliptic operators whose lower coefficients belong to certain L_p-spaces with power weights. Earlier, in many papers, where the estimation of the resolvent of non-self-adjoint operators generated by sesquilinear forms was studied, the inequality of the form (A-lambda E)-1leq Mlambda-1/2 was proved. Here we prove one representation of the resolvent of the operator A that allows us to obtain an inequality of this type with 1 instead of 1/2. On the basis of such inequalities, we can investigate the summability in the AbelLidskiy sense of the system of root vector functions of the operator A. It is also proved that the operator A has a discrete spectrum, and the asymptotics of the function N(t), the number of eigenvalues of the operator A whose magnitude is at most t, taking into account their algebraic multiplicities, is studied., №4(104) (2020)

At present, multilateration systems are becoming increasingly important in air traffic control. This is due to their significant advantages in compare with secondary surveillance radar complexes. This article solves the problem of synthesizing an algorithm for object location estimation for multilateration system operating in passive mode. The synthesized algorithm is a combination of a procedure, the result of which is a rough estimate of the observed object coordinates, and an iterative algorithm specifying the resulting solution. The rough estimate is the result of solving a linear system of equations. The iterative refinement procedure is based on the linearization of the observational equations and does not require a large number of iterations. The paper provides a comparative statistical analysis of the proposed algorithm and the known Bancroft algorithm. For an objective analysis of two algorithms, the paper derives the Cramer-Rao boundary for the correlation matrix of estimates of the observed object coordinates, which makes it possible to determine the potential accuracy of the solution of the problem. It is shown that both algorithms allow obtaining estimates, the accuracy of which is close to the potentially achievable accuracy of the object location estimate. In contrast to the Bancroft algorithm, the rough estimate of the object location is unambiguous. This virtue reduces the total amount of computations during the algorithm implementation and reduces the probability of anomalous errors.

Исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для вырождающегося параболического уравнения 2го порядка в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа L2. Данная тематика берет начало с классических работ Ф. Рисса 1 и Литтлвуда и Пэли 2, посвященных граничным значениям аналитических функций. Дальнейшее развитие этой тематики для равномерно эллиптических уравнений получило в работах В. П. Михайлова, А. К. Гущина 3 9. Условие гладкости границы (Q C2) можно ослабить (см. 7). При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерий существования граничного значения установлен в 7 9. При этом, как показано в работе 9, все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса 1 и Литтлвуда Пэли 2, 3. В случае вырождения типа Келдыша ситуация более сложная. Постановка первой краевой задачи и поведение решения вблизи границы определяются порядком вырождения уравнения, а в случае сильного вырождения коэффициентами при младших членах. Вопросам разрешимости первой краевой задачи для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений посвящено большое число работ. Достаточно отметить работы Ф. Трикоми 10, М. В. Келдыша11, А. В. Бицадзе 12, С. А. Терсенова 13, И. М. Петрушко 14, 15, О. А. Олейник, Е. В. Радкевича 16, Г. Фикеры 17 и др. Из недавних работ можно отметить 18. В настоящей работе рассматривается случай сильного вырождения параболического уравнения 2го порядка, когда соответствующая квадратичная форма убывает как r(x) и постановка первой смешанной задачи определяется коэффициентом при первой производной по нормали., The paper investigates the question of the unique solvability of the first mixed problem for a degenerate secondorder parabolic equation in the case when the boundary and initial functions belong to spaces of type L2. This topic originates from the classical works of F. Riesz 1 and Littlewood and Paley 2 devoted to the boundary values of analytic functions. Under the weakest restrictions on the smoothness of the boundary (and on the coefficients of the equation), the criterion for the existence of a boundary value was established in 7 9. The boundary smoothness condition (Q C2) can be weakened (see 10). Moreover, as shown in 9, all directions of the adoption of boundary values for uniformly elliptic equations turn out to be equal the solution has the property similar to the property of continuity in the set of variables. In the case of degeneration of the equation at the boundary of the region, when the directions are not equal, the situation is more complicated. Moreover, the formulation of the first boundary value problem is determined by the type of degeneracy. In the case when the values of the corresponding quadratic form of the degenerate elliptic equation on the normal vector are nonzero (Tricomi type degeneracy), the Dirichlet problem is correct, and the properties of such degenerate equation are very close to the properties of a uniformly elliptic equation. In particular, in this situation, analogs of the Riesz theorems 1 and Littlewood Paley 2, 3 are valid. In the case of degeneracy of the Keldysh type, the situation is more complicated. The statement of the first boundaryvalue problem and the behavior of the solution near the boundary are determined by the order of degeneracy of the equation, and in the case of strong degeneracy, by the coefficients of the lower terms. A large number of papers have been devoted to the solvability of the first boundaryvalue problem for degenerate elliptic and parabolic equations. Note the works of F. Tricomi 11, M. V. Keldysh 12, A. V. Bitsadze 13, S. A. Tersenov 14, I. M. Petrushko 15, O. A. Oleinik and E. V. Radkevich 16, G. Fichera 17, etc. From recent works it is worth noting 18. In this paper, we consider the case of strong degeneracy of a secondorder parabolic equation when the corresponding quadratic form decreases as r(x) and the formulation of the first mixed problem is determined by the coefficient of the first normal derivative., №3(103) (2019)

