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Dadas as dificuldades dos alunos na compreensão de algumas abordagens da Geometria Plana em sala de aula, vimos a necessidades de propor este estudo. O trabalho tem como objetivo apresentar uma proposta didática para viabilizar o ensino da Generalização do Teorema de Pitágoras com o aporte do GeoGebra, explorando a percepção geométrica do estudante a respeito da relação entre as áreas de polígonos construídos sobre os catetos e a hipotenusa. Para a elaboração deste trabalho, utilizamos como metodologia de pesquisa a Engenharia Didática em suas duas primeiras fases – análises preliminares e análise a priori –, norteada pelos pressupostos da Teoria das Situações Didáticas. Esperamos que essa proposta forneça auxílio metodológico ao professor de Matemática, possibilitando trabalhar a visualização e a percepção geométrica dos estudantes., Dadas las dificultades de los estudiantes para comprender algunos enfoques de la Geometría Plana en el aula, nos vimos en la necesidad de proponer este estudio. El objetivo de este trabajo es presentar una propuesta didáctica que viabilice la enseñanza de la Generalización del Teorema de Pitágoras con el aporte de GeoGebra, explorando la percepción geométrica del estudiante respecto a la relación entre las áreas de los polígonos construidos sobre los catetos y la hipotenusa. Para la elaboración de este trabajo se utilizó como metodología de investigación la Ingeniería Didáctica en sus dos primeras fases –análisis preliminares y análisis a priori–, guiada por los presupuestos de la Teoría de las Situaciones Didácticas. Esperamos que esta propuesta brinde una ayuda metodológica al docente de Matemáticas, posibilitando trabajar la visualización y percepción geométrica de los estudiantes., Given the students' difficulties in understanding some approaches to Plane Geometry in the classroom, we saw the need to propose this study. The objective of this work is to present a didactic proposal to enable the teaching of the Generalization of the Pythagorean Theorem with the contribution of GeoGebra, exploring the student's geometric perception regarding the relationship between the areas of polygons built on the legs and the hypotenuse. For the elaboration of this work, we used Didactic Engineering as a research methodology in its first two phases – preliminary analyzes and a priori analysis –, guided by the assumptions of the Theory of Didactic Situations. We hope that this proposal provides methodological aid to the Mathematics teacher, making it possible to work on the visualization and geometric perception of the students.

Esta pesquisa teve por objetivo compreender como alunos com deficiência visual interagem com os diversos registros de representação e como os articulam nas atividades matemáticas sobre o Teorema de Pitágoras. Ela foi desenvolvida no âmbito do Mestrado Profissional em Ensino na Educação Básica do Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu do CEPAE/UFG. Com contribuições da Teoria de Registros de Representação Semiótica (TRRS), baseou-se em Duval (2012, 2017) e Almouloud (2003, 2004, 2016, 2017) e também nas contribuições de Mello (2013, 2015) e Fernandes (2004, 2007, 2008) sobre o ensino da matemática para alunos com deficiência visual na TRRS, e Lorenzato (1995, 2015) e Kallef (1994, 2012,2016) com contribuições sobre o ensino da geometria. A pesquisa proposta é de cunho qualitativo, segundo Bogdan, Biklen (1986), Ludke, André, (1986) e Triviños (1987), com método de análise segundo Fiorentini e Lorenzato (2009). Utilizaram-se como instrumento de coleta as entrevistas com alunos com cegueira total, buscando compreender de que forma eles aprenderam o Teorema de Pitágoras e as representações associadas à geometria. Entrevistaram-se, também, professores de matemática de alunos com deficiência visual, buscando investigar como é ensinado o Teorema de Pitágoras e quais recursos esses professores utilizam no ensino-aprendizagem desses alunos. A análise verificou o quanto os recursos táteis são fundamentais para a visualização das figuras geométricas para alunos com deficiência visual e também o quanto é importante a descrição das imagens e dos conceitos associados ao conteúdo. A forma de descrever as representações algébricas também é fundamental para o aluno cego acompanhar bem o ensino em sala de aula. Com os dados da pesquisa, observando a forma como os alunos interagem e articulam com os registros de representação em matemática, foi possível elaborar dois produtos educacionais: um podcast educacional, cujo título é “Conversando sobre o teorema de Pitágoras: problemas e aplicações” e um caderno pedagógico para o professor, cujo título é: “Propostas de ensino para alunos com deficiência visual”, contendo atividades envolvendo o Teorema, observando o estudo das representações e as especificidades para o ensino de alunos cegos. This research aims to understand how visually impaired students interact with the various representation registers and how they articulate them in mathematical activities on the Pythagorean Theorem. It was developed within the framework of the professional Master’s degree in Elementary Education Teaching of the Stricto Sensu Graduate Program at CEPAE-UFG. With contributions from the Theory of Register of Semiotic Representation (TRSR), we based on Duval (2012, 2017) and Almouloud (2003, 2004, 2016, 2017) and also on the contributions of Mello (2013, 2015) and Fernandes (2004, 2007, 2008) on the teaching of mathematics to visually impaired students in the contexto of TRSR, and Lorenzato (1995, 2015) and Kallef (1994, 2012, 2016) with contributions on the teaching of geometry. The proposed research is of a qualitative nature, according to Bogdan, Biklen (1986), Ludke, André, (1986) and Triviños (1987), with an analysis method according to Fiorentini and Lorenzato (2009). Interviews with students with total blindness were used as a collection instrument, seeking to understand how they learned the Pythagorean Theorem and the representations associated with geometry. Mathematics teachers of visually impaired students were also interviewed, seeking to investigate how the Pythagorean Theorem is taught and what resources these teachers use in the teaching-learning of these students. The analysis verified how much tactile resources are fundamental for the visualization of geometric figures for students with visual impairment and also how important is the description of images and concepts associated with the content. The way of describing the algebraic representations is also fundamental for the blind student to follow the teaching in the classroom correctly. With the research data, observing the way students interact and articulate with registers of representation in mathematics, it was possible to elaborate two educational products: an educational podcast, whose title is “Talking about the Pythagorean theorem: problems and applications” and a pedagogical notebook for the teacher, whose title is: “Teaching proposals for students with visual impairment”, containing activities involving the Theorem, and observing the study of representations and specificities for teaching blind students.

