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The word "entropy" arose in the year 1864, in the works of thermodynamics by Rudolf Clausius. In 1948, Claude E. Shannon uses that same name to designate a measure of information in his mathematical model of communication, based on the concepts of emitter, receiver, channel, noise, redundancy, coding and decoding. With the measure of information H(X)=-C*sum_{i=1}^n[pi*log (pi)], the Shannon entropy, it becomes possible to analyze the capacity of the communication channel and invest in data processing, giving rise to what is currently called Information Theory. In addition to the operational and technological aspects of theory of Shannon, that reveal the digital age, from mathematical approaches about the formula H(X), also end up revealing a tendency focused on the characterization of information measures. It is understood that an exposure didactic of mathematical deduction of the formula from Shannon entropy, based on a group of axioms, not only is interesting in the pedagogical sense, but also for understanding theory of Shannon. It thereby show, that this formula is immersed in a well-defined mathematical context (a system with axioms and functional equations), allowing, with changes in the axioms, defining new measures of information. A palavra "entropia" surgiu no ano de 1864, nos trabalhos de Termodinâmica de Rudolf Clausius. Em 1948, Claude E. Shannon utiliza esse mesmo nome para designar uma medida de informação em seu modelo matemático de comunicação, fundamentado nos conceitos de emissor, receptor, canal, ruído, redundância, codificação e decodificação. Com a medida de informação H(X)=-C*sum_{i=1}^n[pi*log (pi)], a entropia de Shannon, torna-se possível analisar a capacidade do canal de comunicação e investir em tratamentos de dados, dando origem ao que se chama atualmente de Teoria da Informação. Além dos aspectos operacionais e tecnológicos da teoria de Shannon, que revelam a era digital, as abordagens matemáticas acerca da fórmula H(X) acabam por revelar também uma vertente voltada às caracterizações de medidas de informação. Entende-se que uma exposição didática da dedução matemática da fórmula de entropia de Shannon, com base em um conjunto de axiomas, seja interessante não somente no sentido pedagógico, mas também para o entendimento da teoria de Shannon. Mostra-se, desse modo, que essa fórmula está imersa em um contexto matemático bem definido (um sistema com axiomas e equações funcionais), que permite, com alterações nos axiomas, definir novas medidas de informação.

Orientador: Prof. Dr. Vinicius Cifú Lopes Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, Santo André, 2021. Inicio este trabalho com um capítulo sobre os principais conceitos acerca das funções. Tais conceitos serão necessários para o desenvolvimento deste texto. A seguir, apresento a definição de equação funcional e trago técnicas de resolução para tais equações. Busco trazer problemas que são rotineiramente colocados em olimpíadas de matemática, nacionais e internacionais. Na segunda metade do trabalho, analiso as três principais equações funcionais de Cauchy. Busco desenvolver a teoria por trás delas e também mostrar alguns exemplos de aplicação mais diretos. Por fim, apresento ao leitor quatro importantes aplicações das equações funcionais. I begin this work with a chapter on the main concepts of functions. Such concepts will be necessary for the development of this text. After that, I present the definition of functional equation and I provide some resolution techniques for such equations. I seek to show problems that are routinely presented at national and international Mathematical Olympiads. In the second half of the text, I study Cauchy¿s three main functional equations. I develop their theory and also show some immediate examples. Finally, I present four important applications of functional equations.

Submitted by Jean Medeiros (jeanletras@uepb.edu.br) on 2017-08-11T12:24:07Z No. of bitstreams: 1 PDF - Cleyson Cassimiro de Souza.pdf: 10161350 bytes, checksum: 0c61b0d485f05a94d08de746a02323cf (MD5) Approved for entry into archive by Secta BC (secta.csu.bc@uepb.edu.br) on 2017-08-29T15:45:00Z (GMT) No. of bitstreams: 1 PDF - Cleyson Cassimiro de Souza.pdf: 10161350 bytes, checksum: 0c61b0d485f05a94d08de746a02323cf (MD5) Made available in DSpace on 2017-08-29T15:45:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 PDF - Cleyson Cassimiro de Souza.pdf: 10161350 bytes, checksum: 0c61b0d485f05a94d08de746a02323cf (MD5) Previous issue date: 2017-06-16 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES In this work, we will present some special cases of functional equations of one variable together with specific algorithms that will help us to find solutions for these types of equations. In order to fill some of the lack of Portuguese written materials on the subject, we first explore basic concepts of functions and limits and then actually enter into the functional equations of one variable. Finally, we will present some exercises in which the theory seen during the work can be applied. Neste trabalho, apresentaremos alguns casos especiais de equações funcionais de uma variável juntamente com algoritmos específicos que nos ajudarão a encontrar soluções para estes tipos de equações. Com o objetivo de suprir um pouco da carência de materiais escritos em português sobre o tema, exploramos primeiramente conceitos básicos de funções e limites para em seguida ingressar de fato nas equações funcionais de uma variável. Por fim, apresentaremos alguns exercícios nos quais a teoria vista durante o trabalho pode ser aplicada.

This paper presents a study on functional equations, considering its relevance to the teaching of mathematics, with the ultimate goal of presenting a proposal to contribute to the improvement of teaching this topic. A summary of the history of functional equations is presented. Then, Chapter 1 consists of the study of the Cauchy Functional Equations, Chapter 2 deals with equations Jensen, Pexider, d 'Alembert. In chapter 3 we show some applications of functional equations. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES Este trabalho apresenta um estudo sobre equações funcionais, considerando sua relevância para o ensino da Matemática, tendo como objetivo nal apresentar uma proposta que contribua para a melhoria do ensino deste tópico. É apresentado um resumo sobre a história das equações funcionais. Em seguida, o capítulo 1 é constituído pelo estudo das equações Funcionais de Cauchy, o capítulo 2 trata das equações de Jensen, Pexider e d'Alembert. No capitulo 3 mostramos algumas aplicações das equações funcionais.