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This thesis studies qualitative properties for nonnegative solutions to fourth or- der systems driven by a GrossPitaevskii type nonlinear coupling term on a punctured domain with dimensions bigger than four. More accurately, we provide classication results and a description of the local behavior near an isolated (non-removable) singu- larity. We divide our analysis into two cases. Namely, the underlying domain is either the punctured space or a punctured ball. First, we classify the solutions in the whole space, called the blow-up limit (or EmdenFowler) solutions. Second, we show that these limiting solutions are the local models of our system near the origin. The growth of the nonlinear coupling term alters our analysis. In this fashion, we divide our approach into the (upper) critical and subcritical cases, which are also split into more sub-cases with respect to the so-called Serrin (or lower critical) exponent. Our analysis is based on cylindrical logarithm coordinates, Liouville-type results, integral representation formulas, sliding techniques, Pohozaev functionals, analytic Fredholm theory, and asymptotic analysis. In the critical setting, our system is closely related to conformal geometry, being the most natural vectorial extension of the conformally at Q-curvature equation. In this case, a delicate study of the geometric Jacobi elds in the kernel of the linearized operator around blow-up limit solutions is also required. The results in this thesis extend to the context of fourth order coupled systems the celebrated asymptotics due to J. Serrin [193], P.-L. Lions [146], P. Aviles [16], B. Gidas and J. Spruck [83], L. A. Caarelli et al. [130], and N. Korevaar et al. [31]. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES Esta tese estuda propriedades qualitativas para soluções não-negativas de sis- temas de quarta ordem governados por uma termo de acoplamento do tipo Gross Pitaevskii. Precisamente, obtemos resultados de classicação e a descrição do com- portamento local perto de uma singularidade (não-removível) e isolada. Nosso estudo consiste em dois casos, a saber: ou o domínio é o espaço furado, ou a bola furada em dimensão maior que quatro. Inicialmente, classicamos as soluções no espaço inteiro, também chamadas de soluções de limite blow-up (ou EmdenFowler). Então, provamos que essas soluções limite são os modelos locais para o sistema perto da origem. A mudança no crescimento do termo de acoplamento não-linear altera nossos métodos. Assim, dividimos nossa análise nos casos crítico (superior) e subcríticos, onde o último também é dividido em mais sub-casos com respeito ao expoente de Ser- rin (ou crítico inferior). Estamos baseados em coordenadas logarítmicas-cilíndricas, resultados do tipo Liouville, fórmulas de representação integral, métodos de desliza- mentos, funcionais de Pohozaev, teoria de Fredholm analítica e análise assintótica. No caso com crescimento crítico, nosso sistema está fortemente relacionado com a equação da Q-curvatura conformemente plana, sendo sua generalização vetorial mais natural. Nesta situacão, um estudo delicado dos campos de Jacobi geométricos no núcleo do operador linearizado ao redor da solução de EmdenFowler é necessário. Os resultados desta tese estendem, para o contexto de sistemas acoplados de quarta ordem, os célebres trabalhos de J. Serrin [193], P.-L. Lions [146], P. Aviles [16], e B. Gidas e J. Spruck [83], L. A. Caarelli et al. [130] e N. Korevaar et al. [31].