Pesquisa sem auxílio de agências de fomento A presente dissertação trata de uma pesquisa bibliográfica sobre diversas demonstrações do Teorema de Pitágoras, divididas em dois grupos: algébricas e geométricas. As primeiras são baseadas em semelhança de triângulos e as últimas são baseadas em comparações de áreas de diversas figuras planas. This dissertation deals with a bibliographical research on several proofs of theP ythagorean Theorem,divided into two groups: algebraic and geometric.The former are based on similarity of triangles and the latter are based on comparisons of areas of several flat figures. Dissertação (Mestrado) 2021-11-25

Diversos autores observaram que o ensino de geometria no Brasil tem sido realizado de forma superficial e incompleto por parte dos professores. O ensino de geometria requer, além de conhecimento teórico sobre o assunto, criatividade na elaboração de exercícios e atividades contextualizadas que tenham significado para os alunos. Atualmente, é possível perceber uma tendência de crescente interesse da academia por novas técnicas de ensino, principalmente as que utilizam recursos computacionais, diante do alto potencial de atratividade aos alunos. Neste contexto, este trabalho surge com o objetivo de desenvolver sugestões de atividades envolvendo as Tecnologias de Informação e Comunicação, em específico o app Suíte GeoGebra Calculadora, para auxiliar o professor de Matemática do Ensino Fundamental, em seus anos finais, a ministrar os conceitos relacionados ao Teorema de Pitágoras de forma mais dinâmica, distanciando-se do modo tradicional de se ensinar. Espera-se que este trabalho possa servir como subsídio didático ao professor, a auxiliar na ministração de suas aulas e, como consequência, ajudar o aluno na compreensão do Teorema de Pitágoras e seus resultados relacionados. Several authors have observed that the teaching of geometry in Brazil has been carried out superficially and incompletely by the teachers. The teaching of geometry requires, in addition to theoretical knowledge on the subject, creativity in the preparation of exercises and contextualized activities that have meaning for students. Something that we can perceive today is the growing interest of the academy for new teaching techniques, especially those that use computational resources, as this attracts the attention of students. In this context, this work arises with the objective of developing suggestions for activities involving Information and Communication Technologies, specifically the GeoGebra Calculator Suite app, to assist the Elementary School Mathematics teacher in the final years of teaching the concepts related to the Theorem of Pythagoras in a more dynamic way, detaching from the traditional way of teaching. It is hoped that this work can serve as a teaching aid to the teacher, helping him in the teaching of his classes and, as a consequence, helping the student to understand the Pythagorean Theorem and related results.

The objective of this research is to report the interaction experience of 9th-grade students in a municipal school in the state of São Paulo using the educational platform Hypatiamat, specifically regarding the content related to the Pythagorean theorem. This action research was developed with 24 students, mediated by the teacher, in the school's computer lab, and it had the main purpose to follow the evolution of the participants' learning while using the platform. The research steps consisted of applying a diagnostic assessment on the content related to the Pythagorean theorem, before and after the students' interaction with the platform; in the use of this resource for a period of ten classes in which they were monitored and measured by the researcher professor; and, finally, in the application of a questionnaire about the performed experience. The results showed that most students, around 87.49%, had satisfactorily learned the proposed content through the Hypatiamat Platform. From the answers to the questionnaire, it was also possible to infer that the students liked and would use this resource again during classes, despite frequently opting for the expository method, typical of traditional teaching, especially when the activity requires more complex reading skills. Therefore, we can conclude that the platform favoured and contributed to the students' learning once, through the monitoring and evaluations carried out by the teacher, we verified that the students understood the concepts involved in the exercises and developed the calculations correctly. O objetivo deste trabalho é relatar uma experiência de interação com alunos do 9º ano em uma escola municipal do estado de São Paulo com a plataforma educacional Hypatiamat, especificamente no que tange ao estudo relacionado ao teorema de Pitágoras. Essa pesquisa-ação foi desenvolvida com 24 alunos, mediados pelo professor, no laboratório de informática da escola e teve como finalidade principal acompanhar a evolução da aprendizagem dos participantes durante a utilização da plataforma. As etapas da pesquisa consistiram na aplicação de uma avaliação diagnóstica sobre o conteúdo relacionado ao teorema de Pitágoras, antes e após a interação dos alunos com a plataforma; na utilização desse recurso por um período de dez aulas nas quais foram acompanhados e medidos pelo professor pesquisador; e, por último, na aplicação de um questionário sobre a experiência vivenciada. Os resultados mostraram que a maioria dos estudantes, cerca de 87,49%, aprenderam satisfatoriamente o conteúdo proposto por meio da Plataforma Hypatiamat. A partir das respostas dos questionários foi possível perceber, também, que os estudantes gostaram e utilizariam novamente esse recurso durante as aulas, apesar de optarem frequentemente pelo método expositivo, típico do ensino tradicional, sobretudo quando a atividade requer habilidades mais complexas de leitura. Sendo assim, podemos concluir que a plataforma favoreceu e contribuiu com a aprendizagem dos alunos pois, por meio do acompanhamento e das avaliações realizadas pelo professor, verificamos que os alunos compreenderam os conceitos envolvidos nos exercícios e desenvolveram os cálculos corretamente.

