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Bose-Einstein condensates are excellent macroscopic systems for observing the quantum behavior of matter. Since its experimental performance in weakly interacting atomic gases, trapped by external potentials, several non-linear phenomena related to this system have been intensively explored. In this thesis, we investigate the stability of matter-wave solitons in Bose-Einstein condensates with attractive interatomic interactions, confined by the spherically symmetrical Pöschl-Teller potential. For this purpose, we use the Gross-Pitaevskii equation, within the scope of the mean-field theory, to describe the Bose-Einstein condensate. In order to solve the Gross-Pitaevskii equation, we used two different approaches: one analytical (variational method) and the other numeric (split-step Crank-Nicolson method). In both approaches, we use the hyperbolic secant-tangent function to describe the macroscopic wave function for the Bose-Einstein condensate. The results, using the Vakhitov-Kolokov criterion, predicted the stability of three-dimensional solitons and, in addition, they predicted the behavior of the critical number of atoms as a function of the interatomic scattering length. From the perspective of possible applications, we believe that the results obtained may be relevant in the context of nonlinear optics and condensed matter physics. Condensados de Bose-Einstein são sistemas macroscópicos excelentes para a observação do comportamento quântico da matéria. Desde sua realização experimental em gases atômicos fracamente interagentes, aprisionados por potenciais externos, diversos fenômenos não lineares relacionados a esse sistema foram intensamente explorados. Nesta tese, nós investigamos a estabilidade de sólitons de ondas de matéria em condensados de Bose-Einstein com interações interatômicas atrativas, confinados pelo potencial hiperbólico de Pöschl-Teller esfericamente simétrico. Para este propósito, utilizamos a equação de Gross-Pitaevskii, dentro do escopo da teoria de campo médio, para descrever o condensado de Bose-Einstein. Com o intuito de resolver a equação de Gross-Pitaevskii, utilizamos duas abordagens distintas: uma analítica (método variacional) e outra numérica (método split-step Crank-Nicolson). Em ambas abordagens, utilizamos a função secante-tangente hiperbólica para descrever a função de onda macroscópica referente ao condensado de Bose-Einstein. Os resultados, por intermédio do critério Vakhitov-Kolokov, previram a estabilidade de sólitons tridimensionais e, ademais, predizeram o comportamento do número crítico de átomos em função do comprimento de espalhamento interatômico. Na perspectiva de eventuais aplicações, acreditamos que os resultados obtidos podem ser relevantes no âmbito da óptica não linear e da física da matéria condensada.

Resumo Estudamos qualitativamente as propriedades microscópicas de um condensado bosônico em uma rede óptica periódica através do modelo homogêneo de Bose-Hubbard, e em uma rede quase periódica, através do modelo não homogêneo de Bose-Hubbard. Ambos os modelos são resolvidos analiticamente através da Aproximação de Campo Médio. Enfatizamos o aspecto didático do estudo com riqueza descritiva de detalhes no aspecto matemático. Abstract We qualitatively study the microscopic properties of a bosonic condensate in a periodic optical lattice through the homogeneous Bose-Hubbard model, and in a quasi-periodic lattice through the inhomogeneous Bose-Hubbard model. Both models are solved analytically through the Mean Field Approach. We emphasize the didactic aspect of the study with descriptive richness in the mathematical aspect.

From arguments based on Heisenberg's uncertainty principle and Pauli's exclusion principle, the molar specific heats of degenerate ideal gases at low temperatures are estimated, giving rise to values consistent with the Nerst-Planck Principle (third law of Thermodynamics). The Bose-Einstein condensation phenomenon based on the behavior of specific heat of massive and non-relativistic boson gases is also presented., 20 pages, in Portuguese, 7 figures