Предложен и реализован новый вариант метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) повышенной точности для численного решения неоднородного бигармонического уравнения. Дифференциальная задача методом КНК проектируется в пространство полиномов четвертой и восьмой степеней. Реализованный алгоритм применяется в нерегулярных областях, границы которых заданы аналитическими кривыми, в частности сплайнами. Исходная нерегулярная область включается в прямоугольник, который покрывается регулярной сеткой с прямоугольными ячейками. На границе области используется "одинарный" слой ререгулярных ячеек (н-ячеек), отсеченных границей от прямоугольных граничных ячеек начальной регулярной сетки. Все н-ячейки разбиваются на два класса: самостоятельные, в которых находится центр содержащих их граничных ячеек, и несамостоятельные, центр содержащих их граничных ячеек которых расположен вне области. Вытянутые несамостоятельные граничные н-ячейки присоединяются к соседним самостоятельным ячейкам, и в объединенных ячейках строится свой отдельный кусок аналитического решения. При этом в граничных ячейках, которые пересекла граница, для аппроксимации дифференциальных уравнений использованы "законтурные" (расположенные вне расчетной области) точки коллокации и точки согласования решения задачи. Эти два приема позволили существенно уменьшить обусловленность системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) приближенной задачи по сравнению со случаем, когда несамостоятельные н-ячейки использовались как самостоятельные для построения приближенного решения задачи и не была использована "законтурная" часть граничных ячеек. В численных экспериментах по сходимости приближенного решения различных задач на последовательности сеток установлено, что решение сходится с повышенным порядком и с высокой точностью совпадает с аналитическим решением задачи в случае, когда решение известно. Приведено сравнение полученных результатов с известными результатами других авторов, которые использовали конечно-разностный метод (FDM, Finite Difference Method) повышенного порядка аппроксимации. В качестве приложения решение неоднородного бигармонического уравнения использовано для моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) изотропных тонких пластин нерегулярных форм., This paper addresses a new version of the least squares collocation (LSC) method of high order accuracy proposed and implemented for the numerical solution of the nonhomogeneous biharmonic equation. The differential problem is projected onto a polynomial space of fourth and eighth degrees by the LSC method. The algorithm implemented is applied in irregular domains. The boundaries of these domains are given by analytical curves, in particular, by splines. The irregular domain is embedded in a rectangle covered by a regular grid with rectangular cells. In this paper we use the irregular cells (i-cells) which are cut off by the domain boundary from the rectangular cells of the initial regular grid. All i-cells are divided into two classes: the independent and dependent ones. The center of a dependent cell is located outside the domain by contrast with the center of an independent cell. The idea of attaching elongated dependent irregular cells to the neighboring ones is used. A separate piece of the analytical solution is constructed in the combined cells. The collocation and matching points located outside the domain are used to approximate the differential equations in the boundary cells. These two approaches allow us to essentially reduce the conditionality of the corresponding system of linear algebraic equations. It is shown that the approximate solutions obtained by the LSC method converge with an increased order and coincide with the analytical solutions of the test problems with high accuracy in the case of the known solution. The numerical results are compared with those found by other authors who used a high order finite difference method. The nonhomogeneous biharmonic equation is used to model the stress-strain state of isotropic thin irregular plates as an application., ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ: НОВЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, Выпуск 4 2018