Submitted by Carla Marilla Caldeirani Lino (carlamarillaa@gmail.com) on 2019-04-18T05:08:32Z No. of bitstreams: 1 Carla Marilla Caldeirani Lino - Dissertação.pdf: 2701650 bytes, checksum: ea4747651e073c74df948cc7ee8bd6d0 (MD5) Approved for entry into archive by Elza Mitiko Sato null (elzasato@ibilce.unesp.br) on 2019-04-18T13:46:36Z (GMT) No. of bitstreams: 1 lino_cmc_me_sjrp.pdf: 2701650 bytes, checksum: ea4747651e073c74df948cc7ee8bd6d0 (MD5) Made available in DSpace on 2019-04-18T13:46:36Z (GMT). No. of bitstreams: 1 lino_cmc_me_sjrp.pdf: 2701650 bytes, checksum: ea4747651e073c74df948cc7ee8bd6d0 (MD5) Previous issue date: 2019-02-26 Este estudo vincula-se à linha de pesquisa “Educação Matemática”, pertencente ao Programa de Pós-Graduação em Ensino e Processos Formativos da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Câmpus de Ilha Solteira-SP (FEIS/UNESP). Desenvolveu-se em uma Escola pública Estadual da cidade de Três Lagoas-MS. A partir do pressuposto de que é preciso analisar as potencialidades pedagógicas do uso da História da Matemática em sala de aula, temos o objetivo geral de discutir as possíveis potencialidades do uso da História da Matemática no ensino de Geometria, especialmente, no ensino do Teorema de Pitágoras. Interessanos analisar as possíveis contribuições que esta empreitada pode trazer ao processo de ensino/aprendizagem dos alunos de uma turma da Educação de Jovens e Adultos. A questão norteadora do trabalho foi: “Quais são as contribuições do uso da História da Matemática no ensino de Geometria, em particular, do Teorema de Pitágoras para os alunos da EJA?”. Para tanto, elaborou-se e aplicouse uma sequência didática desenvolvida com uma turma de alunos do Módulo Intermediário IV/9ºano do Ensino Fundamental-EJA. Além disso, foi feito um levantamento bibliográfico de teses/dissertações que, apresentaram argumentos sobre importância da utilização da História da Matemática nas salas de aula, destacando a sua importância no ensino/aprendizagem. Também foi feita a observação das práticas pedagógicas da escola em que o trabalho da professora/pesquisadora foi desenvolvido atentando-se para posicionamentos da direção, coordenação e professores atuantes. Metodologicamente, este estudo tratase de uma pesquisa qualitativa que permite evidenciar contribuições da proposta de ensino em questão para os alunos da turma escolhida. Os dados foram coletados por meio de contato direto com os sujeitos em seu local de estudo/trabalho. Os dados que deram origem ao corpus foram problematizadas por meio de Análises de Conteúdo, ancoradas nos estudos de Bardin (1988). Como eixo teórico central, nos valemos de um referencial específico que discute a História da Matemática como Recurso Didático, a partir dos estudos de Miguel (1997), Miguel e Miorim (2004), Fauvel e Maanen (2000) e Mendes (2006). This study is linked to the research line "Mathematics Education", belonging to the Postgraduate Program in Teaching and Training Processes of the "Júlio de Mesquita Filho" State University, Campus of Ilha Solteira-SP (FEIS / UNESP). It was developed in a State Public School of the city of Três Lagoas-MS. Based on the assumption that it is necessary to analyze the pedagogical potentialities of the use of the History of Mathematics in the classroom, we have the general objective of discussing the possible potentialities of the use of the History of Mathematics in the teaching of Geometry, especially in the teaching of Theorem Pythagoras. We are interested in analyzing the possible contributions that this undertaking can bring to the teaching / learning process of the students of a group of Youth and Adult Education. The guiding question of the work was: "What are the contributions of the use of the History of Mathematics in the teaching of Geometry, in particular, of the Pythagorean Theorem for the students of the EJA?" Therefore, a didactic sequence was developed and applied with a group of students from the Intermediate Module IV / 9th grade of Elementary School-EJA. In addition, a bibliographical survey of theses / dissertations was presented, which presented arguments about the importance of using the History of Mathematics in classrooms, highlighting its importance in teaching / learning. It was also made the observation of the pedagogical practices of the school in which the work of the teacher / researcher was developed looking for positions of direction, coordination and acting teachers. Methodologically, this study is a qualitative research that allows evidence of contributions of the teaching proposal in question to the students of the chosen class. The data were collected through direct contact with the subjects at their place of study / work. The data that gave origin to the corpus were problematized through Content Analysis, anchored in the studies of Bardin (1988). As a central theoretical axis, we use a specific referential that discusses the History of Mathematics as a Learning Resource, based on the studies of Miguel (1997), Miguel and Miorim (2004), Fauvel and Maanen (2000) and Mendes (2006).

Não recebi financiamento The purpose of this paper was to investigate the potentialities and limitations of a teaching intervention, structured on the basis of making materials to be handled by visually impaired students, aiming at the construction of Pythagorean Theorem concept, systematization and learning. The chosen theme is part of Geometry field which has strong association with visual experiences, and from the hypothesis that this public is able to appropriate notions related to this concept as well as the sighted, providing their access by other senses, considering their specificities and adaptations. This study proposed to answer the question: "What are the potentialities and limitations of a structured teaching intervention from tactile materials related to Pythagorean Theorem, for the first grade students with visual impairment?" And to answer it, a qualitative research was carried out through a case study, with two congenital blind pupils of public schools in Itapevi and Barueri, both in São Paulo. The students passed by the interventions which consisted on the application of seven activities using a representative depictions of polygons and specific instruments to measure and compare angles. The theoretical basis of this research was the study of Vygotsky's conceptions of the development of higher psychological functions through the observation of information transit (the thoughts) at the zone of proximal development of an individual. An overview of Brazilian legislation on inclusive education that theoretically approaches disabled people education, especially visual sensory, was also part of the elements that underpinned this study. The results showed that a mediation action of an experienced person aided with the manipulation of materials and structured activities within each students specificities, made possible the acquisition and development of knowledge related to Geometry by the students, to construct the concept of the Pythagorean Theorem. The curricular adaptation has contributed to an inclusion in which teaching and learning process prevails. O presente trabalho teve por objetivo realizar a investigação das potencialidades e limitações de uma intervenção de ensino estruturada a partir da confecção de materiais para manipulação de alunos deficientes visuais visando a construção do conceito, sistematização e o aprendizado do Teorema de Pitágoras. O tema escolhido situa-se no campo da Geometria que tem fortes associações com experiências visuais e partimos da hipótese de que esse público tem condições de se apropriar de noções ligadas a esse conceito assim como os videntes, desde que seu acesso seja viabilizado por outros sentidos levando em conta suas especificidades e adaptações. O estudo propôs responder a questão: “Quais as potencialidades e limitações de uma intervenção de ensino estruturada a partir de materiais táteis sobre o Teorema de Pitágoras para alunos do 1° ano do Ensino Médio com deficiência visual?” e para respondê-la, foi realizada uma pesquisa de natureza qualitativa por meio de um estudo de caso, com duas alunas cegas congênitas de escolas públicas (municipal e estadual) situadas nos municípios de Itapevi - SP e Barueri – SP. As alunas passaram pelas intervenções que consistiram na aplicação de sete atividades utilizando figuras representativas de polígonos e de instrumentos adaptados para medição e comparação de ângulos. A fundamentação teórica da pesquisa contou com o estudo das concepções de Vygotsky sobre o desenvolvimento das funções psicológicas superiores por meio da observação do trânsito das informações (pensamentos) pela zona de desenvolvimento proximal do indivíduo. Um panorama sobre a legislação brasileira sobre a educação inclusiva que aborda teoricamente a educação de pessoas com deficiência, em especial, o sensório visual, também fez parte dos elementos que alicerçaram nossa pesquisa. Os resultados mostraram que ação mediadora de uma pessoa com mais experiência agregado à manipulação de materiais e a atividades estruturadas dentro de cada especificidade dos discentes possibilitaram a aquisição e o desenvolvimento de saberes ligados à Geometria pelas alunas para a construção do conceito do Teorema de Pitágoras. A adaptação curricular contribuiu para uma inclusão que prima pelo processo de ensino e de aprendizagem.

