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Orientador: Luiz Antonio Barrera San Martin Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Sejam M uma G-variedade homogênea e S um subgrupo de Lie de Gl(n,R). O grupo de Lie G age à esquerda no espaço total do Gl(n,R)-fibrado principal Fr(R^n|TM)\to M dos referenciais de M. Se uma S-estrutura Q_{x_0}? Fr(R^n;T_{x_0}M) no espaço tangente T_{x_0}M de um ponto fixo x_0? M for invariante pela representação de isotropia no ponto x_0 então é possível construir uma S-estrutura Q em M munida de uma conexão livre de torção. Tal estrutura Q ? Fr(R^n|TM) é G-invariante por construção. Aplicamos tal construção para o caso em que S é o grupo Sp(1).Gl(d,\mathbb H), onde d=n/4. Mais especificamente obtemos estruturas quaterniônicas Q em uma família de casos nos quais M é um quociente do grupo de Lie SU(2k), k>1. Nestes casos, as ações de SU(2k) fornecem descrições do espaço de Twistor de Z?M associados às estruturas complexas Q?M. Além disso, prova-se que tais Q não se reduzem à estruturas hipercomplexas. Sejam M^n uma G-variedade homogênea e S um subgrupo de Lie de Gl(n, R). O grupo de Lie G age à esquerda no espaço total do Gl(n, R)-fibrado principal Fr(R^n | TM) ? M dos referenciais de M. Se uma S-estrutura Q_{x_0} em Fr(R^n ; T_{x_0}M) no espaço tangente T_{x_0}M de um ponto fixo x_0 ? M for invariante pela representação de isotropia no ponto x_0 então é poss??vel construir uma S-estrutura Q em M munida de uma conexão livre de torção. Tal estrutura Q ? Fr(R^n | T M ) será G-invariante por construção. Aplicamos tal construção para alguns casos em que S é o grupo Sp(1)·Gl(d, H), onde d = n/4. Mais especificamente, para uma fam??lia de casos nos quais M^n é um quociente do grupo de Lie SU(2k), k>1, obtemos estruturas quaterniônicas Q em M^n . Nestes casos a ação de SU(2k) fornece descrições do espaço de twistor de Q. Além disso, prova-se que estas estruturas quaterniônicas não se reduzem à estruturas hipercomplexas Abstract: Let M^n be Homogeneous G-space and S Lie subgroup of Gl(n, R). The Lie group G acts on the lef on the total space of the principal of the bundle of frames Fr(R^n | TM) ? M. If a S-structure Q_{x_0} on the tangent space T_{x_0}M on a fixed x_0 ? M is invariant by the isotropy representation on x_0 then it is possible to construct a S-structure Q on M endowed with a torsion-free connection. Such S-structure Q ? Fr(R^n | T M ) will be G-invariant by construction. We applied such construction to some cases where S is the group Sp(1)·Gl(d, H), where d = n/4. More specifically, we obtained quaternionic structures Q for each member in a family cases where M is a quotient of the Lie group SU(2k), k>1. In these cases, the actions of SU(2k) on M provide descriptions of the twistor spaces Z?M associaded to the quaternionic structures Q?M . Moreover, we proved the such quaternionic structures can not be reduced to hypercomplex structures Doutorado Matemática Doutor em Matemática CNPQ 140740/2014-7 CAPES

In this work we present some properties of compact homogeneous Riemannian manifolds. The results presented and developed here were extracted mostly from the paper of Nolan R. Wallach, Compact homogeneous Riemannian manifolds with stric- tly positive curvature. Annals of Mathematics, Vol. 96, pp.277-295, 1972. Throughout the study is used several tools of the theory of Riemannian manifolds, Lie algebras and Lie groups. The objective of this work is to present the classification of compact homogeneous Riemannian manifolds of even dimension that admit strictly positive curvature Neste trabalho são apresentadas algumas propriedades sobre variedades Riemannianas compactas e homogêneas. Os resultados estudados e desenvolvidos foram extraídos em sua maioria do artigo de Nolan R. Wallach, Compact homogeneous Rie- mannian manifolds with strictly positive curvature. Annals of Mathematics, Vol. 96, pp.277-295, 1972. Ao longo do estudo é utilizado diversas ferramentas das teorias de variedades Riemannianas, álgebras de Lie e grupos de Lie. O objetivo deste trabalho é apresentar a classificação das variedade Riemannianas compactas e homogêneas de dimensão par que admitem curvatura estritamente positiva