Submitted by Maria Cristina (library@lncc.br) on 2015-11-25T12:00:01Z No. of bitstreams: 1 Tese - Análise de Sensibilidade Topológica.pdf: 447139 bytes, checksum: d7d9c80ad59acb3e3cf12ae2d457887f (MD5) Approved for entry into archive by Maria Cristina (library@lncc.br) on 2015-11-25T12:00:22Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Tese - Análise de Sensibilidade Topológica.pdf: 447139 bytes, checksum: d7d9c80ad59acb3e3cf12ae2d457887f (MD5) Made available in DSpace on 2015-11-25T12:00:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Tese - Análise de Sensibilidade Topológica.pdf: 447139 bytes, checksum: d7d9c80ad59acb3e3cf12ae2d457887f (MD5) Previous issue date: 2015-11-03 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes) The topological derivative concept has been proved to be useful in many relevant applications such as topology optimization, inverse problems, image processing, multi-scale constitutive modeling, fracture mechanics and damage evolution modeling. The topological asymptotic analysis has been fully developed for a wide range of problems modeled by partial di erential equations. On the other hand, the topological derivatives associated with coupled problems have been derived only in their abstract forms. In this paper, therefore, we deal with the Reissner-Mindlin plate bending model, which is written in the form of a coupled system of partial di erential equations. In particular, the topological asymptotic analysis of the associated total potential energy is developed and the topological derivative with respect to the nucleation of a circular inclusion is derived in its closed form.Finally, we provide the estimates for the remainders of the topological asymptotic expansion and perform a complete mathematical justi cation for the derived formulas. O conceito de derivada topológica tem se mostrado útil em muitas aplicações, tais como otimização topológica, problemas inversos, processamento de imagens, modelagem constitutiva multi-escala, mecânica da fratura e modelagem da evolução de dano. A análise assintótica topológica foi amplamente desenvolvida para uma grande variedade de problemas modelados por equações diferenciais parciais. Por outro lado, a derivada topológica associada a problemas acoplados é conhecida apenas em sua forma abstrata. Neste trabalho, portanto, considera-se o modelo de flexão de placa de Reissner-Mindlin, que é escrito na forma de um sistema acoplado de equações diferenciais parciais. Em particular, a análise assintótica topológica da energia potencial total associada é desenvolvida e a derivada topológica com relação a nucleação de uma inclusão circular é obtida na sua forma fechada. Finalmente, os resíduos da expansão assintótica topológica são estimados e uma justificativa matemática completa para a derivada topológica é apresentada.

Made available in DSpace on 2015-03-04T18:50:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Tese Jairo.pdf: 2924101 bytes, checksum: 8a9716b369188f13960e4f2bc2fbbacb (MD5) Previous issue date: 2008-10-16 Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nivel Superior The topological derivative provides the sensitivity of a given shape functional with respect to an infinitesimal non-smooth domain pertubation (insertion of hole or inclusion, for instance). Classically, this derivative comes from the second term of the topological asymptotic expansion, dealing only with inifinitesimal pertubations. However, for pratical applications, we need to insert pertubations of finite sizes.Therefore, we consider other terms in the expansion, leading to the concept of higher-order topological derivatives. In a particular, we observe that the topological-shape sensitivity method can be naturally extended to calculate these new terms, resulting in a systematic methodology to obtain higher-order topological derivatives. In order to present these ideas, initially we apply this technique in some problems with exact solution, where the topological asymptotic expansion is obtained until third order. Later, we calculate first as well as second order topological derivative for the total potential energy associated to the Laplace equation in two-dimensional domain pertubed with the insertion of a hole, considering homogeneous Neumann or Dirichlet boundary conditions, or an inclusion with thermal conductivity coefficient value different from the bulk material. With these results, we present some numerical experiments showing the influence of the second order topological derivative in the topological asymptotic expansion, which has two main features:it allows us to deal with pertubations of finite sizes and provides a better descent direction in optimization and reconstruction algorithms. A derivada topológica fornece a sensibilidade de uma dada função custo quando uma pertubação não suave e infinitesimal (furo ou inclusão, por exemplo) é introduzida. Classicamente, esta derivada vem do segundo termo da expansão assintótica topológica considerando-se apenas pertubações infinitesimais. No entanto, em aplicações práticas, é necessário considerar pertubação de tamanho finito. Motivado por este fato, o presente trabalho tem como objetivo fundamental introduzir o conceito de derivadas topológicas de ordem superiores, o que permite considerar mais termos na expansão assintótica topológica. Em particular, observa-se que o topological-shape sensitivity method pode ser naturalmente estendido para o cálculo destes novos termos, resultando em uma metodologia sistemática de análise de sensibilidade topológica de ordem superior. Para se apresentar essas idéias, inicialmente essa técnica é verificada através de alguns problemas que admitem solução exata, onde se calcula explicitamente a expansão assintótica topológica até terceira ordem. Posteriormente, considera-se a equação de Laplace bidimensional, cujo domínio é topologicamente pertubado pela introdução de um furo com condição de contorno de Neumann ou de Dirichlet homogêneas, ou ainda de uma inclusão com propriedade física distinta do meio. Nesse caso, são calculadas explicitamente as derivadas topológicas de primeira e segunda ordens. Com os resultados obtidos em todos os casos, estuda-se a influência dos termos de ordem superiores na expansão assintótica topológica, através de experimentos numéricos. Em particular, observa-se que esses novos termos, além de permitir considerar pertubações de tamanho finito, desempenham ainda um importante papel tanto como fator de correção da expansão assintótica topológica, quanto como direção de descida em processos de otimização. Finalmente, cabe mencionar que a metodologia desenvolvida neste trabalho apresenta um grande potencial para aplicação na otimização e em algoritimos de reconstrução.