Submitted by Jorge Silva (jorgelmsilva@ufrrj.br) on 2021-08-20T20:33:58Z No. of bitstreams: 1 2018 - Rafael Racca Roberto.pdf: 8429952 bytes, checksum: eda467ab04fc27b9043e43a95361fce4 (MD5) Made available in DSpace on 2021-08-20T20:33:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2018 - Rafael Racca Roberto.pdf: 8429952 bytes, checksum: eda467ab04fc27b9043e43a95361fce4 (MD5) Previous issue date: 2018-06-06 Coordena??o de Aperfei?oamento de Pessoal de N?vel Superior (CAPES, Brasil) This work is the presentation of a teaching methodology. Its purpose is teaching through a role-playing game (RPG) that takes place in Crotone, the birthplace of the Pythagorean school, where the characters experience and help build the knowledge that underlies the Pythagorean theorem. To do this, we perform a theoretical research to substantiate the creation, application and evaluation of the game. Where we are knowing the fundamentals of learning and constructivism that will validate the use of the teaching method. Next we present the concepts of what RPG is, its variations, its culture and its advantages and disadvantages as a teaching tool. After these foundations we will have the presentation of the game created in this work, an RPG game to teach the Pythagorean discoveries. Your system and game, your campaign scenario, your main events and characters. In the sequence we will be presenting the individual perception of the teacher in the behavior of the students of a class in elementary school, concerns about teaching methodology, involvement in group activities, knowledge building and changes in thinking. Finally an evaluation of the process, based on a questionnaire of Gontijo and the results of the tests applied before and after the game. We conclude with an account of the main results obtained in this work that even with a small sample proved to be effective in both academic improvement and interest in mathematics and its history, fostering the search for more knowledge. Este trabalho ? a apresenta??o de uma metodologia de lecionar. Seu objetivo ? o ensino atrav?s um jogo de interpreta??o de papeis (RPG) que se passa em Crotona, ber?o da escola pitag?rica, onde os personagens vivenciam e ajudam a construir o conhecimento que fundamenta o teorema de Pit?goras. Para tal, realizamos uma pesquisa te?rica para fundamentar a cria??o, aplica??o e avalia??o do jogo. Onde estamos conhecendo os fundamentos do aprendizado e do construtivismo que ir?o validar a utiliza??o do m?todo de ensino. Em seguida apresentamos os conceitos do que ? RPG, suas varia??es, sua cultura e suas vantagens e desvantagens como ferramenta de ensino. Ap?s estes alicerces teremos a apresenta??o do jogo criado neste trabalho, um jogo de RPG para ensinar as descobertas pitag?ricas. Seu sistema e jogo, seu cen?rio de campanha, seus principais eventos e personagens. Na sequ?ncia estaremos apresentando a percep??o, individual do professor, no comportamento dos alunos de uma turma no ensino fundamental, as inquieta??es na metodologia de ensinar, o envolvimento nas atividades de grupo, o construir do conhecimento e as mudan?as na forma de pensar. Por fim uma avalia??o do processo, baseada em um question?rio de Gontijo e dos resultados dos testes aplicados antes e ap?s o jogo. Conclu?mos com um relato dos principais resultados obtidos neste trabalho que mesmo com uma amostra pequena mostrou-se eficaz tanto na melhoria acad?mica quanto no interesse pela matem?tica e sua hist?ria, fomentando a busca de mais conhecimento

Resumo O estudo apresentado neste artigo está ligado a uma investigação qualitativa, levada a efeito junto a um grupo de estudantes do Ensino Fundamental, cuja principal finalidade consistia em estudar os processos de construção do conhecimento em geometria euclidiana plana e do teorema de Pitágoras, em particular, tendo por base a proposição de atividades problematizadas em uma estratégia didática que previa o trabalho com construções geométricas e o emprego de uma versão do software Logo, de modo a observar como este processo se estabelece de forma significativa, e a maneira pela qual a fluência em tecnologias digitais influencia na construção de conjecturas pelos sujeitos. Os pressupostos advindos da Teoria das Situações Didáticas foram adotados para a análise, em conjunto com a Teoria da Aprendizagem Significativa, e influenciaram também a construção de sequências didáticas, compostas por problemas, cujas propostas de resolução foram apresentadas pelos estudantes. Neste sentido, foi possível observar, à guisa de resultados da investigação, durante as trajetórias de resolução eleitas pelos sujeitos, diversas características da aprendizagem, entre acertos e equívocos, evidenciadas pelo uso do software e por propostas escritas nos protocolos produzidos, que permitiram, a partir desta convergência, indicar os principais avanços observados com o uso da estratégia adotada. Abstract The study presented in this article is linked to a qualitative research carried out with a group of primary school students, whose main purpose was to study the processes of knowledge construction in Euclidean plane geometry, considering, as main subject, the Pythagorean theorem. The research is based on the proposition of problematized activities in a didactic strategy that predicted the work with geometric constructions and the use of a version of the Logo software, in order to observe how and in what form this process is established in a significant way, and the way in which the fluency in digital technologies influences the construction of conjectures by the subjects. The assumptions derived from the Theory of Didactic Situations were adopted for the analysis, together with the Theory of Significant Learning, and influenced the construction of didactic sequences, composed of problems, which proposals of resolution were presented by the students. In this sense, it was possible to observe, as results obtained by investigation process, during the resolution trajectories chosen by the subjects, several characteristics of the subjects’ learning, including correct and wrong answers, evidenced by both the use of the software and written proposals in the protocols produced, which allowed, from this convergence, to indicate the main advances observed with the use of the strategy adopted.

