Search

Em meio a uma disputa de fundamentos filosóficos que dura mais de uma centena de anos, a fundamentação intuicionista da matemática parece cada vez mais próxima de ser uma alternativa à fundamentação clássica. Interpretação de noções fundamentais e primitivas e consequências para a interpretação dos conectivos lógicos são algumas das questões a serem tratadas neste texto, em uma estrutura que pretende mostrar o papel fundamental e primitivo da noção de construção mental no Intuicionismo, desde a proposta de Brouwer até a Teoria Intuicionista dos Tipo de Martin-Löf. A discussão dos aspectos particulares da proposta de Martin-Löf não nos permite perder de vista que ela se trata essencialmente de um sistema formal, universal, porém, aberto, mas também uma linguagem para a prática da matemática intuicionista. Essas e outras características próprias do intuicionismo formal de Martin-Löf precisaram ir além das elucidações e conceitos do intuicionismo original de Brouwer, até então, considerado como mais especulativo e pouco viável do ponto de vista prático. Justamente, o aprofundamento conceitual do sistema de Martin-Löf trouxe luz ao intuicionismo e fazem dele único e tão importante, não apenas para a matemática, mas também para a lógica, filosofia e, até mesmo, para a computação. Com uma adequada compreensão da Teoria Intuicionista dos Tipos, especialmente a partir da interpretação intuicionista fundamental de provas como construções mentais, temos uma medida mais exata de o que se trata o intuicionismo e suas principais consequências. Algumas delas tratadas neste trabalho são a recusa do princípio do terceiro excluído, a interpretação de noções como “existência”, “construção”, “proposição” e “asserção”, além do caráter construtivo compulsório para provas matemáticas formais. Em se tratando especificamente do sistema de Martin-Löf, discutimos ainda as ideias de “verdade” e “bivalência das proposições”, “domínios primitivos” e “domínios proposicionais”, imprescindíveis para o sistema e distintas das concepções clássicas, apesar da coincidência terminológica. In the midst of a dispute over philosophical foundations that has lasted for over a hundred years, the intuitionistic foundations of mathematics seems ever closer to being an alternative to classical foundation. Interpretation of fundamental and primitive notions and consequences for the interpretation of logical connectives are some of the issues to be addressed in this text, in a framework that intends to show the fundamental and primitive role of the notion of mental construction in Intuitionism, from Brouwer's proposal to Martin-Löf's Intuitionistic Type Theory. The discussion of particular aspects of the Martin-Löf’s proposal does not allow us to lose sight of the fact that it is essentially a formal system, universal, however, open, but also a language for the practice of intuitionist mathematics. These and other characteristics of Martin-Löf’s formal intuitionism needed to go beyond the definitions and concepts of Brouwer's original intuitionism, until then, considered as more speculative and impractical from a practical point of view. Precisely, the conceptual deepening of the Martin-Löf’s system brought light to intuitionism and make it unique and so important, not only for mathematics, but also for logic, philosophy and even for computation. With an adequate understanding of the Intuitionistic Type Theory, especially from the fundamental intuitionist interpretation of proofs as mental constructions, we have a more accurate measure of what intuitionism is about and its main consequences. Some of them dealt with in this work are the refusal of the law of excluded middle, the interpretation of notions such as “existence”, “construction”, “proposition” and “assertion”, in addition to the compulsory constructive character for formal mathematical proofs. In the specific case of the Martin-Löf’s system, we also discuss the ideas of truth and bivalence of propositions, primitive domains and propositional domains, essential for the system and distinct from classical conceptions, despite the terminological coincidence. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Goiás

This article aims to evaluate the intuitionist problem with non-constructive mathematicals proofs. For this constructivist position the principle of the excluded middle, of classical logic, shouldn't operate on mathematical demonsrations. Non-constructive proofs aren't accepted, and the constructive proofs are the only with positive character. After a brief introduction about intuitionism and its creator, the article will address the relationship between the principle of the excluded middle and the mathematicals demonstrations, so to talk about the problem of non-constructive proofs and the consequences for not to accepting them. Taking the mathematics only as a mental construction project, the intuitionism break with the dominant platonic realism and establishing a fruitful debate on the foundations of mathematics. O presente artigo tem por finalidade avaliar o problema intuicionista com as provas não construtivas na matemática. Para esta posição construtivista o princípio do terceiro excluído, da lógica clássica, não deve operar sobre demonstrações matemáticas. As provas não construtivas não são aceitas, sendo as provas construtivas as únicas com caráter positivo. Após uma breve introdução ao intuicionismo e seu idealizador, o artigo abordará a relação entre o princípio do terceiro excluído e as provas na matemática, para assim falar sobre o problema das provas não construtivas e da consequência em não aceitá-las. Ao tomar a matemática unicamente como um empreendimento de construção mental, o intuicionismo quebra com o realismo platônico dominante e estabelece um debate frutífero sobre os fundamentos da matemática.