This work is divided into two parts. In the first part, we obtain a rigidity theorem for complete CMC hypersurfaces in a Riemannian homogeneous space, with versions for compact and noncompact hypersurfaces. In the case of a Lorentzian Lie group G with a bi-invariant metric, we show that the only compact CMC spacelike hypersurfaces immersed in G are the lateral classes of a Lie subgroup L of G. We also show that every compact spacelike hypersurfaces of G having positive semi-definite Weingarten operator A are the totally geodesic ones. In the second part, from a Kählerian manifold M with a closed conformal vector field, we crafted a family of Kählerian metrics of M and get ordinary differential equations to find examples of Einstein metrics and Ricci solitons in the Euclidean complex space and in a Riemannian cone over a Sasaki Einstein manifold. Este trabalho está dividido em duas partes. Na primeira parte, obtemos um teorema de rigidez para hipersuperfícies CMC completas de um espaço homogêneo riemanniano, com uma versão para hipersuperfícies compactas e uma para não compactas. No caso de um grupo de Lie lorentziano G munido de uma métrica biinvariante, mostramos que as únicas hipersuperfícies espaciais compactas, imersas em G e CMC são as classes laterais de um subgrupo de Lie L de G. Mostramos também, que toda hipersuperfície espacial compacta que possui o operador de Weingarten A positivo semidefinido é totalmente geodésica. Na segunda parte, a partir de uma variedade kähleriana M que possui um campo conforme fechado, construímos uma família de métricas kählerianas para M e obtemos equações diferenciais ordinárias para encontrar exemplos de métricas Einstein e sólitons de Ricci no espaço euclidiano complexo e em um cone riemanniano gerado por uma variedade de Sasaki Einstein.

This work brings a smooth and self-contained introduction to the study of the most basic aspects of symmetric spaces, having as its nal goal the characterization of the Killing vector fields and of the Ricci tensor of such riemannian manifolds. Several of the results presented in the initial chapter are not easily found, in the Diferential Geometry literature, in a way as accessible and self-contained as here. This being said, we believe that this work embodies some didactic relevance, for it others students interested in symmetric spaces a relatively smooth first contact. We shall generally look at symmetric spaces as homogeneous manifolds G=H, where G is a Lie group and H is a closed Lie subgroup of G, such that the natural mapping : G ! G=H is a riemannian submersion. Ultimately, this map allows us to describe the relationships between the curvature, the Ricci tensor and the geodesics of G and G=H. For our purposes, the crucial remark is that, under appropriate circumstances, one guarantees the existence, in G=H, of a metric for which left translations are isometries. Hence, a one-parameter family of such isometries gives rise to a Killing vector field, which turn into a Jacobi vector eld when restricted to a geodesic. We present explicit expressions for such Jacobi vector elds, showing that they only depend on the eigenvalues of the linear operator TX : g ! g given by TX = (adX)2, for certain vector elds X 2 g. Este trabalho traz uma introdução suave e autocontida ao estudo dos aspectos mais básicos de espaços simétricos, tendo como objetivo final a caracterização dos campos de Killing e do tensor de Ricci de tais variedades riemannianas. Vários dos resultados obtidos nos capítulos iniciais não são encontrados, na literatura de Geometria Diferencial, de maneira tão acessível e autocontida como apresentados aqui. Com isso, acreditamos que o trabalho reveste-se de alguma relevância didática, por oferecer aos alunos interessados no estudo de espaços simétricos um primeiro contato relativamente suave. Em linhas gerais, veremos espaços simétricos como variedades homogêneas G=H, onde G e um grupo de Lie e H um subgrupo de Lie fechado de G, tais que a aplicação natural: G ! G=H seja uma submersão riemanniana. Através dela, descrevemos relações entre a curvatura, o tensor de Ricci e as geodésicas de G e G=H. Para nossos propósitos, a observação crucial e que, sob certas hipóteses, garantimos a existência, em G=H, de uma métrica cujas translações a esquerda são isometrias. Portanto, uma família a um parâmetro de tais isometrias d a origem a um campo de Killing que, por sua vez, restrito a geodésicas torna-se um campo de Jacobi. Apresentamos expressões para esses campos de Jacobi, mostrando que os mesmos só dependem dos autovalores do operador linear TX : g ! g dado por TX = (adX)2, para certos campos X 2 g.

