Search

Работа посвящена исследованию спектральных асимптотик эллиптических операторов произвольного четного порядка в ограниченной области со степенным вырождением вдоль всей границы. Исследуемые операторы порождаются с помощью полуторалинейных форм, которые могут не удовлетворять условию коэрцитивности. Основная часть опубликованных работ по этому направлению относится к случаю, когда коэффициенты исследуемых операторов представимы в виде произведения ограниченной функции и степени расстояния до границы. В отличие от этого здесь изучаем эллиптические операторы, младшие коэффициенты которых принадлежат некоторым L_p-пространствам со степенным весом. Ранее во многих работах, где изучалась оценка резольвенты несамосопряженных операторов, порожденных с помощью полуторалинейных форм, доказывалось неравенство вида (A-lambda E)-1leq Mlambda-1/2. Здесь доказано одно представление резольвенты исследуемого оператора A, которое позволяет получить неравенство такого типа с показателем 1 вместо 1/2. На основе таких неравенств можно исследовать вопросы суммируемости в смысле Абеля Лидского системы корневых вектор-функций оператора A. Также доказывается, что оператор A имеет дискретный спектр, и изучается асимптотика функции N(t), указывающей число собственных значений оператора A, не превосходящих по модулю t, с учетом их алгебраических кратностей., The paper is devoted to the study of the spectral asymptotics of elliptic operators of arbitrary even order in a bounded domain with power degeneration along the entire boundary. The operators under study are generated by sesquilinear forms that may not satisfy the coercivity condition. The main part of the published papers in this area refers to the case when the coefficients of the studied operators can be represented as a product of a bounded function and the degree of distance to the boundary. In contrast, here we study elliptic operators whose lower coefficients belong to certain L_p-spaces with power weights. Earlier, in many papers, where the estimation of the resolvent of non-self-adjoint operators generated by sesquilinear forms was studied, the inequality of the form (A-lambda E)-1leq Mlambda-1/2 was proved. Here we prove one representation of the resolvent of the operator A that allows us to obtain an inequality of this type with 1 instead of 1/2. On the basis of such inequalities, we can investigate the summability in the AbelLidskiy sense of the system of root vector functions of the operator A. It is also proved that the operator A has a discrete spectrum, and the asymptotics of the function N(t), the number of eigenvalues of the operator A whose magnitude is at most t, taking into account their algebraic multiplicities, is studied., №4(104) (2020)

Исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для вырождающегося параболического уравнения 2го порядка в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа L2. Данная тематика берет начало с классических работ Ф. Рисса 1 и Литтлвуда и Пэли 2, посвященных граничным значениям аналитических функций. Дальнейшее развитие этой тематики для равномерно эллиптических уравнений получило в работах В. П. Михайлова, А. К. Гущина 3 9. Условие гладкости границы (Q C2) можно ослабить (см. 7). При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерий существования граничного значения установлен в 7 9. При этом, как показано в работе 9, все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса 1 и Литтлвуда Пэли 2, 3. В случае вырождения типа Келдыша ситуация более сложная. Постановка первой краевой задачи и поведение решения вблизи границы определяются порядком вырождения уравнения, а в случае сильного вырождения коэффициентами при младших членах. Вопросам разрешимости первой краевой задачи для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений посвящено большое число работ. Достаточно отметить работы Ф. Трикоми 10, М. В. Келдыша11, А. В. Бицадзе 12, С. А. Терсенова 13, И. М. Петрушко 14, 15, О. А. Олейник, Е. В. Радкевича 16, Г. Фикеры 17 и др. Из недавних работ можно отметить 18. В настоящей работе рассматривается случай сильного вырождения параболического уравнения 2го порядка, когда соответствующая квадратичная форма убывает как r(x) и постановка первой смешанной задачи определяется коэффициентом при первой производной по нормали., The paper investigates the question of the unique solvability of the first mixed problem for a degenerate secondorder parabolic equation in the case when the boundary and initial functions belong to spaces of type L2. This topic originates from the classical works of F. Riesz 1 and Littlewood and Paley 2 devoted to the boundary values of analytic functions. Under the weakest restrictions on the smoothness of the boundary (and on the coefficients of the equation), the criterion for the existence of a boundary value was established in 7 9. The boundary smoothness condition (Q C2) can be weakened (see 10). Moreover, as shown in 9, all directions of the adoption of boundary values for uniformly elliptic equations turn out to be equal the solution has the property similar to the property of continuity in the set of variables. In the case of degeneration of the equation at the boundary of the region, when the directions are not equal, the situation is more complicated. Moreover, the formulation of the first boundary value problem is determined by the type of degeneracy. In the case when the values of the corresponding quadratic form of the degenerate elliptic equation on the normal vector are nonzero (Tricomi type degeneracy), the Dirichlet problem is correct, and the properties of such degenerate equation are very close to the properties of a uniformly elliptic equation. In particular, in this situation, analogs of the Riesz theorems 1 and Littlewood Paley 2, 3 are valid. In the case of degeneracy of the Keldysh type, the situation is more complicated. The statement of the first boundaryvalue problem and the behavior of the solution near the boundary are determined by the order of degeneracy of the equation, and in the case of strong degeneracy, by the coefficients of the lower terms. A large number of papers have been devoted to the solvability of the first boundaryvalue problem for degenerate elliptic and parabolic equations. Note the works of F. Tricomi 11, M. V. Keldysh 12, A. V. Bitsadze 13, S. A. Tersenov 14, I. M. Petrushko 15, O. A. Oleinik and E. V. Radkevich 16, G. Fichera 17, etc. From recent works it is worth noting 18. In this paper, we consider the case of strong degeneracy of a secondorder parabolic equation when the corresponding quadratic form decreases as r(x) and the formulation of the first mixed problem is determined by the coefficient of the first normal derivative., №3(103) (2019)

Последнее время становится актуальным изучение (псевдо)римановых многообразий с различными афинными связностями, отличными от связности ЛевиЧивита. Метрическая связность с векторным кручением (также известная как полусимметрическая связность) является одной из часто рассматриваемых связностей. Связь между конформными деформациями римановых многообразий и метрическими связностями с векторным кручением на них была установлена в работах К. Яно. А именно, риманово многообразие допускает метрическую связность с векторным кручением, тензор кривизны которой равен нулю, тогда и только тогда, когда оно является конформно плоским. В данной работе впервые исследуется уравнение Эйнштейна на трехмерных локально симметрических (псевдо)римановых многообразиях с метрической связностью с инвариантным векторным кручением. Получена теорема о том, что все такие многообразия либо являются многообразиями Эйнштейна относительно связности Леви-Чивита, либо являются конформно плоскими., The study of (pseudo)Riemannian manifolds with different metric connections different from the Levi-Civita connection has become a subject of current interest lately. A metric connection with vectorial torsion (also known as a semi-symmetric connection) is a frequently considered one of them. The correlation between the conformal deformations of Riemannian manifolds and metric connections with vectorial torsion on them was established in the works of K. Yano. Namely, a Riemannian manifold admits a metric connection with vectorial torsion, the curvature tensor of which is zero, if and only if it is conformally flat. In this paper, we study the Einstein equation on three-dimensional locally symmetric (pseudo)Riemannian manifolds with metric connection with invariant vectorial torsion. We obtain a theorem stating that all such manifolds are either Einstein manifolds with respect to the Levi-Civita connection or conformally flat., №4(104) (2020)