Submitted by JOSIANE SANTOS DE OLIVEIRA (josianeso) on 2017-06-27T17:05:47Z No. of bitstreams: 1 Rafael Godolphim Feijó_.pdf: 1835499 bytes, checksum: 9b7410f8b42d5a741ecbd275052ab216 (MD5) Made available in DSpace on 2017-06-27T17:05:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Rafael Godolphim Feijó_.pdf: 1835499 bytes, checksum: 9b7410f8b42d5a741ecbd275052ab216 (MD5) Previous issue date: 2017-03-31 CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior FAPERGS - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul A filosofia kantiana da matemática é fundamentada sobre uma estrutura epistemológica intuicionista. As categorias do espaço e do tempo constituem as formas da sensibilidade, formas estas manifestadas por meio de uma intuição pura a priori. O presente trabalho busca realizar uma defesa razoável de tal intuição frente aos críticos contemporâneos, os quais propõem um programa logicista desprovido de estrutura epistêmica no que tange ao raciocínio matemático. Tais críticos afirmam que a aritmética não necessita da intuição pura do tempo para que as operações numéricas possam ser realizadas. Buscaremos demonstrar que a lógica quantificacional constitui um expediente meramente formalista que deixa de lado os problemas epistemológicos da cognição matemática e, por esse motivo, pode ambicionar desconsiderar a intuição pura kantiana. Portanto, buscaremos demonstrar que a intuição pura kantiana ainda pode lançar luz sobre a natureza dos cálculos da matemática. The Kantian philosophy of mathematics is based on an intuitionist epistemological structure. The categories of space and time are the forms of sensibility, these forms manifested through a pure intuition a priori. The present work seeks to make a reasonable defense of such intuition in the face of contemporary critics, who propose a logicist program devoid of epistemic structure regarding mathematical reasoning. Such critics claim that arithmetic does not need the pure intuition of time for numerical operations to be performed. We will try to demonstrate that the quantificational logic constitutes a merely formalistic expedient that leaves aside the epistemological problems of the mathematical cognition and, for this reason, it can ambition to disregard the pure Kantian intuition. Therefore, we shall try to demonstrate that pure Kantian intuition can still shed light on the nature of mathematical calculations.

In this article, we analyse data collected in an extensive study with 40 interviews and 1112 questionnaires, applied to teachers of all school levels. In order to treat the question about the role of intuition in ethical thought, we discuss data where teachers perspectives emphasise the intuitive and emotional components of professional ethics. Questionnaires data suggest that there are significant differences between teachers in the sense that the younger teachers in the profession, of feminine gender, and teachers of the youngest presents major indices of intuitionist perspective, in comparison with the other teachers. These data are crossed with interview data in order to a comprehensive interpretation., Dans ce texte on fait une analyse de données sur la pensée éthique des enseignants, recueillies dans le contexte d’une étude extensive réalisée avec 40 entretiens et avec 1112 questionnaires auprès d’enseignants de tous les niveaux d’enseignement. Pour approfondir la question sur le rôle da l’intuition dans la pensée éthique, sont discutés les donnés où les perspectives des enseignants emphatisent les composants intuitives et émotionnelles de l’éthique professionnelle. Les données des questionnaires révèlent des différences significatives entre les enseignants, car sont les plus jeunes dans la profession, les femmes et les enseignants des plus jeunes qui présentent des indices plus élevés d’une perspective intuitionniste, en comparaison avec les autres. Les données sont croisées avec les donnés des entretiens pour une compréhension interprétative., Neste texto é feita uma análise de dados sobre o pensamento ético-deontológico de professores, recolhidos num estudo extensivo realizado com entrevistas junto de 40 professores de todos os níveis de ensino e com 1112 questionários aplicados a educadores de infância e professores de todos os ciclos de ensino não superior. Para aprofundar a questão acerca do papel da intuição no pensamento ético, são realçados e discutidos os dados relativos às perspectivas dos professores que enfatizam as componentes intuitivas e emocionais da ética profissional. Os dados dos questionários apontam para diferenças significativas entre professores, no sentido de serem os professores dos mais novos (educadores e professores de 1ºciclo do ensino básico), do género feminino e mais jovens na profissão que apresentam maiores índices relativos a uma perspectiva intuicionista, por comparação com os restantes. Estes dados são cruzados com os dados das entrevistas com vista a uma compreensão interpretativa.