Será explorada a versão hidrodinâmica da equação de Schrödinger não-linear e não-local, descrevendo condensados de Bose-Einstein com auto-interações de longo alcance. Tais sistemas têm despertado interesse tendo em vista a busca da realização da condensação de Bose-Einstein sem necessidade de um potencial externo confinante e nos quais as interações atômicas locais não são suficientes. Para obter a descrição hidrodinâmica, a transformação de Madelung para a função de onda será utilizada, reduzindo o problema a uma equação da continuidade e a uma equação de transporte de momentum. Esta última é similar à equação de Euler em fluidos ideais, porém contendo um potencial quântico efetivo e um termo não local, o qual advém da interação atômica. Tais equações de fluido traduzem, respectivamente, a conservação da probabilidade e do momentum total. O método hidrodinâmico permitirá o estudo de excitações elementares, entre os quais os modos de Bogoliubov, segundo uma abordagem macroscópica. The hydrodynamic version of the Schrödinger equation nonlinear and nonlocal will be explored, describing Bose-Einstein condensates with long-range self-interactions. Such systems have aroused interest with a view to pursuing the realization of Bose-Einstein condensation without an external confining potential and in which local atomic interactions are not enough. For the hydrodynamic description, the eikonal decomposition of the wave function is used, reducing the problem to one equation of continuity and to a transport of momentum equation. The latter is similar to the Euler equation in ideal fluid but containing an effective quantum potential and a nonlocal term, which comes from the atomic interaction. Such fluid equations translate, respectively, conservation of probability and total momentum. The hydrodynamic method will allow the study of elementary excitations, including Bogoliubov modes according to a macroscopic approach.

We present finite temperature Dirac-Hartree-Bogoliubov (FTDHB) calculations for the tin isotope chain to study the dependence of pseudospin on the nuclear temperature. In the FTDHB calculation, the density dependence of the self-consistent relativistic mean fields, the pairing, and the vapor phase that takes into account the unbound nucleon states are considered self-consistently. The mean field potentials obtained in the FTDHB calculations are fit by Woods-Saxon (WS) potentials to examine how the WS parameters are related to the energy splitting of the pseudospin pairs as the temperature increases. We find that the nuclear potential surface diffuseness is the main driver for the pseudospin splittings and that it increases as the temperature grows. We conclude that pseudospin symmetry is better realized when the nuclear temperature increases. The results confirm the findings of previous works using RMF theory at $T=0$, namely that the correlation between the pseudospin splitting and the parameters of the Woods-Saxon potentials implies that pseudospin symmetry is a dynamical symmetry in nuclei. We show that the dynamical nature of the pseudospin symmetry remains when the temperature is considered in a realistic calculation of the tin isotopes, such as that of the Dirac-Hartree-Bogoliubov formalism., Comment: 21 pages, 17 figures

Neste trabalho de mestrado é estudada a estabilidade de vórtices em condensados de Bose-Einstein com interação atrativa entre os átomos através da solução numérica da equação de Gross-Pitaevskii. Inicialmente são reproduzidos resultados da literatura, nos quais são estudados vórtices em condensados bidimensionais atrativos com potencial interatômico homogêneo em todo o condensado. A estabilidade de tais sistemas é inferida através da solução numérica das equações de Bogoliubov-de Gennes e da evolução temporal dos vórtices. Demonstra-se que esses vórtices são estáveis, até um certo número crítico de átomos, apenas para valores de vorticidade S=1. Em seguida foi proposto um modelo no qual a interação entre os átomos é espacialmente modulada. Neste caso é possível demonstrar que vórtices com valores de vorticidade de até S=6, pelo menos, são estáveis. Finalmente é estudada a estabilidade de vórtices em condensados tridimensionais atrativos, novamente com potencial interatômico homogêneo em todo o condensado. Assim como no caso bidimensional mostra-se que tais vórtices são estáveis para valores de vorticidade de S=1. Espera-se em breve estudar a estabilidade de vórtices em condesados tridimensionais com potencial de interação espacialmente modulado. In this work we study the stability of vortices in attractive Bose-Einstein condensates by solving numerically the Gross-Pitaevskii equation. Initially we reproduce some results from the literature, in which vortices in two-dimensional attractive Bose-Einstein condensates with homogeneous interatomic potential are studied. The stability of these systems is determined by solving numerically the Bogoliubov-de Gennes equations and by studying the time evolution of these vortices. We demonstrate that these vortices are stable, up to a certain critical number of atoms, just for the value of vorticity S=1. After we propose a model in which the interatomic interaction are spatially modulated. In this case it is possible to verify that vortices with values of vorticity up to S=6 , at least, are stable. Finally, we study the stability of vortices in three-dimensional attractive condensates, again with a homogeneous interatomic potential. As in the two-dimensional case, we show that vortices in these systems are stable to values of vorticity S=1. The next step in this work is study the stability of vortices in three-dimensional condensates with spatially modulated interatomic interaction.

