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Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES In this thesis we studied the theory of stability in equilibrium solutions of autonomous Hamiltonian systems with two degrees of freedom in degenerate cases. We specifically focusedour study on two cases, namely, when there are a first-order single resonance and a first-orderdouble resonance. After approaching standardization algorithms of the Hamiltonianquadratic part, the main technique used is to obtain the normal form of the Hamiltonian Lie up to a suitable order and,by using the theorem of Invariant Curve, we provided some conditions for stability of the new Hamiltonian coefficients. We studied the classical theorems of Chetaev, assuming that the origin of the phase space corresponds to the balance of that system. As an illustration, we resolved a partial reciprocal of Lagrange-Dirichlet theorem with two degrees of freedom, and made some comments regarding this reciprocal to one degree of freedom. Nesta dissertação, estudamos a teoria de estabilidade em soluções de equilíbrios de sistemas Hamiltonianos autônomos com dois graus de liberdade em casos degenerados. Concentramos o estudo especificamente em dois casos, a saber, quando há uma ressonância de primeira ordem e dupla ressonância de primeira ordem. Após abordarmos algoritmos de normalização da parte quadrática do Hamiltoniano, a técnica principal utilizada consiste em obter a forma normal de Lei do Hamiltoniano até uma ordem adequada e usando o teorema da Curva Invariante, fornecemos algumas condições para estabilidade a partir dos coeficientes do novo Hamiltoniano. Estudamos os teoremas clássicos de Chetaev, supondo que a origem do espaço de fase corresponde ao equilíbrio desse sistema. Como ilustração, resolvemos uma recíproca parcial do teorema de Dirichlet-Lagrange, com dois graus de liberdade, tecendo ainda alguns comentários a respeito desta recíproca para um grau de liberdade.

In this work we study implicit differential equations. Following the Thom tranversality theorem and the singularity theory we find an open and dense subset of this equation class that present only good singularity. This singularity are of six kind well folded saddle, well folded node, well folded focus, elliptical gather, hyperbolic gather. Davydov,in [8] showed the normal forms of a IDE in the case of well folded saddle, well folded node, well folded focus. In the case of gathered singularities, Davydov showed that the normal forms of IDE contains functional moduli. For a special class of implicit differential equation, the binary differential equation (BDE), we study the normal forms in the case in that the discriminant is a Morse function. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES Neste trabalho estudamos singularidades de equações diferenciais implícitas. Usando o Teorema de Transversalidade de Thom e a teoria das singularidades encontramos um subconjunto aberto e denso desta classe de equações que apresentam singularidades boas. Estas singularidades são apenas de seis tipos dobra-sela, dobra-nó, dobra-foco, cúspide elíptica e cúspide hiperbólica. Davydov, em [8], mostrou as formas normais da EDI nos casos de dobra-sela, dobra-nó e dobra-foco. No caso de cúspides, Davydov mostrou que as formas normais da EDI apresentam parâmetros e funções arbitrárias. Para uma classe especial de equações diferenciais implícitas, as equações diferenciais binária (EDB), estudamos a forma normal nos casos em que o discriminante é uma função de Morse.

Neste trabalho introduziremos a classe dos autômatos lineares não-determinísticos com λ-transições. Baseados numa nova forma normal para gramáticas lineares, provamos que a classe de linguagens aceita por este tipo de autômato é exatamente a classe das linguagens lineares. Mostramos ainda que, análogo ao que ocorre com os autômatos finitos e com os autômatos com pilhas, a existência das λ-transições em um autômato linear não-determinístico não significa que não possa ser definido um autômato linear não-determinístico sem λ-transições que reconheça a mesma linguagem. Ou seja, as λ-transições não aumentam o poder de aceitação destes autômatos e portanto podem ser dispensadas do modelo. Finalmente, apresentamos uma aplicação destes autômatos no contexto de bioinformática. In this paper we introduce the class of linear non-deterministic automata with λ-transitions, and based on a new normal form for linear grammars, we prove that the class of languages accepted by such automata is exactly the class of linear languages. Also we show that, analogously to finite automata and pushdown automata, the ocorrences of λ-transitions in a non-deterministic linear automaton not means that not be possible define a non-deterministic linear automata without λ-transitions which accept the same language. Thus, λ-transitions not increases the acceptance power of this class of automata and therefore can be dispensed. Finally, we present an application of this automata in the context of bioinformatics.