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CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior CENAPAD - Centro Nacional de Processamento de Alto Desempenho em São Paulo FAPEMIG - Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Minas Gerais Ao longo deste trabalho serão exploradas novas redes bidimensionais construídas a partir da ladrilhagem Arquimediana do plano, sendo caracterizadas suas estruturas de bandas e fases Hall quânticas de spin. Utilizando uma combinação de teoria do funcional da densidade e Hamiltonianos efetivos, explorou-se realizações materiais das redes de Arquimedes. Primeiramente, focando na rede de kagome, foi predito a existência de fase Hall quântica anômala em materiais organometálicos magnéticos. Ainda mais, tomando o seu análogo com simetria de reversão temporal, i.e., efeito Hall quântico de spin, foi incluído um grau de liberdade adicional para o controle das propriedades eletrônicas em redes organometálicas, a saber, o seu empilhamento em multicamadas. Neste sistema empilhado a localização dos estados topológicos de borda é controlado através de um campo elétrico externo. Ainda dentro do escopo das redes de Arquimedes, mostramos sua realização material em um alótropo de boro. Este material apresenta estados de Dirac linearmente dispersivos em um subespaço formado por um pseudospin dos orbitais px/py . Neste caso, mostramos o comportamento hélico deste pseudospinor orbital, i.e., sua direção vinculada à direção do momento; um quadro análogo aos estados de superfı́cie de isolantes topológicos tridimensionais. Na sequência, considerando-se sistemas de bicamadas, estudamos as formas das texturas orbitais em função da quiralidades das camadas empilhadas e o efeito de um elétrico externo. Por fim explorou-se a construção de redes com pontos de alta-degenerescência, as quais não são previstas pelos grupos de simetria espacial. Aqui mostrou-se que simetrias de permutação de pares estabilizam tais pontos, sendo os mesmo observados em algumas redes de Arquimedes e outras redes 3D. Encontramos os ingredientes mı́nimos para a construção de tais redes, onde a sua realização experimental foi explorada no design de redes metálicas sobre a superfı́cie do carbeto de silício oxidado, onde consideramos uma fase ordenada de sı́lica que é observada experimentalmente. Neste sistema os orbitais s dos metais de pós-transição dão origem a estados de superfı́cie localizados exatamente no gap semicondutor do substrato. Throughout this work we explore new two-dimensional lattices constructed from the Archimedean tiling of the plane, characterizing its band structure and topological quantum spin Hall phases. As a proof of principle, within a combination of density functional theory and effective Hamiltonians, we have explored the material realization of Archimedean lattices. Fist, focusing in the kagome lattice, we predict within magnetic metal-organic frameworks the arising of quantum anomalous Hall effects. Additionally, from the time reversal symmetric counterpart, i.e. quantum spin Hall effect, we include a new multilayer degree of freedom into the control of metal-organic frameworks electronic properties. Within this multilayer system a layer localization effect of the topological states can be controlled through a external electric field. Focusing in a different Archimedean lattice, we shown its material realization in a two-dimensional boron allotrope. This material presents linear dispersive Dirac fermions in a px/py orbital pseudospin subspace. Here we shown a helical behavior of these orbital pseudospinors, i.e., its direction locked with the momentum direction, in a analogous way as the three dimensional topological insulator surface states. Furthermore, by adding a layer degree of freedom in addition to the orbital one, i.e., stacking of borophene bilayers, allows a control of the orbital texture by engineering the stacking order and external electric field. Lastly, we explored the construction of high-degeneracy points, which are not predicted by space-group symmetries. Here we show that pair permutation symmetries stabilizes such points, which are presents in a two Archimedean lattices, but also in other 3D lattices. We have found the recipe for constructing such lattices, where its experimental realization was proposed in metal lattices designed over silicon carbide surface oxidized by a ordered silica phase. In such systems, the post-transition metals s orbitals give rise to surface states localized neatly within the substrate’s semiconducting energy gap. Tese (Doutorado)