Orientador: Luiz Antonio Barrera San Martin Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Esta tese apresenta uma abordagem para o estudo da topologia das variedades flag reais. A homologia é obtida pela determinação do operador fronteira da homologia celular. Isto se dá a partir de uma parametrização explícita das células de Shubert que fornecem a estrutura celular destas variedades. Para o anel de cohomologia de uma variedade flag maximal, encontram-se os seus geradores como classes de Stiefel-Whitney de um fibrado de linha sobre a variedade flag Abstract: This thesis presents an approach for the study of topology of real flag manifolds. The homology is obtained by the determination of the boundary operator for the cellular homology. This follows from an explicit parametrization of the Schubert cells which gives a cellular structure for these manifolds. For the cohomology ring of a maximal flag manifold, its generators are found as Stiefel-Whitney classes of a line fiber bundle over the flag manifold Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Orientador: Caio José Colletti Negreiros Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: O principal objetivo deste trabalho é o estudo de aplicações harmônicas em variedades flag generalizadas. Na primeira parte do trabalho, consideramos aplicações cujo domínio é uma superfície de Riemann. Provamos que toda aplicação holomorfa-horizontal na variedade flag é uma aplicação equiharmônica (ie, harmônica com respeito a cada métrica invariante na variedade flag). Obtemos também as fórmulas de Plucker para curvas holomorfa-horizontais na variedade flag maximal. Na segunda parte do trabalho, consideramos aplicações harmônicas cujo domínio possui dimensão 1 ( ie, geodésicas) na variedade flag. Provamos que toda variedade ag generalizada admite curvas que são geodésicas com respeito a cada métrica invariante. Tais curvas são chamadas equigeodésicas. Fornecemos uma descrição algébrica para tais curvas e exibimos famílias de equigeodésicas em diversas famílias de variedades flag Abstract: The main goal of this work is the study of harmonic maps in generalized flag manifolds. In the first part of the work, we consider maps whose domain is a Riemann surface. We prove that every holomorphic-horizontal map in the flag manifold is an equiharmonic map (i.e. harmonic with respect to each invariant metric in the flag manifold). We also obtain the Plucker formulae for holomorphic-horizontal curves in full flag manifolds. In the second part of the work, we consider harmonic maps whose domain has dimension one (i.e. geodesics) in the ag manifold. We prove that every generalized flag manifold admit curves that are geodesics with respect to each invariant metric. Such curves are called equigeodesics. We provide an algebraic characterization for such curves and exhibit families of equigeodesics in several families of flag manifolds Doutorado Doutor em Matemática

Orientadores: Luiz Antonio Barrera San Martin, Osvaldo Germano do Rocio Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo:Neste trabalho estudamos dois problemas distintos: ações de semigrupos em órbitas adjuntas e compactificações de semigrupos. Quanto ao estudo das ações de semigrupos, consideramos um grupo de Lie semi-simples, não compacto, conexo e com centro finito G e a órbita adjunta de G através de elementos H pertencentes a uma subalgebra abeliana maximal contida na parte não-compacta de uma decomposição de Cartan de G. Tomamos então um semigrupo S Ì G com pontos interiores e descrevemos os conjuntos de controle para a ação de S nestas órbitas. Mostramos também que esses conjuntos não são comparáveis utilizando a relação de ordem usual para conjuntos de controle e descrevemos seus domínios de atração. Consideramos também o caso em que S é um semigrupo maximal, obtendo uma descrição melhor dos conjuntos de controle. Para compactificações de semigrupos, adotamos as mesmas hipóteses sobre G e tomamos S como o semigrupo de compressão de um subconjunto fechado da variedade ??ag?maximal de G. Obtemos uma compactificação do espaço homogêneo G/H, onde H denota o grupo das unidades de S, como um subconjunto dos conjuntos fechados de G e mostramos que quando G tem posto 1 é possível realizar a imagem de S/H por essa compactificações no conjunto dos subconjuntos fechados da variedade flag maximal de G Abstract: In this work we study two distinct problems: semigroup actions on adjoint orbits and compactication of semigroups. For the study of the semigroup actions, we consider a semi-simple connected noncompact Lie group G and the adjoint orbit through elements in a maximal abelian subalgebra contained in the complement of a maximal compactly embedded subalgebra of the Lie algebra of G. We take then a semigroup S Ì G with interior points and describe the control sets for the S-action on these orbits. It is proved here that these control sets are no comparable and we describe its domains of attraction. We also consider the case in that S is a maximal semigroup and obtain a better description of the control sets. For the compactication of semigroups, we use the same hypothesis about G and consider S as the compression semigroup of a closed subset in the maximal ag manifold of G. We obtain a compactication of the homogeneous space G/H, where H=S ÇS-1, as a subset of the set of closed sets of G and we show that when G has rank one is possible to realize the image of S/H under this compacti?cation in the set of the closed subsets of the maximal ag manifold Doutorado Doutor em Matemática

