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Laminated composite plates and shells have been widely used in aeronautical, mechanical, and naval structures. Stability is a major concern in the design of these structures due to their high slenderness. Therefore, it is necessary to properly analyze their post-critical behavior, assessing their sensitivity to initial imperfections and load-carrying capacity. This paper presents a methodology based on the Isogeometric Analysis to study the stability of laminated plates and shallow shells. In this formulation, the geometry and displacement field are described using NURBS basis functions. Appropriate integration schemes are used to avoid the locking problem for thin-walled plates and shells. The proposed formulation was applied in the stability analysis of various examples and excellent results were obtained. The influence of the composite layup and geometric imperfections on the buckling load and post-critical behavior is studied. New bifurcation solutions to a well-known laminated shell buckling benchmark problem are presented.

The stability study of slender structures is of fundamental importance to guarantee the safety of the plates and shells, especially when high structural performances, like fiber-reinforced composite and functionally graded materials (FGM), are used. Isogeometric Analysis (IGA) is a recent technique that approximates the displacement field using the same functions used by CAD programs to geometry modeling (e. g. B-Splines and NURBS). IGA presents advantages such as the exact representation of the geometry and the model refinement simplicity. This work discusses isogeometric analysis plates and shallow shells of composite materials, focusing on fiber-reinforced composite laminates and functionally graded materials composed of metal and ceramic. The presented formulation is based on Reissner-Mindlin plate theory considering the transversal shear and Marguerre theory nonlinear analysis of shallow shells. It was verified that low-order approximation elements suffer from shear locking when full integration by Gaussian quadrature is applied. The use of higher order basis functions decreases, but do not eliminate, the locking problem. On the order hand, reduced integration techniques were applied with success to solve the locking problem for any approximation order. Excellent results were obtained from all analyzed examples. In the stability of laminated plates, it was observed that convergence and post-critical behavior depend on the composite layup. It was verified that angle-ply plates need to be more refined than cross-ply and isotropic plates. Furthermore, the critical loads of angle-ply laminates can be higher than the buckling loads of cross-ply laminates. However, angle-ply laminates present a smaller post-critical strength reserve. Laminated plates showed stable-symmetric bifurcation with small sensitivity to initial imperfections in all cases. The results showed the critical load of FGM plates increase with the ceramic volume fraction and that the boundary conditions have a strong influence on the stability of these plates. The presented IGA formulation also allowed to successfully study with the influence of thickness, layup and volume fraction variation on the nonlinear behavior and the stability of shallow shells. O estudo da estabilidade de estruturas esbeltas é de fundamental importância para garantir segurança dos projetos de placas e cascas, principalmente quando são utilizados materiais com alto desempenho estrutural, como os compósitos reforçados por fibras e os materiais com gradação funcional (MGF). A Análise Isogeométrica (AIG) é uma técnica recente, que utiliza como funções de aproximação dos deslocamentos as mesmas funções utilizadas pelos programas CAD para representação da geometria, como as NURBS. A AIG apresenta vantagens como a representação exata da geometria e a facilidade de refinamento do modelo. Este trabalho trata da análise isogeométrica de placas e cascas abatidas de material compósito, com foco nos compósitos laminados reforçados por fibras e nos materiais com graduação funcional. A formulação apresentada é baseada nas teorias de Reissner-Mindlin para placas considerando o cisalhamento transversal e de Marguerre para análise não linear de cascas abatidas. Esta formulação apresenta travamento numérico quando aproximações de baixa ordem são utilizadas juntamente com a integração completa por quadratura de Gauss. O uso de funções de base de ordem superior alivia, mas não o elimina, o problema do travamento. Por outro lado, técnicas de integração reduzida foram aplicadas com sucesso para resolver o travamento para qualquer ordem de aproximação. Assim, excelentes resultados foram obtidos para todos os exemplos analisados. Na estabilidade de placas laminadas, foi observado que a convergência e os comportamentos pós-críticos dependem do layup e da espessura das lâminas. Verificou-se que placas angle-ply precisam de maior refinamento que placas cross-ply e isotrópicas. Adicionalmente, a laminação angle-ply pode apresentar carga de flambagem maior que laminações cross-ply, porém seu enrijecimento pós-flambagem é menor. Placas com laminações simétricas apresentaram bifurcação simétrica estável com pouca sensibilidade às imperfeições iniciais. Nas placas de MGF, compostas por metal e cerâmica, verificou-se que a carga crítica aumenta com a fração volumétrica de cerâmica, fenômeno observado também no comportamento pós-crítico. Verificou-se ainda a forte influência das condições de contorno sobre a estabilidade destas placas. A formulação permitiu ainda estudar com sucesso a influência da espessura, esquema de laminação e variação da fração de volume sobre o comportamento não linear e a estabilidade de cascas cilíndrica abatidas.

