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Nesta tese, estudamos desigualdades variacionais e o problema de equilíbrio vetorial generalizado. No Capítulo 1, vários resultados e definições elementares sobre geometria Riemanniana são enunciados; apresentamos o conceito de campo vetorial monótono e muitas de suas propriedades, além de introduzir o conceito de alargamento de um campo vetorial monótono e exibir suas propriedades em um contexto Riemanniano. No Capítulo 2, um método de ponto proximal inexato para desigualdades variacionais em variedades de Hadamard é introduzido e suas propriedades de convergência são estudadas; veja [7]. Para apresentar o nosso método, generalizamos o conceito de alargamento de operadores monótonos, do contexto linear ao contexto de Riemanniano. Como aplicação, é obtido um método de ponto proximal inexato para problemas de otimização com restrições. No Capítulo 3, apresentamos um algoritmo extragradiente para desigualdades variacionais associado a um campo vetorial ponto-conjunto em variedades de Hadamard e estudamos suas propriedades de convergência; veja [8]. A fim de apresentar nosso método, o conceito de alargamento de campos vetoriais monótonos é utilizado e sua semicontinuidade inferior é estabelecida, a fim de obter a convergência do método neste novo contexto. No Capítulo 4, apresentamos uma condição suficiente para a existência de soluções para o problema de equilíbrio vetorial generalizado em variedades de Hadamard usando uma versão do Lema Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz; veja [6]. Em particular, a existência de soluções para problemas de otimização, otimização vetorial, equilíbrio de Nash, complementaridade e desigualdades variacionais são casos especiais do resultado de existência do problema de equilíbrio vetorial generalizado. In this thesis, we study variational inequalities and generalized vector equilibrium problems. In Chapter 1, several results and basic definitions of Riemannian geometry are listed; we present the concept of the monotone vector field in Hadamard manifolds and many of their properties, besides, we introduce the concept of enlargement of a monotone vector field, and we display its properties in a Riemannian context. In Chapter 2, an inexact proximal point method for variational inequalities in Hadamard manifolds is introduced, and its convergence properties are studied; see [7]. To present our method, we generalize the concept of enlargement of monotone operators, from a linear setting to the Riemannian context. As an application, an inexact proximal point method for constrained optimization problems is obtained. In Chapter 3, we present an extragradient algorithm for variational inequality associated with the point-to-set vector field in Hadamard manifolds and study its convergence properties; see [8]. In order to present our method, the concept of enlargement of maximal monotone vector fields is used and its lower-semicontinuity is established to obtain the convergence of the method in this new context. In Chapter 4, we present a sufficient condition for the existence of a solution to the generalized vector equilibrium problem on Hadamard manifolds using a version of the KnasterKuratowski-Mazurkiewicz Lemma; see [6]. In particular, the existence of solutions to optimization, vector optimization, Nash equilibria, complementarity, and variational inequality is a special case of the existence result for the generalized vector equilibrium problem. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES

CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Os problemas de otimização estão presentes em diversas áreas de atuação da sociedade e o uso de algoritmos bio-inspirados para a resolução de problemas complexos deste tipo vem crescendo constantemente. O Algoritmo Colônia de Abelhas Artificiais (ABC – do inglês Artificial Bee Colony) é um algoritmo bio-inspirado proposto em 2005 para a resolução de problemas de otimização multimodais e multidimensionais. O fenômeno natural que inspirou o desenvolvimento do ABC foi o comportamento inteligente observado em colônias de abelhas, mais especificamente no forrageamento. O ABC foi proposto inicialmente para ser aplicado na resolução de problemas sem restrições. Este trabalho avalia o desempenho do ABC quando aplicado na resolução de problemas de otimização com restrições. Para o tratamento das restrições, métodos de penalização serão incorporados ao ABC. São analisados diversos métodos de penalização, de diferentes tipos, com o objetivo de identificar com qual deles o algoritmo apresenta melhor desempenho. Além disto, são avaliadas possíveis limitações e cuidados que devem ser tomados ao combinar métodos de penalização ao ABC. O algoritmo proposto é avaliado através da resolução de problemas de otimização encontrados na literatura. Vários experimentos computacionais são realizados e gráficos e tabelas são gerados para demonstração dos resultados obtidos que também são discutidos. Optimization problems are present in several areas of society and the use of bio-inspired algorithms to solve complex problems of this type has been growing constantly. The Artificial Bee Colony Algorithm (ABC) is a bio-inspired algorithm proposed in 2005 for solving multimodal and multidimensional optimization problems. The natural phenomenon that inspired the development of the ABC was intelligent behavior observed in bee colonies, more specifically in foraging. The ABC was initially proposed to be applied to solve unconstrained problems. This study evaluates the performance of ABC when applied in solving constrained optimization problems. For the treatment of constraints, penalty methods will be incorporated into the ABC. Several penalty methods, of different types, are analyzed with the goal of identifying which of these penalty methods offers better performance. Furthermore, possible limitations and care that should be taken when combining penalty methods to ABC are evaluated. The proposed algorithm is evaluated by solving optimization problems found in the literature. Several computational experiments are performed and graphs and tables are generated for demonstration of the obtained results which are also discussed.