Investigamos transições de fase quânticas em condensados de Bose-Einstein unidimensionais em rede, descritos pelo modelo de Bose-Hubbard e generalizações. Nosso foco principal é na transição de localização induzida tanto por desordem aleatória (modelo de Anderson) quanto por potenciais incomensuráveis (modelo de Aubry-André). Por meio de diagonalização exata do Hamiltoniano, calculamos fração de superfluído (parâmetro apropriado para sinalizar localização), emaranhamento, gap de energia, compressibilidade, e fidelidade do estado fundamental. Complementando-se mutuamente, essas quantidades dão claras indicações da ocorrência de transições de fases quânticas, mesmo em redes pequenas. Analisamos em detalhe efeitos de tamanho finito, obtendo expoentes críticos para a transição de localização de Anderson, tanto no limite não interagente quanto com interação fraca. Também estudamos a transição entre as fases isolante de Mott e vidro de Bose para interação forte, que pode ser tratada com um limite de baixa mobilidade (pequena amplitude de hopping). Adicionalmente, estudamos propriedades topológicas de um modelo de Aubry-André unidimensional generalizado, e sua inter-relação com a “desordem”, com especial atenção para a estabilidade de certos estados topológicos frente a uma perturbação periódica incomensurável. We investigate quantum phase transitions in one-dimensional Bose-Einstein condensates on a lattice, described by the Bose-Hubbard model and generalizations. Our main focus is on the localization transition induced by either random disorder (the Anderson model) or incommensurate potentials (the Aubry-Andr´e model). By means of exact diagonalization of the Hamiltonian, we calculate superfluid fraction (an appropriate parameter to signal localization), entanglement, energy gap, compressibility, and ground-sate fidelity. Complementing each other, these quantities provide clear signatures of quantum phase transitions, even for small lattices. We analyze finite-size effects in detail, obtaining critical exponents for the Anderson-localization transition, both in the non-interacting limit and with weak interaction. We also study the transition between the Mott-insulator and Bose-glass phases for strong interactions, which can be treated as a low-mobility (small-hopping) limit. In addition, we study topological properties of a generalized one-dimensional Aubry-André model, and their interplay with “disorder”, focusing on the robustness of certain topological states against a periodic incommensurate perturbation.

Neste trabalho, nós consideramos um modelo derivado da densidade de um gás de Fermi em um estado superfluido BCS, aprisionado por uma rede óptica quase periódica unidimensional. Reduzindo a equação em 3D para 1D, construímos famílias de gaps sólitons estáveis (GSs) utilizando aproximações variacionais. No limite linear a aproximação variacional prediz exatamente a posição da banda de Bloch que separam os primeiros gaps. Através da aproximação variacional, mostramos a possibilidade de que a não linearidade efetiva atuando em combinação com o potencial de uma rede quase periódica em uma dimensão, permite o surgimento de gaps sólitons iluminados. Variando a amplitude da rede óptica, analisamos a existência e estabilidade dos gaps sólitons iluminados usando um ansatz gaussiano. Os gaps sólitons são estáveis diante de pequenas variações da rede óptica quase periódica. Este artigo pode ser utilizado como um guia de aprendizagem no estudo de átomos frios; estudantes são incentivados a realizarem os cálculos para outros valores de amplitude da rede óptica. In this work, we consider a model derived from energy density for a Fermi gas in the Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) superfluid state, trapped in a quasiperiodic one-dimensional optical lattice (OL). Reducing the equation to the 3D to 1D form, we construct families of stable 1D gap solitons (GSs) by the variational approximation (VA). In the linear limit, the VA predicts almost exact positions of narrow Bloch bands that separate the first gaps. Through the variational approximation, we show the possibility that the nonlinearity coefficient acting in a combination with the potential of the quasiperiodic one-dimensional optical lattice, allows one dimensional bright gap solitons to arise. Varying the amplitude of the optical lattice, we analyze the existence and stability of bright gap solitons using a gaussian ansatz. GSs are stable against small variations of the quasiperiodic optical lattice. This paper can be used as a learning guide in the study of cold atoms. Students are encouraged to perform variational calculations for other amplitude values of optical lattices.