В данной работе, являющейся продолжением [1], устанавливаются необходимые и достаточные условия того, чтобы решение параболического уравнения 2-го порядка с боковой границей, принадлежащей классу $C^{1+\lambda}$, $\lambda >0$, вырождающегося на границе области, имело предел в среднем на боковой поверхности цилиндрической области и предел в среднем на ее нижнем основании, и исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для такого уравнения в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа $L_2$. Наиболее близкими к рассматриваемому кругу вопросов являются теоремы Ф. Рисса и Ж. Литтлвуда и Р. Пэли, в которых даются критерии предельных значений в $L_p$, $p > 1$, аналитических в единичном круге функций. Дальнейшее развитие этой тематики для равномерно эллиптических уравнений получило в работах В. П. Михайлова, А. К. Гущина [2–4]. Условие гладкости границы ($\partial Q \in C^2$) можно ослабить (см. [5]). При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерии существования граничного значения установлены в работах [4, 6–8]. При этом, как показано в работе [7], все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса [9] и Литтлвуда — Пэли [10, 11]., This work, being a continuation of [1], establishes the necessary and sufficient conditions for the solution of the second-order parabolic equations with a lateral boundary from the class $C^{1+\lambda}$, $\lambda >0$, degenerating on the boundary of the domain, to have an average limit on the lateral surface of the cylindrical domain and the limit in the mean on its lower base. Also, we study the question of the unique solvability of the first mixed problem for such equations in the case when the boundary and initial functions belong to spaces of the типа $L_2$ type. The closest to the questions under consideration are the theorems of F. Riesz and J. Littlewood and R. Paley, in which criteria are given for the limit values in $L_p$, $p > 1$, of the functions analytic in the unit disk. Further development of this topic for uniformly elliptic equations was obtained in the papers by V. P. Mikhailov and A. K. Gushchin [2–4]. The boundary smoothness condition ($\partial Q \in C^2$) can be weakened (see [5]). Under the weakest restrictions on the smoothness of the boundary (and on the coefficients of the equation), the criteria for the existence of a boundary value were established in [4, 6–8]. In this case, as shown in [7], all directions of the acceptance of boundary values for uniformly elliptic equations turn out to be equal, while the solution has a property similar to the property of continuity with respect to the set of variables. In the case of degeneracy of the equation on the boundary of the domain when the directions are not equal, the situation is more complicated. In this case, the formulation of the first boundary value problem is determined by the type of degeneracy. In the case when the values of the corresponding quadratic form of the degenerate elliptic equation on the normal vector are different from zero (the Tricomi type degeneracy), the Dirichlet problem is correct, and the properties of such degenerate equations are very close to the properties of uniformly elliptic equations; in particular, in this situation analogues of the Riesz [9] and Littlewood–Paley theorems [10, 11] are valid., Журнал «Математические заметки СВФУ», Выпуск 2 (106) 2020