RESUMO O Método de Análise Isogeométrica (AIG) é uma combinação entre o Método dos Elementos Finitos (MEF) e NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) onde as funções NURBS, além de representarem o domínio do problema, definem a base do espaço no qual aproximamos a solução de uma Equação Diferencial Parcial. Neste trabalho, a formulação básica do AIG é apresentada e discutiremos brevemente a formulação fraca do problema a partir da base de funções NURBS. Além disso, mostramos comparações numéricas entre o método dos elementos finitos e o método isogeométrico em termos de convergência. Por último, destacamos em um exemplo, uma das vantagens obtidas pelo AIG frente ao MEF devido à modelagem do domínio pelas funções NURBS. Um dos objetivos deste trabalho é servir como referência em português para uma introdução ao método AIG. ABSTRACT The Isogeometric Analysis (IGA) is a combination between Finite Elements Method (FEM) and NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines). The NURBS functionsmodel the problem domain and they define the basis of the space in which the Partial Differential Equation solution is approximated. In this article, we present the basic formulation of IGA and we discuss about the weak form of the problem. Moreover, we show numerical comparisons between the convergence of the finite elements method and the isogeometric analysis. Finally, we illustrate by an example, the advantages of modeling the domain using the NURBS functions, comparing both methods.

O presente trabalho tem por objetivo desenvolver uma formulação numérica baseada em Análise Isogeométrica para o estudo de problemas de interação fluido-estrutura (IFE) em aplicações envolvendo corpos rígidos submersos, onde escoamentos incompressíveis de fluidos Newtonianos com superfície livre são considerados. Propõe-se o emprego da Análise Isogeométrica por permitir a unificação entre os procedimentos de pré-processamento e análise, melhorando assim as condições de continuidade das funções de base empregadas tanto na discretização espacial do problema como na aproximação das variáveis do sistema de equações. O sistema de equações fundamentais do escoamento é formado pelas equações de Navier-Stokes e pela equação da conservação de massa, descrita segundo a hipótese de pseudo-compressibilidade, em uma formulação cinemática ALE (Arbitrary Lagrangean- Eulerian). A consideração da superfície livre no escoamento se dá tratando o fluido como um meio bifásico, através do método Level Set. O corpo rígido apresenta não linearidade na rotação e restrições representadas por vínculos elásticos e amortecedores viscosos, sendo a equação de equilíbrio dinâmico resolvida através do método de Newmark. O esquema de acoplamento sólido-fluido adotado é o particionado convencional, que impõe condições de compatibilidade cinemáticas e de equilíbrio sobre a interface sólido-fluido, analisando ambos os meios de maneira sequencial. A discretização das equações governantes é realizada através do esquema explícito de dois passos de Taylor-Galerkin, aplicado no contexto da Análise Isogeométrica. Por fim, são analisados alguns problemas da Dinâmica de Fluidos Computacional, de onde se concluiu que os resultados obtidos são bastante consistentes com os fenômenos envolvidos, com as ferramentas exclusivas da Análise Isogeométrica, como o refinamento k, melhorando a convergência dos resultados. Para escoamentos bifásicos, verificou-se que o método Level Set obteve resultados bastante promissores apresentando, entretanto, uma dissipação numérica excessiva. Propõe-se, para estudos futuros, a elaboração de esquemas numéricos que conservem melhor o volume da fase líquida do escoamento. The present work aims to development of a numerical formulation based on Isogeometric Analysis for the study of Fluid-Structure Interaction problems in applications involving rigid bodies submerged, considering incompressible Newtonian flows with free surface. The use of the Isogeometric Analysis allows unification between the preprocessing and analysis steps, improving then the continuity of the base functions employed, both in the spatial discretization and approximation of the variables in the system of equations. The fundamental flow equations are formed by the Navier-Stokes and the mass conservation, described by de pseudo-compressibility hypothesis, in an ALE (Arbitrary Lagrangean-Eulerian) kinematic formulation. The free surface consideration of the flow is handled treating the fluid like a two- phase medium, using the Level Set method. The rigid body considers nonlinearity in rotation, and restrictions represented by elastic springs and viscous dampers, with the dynamic equilibrium equation being resolved using the Newmark’s method. The solid-fluid coupling scheme is the conventional partitioned, which imposes kinematics and equilibrium compatibility conditions on the solid-fluid interface, analyzing both mediums in a sequential manner. The governing equations are discretized using the explicit two step Taylor-Galerkin method, applied in an Isogeometric Analisys context. Finally, some Computational Fluid Dinamics problems are analysed, from which it was concluded that the results obtained are quite consistent with phenomena involved, with the unique tools of Isogeometric Analysis, such as k-refinement, improving the convergence of the results. For biphasic flows, it was verified that the Level Set method obtained very promising results, presenting, however, an excessive numerical dissipation. For future studies, it is proposed the elaboration of numerical schemes that better preserve the volume of the liquid phase of the flow.