Não recebi financiamento [ENG]The official curriculum of the state of São Paulo in their spiral character, discusses the Pythagorean Theorem as one of their learning situations for the 9th year of elementary school, and on top of that content, contextualizes the topic in several other opportunities in high school, one of the most common theories in the Euclidean geometry. The work contributes in the creation of skills and competencies necessary for the understanding of geometry, which is apparent or not the figure of the right triangle, with the aim of providing tools for students to build knowledge necessary in order to find solutions to the problems posed by notebook student, which is the basic curriculum for all students of the state of São Paulo school. The activities, as workshops and activity sheets, proposed by the developer of this dissertation were applied to 35 students of the 9th grade of elementary school of the State School Pedro Bento Alves, located in central city of Arandu, state of São Paulo, which has in its framework students 800 students, divided shapeless way in 22 classrooms. Through the activity sheets, the author made the draft statements for the Pythagorean Theorem through manual labor, which believes it has a more significant effect to the students. The results were analyzed and compared with the assumptions previously raised during the preparation and creation of the dissertation, and the Didactic Engineering as the main research methodology and data analysis. Proposals classes had a good development because students behaved as protagonists of actions, being motivated and participative during the execution of activities. Students reached the proposed objectives, understanding that the material developed provided a different routine, as it has been applied, and thus conclude that the leaves of activities will be useful to all teachers who want to develop them in their classes, adapting -the as reality, performance and utilization of their students. The work contributed greatly to the professional development of the author, since rethink strategies and pursue new activities through research, raised the level of knowledge on the subject, which provided new practices in the classroom. O currículo oficial do estado de São Paulo em seu caráter espiral, aborda o Teorema de Pitágoras como uma de suas situações de aprendizagem para o 9° ano do ensino fundamental, e em cima desse conteúdo, contextualiza o tema em diversas outras oportunidades no ensino médio, sendo uma das teorias mais frequentes na parte da geometria euclidiana. O trabalho contribui na criação de habilidades e competências necessárias para a interpretação da geometria, que tem aparente ou não a figura do triângulo retângulo, com o objetivo de dar ferramentas para que o aluno construa conhecimentos necessários, a fim de encontrar soluções aos problemas propostos pelo caderno do aluno, que é a base curricular para todos os estudantes da rede estadual de ensino paulista. As atividades, em forma de oficinas e folhas de atividades, propostas pelo desenvolvedor dessa dissertação, foram aplicadas para 35 alunos do 9° ano do ensino fundamental da Escola Estadual Pedro Bento Alves, situada na região central da cidade de Arandu, estado de São Paulo, a qual tem em seu quadro discente 800 alunos, divididos de maneira disforme em 22 salas de aula. Nas folhas de atividades o autor fez a proposta de demonstrações para o Teorema de Pitágoras através do trabalho manual, que acredita ter efeito mais significativo para os alunos. Os resultados foram analisados e comparados com as hipóteses levantadas previamente durante a fase de preparação e criação da dissertação, tendo a Engenharia Didática como metodologia principal de investigação e análise dos dados. As aulas propostas tiveram um bom desenvolvimento, pois os alunos se portaram como protagonistas das ações, mostrando-se motivados e participativos durante a execução das atividades. Os alunos atingiram os objetivos propostos, entendendo que o material desenvolvido proporcionava uma rotina diferenciada, na forma com que foi aplicado, e com isso concluo que as folhas de atividades poderão ser úteis a todos os professores que queiram desenvolvê-las em suas aulas, adaptando-as conforme realidade, rendimento e aproveitamento de seus alunos. O trabalho contribuiu muito para o desenvolvimento profissional do autor, uma vez que repensar estratégias e buscar novas atividades através de pesquisas, elevou o nível de conhecimento sobre o tema, que propiciou novas práticas em sala de aula.