Condensação de Bose-Einstein é um fenômeno quântico que pode ser observado macroscopicamente. Para a sua obtenção são necessários aprisionamentos externos, porém a presença desses leva ao colapso da função de onda. As interações de longo alcance são propostas como uma forma alternativa ao confinamento externo, um vez que podem prevenir o colapso da função de onda. Neste trabalho será apresentada uma revisão sobre os estudos de condensados de Bose-Einstein. Também, será buscada a solução aproximada da equação de Schrödinger não linear e não-local, a qual descreve condensados de Bose-Einstein com auto-interações de longo alcance. Para isso, será suposta uma forma espacial da função de onda, permitindo o tratamento analítico do sistema dinâmico resultante. Ao fim, por meio do método variacional dependente do tempo, será demonstrado que existem soluções estáveis para a função de onda sujeito a interações de longo alcance na forma gaussiana e gravitacional. Bose-Einstein condensation is a quantum phenomenon that can be observed macroscopically. External trappings are required to obtain them, however the presence of these leads to the collapse of the wave function. Long-range interactions are proposed as an alternative to external confinement, since they can prevent the collapse of the wave function. In this work a review will be presented on the Bose-Einstein condensate studies. Also, we review the approximate solution of the non-linear and non-local Schrödinger equation, which describes Bose-Einstein condensates with long-range auto-interactions. For this, a spatial form of the wave function will be assumed, allowing the analytical treatment of the system. Finally, through the time-dependent variational method, it will be demonstrated that there are stable solutions for the wave function subject to long-range interactions in gaussian and gravitational form.

The Higgs boson was predicted in 1964 by British physicist Peter Higgs. The Higgs is the key to explain the origin of the mass of other elementary particles of Nature. However, only with the coming into operation of the LHC, in 2008, there were technological conditions to search for the Higgs boson. Recently, a major international effort conducted at CERN, by means of ATLAS and CMS experiments, has enabled the observation of a new bosonic particle in the region of 125 GeVs. In this paper, by means of known mechanisms of symmetry breaking that occur in the BCS theory of superconductivity and in the theory of nuclear pairing, we discuss the Higgs mechanism in the Standard Model. Finally, we present the current state of research looking for the Higgs boson and the alternative theories and extensions of the Standard Model for the elementary particle physics. Keywords: Higgs boson, BCS theory, nuclear pairing, Higgs mechanism, Standard Model., Article in Portuguese. The paper will appear in Volume 35 of the Revista Brasileira de Ensino de F\'isica

Using a sampling method of particulate matter (PM) without the use of a dilution tunnel allows for evaluations of the volatile hydrocarbons (HC) in the emissions of diesel cycle engines. The procedure in this work applied a heated filter with temperature controlled. The volatile compounds are condensed at low temperature, allowing for evaluation of the HC by thermal desorption of the PM and for analysis of the condensed compounds of the exhaust gases.

Using a sampling method of particulate matter (PM) without the use of a dilution tunnel allows for evaluations of the volatile hydrocarbons (HC) in the emissions of diesel cycle engines. The procedure in this work applied a heated filter with temperature controlled. The volatile compounds are condensed at low temperature, allowing for evaluation of the HC by thermal desorption of the PM and for analysis of the condensed compounds of the exhaust gases.

