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Mestrado em Matemática Financeira A presente tese consiste numa exposição teórica da relação entre os processos de difusão e os métodos probabilísticos que podem ser usados para os descrever. Centramos-nos em processos estocásticos de aplicabilidade em Finanças como o passeio aleatório para o caso discreto e o movimento browniano visto como o seu limite no caso contínuo. É feita a modelação do fenómeno do calor culminando na resolução ou verificação da equação do calor, intimamente ligada com a equação de Black-Scholes como patente na fórmula de Feynman-Kac. Na segunda metade é introduzida a geometria fractal, tendo como principal conceito a dimensão de Hausdorff. Esta dimensão é de extrema importância para o estudo das trajectórias do movimento browniano e de todos os outros os processos utilizados em Finanças que exibem o mesmo comportamento fractal. Além de todo um conjunto de ferramentas e técnicas para a análise de fractais, é feito o cálculo rigoroso da dimensão de Hausdorff do gráfico das trajectórias do movimento browniano. São ainda obtidos resultados sobre a diferenciabilidade por intervalos dessas mesmas trajectórias. The present thesis is a theoretical exposition of the relation between the diffusion processes and the probabilistic methods that can be used to describe them. We focus in stochastic processes with applicability in Finance, like the random walk for the discrete case and the Brownian motion seen as his continuous time limit. Then we do the modelling of the heat phenomenon culminating in the resolution or verification of the heat equation which is deeply connected with the Black-Scholes equation as in the Feynman-Kac formula. On the second half we introduce the fractal geometry, having as main concept the Hausdorff dimension. This is of great importance for the study of Brownian motion trajectories and all other processes used in Finance presenting the same fractal behaviour. Besides the introduction of a whole set of tools and techniques for fractal analysis, we do the rigorous Hausdorff dimension computation for the Brownian motion trajectories. Moreover, we obtain results about the differentiability by intervals for these same trajectories.

Apresentamos os principais ingredientes da teoria de Einstein para o movimento browniano, procurando manter fidelidade às idéias dos trabalhos de 1905. Através do balanço entre o atrito viscoso e a pressão osmótica, obtemos o coeficiente de difusão das partículas brownianas no meio fluido. Apresentamos em seguida a dedução estatística de Einstein da equação da difusão, que conduz à famosa expressão para o desvio quadrático médio das posições das partículas em suspensão, cabalmente verificada pelas experiências de Perrin. Seguindo os passos do trabalho original de 1908, apresentamos também a teoria muito mais simples de Langevin, que é usualmente discutida nos textos modernos de física estatística. We try to follow the ideas of the original works of 1905 in order to present the main ingredients of Einstein's theory of the Brownian movement. Using the competition between viscous friction and osmotic pressure, we obtain the diffusion coefficient of the Brownian particles in a fluid. We then present Einstein's statistical deduction of the diffusion equation, leading to the well-known expression of the mean-square deviation of the positions of the Brownian particles, which was duly confirmed by Perrin's experiments. According to the original work of 1908, we also present the much simpler theory of Langevin, which is usually discussed in modern textbooks of statistical physics.