Submitted by MARCOS EDER CUPAIOLI (marcoscupaioli@hotmail.com) on 2016-09-13T14:53:52Z No. of bitstreams: 1 Dissertação-MARCOS-EDER-CUPAIOLI-Matemática-Final Repositório.pdf: 3030917 bytes, checksum: 5fee5216541ccf70c5a9acb075b9976f (MD5) Rejected by Felipe Augusto Arakaki (arakaki@reitoria.unesp.br), reason: Solicitamos que realize uma nova submissão seguindo as orientações abaixo: No campo “Versão a ser disponibilizada online imediatamente” foi informado que seria disponibilizado o texto completo porém no campo “Data para a disponibilização do texto completo” foi informado que o texto completo deverá ser disponibilizado apenas 6 meses após a defesa. Caso opte pela disponibilização do texto completo apenas 6 meses após a defesa selecione no campo “Versão a ser disponibilizada online imediatamente” a opção “Texto parcial”. Esta opção é utilizada caso você tenha planos de publicar seu trabalho em periódicos científicos ou em formato de livro, por exemplo e fará com que apenas as páginas pré-textuais, introdução, considerações e referências sejam disponibilizadas. Se optar por disponibilizar o texto completo de seu trabalho imediatamente selecione no campo “Data para a disponibilização do texto completo” a opção “Não se aplica (texto completo)”. Isso fará com que seu trabalho seja disponibilizado na íntegra no Repositório Institucional UNESP. Por favor, corrija esta informação realizando uma nova submissão. Agradecemos a compreensão. on 2016-09-14T21:55:41Z (GMT) Submitted by MARCOS EDER CUPAIOLI (marcoscupaioli@hotmail.com) on 2016-09-15T01:47:57Z No. of bitstreams: 1 Dissertação-MARCOS-EDER-CUPAIOLI-Matemática-Final Repositório.pdf: 3030917 bytes, checksum: 5fee5216541ccf70c5a9acb075b9976f (MD5) Approved for entry into archive by Juliano Benedito Ferreira (julianoferreira@reitoria.unesp.br) on 2016-09-15T18:14:38Z (GMT) No. of bitstreams: 1 cupaioli_me_me_sjrp.pdf: 3030917 bytes, checksum: 5fee5216541ccf70c5a9acb075b9976f (MD5) Made available in DSpace on 2016-09-15T18:14:38Z (GMT). No. of bitstreams: 1 cupaioli_me_me_sjrp.pdf: 3030917 bytes, checksum: 5fee5216541ccf70c5a9acb075b9976f (MD5) Previous issue date: 2016-08-19 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) Este trabalho aborda um conjunto de atividades experimentais com a finalidade de demonstrar um dos mais belos e importantes teoremas da Matemática: o Teorema de Pitágoras. São conhecidas mais de 400 demonstrações, aqui optamos por utilizar uma demonstração devido a Rudolf Wolf, por possibilitar uma abordagem geométrica lúdica através da dissecção de figuras planas. Inicialmente apresentamos o conceito geral de semelhança e áreas das figuras planas que utilizam propriedades e áreas de polígonos equidecomponíveis. Posteriormente, realizamos um breve resgate histórico sobre diversas demonstrações do Teorema e da vida de Pitágoras. Destacamos, também, uma maneira de achar algumas ternas pitagóricas, utilizando a sequência de Fibonacci. Por fim, foram propostas e desenvolvidas atividades experimentais em sala de aula com a utilização de moldes em EVA, explorando o Teorema de Pitágoras e algumas de suas aplicações. This work contains a set of experimental activities in order to prove one of the most beautiful and important theorems in Mathematics: the Pythagorean Theorem. There are known more than 400 proofs, here we chose to use a proof due to Rudolf Wolf, by allowing a playful geometric approach by dissection of plane figures. Initially we present the general concept of similarity and areas of plane figures using properties and areas of equidecomposable polygons. Later, we do a brief historical review of some proofs of Theorem and Pythagoras's life. We also highlight a way to find some Pythagorean triples using the Fibonacci sequence. Finally, it was proposed and developed experimental activities in the classroom with the use of molds EVA, exploring the Pythagorean theorem and some of its applications.

Neste artigo discorre-se sobre um recorte de dados provenientes de um curso de extensão universitária realizado com professores de Matemática. Esse curso foi uma das ações do projeto “Mapeamento do uso das tecnologias da informação nas aulas de Matemática no Estado de São Paulo” . Traz-se aqui parte das discussões do fórum do ambiente virtual Moodle, sobre uma atividade com o software GeoGebra, em que se abordou o Teorema de Pitágoras. Analisaram-se as discussões com base na ideia de Multiálogo e evidenciaram-se conversas entrecruzadas, que culminaram em propostas e adaptações na atividade inicial, feitas pelos professores, buscando contemplar seus respectivos ambientes educacionais.

Antigamente a trigonometria estava relacionada apenas ao estudo de triângulos, porém, com o passar do tempo ela foi ganhando magnitude e, atualmente, existem aplicações da trigonometria em diversas áreas de conhecimento. Este trabalho é composto por duas partes, a primeira parte está relacionada ao estudo teórico de triângulos, desde o seu uso na antiguidade até os dias de hoje, dessa forma, para uma melhor compreensão e entendimento, foi feito um breve estudo sobre os casos de congruência e semelhança, bem como as relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo, não deixando de lado o Teorema de Tales e o Teorema de Pitágoras, apresentando exemplos de aplicação na construção civil. A segunda parte é composta por atividades práticas realizadas com os alunos do primeiro ano do ensino médio de um a escola estadual da cidade de Três Lagoas - MS, sendo atividades que envolvem o conhecimento de triângulos retângulos, de maneira que possam fixar melhor o tema abordado, utilizando a prática como fonte inspiradora para tal conhecimento. ABSTRACT - In the past, the trigonometry was related to only to study triangles, however, over time, it was gaining importance and, nowadays, trigonometry is applied in several fields of knowledge. This paper has two parts. The first one is related to theoretical study of triangles, since its use in the past until nowadays. In order to have a better understanding, a short study was done about the cases of congruence and similarity as well as, metric and trigonometric relations in the triangle rectangle, without disregarding the Tales Theorem and Pythagorean Theorem, presenting examples of application on civil construction. The second part consists of pratical activities applied with students in the first year of high school in a state school in the city of Três Lagoas - MS. These activities involve knowlegde of triangle rectangle in order to the students may learn better the theme discussed, using the practice as source of inspiration for such knowledge.

Este trabalho tem como objeto de estudo um dos mais importantes e belos Teoremas matemáticos: o Teorema de Pitágoras. Inicialmente, veremos um levantamento histórico sobre Pitágoras e de alguns fatos que remetem ao Teorema estudado. Na sequencia, dentre as numerosas demonstrações que encontramos na literatura, apresentamos, em detalhes, 13 lindas formas de provar-se a veracidade do Teorema, além de uma que trata de sua recíproca. Algumas aplicações e também da geração de ternos pitagóricos, ou seja, triplas de números naturais que caracterizam os três lados de triângulos retângulos. Ainda veremos que a geometria Euclidiana não explica tudo o que ocorre a nossa volta, prova disso e o estudo da geometria esférica, onde também temos o triangulo reto. Por fim veremos o quão pouco ele é requisitado nas provas do Enem por meio de uma analise de todas as avaliações já aplicadas. ABSTRACT - This article aims to study one of the most important and beautiful mathematical Theorems: The Pythagorean Theorem. Initially, we will look at a historical background about Pythagoras and some facts that leads to the studied Theorem. Next, among the numerous demonstrations that is found in literature, we will present in detail, 13 elegant ways to prove the veracity of the Theorem, and a further one that covers its reciprocal. Some applications and also generations of Pythagorean triples - that is to say, triple of natural numbers that characterize the three sides of right triangle. We will notice that Euclidean geometry does not explain everything that occurs in our surroundings yet, the proof is the study of spherical geometry, where we also nd the right triangle. Finally, we will see how little the Pythagorean Theorem is required in the Enem tests through an analysis of all tests already applied.