Neste trabalho, propomos um método de pontos interiores para minimização com restrições lineares de grande porte. Este método explora a linearidade das restrições, partindo de um ponto viável e preservando a viabilidade dos iterandos. Apresentamos os principais resultados de convergência global, além de uma descrição rica em detalhes de uma implementação prática de todos os passos do método. Para atestar a implementação do método, exibimos uma ampla experimentação numérica, e uma análise comparativa com métodos bem difundidos na comunidade de otimização contínua. In this work, we propose an interior-point method for large-scale linearly constrained optimization. This method explores the linearity of the constraints, starting from a feasible point and preserving the feasibility of the iterates. We present the main global convergence results, together with a rich description of the implementation details of all the steps of the method. To validate the implementation of the method, we present a wide set of numerical experiments and a comparative analysis with well known softwares of the continuous optimization community.

At the beginning of 21th century, the world was faced with unprecedented environmental transformations. The urbanization process reached record levels and it keeps increasing, especiallyin developing countries. Around 3/4 of global resources are currently consumed in urban settlements, with corresponding adverse environmental consequences which leads to severe local climate changes, affecting environmental quality of spaces and leading to a significant increase of energy demand in buildings. A projection of the world urban population indicates that this situation will worsen in the coming years. It is therefore imperative that we understand how to design less resource intensive urban settlements. This research consists of a contribution to the energy debate in cities, focusing on the energy potentially consumed and produced by the built environment in the neighborhood scale. Urban morphology has been pointed out as a pivotal issue on shifting to climate adapted urban environments towards energy efficiency of buildings. In tropical climate regions, solar energy represents a high potential for renewable electric production in buildings, recording high levels of irradiation throughout the year. Though, engaging such a strategy may suggest applying sparsely low-density urban forms, aiming at reducing obstructions caused by the urban built surroundings. On one hand, scattered and less dense urban forms may result in significant increase of solar thermal load in buildings vertical facades, but on the other hand, the control of the solar heat gains in urban facades may represent significant losses on indoors daylight levels andalso reducing solar energy harness. Estimating the relative potential of these conflicting design strategies, taking into account the constrained parameters related to local building regulation, requires coupling multidisciplinary and multiobjective models of analysis in order to integrate multi-criteria approach in the urban design process. This thesis aims to contribute to a prospective energy debate toward sustainable urban districts for the city of Maceió in Brazil. Firstly, a set of energy-related morphological parameters are applied to identify, classify and characterize the solarpotential of local urban typologies. Then, these parameters are analyzed by means of a sensitivity analysis using a design of experiments reduced factorial method. The statistically most significant parameters are then submitted to a parametric design methodology via optimization, in which thenon-dominated sorting genetic algorithm (NSGA-II) is coupled with a simplified radiosity algorithm.The solar constraints are integrated as design criteria aiming at maximizing the solar energy potential on building roofs and minimizing solar gains on the their vertical facades. Daylight threshold levels as well as local building regulation parameters are taken into account as design constraints. Five representative types of urban fabric of Maceió were identified which allowed examining and adapting them from the use of energy-related indicators of the urban form. A set of most influential indicators of solar potential of urban forms was hierarchized, highlighting the role of the aspect ratio and albedo of urban surfaces. The application of optimization algorithm allowed testing more than 80,000 urban settings, pointing out a great diversity of "optimum" morphologies of urban blocks. The urban block designs obtained behaved better compared to the existing local typologies. Dealing with conflicting energy strategies by means of a constrained evolutionary optimization design process offered a great opportunity in searching for new solutions to the urban design in the neighborhood scale, helping to guide urban designers' decisions and allowing arenewal of the Architecture of the city; Environ trois quarts des ressources globales sont aujourd'hui consommés dans les aires urbaines. Le processus d'urbanisation induit des changements sévères du climat local, de la qualité environnementale des espaces, ainsi qu'une augmentation significative de