Investigamos nesta tese dois modelos integráveis para condensados de Bose-Einstein. Come¸camos com um modelo simples que descreve o tunelamento Josephson entre dois condensados de Bose-Einstein. Alguns aspectos matemáticos deste modelo tais como sua solução exata através do método algébrico do ansatz de Bethe são discutidos. Usando uma análise clássica, estudamos as equações de movimento e as curvas de nível do hamiltoniano. Finalmente, a dinâmica quântica do modelo é investigada usando diagonalização exata do hamiltoniano. Em ambas análises, a existência de um limiar de acoplamento entre uma fase não localizada e uma fase de auto-aprisionamento é evidente, em concordância qualitativa com os experimentos. Consideramos subsequentemente um modelo para um condensado de Bose-Einstein atômico-molecular. Por meio da álgebra de Yang-Baxter e do método algébrico do ansatz de Bethe sua integrabilidade é estabelecida e a solução do ansatz de Bethe, bem como os autovalores da energia são obtidos. Usando uma análise clássica, determinamos os pontos fixos do sistema no espaço de fase. Encontramos que os pontos fixos de bifurca¸c˜ao separam naturalmente o espa¸co dos parâmetros de acoplamento em quatro regiões. Estas quatro regiões originam as dinâmicas qualitativamente diferentes. Mostramos então, que esta classificação também vale para a dinâmica quântica. Finalmente, investigamos as transições de fase quânticas destes modelos utilizando os conceitos de emaranhamento, gap de energia e fidelidade. In this thesis we investigate two integrable models for Bose-Einstein condensates. We begin with a simple model that describes Josephson tunneling between two Bose-Einstein condensates. We discuss some mathematical aspects of this model such as its exact solvability through the algebraic Bethe ansatz. Then using a classical analysis, we study the equations of motion and the level curves of the Hamiltonian. Finally, the quantum dynamics of the model is investigated using direct diagonalisation of the Hamiltonian. In both of these analyses, the existence of a threshold coupling between a delocalised and a self-trapped phase is evident, in qualitative agreement with experiments. We consider subsequently a model for atomic-molecular Bose-Einstein condensates. By means of the Yang-Baxter algebra and the algebraic Bethe ansatz its integrability is established and the Bethe ansatz solution as well as the energy eingenvalues are obtained. Then using a classical analysis we determine the phase space fixed points of the system. It is found that bifurcations of the fixed points naturally separate the coupling parameter space into four regions. The different regions give rise to qualitatively different dynamics. We then show that this classification holds true for the quantum dynamics. Finally, we investigate the quantum phase transitions of these models using the concepts of entanglement, energy gap and fidelity.

O artigo de Bose, aqui traduzido para o português, constitui-se em "um progresso importante", usando as palavras do próprio Einstein, no que se refere ao desenvolvimento de uma teoria quântica da luz. Embora não afirme explicitamente, Bose supõe que os quanta de luz são indistingüíveis. Além disso, admite a hipótese, até então não aceita pela maioria da comunidade física, de que os fótons possuem impulso. Seu artigo inspirou Einstein, logo a seguir, a desenvolver sua teoria quântica do gás ideal. A estatística quântica de partículas de spin inteiro ficou, justamente, conhecida como estatística de Bose-Einstein. Bose's paper, here translated into Portughese, is "an important progress", using Einsteins' words, so far as the development of the quantum theory of light is concerned. Although not explicitly stated, Bose admit that light quanta are indistinguishable. In addition, he admits the hypothesis, not widely accepted by physics community at that time, that photons carry on momentum. His paper inspired Einstein, in the sequel, to develop his quantum theory of ideal gas. The quantum statistics of integer spin particles is known, with justice, as Bose-Einstein statistics.

Em 1924, motivado por um trabalho de S. Bose sobre a radiação do corpo negro, A. Einstein escreveu uma série de três artigos acerca das propriedades termodinâmicas de um gás ideal quântico. No segundo destes artigos, publicado em janeiro de 1925, ele previu o fenômeno da "condensação" dos átomos não interagentes no estado fundamental a partir de uma certa densidade crítica do gás, fenômeno este que veio a ser posteriormente conhecido como Condensação de Bose-Einstein (CBE). Neste primeiro artigo discuto detalhadamente o trabalho de Bose e as implicacções do método por ele desenvolvido sobre o trabalho de Einstein. Em um artigo posterior discutir-se-á o trabalho de Einstein. In 1924, motivated by a work of S. Bose on the black-body radiation problem, A. Einstein wrote a series of three articles where he derived the thermodynamic properties of an ideal quantum gas. In the second article, published in January 1925, Einstein predicted the "condensation" of the noninteracting atoms into the ground state after a certain density threshold had been reached. This phenomenon came to be known as Bose-Einstein Condensation (BEC). In this article, the first of a sequel, I discuss Bose's paper in detail and the implications the method he developed had on Einstein's work. In a forthcoming article Einstein's contributions will be discussed.

