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In this work we introduce and study a class of quasi-norms on the tensor product of Banach spaces defined by means of the abstract environment of sequence classes. Relationships of this construction with classes of summing operators are presented from which classical results of the theory are recovered and new results are obtained. Still using the sequence classes environment, we define and study norms in the tensor product inspired by the construction of the injective norm and establish their relations with certain classes of integral type operators. With these norms, in addition to the results and examples constructed, before we present a characterization of a space of mid summable sequences and establish its dual. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES Neste trabalho, introduzimos e estudamos uma classe de quasi-normas no produto ten- sorial de espaços de Banach definidas por meio do ambiente abstrato de classes de sequências. São apresentadas relações dessa construção com classes de operadores so- mantes de sorte que resultados clássicos da teoria são recuperados e novos resultados são obtidos. Ainda pelo uso do ambiente de classes de sequências, definimos e estudamos normas no produto tensorial inspiradas na construção da norma injetiva e estabelece- mos suas relações com certas classes de operadores de tipo integral. Com essas normas, além dos resultados e exemplos construídos, apresentamos uma caracterização de um espaço de sequências mid somáveis e estabelecemos seu dual.

Dissertação de mestrado em Matemática, No âmbito da sua investigação em topologia algébrica dirigida, Marco Grandis desenvolveu uma teoria de homologia dirigida para conjuntos cúbicos. Neste trabalho adaptamos a teoria de Grandis para conjuntos pré-cúbicos, que são mais adequados para aplicações em teoria de concorrência. Introduzimos os principais conceitos fundamentais sobre conjuntos pré-cúbicos, definindo, em particular, a homologia de um conjunto pré-cúbico. Estudamos grupos abelianos pré-ordenados e a homologia de complexos de cadeias dirigidos. Por fim, estudamos a homologia dirigida de conjuntos pré-cúbicos, onde relacionamos a homologia dirigida em grau 0 com a conexidade, estabelecemos uma variante do Teorema da Invariância e provamos teoremas sobre a homologia dirigida de pushouts e de produtos tensoriais de conjuntos pré-cúbicos., In the framework of his research on directed algebraic topology, Marco Grandis developed a theory of directed homology for cubical sets. In this work, we adapt Grandis' theory to precubical sets, which are more suitable than cubical sets for applications in concurrency theory. We introduce the main fundamental concepts about precubical sets defining, in particular, the homology of a precubical set. We study preordered abelian groups and the homology of directed chain complexes. Finally, we study the directed homology of precubical sets, where we relate the directed homology in degree 0 with connectedness, establish a variant of the Invariance Theorem, and prove theorems about the directed homology of pushouts and tensor products of precubical sets., Este trabalho foi financiado pelo Centro de Matemática da Universidade do Minho e a Fundação para a Ciência e a Tecnologia (FCT) através da Bolsa de Investigação CMAT - UIDB/00013/2020 - 02/2021.

In this dissertation, after presenting some preliminary results from commutative algebra, we concentrate ourselves in the study of the so-called Tor rigidity problem, as well as the depth formula for the tensor product of modules and some results about freeness. Applying some of the facts presented in this work, we obtain, as one of the main corollaries, that for appropriate modules M, N over a hypersurface ring R satisfying the property that M⊗RN is reflexive, the following formula (proved originally by C. Huneke and R. Wiegand) is valid: depth(M ⊗R N) = depth(M) + depth(N) − dim(R). Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq Nesta dissertação, após apresentarmos alguns resultados preliminares da álgebra comutativa, concentramo-nos no estudo do assim chamado problema da rigidez do Tor, assim como a fórmula da profundidade para o produto tensorial de módulos e alguns resultados sobre liberdade. Aplicando alguns dos fatos apresentados neste trabalho, obtemos, como um dos principais corolários, que para módulos M, N apropriados sobre um anel de hipersuperfície R satisfazendo a propriedade de que M ⊗R N é reflexivo, a seguinte fórmula (demonstrada originalmente por C. Huneke e R. Wiegand) é válida: depth(M ⊗R N) = depth(M) + depth(N) − dim(R).

A idéia de desenvolver computadores cuja dinâmica obedeça às leis da Mecânica Quântica data do Ultimo quarto do seculo XX e assume, nos dias de hoje, importancia tecnológica e cientifica notável, uma vez que o uso de algoritmos quânticos se disseminou na implementação de sistemas de criptografia e, além disso, relatos de experimentos de comunicação sobre canais quânticos são cada vez mais presentes na literatura. Há, até, conjecturas sobre comportamentos quânticos em sinapses e em outros fenômenos naturais tidos como macroscópicos. Todos esses desenvolvimentos têm como base a teoria quântica da informação que, de maneira geral, pode ser considerada como uma extensão da teoria clássica devida a Shannon, considerando-se dois aspectos peculiares dos fenômenos quânticos: a incapacidade de se obter uma copia de um estado quântico e o fato de estados quânticos apresentarem uma dependencia mutua, originada na sua preparação. É desses dois tópicos que este trabalho se ocupa: sem a menor pretensão de originalidade, procura conceituar entrelaçamento (entanglement) e demonstrar o teorema da impossibilidade de copia (non-cloning theorem). Algumas aplicações são apresentadas entremeadas com relatos de ficção, cuja eventual semelhança com fatos reais sera mera coincidência. The idea of developing computers with dynamics obeying Quantum Mechanics laws comes from the last quarter of 20th century assuming, nowadays, a remarkable technological and scientific importance, as the use of quantum algorithms has been disseminated on implementing cryptography systems and, besides, quantum channel experiments start to become present in the literature. There are, even, conjectures about quantum behaviors in synapses and in other natural phenomena considered to be macroscopic. All these developments are based on Quantum Information Theory that, generally speaking, could be considered an extension of Classical Information Theory, due to Shannon, taking into account two peculiar aspects of quantum phenomena: the impossibility of copying a quantum state and the mutual dependence shown by two states originated in their preparation. This work is about these two points without originality intentions, presents the concept of entanglement and the proof of the non-conning theorem. Some applications, mixed with fiction, are presented and possible similarity with real facts is a mere coincidence.