la demande énergétique des bâtiments. Les projections statistiques sur la croissance de la population urbaine indiquent que cette situation tendra à s'aggraver dans les années à venir. Il devient donc impératif de chercher d'autres stratégies pour mieux adapter les environnements urbains aux nouvelles demandes énergétiques, afin de réduire l'empreinte environnementale des villes. Dans ce contexte, ce travail est une contribution à la recherche énergétique urbaine, plus particulièrement en ce qui concerne l'énergie consommée et potentiellement produite parles bâtiments à l'échelle urbaine locale. La morphologie urbaine est ici considérée comme un paramètre crucial dans le processus d'amélioration de l'efficacité énergétique du cadre bâti. Dans les zones de basses latitudes, sous climat tropical, l'énergie solaire incidente est extrêmement abondante. Toutefois, la bonne utilisation de cette ressource dans les bâtiments peut suggérer l'adoption de formes urbaines très peu denses et étales, en vue de réduire les obstructions produites par l'environnement proche. A rebours, ces formes urbaines très peu denses peuvent entrainer une augmentation des apports solaires sur les façades,élevant la demande énergétique. Le contrôle des gains solaires sur les façades pour la réduction de la demande énergétique peut ainsi représenter une perte potentielle en terme d'éclairement naturel des espaces, et une réduction du potentiel de production d'énergie solaire. Afin de quantifier le potentiel de ces stratégies conflictuelles, il devient indispensable de convoquer des modèles d'analyse pluridisciplinaires, permettant de mettre en oeuvre des approches multicritères dans le processus de conception de la forme urbaine. Cette thèse s'appuie sur une réflexion prospective sur les quartiers de la ville de Maceió, Alagoas, au Brésil. Dans un premier temps, un ensemble de paramètres morphologiques caractéristiques sont employés pour identifier et caractériser le potentiel solaire de typologies de référence de la ville. Ensuite, ces paramètres sont soumis à une analyse de sensibilité via un plan d'expérience. Les paramètres statistiquement significatifs sont alors intégrés à une méthode paramétrique d'optimisation dans laquelle l'algorithme génétique NSGA-II est couplé à un algorithme simplifiée de radiosité, visant à maximiser le potentiel de production d'énergie sur les toitures des bâtiments, tout en minimisant les apports solaires sur ses façades. Nous considérons des seuils d'éclairement naturel et intégrons des règles locales d'urbanisme comme contraintes aux projets. Cinq typologies représentatives du tissu urbain de Maceió ont ainsi été identifiées. L'ensemble des indicateurs les plus influents sur le potentiel solaire des formes urbaines a été hiérarchisé, en mettant l'accent notamment sur le rôle du prospect moyen ou de l'albédo des surfaces. La méthode d'optimisation a permis de tester plus de 80 000configurations d'ilots urbains et les résultats obtenus font apparaître une grande diversité de morphologies «optimum». Ces projets ont des performances solaires supérieures à celles des typologies existantes dans la ville. Cette intégration de stratégies énergétiques contradictoires montre qu'au-delà de l'intégration de contraintes variées et d'une meilleure adaptation à la complexité du processus de design urbain, l'approche utilisée ici apparaît très utile pour la recherche de solutions urbaines performantes à l'échelle des quartiers. Cette approche peut ainsi participer au renouvellement de l'Architecture de la Ville

CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Nos últimos anos, várias meta-heurísticas têm sido adotadas para a solução de problemas de otimização com restrições. Uma dessas meta-heurísticas que se torna cada vez mais popular é a Otimização por Enxame de Partículas (Particle Swarm Optimization - PSO). O PSO é baseado na metáfora de como algumas espécies compartilham informações e, em seguida, usam essas informações para mover-se até os locais onde os alimentos estão localizados. A população é formada por um conjunto de indivíduos denominado partículas que representa possíveis soluções dentro de um espaço de busca multidimensinal. Neste trabalho, são analisados problemas clássicos de otimização com restrições onde um algoritmo PSO os trata como sendo sem restrições através da introdução de um método de penalização adaptativa (Adaptive Penalty Method - APM). O APM adapta o valor dos coeficientes de penalização de cada restrição fazendo uso de informações coletadas da população, tais como a média da função objetivo e o nível de violação de cada restrição. Diversos experimentos computacionais são realizados visando avaliar o desempenho do algoritmo considerando vários problemas testes encontrados na literatura. In recent years, several meta-heuristics have been adopted for the solution of constrained optimization problems. One of these meta-heuristic that is becoming increasingly popular is the Particle Swarm Optimization - PSO. PSO is based on the metaphor of how some species share information and then use this information to move to the places where food is located. The population is formed by a group of individuals called particles representing possible solutions within a space multidimensional search. In this thesis, classical problems of constrained optimization where a PSO algorithm treats them as being unconstrained by introducing a method of adaptive penalty (Adaptive Penalty Method - APM) are analyzed. The APM adjusts the value of the penalty coeffcients of each constraint using the information collected from the population, such as the average of the objective function as well as the level of violation of each constraint. Several computational experiments are conducted to assess the performance the algorithm tests considering various problems found in the literature.