Introduction. An efficient technique of tensor field scalarization is successfully used while investigating tensor elastic fields of displacements, stresses and deformations in the layered structures of different materials, including transversally isotropic composites. These fields can be expressed through the scalar potentials corresponding to the quasi-longitudinal, quasi-transverse, and transverse-only waves. Such scalarization is possible if the objects under consideration are tensors relating to the subgroup of general coordinate conversions, when the local affine basis has one invariant vector that coincides with the material symmetry axis of the material. At this, the known papers consider structures where this vector coincides with the normal to the boundary between layers. However, other cases of the mutual arrangement of the material symmetry axis of the material and the boundaries between layers are of interest on the practical side.Materials and Methods. The work objective is further development of the scalarization method application in the boundary value problems of the dynamic elasticity theory for the cases of an arbitrary arrangement of the material symmetry axis relative to the boundary between layers. The present research and methodological apparatus are developed through the general technique of scalarization of the dynamic elastic fields of displacements, stresses and strains in the transversally isotropic media.Research Results. New design ratios for the determination of the displacement fields, stresses and deformations in the transversally isotropic media are obtained for the cases of an arbitrary arrangement of the material symmetry axes of the layer materials with respect to the boundaries between layers. Discussion and Conclusions. The present research and methodological apparatus are successfully used in determining the stress-strain state in the layered structures of transversally isotropic materials, and in analyzing the diagnosis results of the state of the plane-layered and layered cylindrical structures under operation.

Предложен и реализован новый вариант метода коллокации и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнения Пуассона. Реализованный алгоритм применяется в неканонических областях, границы которых заданы дискретно. Для приближенного и однозначного задания границы области по ее дискретным данным в прямоугольной системе координат строится параметрический двойной сплайн, в качестве компонент которого взяты два кубических сплайна. Используется идея присоединения вытянутых несамостоятельных нерегулярных граничных ячеек к соседним самостоятельным с целью уменьшения обусловленности глобальной системы линейных алгебраических уравнений., The paper addresses a new version of the least squares collocation (LSC) method proposed and implemented for the numerical solution of boundary value problems for the Poisson’s equation in case of given discrete domain boundary. The computer program builds a continuous double spline when boundary is smooth or a piecewise smooth double spline if boundary has salient points. In this version of the method we apply the idea of using parts of the cells of a regular grid (outside the domain). These parts of the cells are cut off by the boundary to construct the LSC method. It is assumed that the solution has no singularities at the boundary and in a certain small neighborhood of it. The differential equation for the problem is correct not only in the computational domain but also in a small neighborhood of its boundary. Then the idea of attaching “small” irregular cells to neighboring ones is used in the work with the aim of reducing the number of conditionality of the global system of linear algebraic equations. It is shown that the approximate solutions obtained by the LSC method converge with an increased order and coincide with the analytical solutions of the test problems with high accuracy., №3(23) (2018)

Ранее была рассмотрена задача: на части границы области Ω ⊂ R3 находится нагреватель, имеющий регулируемую температуру. Требуется найти такой режим работы нагревателя, чтобы средняя температура в некоторой подобласти D области Ω принимала заданное значение. В данной работе рассматривается аналогичная задача граничного управления связанная с псевдопараболическим уравнением на отрезке. На части границы рассматриваемого отрезка задается значение решения, которое содержит параметр управления. Ограничение для допустимого управления задано в таком виде, что среднее значение решения в некоторой части рассматриваемого отрезка принимает заданное значение. Решается вспомогательная задача методом разделения переменных. Искомая задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Методом преобразования Лапласа доказываются теоремы о существовании и единственности допустимого управления., Previously, a mathematical model for the following problem was considered. On a part of the border of the region Ω ⊂ R3 there is a heater with controlled temperature. It is required to find such a mode of its operation that the average temperature in some subregion D of Ω reaches some given value. In this paper, we consider a similar boundary control problem associated with a pseudo-parabolic equation on a segment. On the part of the border of the considered segment, the value of the solution with control parameter is given. Restrictions on the control are given in such a way that the average value of the solution in some part of the considered segment gets a given value. The auxiliary problem is solved by the method of separation of variables, while the problem in consideration is reduced to the Volterra integral equation of the second kind. By Laplace transform method, the existence and uniqueness theorems for admissible control are proved., №2(98) (2018)