Sejam G e Gj grupos isomorfos. Estudaremos o grupo V (G) que é uma extensão de grupo do quadrado tensorial não-abeliano de um grupo G, G G. Olhando para V (G) como um operador na classe de grupos, observamos que este operador preserva algumas propriedades do grupo G, tais como finitude, solubilidade e nilpotência. Ainda para um p-grupo finito G encontramos um limitante para ordem de G G: Por fim, verificamos computacionalmente, para alguns grupos, que os resultados e também os limitantes para as ordens dos grupos aqui apresentados são de fato respeitados. Let G and Gj be isomorphic groups. We study the group V (G) which is an extension of the non-abelian tensor square of a group G, G G. Looking for V (G) as an operator in the class of groups, we observe that this operator preserves some properties of the group G such as finiteness, nilpotency and solubility. For a p-group finite G we find an upper bound for the order of G G. Finally, we verified computationally, for some groups, and that the results and also the bounds for the orders of the groups shown here are actually respected.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior In the Hydrocarbon exploration activities, the great enigma is the location of the deposits. Great efforts are undertaken in an attempt to better identify them, locate them and at the same time, enhance cost-effectiveness relationship of extraction of oil. Seismic methods are the most widely used because they are indirect, i.e., probing the subsurface layers without invading them. Seismogram is the representation of the Earth s interior and its structures through a conveniently disposed arrangement of the data obtained by seismic reflection. A major problem in this representation is the intensity and variety of present noise in the seismogram, as the surface bearing noise that contaminates the relevant signals, and may mask the desired information, brought by waves scattered in deeper regions of the geological layers. It was developed a tool to suppress these noises based on wavelet transform 1D and 2D. The Java language program makes the separation of seismic images considering the directions (horizontal, vertical, mixed or local) and bands of wavelengths that form these images, using the Daubechies Wavelets, Auto-resolution and Tensor Product of wavelet bases. Besides, it was developed the option in a single image, using the tensor product of two-dimensional wavelets or one-wavelet tensor product by identities. In the latter case, we have the wavelet decomposition in a two dimensional signal in a single direction. This decomposition has allowed to lengthen a certain direction the two-dimensional Wavelets, correcting the effects of scales by applying Auto-resolutions. In other words, it has been improved the treatment of a seismic image using 1D wavelet and 2D wavelet at different stages of Auto-resolution. It was also implemented improvements in the display of images associated with breakdowns in each Auto-resolution, facilitating the choices of images with the signals of interest for image reconstruction without noise. The program was tested with real data and the results were good Na atividade exploratória de hidrocarbonetos a grande incógnita é a localização das jazidas. Grandes esforços são empreendidos na tentativa de melhor identificá-las, localizá-las e, ao mesmo tempo, otimizar a relação custo-benefício da extração de Petróleo. Os métodos sísmicos são os mais utilizados pelo fato de serem indiretos, isto é, sondam as camadas de subsuperfície sem invadi-las. O sismograma é a representação do interior da Terra e de suas estruturas através de um arranjo convenientemente disposto dos dados obtidos por meio da sísmica de reflexão. Um grande problema nessa representação é a intensidade e variedade de ruídos presentes no sismograma, como o ruído de rolamento superficial que contamina os sinais relevantes e pode mascarar as informações desejadas, trazidas por ondas espalhadas em regiões mais profundas das camadas geológicas. Desenvolvemos uma ferramenta para suprimir estes ruídos que usa transformadas Wavelets 1D e 2D. O programa, em linguagem Java, faz a separação das imagens Sísmicas considerando as direções (horizontal, vertical e mistas ou locais) e faixas de comprimentos de ondas que formam essas imagens, usando Wavelets de Daubechies, Autoresolução que duplica o comprimento das ondas e Produto Tensorial das bases de Wavelets. Desenvolvemos a opção, em uma mesma imagem, de usar o produto tensorial de Wavelets de dimensão 2 ou produto tensorial de Wavelets de dimensão 1 pelas identidades. Neste último caso, temos a Decomposição em Wavelets de um sinal bidimensional em uma única direção. Esta decomposição permite alongar numa determinada direção as Wavelets bidimensionais, corrigindo efeitos de escalas ao aplicarmos Autoresoluções. Em outras palavras, aperfeiçoamos o tratamento de uma imagem sísmica, usandoWavelet 1D eWavelet 2D em etapas diferentes de Autoresoluções. Também implementamos melhorias na visualização das imagens associadas às decomposições em cada Autoresolução, facilitando as escolhas das imagens com os sinais de interesse para reconstrução da imagem sem os ruídos. O programa foi testado com dados reais e os resultados obtidos foram de boa qualidade