Orientador: José Mario Martínez Pérez Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Algoritmos de programação não-linear práticos podem convergir para pontos inviáveis mesmo quando o problema a ser resolvido é viável. Quando isso ocorre, é natural que o usuário mude o ponto inicial e/ou parâmetros algorítmicos e reaplique o método na tentativa de encontrar uma solução viável e ótima. Desta forma, o ideal é que um algoritmo não só seja eficiente em encontrar soluções viáveis, mas também que detecte rapidamente quando ele está fadado a convergir para um ponto inviável. Na tentativa de atingir esse objetivo, apresentamos modificações em um algoritmo baseado em Lagrangiano aumentado de modo que, no caso de convergência para um ponto inviável, os subproblemas são resolvidos com tolerâncias moderadas e, mesmo assim, as propriedades de convergência global são mantidas. Experimentos numéricos são apresentados Abstract Practical Nonlinear Programming algorithms may converge to infeasible points even when the problem to be solved is feasible. When this occurs, it is natural for the user to change the starting point and/or algorithmic parameters and reapply the method in an attempt to find a feasible and optimal solution. Thus, the ideal is that an algorithm is eficient not only in finding feasible solutions, but also in quickly detecting when it is fated to converge to an infeasible point. In pursuit of this goal, we present modifications of an algorithm based on Augmented Lagrangians so that, in the case of convergence to an infeasible point, the subproblems are solved with moderate tolerances and, even then, the global convergence properties are maintained. Numerical experiments are presented Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada

CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Estratégias de penalização são muito utilizadas no trato de problemas com restrições. Problemas inerentes a escolha de valores adequados para os termos de penalização di-ficultam a obtenção de resultados confiáveis e robustos na sua aplicação em problemas da otimização estrutural. Técnicas baseadas em modelos de penalização adaptativa tem apresentado relativo sucesso quando aplicadas em conjunto com algoritmos evolucionis-tas. Apresenta-se aqui uma nova alternativa utilizando uma estratégia de lagrangeano aumentado para o trato das restrições do problema de otimização estrutural. Encontra-se na literatura modelos para penalização adaptativa bem como o uso do lagrangeano aumentado em conjunto com algoritmos genéticos geracionais. O objetivo desse trabalho é adaptar um modelo de penalização para um algoritmo genético não gera-cional, bem como criar um algoritmo baseado em lagrangeano aumentado também para o algoritmo não-geracional. Esses algoritmos foram aplicados em estruturas reticuladas, muito utilizadas na construção civil como coberturas de ginásios, hangares, galpões, etc. O desempenho desses tipos de estruturas e funções matemáticas foi analisado com as técnicas de tratamento de restrição apresentadas nesse trabalho. Isso foi feito durante a busca de soluções ótimas na tentativa de minimizar os custos e satisfazer as restrições adequadas para diversas estruturas e funções matemáticas. Penalty strategies are widely used in dealing with problems with constraints. Problems inherent in the choice of appropriate values for the terms of penalties dificult to obtain reliable and strong results in its application in problems of structural optimization. Techniques based on models of adaptive penalty has shown some success when applied in conjunction with evolutionary algorithms. Here is presented a new alternative using augmented Lagrangian strategy for dealing with the problem of constrained structural optimizations. It is found in the literature models for adaptive penalties as well as the use of the augmented Lagrangian together with generational genetic algorithms. The aim of this work is to adapt a model of penalization for non-generational genetic algorithm, as well as create an algorithm based on augmented Lagrangian as also for a non-generational algorithm. These algorithms were applied to structures, widely used in construction as coverage of gymnasiums, hangars, etc.. The performance of these types of structures and functions was analyzed using mathematical techniques for handling constraints presented in this work. This was done during the search for optimal solutions in an attempt to minimize costs and satisfy the constraints appropriate for various structures and mathematical functions.