Este trabalho apresenta, através de demonstrações detalhadas com muitas imagens para facilitar o entendimento de alunos e professores do ensino médio, alguns resultados importantes como o teorema de Menelaus e o teorema de Ceva que com o auxílio do triângulo medial e o triângulo órtico provamos que às medianas, bissetrizes, alturas e mediatrizes são concorrentes. Também apresentamos alguns teoremas sobre quadriláteros convexos como os teoremas de Varignon e Brahmagupta. E para finalizar, a reta de Euler, importante teorema aplicado no ensino médio para triângulos isósceles e equiláteros, mas que na verdade se aplicam a qualquer triângulo. ABSTRACT - This dissertation through detailed demonstrations with many images to facilitate understanding of students and high school teachers, initially presents important results like the Menelaus’ and the Ceva’s theorems, when these theorems are linked to the medial triangle and the orthic triangle, they help us prove that the medians, bisectrixes, heights and bisectors are concurrents. We also present some theorems about convex quadrilaterals like Varignon and Brahmagupta theorems. In the end we presented Euler’s line, which is an important theorem studied in High School for isosceles and equilateral triangles, but in fact it is applied to any triangle.

The purpose of this work is propound, in some way, contribute to Trigonometry’ teaching improvement in elementary school, according to survey conducted with some teachers who work in the 9th year about basic education that happens in public and private schools in Alagoas State state. For this, it was drawn up a classes sequence for these students divided into four parts. The theme was chosen and developed with intention of reducing a great difficulty found by students in a content’s comprehension, and enable a better applicability in problems, mainly because we believe that the understanding by some concepts, you can enable the student to perform arithmetic operations, algebra and geometry to extent that are presented. We propose the teaching Trigonometry through the resolution of problems, in particular the design’s construction that facilitates the subject’s visualization and interpretation coming to your solution, because in this way, we believe that students can develop their own resolutio’s skills. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior O presente trabalho visa propor e, de alguma forma, contribuir para o aprimoramento do ensino da Trigonometria no ensino fundamental, segundo uma pesquisa realizada com alguns professores que atuam no 9° ano do ensino básico de escolas públicas e particulares do estado de Alagoas. Diante disso, foi elaborada uma sequência de aulas para esses alunos divididas em quatro partes. O tema foi escolhido e desenvolvido com a intenção de diminuir a grande dificuldade encontrada pelos alunos para a compreensão do conteúdo e possibilitar uma melhor aplicabilidade nos problemas, sobretudo por entendermos que a compreensão de alguns conceitos, pode capacitar o estudante a realizar operações aritméticas, algébricas e geométricas à medida que são apresentados. Propomos o ensino da Trigonometria através da resolução de problemas, em especial a construção de um desenho que facilite a visualização e a interpretação da questão chegando até sua solução, pois dessa forma, entendemos que os alunos possam desenvolver suas próprias técnicas de resolução.

Financiadora de Estudos e Projetos In this paper we reflect on a group of eight lessons applied in the eighth year of elementary school. In these classes, we treat the Pythagorean Theorem, seeking to justify this outcome appropriate to the student s eighth grade elementary school mode. We were interested in seeking justifications with historical content, to rescue, to the extent possible, a part of the history of the Pythagorean Theorem. We take care to seek a mathematical justification for each procedure adopted to develop pedagogical activities. Throughout the text brushing been several suggestions for improving the finished product, though it kept almost entirely in Appendix 1. Also critical to our work interweave throughout the text, seeking both personal growth as offering the opportunity for a better match of the final product to whom this is of interest. At the end we suggest some current applications of the Pythagorean Theorem. Finished the job in the classroom involving the class with the game of dominoes, adapted to the content studied, trying to leave a better final impression on the students. We describe the construction of pedagogical object, the math worked during such construction and finally its application in the classroom. We make four appendices. In the first present the final product. In the second we seek to exemplify the student s work. In the third and fourth work building Pythagorean triangles. Neste trabalho procuramos refletir sobre um grupo de oito aulas aplicadas no oitavo ano do Ensino Fundamental. Nestas aulas, tratamos do Teorema de Pitágoras, buscando justificar este resultado de modo adequado ao aluno do oitavo ano do Ensino Fundamental. Foi de nosso interesse buscar justificativas com um teor histórico, de modo a resgatar, na medida do possível, uma parte da história do Teorema de Pitágoras. Tomamos o cuidado de buscar uma justificativa matemática para o cada procedimento pedagógico adotado ao desenvolver as atividades. Durante todo o texto fomos pincelando várias sugestões para melhorar o produto final, se bem que o mantivemos quase que totalmente no Apêndice 1. Também entremeamos críticas ao nosso trabalho durante todo o texto, buscando tanto um crescimento pessoal quanto ofertando a oportunidade de uma melhor adequação do produto final a quem este for de interesse. Ao final sugerimos algumas aplicações atuais do Teorema de Pitágoras. Terminamos o trabalho em sala de aula envolvendo a classe com o jogo de dominó, adaptado ao conteúdo estudado, buscando deixar uma melhor impressão final nos alunos. Descrevemos a construção deste objeto pedagógico, a matemática trabalhada durante tal construção e por último sua aplicação com em aula. Confeccionamos quatro apêndices. No primeiro apresentamos o produto final. No segundo buscamos exemplificar os trabalhos dos alunos. No terceiro e quarto trabalhamos a construção de triângulos pitagóricos.

