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Funções overlap foram introduzidas como uma classe de funções de agregação bivariadas sobre o intervalo [0, 1] para serem aplicadas no campo de processamento de imagens. Muitos pesquisadores começaram a desenvolver a teoria das funções overlap para explorar suas potencialidades em diferentes cenários, tais como problemas que envolvem classificação ou tomada de decisão. Recentemente, uma generalização não-associativa das BL-álgebras de Hájek (naBLálgebras) foi investigada sob a perspectiva de funções overlap como aplicação residuada. Neste trabalho, generalizamos a noção de overlap para o contexto de reticulados e introduzimos uma definição mais fraca, chamada de quasi-overlap, que surge da retirada da condição de continuidade. Para este fim, as principais propriedades de (quasi-) overlap sobre reticulados limitados, a saber: soma convexa, migratividade, homogeneidade, idempotência e lei de cancelamento são investigadas, bem como uma caracterização de overlap arquimedianas é apresentada. Além disso, formalizamos o princípio de residuação para o caso de funções quasi-overlap sobre reticulados e suas respectivas implicações induzidas, bem como revelamos que a classe de funções quasi-overlap que cumprem o princípio de residuação é a mesma classe de funções contínuas segundo a topologia de Scott. Como consequência, fornecemos uma nova generalização da noção de naBL-álgebras baseadas em overlap sobre reticulados. Overlap functions were introduced as a class of bivariate aggregation functions on [0, 1] to be applied in the image processing field. Many researchers have begun to develop overlap functions in order to explore their potential in different scenarios, such as problems involving classification or decision making. Recently, a non-associative generalization of Hájek’s BL-algebras (naBL-algebras) were investigated from the perspective of overlap functions as a residuated application. In this work, we generalize the notion of overlap functions for the lattice context and introduce a weaker definition, called a quasi-overlap, that arises from definition, called a quasi-overlap, that arises from the removal of the continuity condition. To this end, the main properties of (quasi-) overlaps over bounded lattices, namely: convex sum, migrativity, homogeneity, idempotency, and cancellation law are investigated, as well as an overlap characterization of Archimedian overlap functions is presented. In addition, we formalized the residual principle for the case of quasi-overlap functions on lattices and their respective induced implications, as well as revealing that the class of quasi-overlap functions that fulfill the residual principle is the same class of continuous functions according the topology of Scott. As a consequence, we provide a new generalization of the notion of naBL-algebras based on overlap over lattices.

Além da mais conhecida lógica de Nelson (3) e da lógica paraconsistente de Nelson (4), David Nelson introduziu no artigo de 1959 "Negation and separation of concepts in constructive systems", com motivações de aritmética e construtividade, a lógica que ele chamou de "". Naquele trabalho, a lógica é definida por meio de um cálculo (que carece crucialmente da regra de contração) tendo infinitos esquemas de regras, e nenhuma semântica é fornecida. Neste trabalho nós tomamos o fragmento proposicional de , mostrando que ele é algebrizável (de fato, implicativo) no sentido de Blok & Pigozzi com respeito a uma classe de reticulados residuados involutivos. Assim, fornecemos a primeira semântica para (que chamamos de -álgebras), bem como um cálculo estilo Hilbert finito equivalente à apresentação de Nelson. Fornecemos um algoritmo para construir -álgebras a partir de -álgebras ou reticulados implicativos e demonstramos alguns resultados sobre a classe de álgebras que introduzimos. Nós também comparamos com outras lógicas da família de Nelson, a saber, 3 e 4. Besides the better-known Nelson logic (3) and paraconsistent Nelson logic (4), in Negation and separation of concepts in constructive systems (1959) David Nelson introduced a logic that he called , with motivations of arithmetic and constructibility. The logic was defined by means of a calculus (crucially lacking the contraction rule) having infinitely many rule schemata, and no semantics was provided for it. We look in the present dissertation at the propositional fragment of , showing that it is algebraizable (in fact, implicative) in the sense of Blok and Pigozzi with respect to a class of involutive residuated lattices. We thus provide the first known algebraic semantics for (we call them of -algebras) as well as a finite Hilbert-style calculus equivalent to Nelson’s presentation. We provide an algorithm to make -algebras from -algebras or implicative lattices and we prove some results about the class of algebras which we have introduced. We also compare with other logics of the Nelson family, that is, 3 and 4.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) O trabalho tem como objetivo apresentar a dualidade de Birkhoff, estendendo para dualidade de Stone e por seguinte a dualidade de Priestley, assim como os conceitos básicos para o entendimento das mesmas. Feito isso, será colocado um operador modal positivo e mostrado que a dualidade de Priestley continua valendo agora para espaços de Priestley com um certo tipo de relação. Finalmente será apresentada uma dualidade entre N4-limitados e NE-Sp, utilizando a equivalˆencia entre N4-limitados e TWIST-limitados como atalho. Além de apresentar algumas ideias sobre bireticulados no apêndice. The present study aims to introduce the Birkhoff duality, extending for Stone duality and followed by Priestley duality, as well as the basic concepts for understanding them. It will then be introduced a positive modal operator and shown that Priestley duality applies for Priestley spaces with a certain type of relation. After that, it will be done a duality among bounded N4 and NE-Sp, using the equivalence between bounded N4 and bounded TWIST as a shortcut. In addition to presenting some ideas about non-involutive bilattices in the appendix.