Orientador: José Mario Martínez Perez Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. Resumo: Nesse trabalho serão propostos métodos de Lagrangiano Aumentado para tratar problemas com restrições do tipo LOVO, serão propostos novos métodos de Restauração Inexata e será introduzido o conceito de Equilíbrio Inverso de Nash. Teoremas sobre condições de otimalidade para problemas do tipo LOVO serão apresentados. Um algoritmo do tipo Lagrangiano Aumentado será proposto para abordar esse problema e teoremas de convergência global serão demonstrados. Resultados computacionais serão realizados para uma aplicação em otimização de carteiras em investimentos de grande impacto. Um método híbrido de Restauração Inexata será proposto combinando uma modificação, que usa o Lagrangiano Afiado como função de mérito, do método global de Fischer e Friedlander e o método local de Birgin e Martínez. Teoremas de convergência global e local serão apresentados. Um método de Restauração Inexata para problemas em que as derivadas da função objetivo não estejam disponíveis será introduzido. Nesse método todas as ferramentas da otimização tradicional serão usadas na fase de restauração e uma regularização será feita na fase de otimização. Teoremas de convergência global serão demonstrados e resultados numéricos apresentados. O conceito de Equilíbrio Inverso de Nash será introduzido e um método de Restauração Inexata será proposto para abordar esse problema. Esse método será uma extensão de um novo método de Restauração Inexata para problemas em dois níveis que também será proposto neste trabalho. Exemplos ilustrativos para uma aplicação para o problema de equilíbrio de Arrow-Debreu serão exibidos Abstract: In this work an Augmented Lagrangian method will be proposed to deal with LOVO constraints, also some new Inexact Restoration methods will be presented and the Inverse Nash Equilibrium concept will be introduced. Theorems about optimality conditions for LOVO-like problems will be presented. Three Augmented Lagrangian algorithms will be proposed to approach this problem and global convergence theorems will be proved. Computational results will be performed for an application in portfolio optimization with impact. A modification of the Fischer-Friedlander global method using the Sharp Lagrangian as a merit function will be proposed. A hybrid Inexact Restoration method combining this modification and the Birgin-Martínez local method will be introduced. Global and local convergence theorems will be presented. An Inexact Restoration method for problems in which the derivatives of the objective function are not available will be introduced. In this method it will be used all the optimization traditional tools in the restoration process as well as a regularization strategy in the optimization phase. Global convergence theorems will be demonstrated and numerical results will be presented. The concept of Inverse Nash Equilibrium will be introduced and an Inexact Restoration method will be proposed to deal with this problem. This method is an extension of a new Inexact Restoration method for bilevel programming that will also be proposed in this work. Some illustrative examples for an application for the Arrow- Debreu equilibrium problem will be given Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:22:32Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2009-02-20Bitstream added on 2014-06-13T19:28:05Z : No. of bitstreams: 1 zini_eoc_me_ilha.pdf: 1142984 bytes, checksum: 4ff93a7fe459a5a56e15da26b7a6dd45 (MD5) Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) Este trabalho apresenta uma metodologia composta de duas fases para resolver problemas de otimização com restrições usando uma estratégia multiobjetivo. Na primeira fase, o esforço concentra-se em encontrar, pelo menos, uma solução factível, descartando completamente a função objetivo. Na segunda fase, aborda-se o problema como biobjetivo, onde se busca a otimização da função objetivo original e maximizar o cumprimento das restrições. Na fase um propõe-se uma estratégia baseada na diminuição progressiva da tolerância de aceitação das restrições complexas para encontrar soluções factíveis. O desempenho do algoritmo é validado através de 11 casos testes bastantes conhecidos na literatura especializada. This work presents a two-phase framework for solving constrained optimization problems using a multi-objective strategy. In the first phase, the objective function is completely disregarded and entire search effort is directed toward finding a single feasible solution. In the second phase, the problem is treated as a bi-objective optimization problem, where the technique converts constrained optimization to a two-objective optimization: one is the original objective function; the other is the degree function violating the constraints. In the first phase a methodology based on progressive decrease of the tolerance of acceptance of complex constrains is proposed in order to find feasible solutions. The approach is tested on 11 well-know benchmark functions.