Orientador: Luiz Antonio Barrera San Martin Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Este trabalho divide-se em duas partes. Na primeira parte, obtemos condições necessárias e suficientes para que uma família de classes laterais de um subgrupo de Lie gere um subsemigrupo com interior não vazio. Aplicamos essas condições aos pares simétricos, onde o grupo é semi-simples. Como consequência, mostramos que o subgrupo dos pontos fixos de vários automorfismos involutivos é maximal como semigrupo. Na segunda parte, definimos a função característica de um subsemigrupo de um grupo de Lie semi-simples e, encontramos um subconjunto do domínio de definição dessa função. Fizemos isto usando a teoria geral de semigrupos em grupos semi-simples. Usamos a função característica de um semigrupo, com algumas hipóteses adicionais, para introduzir uma métrica Riemanniana nas órbitas do subgrupo das unidades do semigrupo. Com essa métrica, obtemos uma condição necessária para que um subgrupo possa ser imerso em um semigrupo próprio com interior não vazio Abstract: This work is made of two parts. In the first one, we gave necessary and sufficient conditions for a family of cosets of a Lie subgroup to generate a subsemigroup with nonempty interior. We apply these conditions to symmetric pairs where the group is semi-simple. As a consequence we prove that for several involutive automorphisms the fixed points subgroup is a maximal semigroup. In the second part, we define a characteristic function of a subsemigroup of a semi- simple Lie group and we find a subset where the function is defined. This is made through general theory of semigroups in semi-simple groups. The characteristic function is used, together with some additional hypothesis, for to create a Riemannian metric in the orbits of the unity subgroup of the semigroup. With this metric we gave a necessary condition for a subgroup be embedded in a proper semigroup with nonempty interior Doutorado Teoria de Lie Doutor em Matemática

Orientadores: Francesco Mercuri, Stefano Montaldo Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Neste trabalho estudamos superfícies em variedades Riemannianas homogêneas tridimensionais com condições sobre a geometria intrínseca e/ou extrínseca. Em particular: 1. Resolvemos o Problema de Bjõrling para superfícies mínimas que contêm uma dada faixa analítica em grupos de Lie munidos de uma métrica invariante à esquerda. 2. Classificamos as superfícies de curvatura média constante no produto do plano hiperbólico com a reta real, que são invariantes pela ação de um subgrupo a umparâmetro do grupo das isometrias do espaço ambiente. 3. Classificamos as superfícies de curvatura Gaussiana constante em variedades Riemannianas homogêneas de dimensão três, com particular atenção ao caso do grupo de Heisenberg e do espaço dado pelo produto do plano hiperbólico com a reta real Abstract: In this work we study surfaces in homogeneous Riemannian manifolds of dimension three with conditions on the intrinsic and/or the extrinsic geometry. En particular: 1. We solve the Bjõrling Problem for minimal surfaces which contain an analytical strip in Lie groups with a left invariant metric. 2. We classify constant mean curvature surfaces in the product of the hyperbolic plane with the realline, which are invariant under the action of a one-parameter subgroup of the isometries group of the ambient space. 3. We classify constant Gaussian curvature surfaces of homogeneous Riemannian manifolds of dimension three, with particular attention for the case of the Heisenberg group and for the product of the hyperbolic plane and the realline Doutorado Geometria Diferencial Doutor em Matemática