Financiadora de Estudos e Projetos This paper is related to the application of GeoGebra software in the following topics: Ratio, Proportion, Thales Theorem, Similarities, Similarity of Triangles, Pythagorean Theorem, Trigonometric Ratios in the Triangle Rectangle, Number and circumference. Initially all the contents were thought by traditional method, board and chalk. Therefore the GeoGebra software was applied. It was developed to teachers and students (9th grade) of an elementary school involved in these activities. Positive and negative results were showed but there is a perspective of improvement. All the stages are separately related to help the understanding. The object is the analyses about the importance and relevancy of using computerized mathematical tools during the learning process. Este trabalho trata da aplicação do software GeoGebra nos seguintes temas: Razão, Proporção, Teorema de Tales, Semelhança, Semelhança de Triângulos, Teorema de Pitágoras, Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo, o número e a Circunferência. Cada conteúdo foi trabalhado inicialmente do modo tradicional, giz e lousa, e posteriormente com o uso do GeoGebra. Desenvolvido de modo inédito para o professor e para os alunos de 8ª série (9° ano) envolvidos nas atividades, mostra resultados positivos e negativos com perspectiva de melhoras. Todas as etapas estão relatadas separadamente e o desenvolvimento foi feito de modo a favorecer uma compreensão adequada sobre o trabalho com o objetivo de propiciar a análise sobre a importância e relevância do uso de ferramentas matemáticas informatizadas no auxílio da aprendizagem.

This work is about the Pythagorean Theorem and its various statements, addressing its importance and as has been shown in mathematics education. We will present some of the history of Pythagoras, as well as on his theorem, and well see a search on their importance, and how students receive this information. We'll talk a bit about how the textbooks, from elementary school to the middle, deal about it, and finally we will see some statements about this theorem seeking to open a lot more range of options for students and lovers of mathematics teachers. These statements are part of the collection assembled by Loomis, who managed to submit more than three hundred statements of the theorem in a publication of 1940. Este trabalho trata sobre o Teorema de Pitágoras e suas diversas demonstrações, abordando sua importância e como vem sendo apresentado na educação matemática. Apresentaremos um pouco da história de Pitágoras, bem como, sobre o seu teorema, e veremos uma pesquisa sobre a sua importância, e como os alunos recebem essa informação. Falaremos um pouco, sobre como os livros didáticos, tanto do ensino fundamental como no médio, tratam sobre o assunto, e por fim veremos algumas demonstrações sobre este Teorema buscando abrir muito mais o leque de opções para os alunos e professores amantes da matemática. Essas demonstrações fazem parte do acervo reunido por Loomis, que conseguiu apresentar mais de trezentas demonstrações do teorema em uma publicação de 1940.

A música é uma arte privilegiada no que diz respeito ao campo técnico, uma vez que desde recuados tempos na história dispôs de instrumentos para a sua realização. Os instrumentos musicais também conduziram a investigações acústicas desde a Antiguidade até a era moderna, fazendo o papel tanto de dispositivos de observação do fenômeno musical quanto de modelos de representação do som. O artigo investiga a abordagem de Ptolomeu, na Harmônica, de diferentes métodos de investigação que surgem entre a concepção pitagórica da música, com seu fundamento aritmético, e a aristoxeniana, que conduz a questão para o âmbito das faculdades humanas da percepção auditiva e do entendimento. Mas também dando ao instrumento musical um papel importante do ponto de vista empírico e matemático. O tratado tem importância crucial, reunindo todo o saber da ciência harmônica antiga e indo além da própria ciência musical expondo a própria noção de harmonia universal dos antigos. Music is an art with a special place in the technical domain, since from long ago musical performance made use of instruments. From Antiquity to modern era, musical instruments instigated acoustic investigations, and served both as devices for the observation of musical phenomena and as models for representing sound. The article expounds Ptolemy's approach in his Harmonics to the different methods of investigation involved, on the one hand, in the Pythagorean musical conception, with its arithmetical foundation and, on the other hand, the Aristoxenian conception, that puts musical phenomena into the same domain as human faculties like auditory perception and reason, while giving musical instruments a special role from both empirical and mathematical points of view. Harmonica is crucially important in bringing together a considerable part of science of harmonics in antiquity, and also going a step beyond this to expound the ancient conception of universal harmony.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior This dissertation is devoted to studying the Pythagorean Theorem about various aspects. We begin by tracing a historical about this theorem, and then we present several demonstrations from him, as well as applications and workshops for your teaching. The continuation we present a proposal of activities motivational and creative in the use of this theorem in order to help teachers and arouse interest in students. We finalized this work by presenting an innovative Theorem Primer that should directing the use of labor by mathematics teachers in the classroom. Esta dissertação é dedicada ao estudo do Teorema de Pitágoras sob vários aspectos. Começamos traçando um histórico deste teorema, e então apresentamos várias demonstrações dele, assim como aplicações e oficinas para o ensino do mesmo. A continuação apresentamos uma proposta de atividades motivacionais e criativas para a utilização deste teorema, a fim de ajudar os professores e despertar o interesse nos estudantes. Concluímos este trabalho com a apresentação de uma inovadora Cartilha do Teorema, a Cartilha Pitagórica, que deverá orientar a utilização do trabalho por professores de Matemática em sala de aula.

Plato was not just a ´Socratic´. According to Diogenes Laertius, he started with Heraclitean philosophy before he met Socrates. His dialogues show that he was eager to take up other approaches as well. Next to the Eleatic influence, visible in the Parmenides and other late dialogues, Pythagorean philosophy seems to have had the strongest impact on his thinking. The biographical tradition asserts that he had repeatedly personal contact with the Pythagoreans from Tarentum, and Aristotle´s chapters 5 and 6 of Metphysics, Book I show that Plato´s philosophy of number and of the principles had great similarity to Pythagorean thinking. In this article, Aristotle´s statements about this part of Plato´s philosophy are examined one by one. It can be shown that in their entirety they form a coherent, meaningful whole., Platão não era apenas um ‘Socrático’. De acordo com Diógenes Laércio, ele começou com a filosofia heraclitiana antes de conhecer Sócrates. Seus diálogos mostram que ele também ansiava em tomar outras posições. Próxima à influência eleática, visível no Parmênides e outros diálogos tardios, a filosofia pitagórica parece que teve o maior impacto em seu pensamento. A tradição biográfia afirma que ele teve repetidos contatos com os Pitagóricos de Tarento, e os capítulos 5 e 6 da Metafísica de Aristóteles, Livro I, mostram que a filosofia do número e dos princípios de Platão tiveram grande semelhança com o pensamento pitagórico. Neste artigo, as afirmações de Aristóteles sobre esta parte da filosofia de Platão são examinadas uma a uma. Pode se demonstrar que, tomados como um inteiro, elas mostram um total coerente e significativo.