Submitted by Guilherme Lemeszenski (guilherme@nead.unesp.br) on 2013-08-22T18:54:13Z No. of bitstreams: 1 S0101-74382004000200005.pdf: 147146 bytes, checksum: 7cedc468e5528b62f1b88cbdf1e7f82c (MD5) Made available in DSpace on 2013-08-22T18:54:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 S0101-74382004000200005.pdf: 147146 bytes, checksum: 7cedc468e5528b62f1b88cbdf1e7f82c (MD5) Previous issue date: 2004-08-01 Made available in DSpace on 2013-09-30T19:46:08Z (GMT). No. of bitstreams: 2 S0101-74382004000200005.pdf: 147146 bytes, checksum: 7cedc468e5528b62f1b88cbdf1e7f82c (MD5) S0101-74382004000200005.pdf.txt: 43815 bytes, checksum: 05e96a4aff5632765180240c297bb2e8 (MD5) Previous issue date: 2004-08-01 Submitted by Vitor Silverio Rodrigues (vitorsrodrigues@reitoria.unesp.br) on 2014-05-20T15:12:09Z No. of bitstreams: 2 S0101-74382004000200005.pdf: 147146 bytes, checksum: 7cedc468e5528b62f1b88cbdf1e7f82c (MD5) S0101-74382004000200005.pdf.txt: 43815 bytes, checksum: 05e96a4aff5632765180240c297bb2e8 (MD5) Made available in DSpace on 2014-05-20T15:12:09Z (GMT). No. of bitstreams: 2 S0101-74382004000200005.pdf: 147146 bytes, checksum: 7cedc468e5528b62f1b88cbdf1e7f82c (MD5) S0101-74382004000200005.pdf.txt: 43815 bytes, checksum: 05e96a4aff5632765180240c297bb2e8 (MD5) Previous issue date: 2004-08-01 Sistemas baseados em redes neurais artificiais fornecem altas taxas de computação devido ao uso de um número massivo de elementos processadores simples. Redes neurais com conexões realimentadas fornecem um modelo computacional capaz de resolver uma rica classe de problemas de otimização. Este artigo apresenta uma nova abordagem para resolver problemas de otimização restrita utilizando redes neurais artificiais. Mais especificamente, uma rede de Hopfield modificada é desenvolvida cujos parâmetros internos são calculados usando a técnica de subespaço válido de soluções. A partir da obtenção destes parâmetros a rede tende a convergir aos pontos de equilíbrio que representam as possíveis soluções para o problema. Exemplos de simulação são apresentados para justificar a validade da abordagem proposta. Systems based on artificial neural networks have high computational rates due to the use of a massive number of simple processing elements and the high degree of connectivity between these elements. Neural networks with feedback connections provide a computing model capable of solving a large class of optimization problems. This paper presents a novel approach for solving constrained optimization problems using artificial neural networks. More specifically, a modified Hopfield network is developed and its internal parameters are computed using the valid-subspace technique. These parameters guarantee the convergence of the network to the equilibrium points, which represent the feasible solutions to problem. Simulated examples are presented to demonstrate the validity of the proposed method. Universidade Estadual Paulista DEE / Faculdade de Engenharia (FE) Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Eng. Elétrica e Computação Centro Federal de Educ. Tecnol. do Paraná Universidade Estadual Paulista DEE / Faculdade de Engenharia (FE)