Made available in DSpace on 2015-03-04T18:50:29Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Apresentacao.pdf: 103220 bytes, checksum: c76acce6b0debd619e9db9533aa20f11 (MD5) Previous issue date: 2003-02-13 Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Tecnologico The Topological Sensitivity Analysis results in a scalar function, denoted as Topological Derivative, that supplies for each point of the domain of definition of the problem the sensitivity of a given cost function when a small hole is created. However, when a hole is introduced, it is no longer possible to stablish a homeomorphism between the domains. Due to this mathematical difficulty the Topological Derivative may become restrictive, nevertheless be extremely general. Thus, in the present work it is proposed a new method to calculte the Topological Derivative via Shape Sensitivity Analysis. This result, formally proved through a theorem, leads to a simpler and more general methodology than the others found in the literature. The Topological Sensitivity Analysis is performed for several Engineering problems, and the obtained results are used to improve the design of mechanical devices by introducing holes. The same theory developed to calculate the Topological Derivative is used to determine the sensitivity of the cost function when a small incrustation is introduced in each position of the domain, resulting in a novel concept denoted as Configurational Sensitivity Analysis, being discussed some possible applications in the context of Inverse Problems and modelling of phenomena that experiment changes in the physical properties of the medium. Thus, the methodology developed in the present work results in a framework with potential applications in Topology Optimization, Inverse Problems and Mechanical Modelling, which may be seen, from now on, not only as a method to calculate the Topological Derivative, but as a promising research area in Computational Modelling. A análise de Sensibilidade Topológica resulta em uma função escalar, denominada Derivada Topológica, que fornece para cada ponto do domínio de definição do problema a sensibilidade de uma dada função custo quando um pequeno furo é criado. No entanto, ao introduzir um furo, não é mais possível estabelecer um homeomorfismo entre os domínios envolvidos. Devido a essa dificuldade matemática a Derivada Topológica pode se tornar restritiva, não obstante seja extremamente geral. No presente trabalho, portanto, é proposto um novo método de cálculo da Derivada Topológica via Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma. Este resultado, formalmente demonstrado através de um teorema, conduz a uma metodologia mais simples e geral do que as demais encontradas na literatura. A Análise de Sensibilidade Topológica é então realizada em diversos problemas da Engenharia e os resultados obtidos são empregados para melhorar o projeto de componentes mecânicos mediante a introdução de furos. A mesma teoria desenvolvida para calcular a Derivada Topológica é utilizada para determinar a sensibilidade da função custo ao introduzir uma pequena incrustação numa dada posição do domínio, resultando em um novo conceito denominado Análise de Sensibilidade Configuracional, sendo discutidas suas possíveis aplicações no contexto de Problemas Inversos e de modelagem de fenômenos que experimentam mudanças nas propriedades físicas do meio. Assim, a metodologia aqui desenvolvida é uma ferramenta em potencial tanto de Otimização Topológica quanto de Problemas Inversos e de Modelagem Mecânica, podendo ser vista, a partir de agora, não somente como um método de cálculo da Derivada Topológica, mas como uma promissora área de pesquisa em Modelagem Computacional.