O presente trabalho tem por objetivo desenvolver uma formulação numérica baseada em Análise Isogeométrica para o estudo de escoamentos incompressíveis isotérmicos de fluidos newtonianos. Com o emprego desta metodologia, os procedimentos de pré-processamento e análise são unificados, melhorando as condições de continuidade das funções de base empregadas tanto na discretização espacial do problema como na aproximação das variáveis do sistema de equações. O sistema de equações fundamentais do escoamento é formado pelas equações de Navier-Stokes e pela equação de conservação de massa, descrita segundo a hipótese de pseudo-compressibilidade, além de uma equação constitutiva para fluidos viscosos de acordo com a hipótese de Stokes. Para problemas com escoamentos turbulentos emprega-se a Simulação de Grandes Escalas - LES (Large Eddy Simulation), na qual o modelo clássico de Smagorinsky é utilizado para a representação das escalas inferiores à resolução da malha. O esquema explícito de dois passos de Taylor-Galerkin é aplicado no contexto da Análise Isogeométrica para a discretização das equações governantes, sendo que a discretização espacial é realizada empregando-se funções NURBS (Non Uniform Rational Basis B-Splines). Essas funções base apresentam vantagens em relação às tradicionais funções utilizadas no MEF (Método dos Elementos Finitos), principalmente no que diz respeito à facilidade de obtenção de continuidade superior a C0 entre os elementos e representação precisa das geometrias. Propõe-se também o desenvolvimento de ferramentas de pré e pós-processamento baseadas na estrutura de dados da Análise Isogeométrica para a geração de malhas e visualização de resultados. Alguns problemas clássicos da Dinâmica dos Fluidos Computacional são analisados para a validação da metodologia apresentada. Os resultados apresentados demonstram boa aproximação da formulação em relação a dados de referência, além de maior versatilidade quanto à discretização espacial dos problemas em comparação com as tradicionais formulações baseadas em elementos finitos. This work aims to develop a numerical formulation based on Isogeometric Analysis for the study of incompressible flows of Newtonian fluids under isothermal conditions. By using this methodology, pre-processing and analysis procedures are unified, improving the conditions of continuity of the basis functions utilized in the approximations of the equation variables and spatial discretization of the problem. The system of fundamental equations of the fluid flow is constituted by the Navier-Stokes equations and the mass conservation equation, which is described according to the pseudo-compressibility hypothesis. In addition, a constitutive equation for viscous fluids according to Stokes' hypothesis is also provided. Turbulent flows are analyzed using LES (Large Eddy Simulation), where the Smagorinsky’s model is adopted for sub-grid scales. The explicit two-step Taylor-Galerkin method is applied into the context of Isogeometric Analysis for the discretization of the flow equations, where spatial discretization is carried out taking into account Non Uniform Rational Basis B-Splines (NURBS) basis functions. These basis functions have advantages over traditional functions employed in the FEM (Finite Element Method). Particularly, it is easier to obtain continuity order higher than C0 between adjacent elements and geometry representation is more accurate. Pre and post-processing tools for mesh generation and results visualization are also proposed considering the data structure inherent to Isogeometric Analysis. Some classic problems of Computational Fluid Dynamics are analyzed in order to validate the proposed methodology. Results obtained here show that the present formulation has good approximation when compared with predictions obtained by reference authors. Moreover, Isogeometric Analysis is more versatile than traditional finite element formulations when spatial discretization procedures are considered.

We present an isogeometric thin shell formulation for multi-patches based on rational splines over hierarchical T-meshes (RHT-splines). Nitsche’s method is employed to efficiently couple the patches. The RHT-splines have the advantages of allowing a computationally feasible local refinement, are free from linear dependence, possess high-order continuity and satisfy the partition of unity and non-negativity. In addition, the C 1 continuity of the RHT-splines avoids the rotational degrees of freedom. The good performance of the present method is demonstrated by a number of numerical examples.