Entre 1924 e 1925 Einstein escreveu uma série de três artigos onde aplicava, para um gás de partículas maciças não interagentes, o novo método da estatística quântica desenvolvido por Bose, cujo trabalho ele traduzira para o alemão e fizera publicar na Zeitschrift für Physik. No segundo artigo da série Einstein previu o fenômeno da condensação das partículas no estado fundamental a partir de uma certa densidade crítica, fenômeno este que veio a ser posteriormente conhecido como Condensação de Bose-Einstein (CBE). Neste trabalho discuto o artigo de Einstein bem como a polêmica por ele suscitada, traçando também um paralelo entre a teoria da CBE a a teoria de condensação em gases reais. Between the years of 1924 and 1925 Einstein wrote a series of articles where he applied the methods of quantum statistics as developed by Bose to a gas of noninteracting massive particles. In the second of these articles Einstein predicted that after a certain density threshold had been reached, particles would condense into the ground state - a phenomenon which later came to be known under the name of Bose-Einstein Condensation (BEC). Here I discuss Einstein's article as well as the polemics it brought about. The theory of BEC is also explored in conjunction with the theory of condensation in real gases.

Com sua análise crítica e extensão da técnica desenvolvida por Bose para o problema da radiação do corpo negro, Einstein ajudou a lançar as bases daquilo que chamamos de mecânica estatística quântica bem como previu a condensação que hoje leva seu nome e o de Bose. Nesta pequena introdução à tradução do texto original de Einstein, situamos o trabalho deste dentro do contexto da época bem como discutimos algumas das polêmicas por ele suscitadas. With a critical analysis of Bose's technique for the blackbody radiation problem, Einstein extended the theory and helped lay the foundations of what we now call quantum statistical mechanics. He also predicted the condensation phenomenon known nowadays as Bose-Einstein condensation. In this short introduction I discuss the context in which Einstein did his work as well as some of the controversies it raised at the time.

Os conceitos de emissão espontânea e emissão estimulada são bem conhecidos do artigo de Einstein de 1917 sobre radiação. No entanto, sua teoria da radiação contém muitos outros conceitos. O artigo é um tesouro da física. The concepts of spontaneous and stimulated emission are well known from Einstein's 1917 paper on radiation, but his theory of radiation comprises many other concepts. The paper is a treasure trove of Physics.

O espectro dos modos coerentes para gás atômico de Bose diluído, confinado em uma armadilha harmônica não isotrópica é determinado e utiliza-se da teoria de perturbação otimizada e a técnica das raízes aproximantes auto-similares. As expressões obtidas são válidas para níveis de energia arbitrários de todos os modos coerentes excitados. Este artigo deve ser utilizado como ponto de início para os alunos que querem se aprofundar no tema de condensação de Bose-Einstein atualmente presente em quase todos periódicos de Física. The spectrum of coherent modes for dilute atomic Bose gas, confined in a non-isotropic harmonic trap, is determined by using the optimized perturbation theory and the technique of self-similar root approximants. The obtained expressions are valid for arbitrary energy levels of all excited nonlinear coherent modes. This article must be used as an introduction for the students that want to deepen nowadays in the theme of the Bose-Einstein condensation.

This paper describes a review on internal standardization in atomic absorption spectrometry with emphasis to the systematic and random errors in atomic absorption spectrometry and applications of internal standardization in flame atomic absorption spectrometry and electrothermal atomic absorption spectrometry. The rules for selecting an element as internal standard, limitations of the method, and some comments about the application of internal standardization in atomic absorption spectrometry and the future of this compensation strategy are critically discussed.

The Higgs boson was predicted in 1964 by British physicist Peter Higgs. The Higgs is the key to explain the origin of the mass of other elementary particles of Nature. However, only with the coming into operation of the LHC, in 2008, there were technological conditions to search for the Higgs boson. Recently, a major international effort conducted at CERN, by means of ATLAS and CMS experiments, has enabled the observation of a new bosonic particle in the region of 125 GeVs. In this paper, by means of known mechanisms of symmetry breaking that occur in the BCS theory of superconductivity and in the theory of nuclear pairing, we discuss the Higgs mechanism in the Standard Model. Finally, we present the current state of research looking for the Higgs boson and the alternative theories and extensions of the Standard Model for the elementary particle physics. Keywords: Higgs boson, BCS theory, nuclear pairing, Higgs mechanism, Standard Model.