Для задачи типа Озеена в вихревой форме в многоугольной области с входящим тупым углом на границе определено $R_{\nu}$-обобщенное решение. Для ее приближенного решения построен весовой метод конечных элементов. Численные эксперименты модельной задачи в $L$-образной области показали преимущества предложенного метода., In this paper we introduce the notion of an $R_{\nu}$-generalized solution to the Oseen-type problem in rotation form in a polygonal domain with a reentrant obtuse angle on its boundary. We propose a weighted finite element method to solve this problem approximately. A number of numerical experiments performed on a model problem in an $L$-shaped domain show the advantages of the proposed method., ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ: НОВЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, Выпуск 1 (55) 2018

Detached flows of the bodies are the most widely spread phenomena in nature and in engineering. The main specific feature of them is that the flow becomes transient after the separation. This scientific paper is devoted to the direct numerical simulation of the eddy transient flow of 2D objects. The purpose of this investigation was to test the methods used for the solution of the problem of transient flow of different objects in order to define transient power loads and turbulent characteristics of the flow. To solve the problem of external flow of the bodies in the infinite space the eddy motion distribution is usually considered to be final. This allows us to concentrate computational resources on these areas, reaching there a high resolution of the flow structure at relatively low expenditures. A great advantage of vortex models is that these allow of the gridless realization. One more advantage of vortex gridless methods is the simplicity of meeting the boundary conditions for the infinity to solve the problems of external flow. A region occupied by the bodies is simulated as a liquid volume whose boundary has a tangential discontinuity of the velocity vector. The tangential velocity jump value is derived from the integral equation that provides the flow tangency condition on the body surface. The medium outside the streamline body and the vortex wake is considered to be ideal. A method of finite elements was used for the simulation of progress and separation of the boundary layer on the cylinder and the wing profile NACA 642-015A for the infinity flow. A change in the friction stress was calculated starting from the motion origination time. These data and the methods can be used for further improvement of hydrodynamic properties of different hydraulic machines including power and erosion indices and the optimization of hydrodynamic loads on blade systems.

The purpose of this paper is to present the basic principles of the construction and operation of monitoring systems of the tool condition, and the machine tooling backup man-agement in the computer-aided manufacturing. The proposed approach is focused on creating conditions for the effective tool state management. For this, the application of the intelligent host control module on the basis of the interactive electronic technical documentation of the mechatronic technological object is proposed. Valuation principles of the tool life fuzzy boundary are fully considered on the basis of the of fuzzy knowledge theory. Three methods for estimating the parameters of the resistance fuzzy boundary are presented. A neural network which operates on the basis of the developed fuzzy prediction rule base of the cutting tool wear depending on the instrument status and its impact on the part cutting accuracy is built. The results obtained are applicable in the sphere of the industrial engineering.

This paper presents definition and solution problem of correct conditions on the boundary, separating subdomains for hyperbolic linear equation systems. The solution algorithm is demonstrated by means of an example system of elastodynamic equations for two spatial variables. Stated approach can be easily expanded on systems of first-order linear hyperbolic equations with random number of spatial variables.

In this paper, we review the main contributions developed by the authors to solve problems involving contact between bodies with a roughness covering several orders of magnitude. A periodic self-equilibrated formulation is introduced to avoid any border problem. Furthermore, when focusing on the steady-state rolling or sliding contact mechanics between viscoelastic materials, we develop a mathematical formulation, parametrically dependent on the rolling/sliding speed, which employs the same computational techniques introduced for elastic rough contacts. In particular, in both cases, we adopt an ad hoc discretization technique enabling us to reach the full convergence.