Search

Mestrado em Matemática Financeira Sendo conhecido que as curvas de preços em mercados financeiros apresentam variâncias não finitas e não seguem um movimento Browniano, este facto dificulta a aplicação das ferramentas existentes de matemática financeira. O objectivo deste trabalho é estudar as medidas económicas que melhoram a previsibilidade em modelos descritos por equações diferenciais estocásticas relativamente ao movimento Browniano. Deste modo, pretende-se analisar outras medidas retiradas dos mesmos mecanismos de interacção entre agentes económicos cuja dinâmica apresenta variações com variâncias finitas e, consequentemente, a aplicação de equações diferenciais estocásticas com movimento Browniano seja válida. Sendo a economia feita por trocas entre os agentes económicos, pretende-se olhar para a mesma como sendo um cluster das ligações, em que cada nó representa um agente económico e cada ligação entre dois nós representa as trocas entre estes. Pretende-se assim, analisar se estas medidas podem substituir as medidas de preço na modelação de mercados financeiros. A formação dos clusters será analisada à luz da teoria das redes complexas e o estudo das medidas dos mesmos é feito através da teoria da percolação e criticalidade autoorganizada, conceitos estes que serão explicados neste trabalho. Por fim, pretende-se verificar se as medidas dos clusters seguem um movimento Browniano, de modo que seja possível avaliar o mercado em função das medidas dos clusters em vez das medidas financeiras. It is known that price curves in financial markets have no finite variances and do not follow a Brownian motion and, therefore, this makes it difficult to apply existing tools of financial mathematics. The aim of this work is to study economic measures that improve predictability in models based on stochastic differential equations driven by Brownian motion. Here we intend to study other measures taken from the same mechanisms of interaction between economic agents, whose dynamic shows variations with finite variances and, therefore, the application of stochastic differential equations driven by Brownian motion is valid. As the economy is based on trade between economic operators, we want to look at the economy as a cluster of links, where each node represents an economic agent and each link between two nodes represents the exchanges made by them. The aim is to examine whether such measures may replace the measures of price modeling in financial markets. The formation of clusters is explained by the theory of complex networks. The study of measures of clusters is based on percolation theory and self-organized criticality, assuming that the economy has a behavior of self-organized criticality, concepts that will be explained in this dissertation. Finally, we want to verify whether the measures of the clusters follow a Brownian motion to be able to assess the marke according to the clusters of measures rather than financial measures.

Mestrado em Matemática Financeira A presente tese consiste numa exposição teórica da relação entre os processos de difusão e os métodos probabilísticos que podem ser usados para os descrever. Centramos-nos em processos estocásticos de aplicabilidade em Finanças como o passeio aleatório para o caso discreto e o movimento browniano visto como o seu limite no caso contínuo. É feita a modelação do fenómeno do calor culminando na resolução ou verificação da equação do calor, intimamente ligada com a equação de Black-Scholes como patente na fórmula de Feynman-Kac. Na segunda metade é introduzida a geometria fractal, tendo como principal conceito a dimensão de Hausdorff. Esta dimensão é de extrema importância para o estudo das trajectórias do movimento browniano e de todos os outros os processos utilizados em Finanças que exibem o mesmo comportamento fractal. Além de todo um conjunto de ferramentas e técnicas para a análise de fractais, é feito o cálculo rigoroso da dimensão de Hausdorff do gráfico das trajectórias do movimento browniano. São ainda obtidos resultados sobre a diferenciabilidade por intervalos dessas mesmas trajectórias. The present thesis is a theoretical exposition of the relation between the diffusion processes and the probabilistic methods that can be used to describe them. We focus in stochastic processes with applicability in Finance, like the random walk for the discrete case and the Brownian motion seen as his continuous time limit. Then we do the modelling of the heat phenomenon culminating in the resolution or verification of the heat equation which is deeply connected with the Black-Scholes equation as in the Feynman-Kac formula. On the second half we introduce the fractal geometry, having as main concept the Hausdorff dimension. This is of great importance for the study of Brownian motion trajectories and all other processes used in Finance presenting the same fractal behaviour. Besides the introduction of a whole set of tools and techniques for fractal analysis, we do the rigorous Hausdorff dimension computation for the Brownian motion trajectories. Moreover, we obtain results about the differentiability by intervals for these same trajectories.

Mestrado em Economia Monetária e Financeira Este trabalho debruça-se sobre o estudo da relação entre o conceito de Opção Real e a decisão de exportação por parte das empresas. O conceito de Opção Real advém da ligação existente entre um projecto de investimento e o conceito de opção decorrente dos mercados financeiros. A decisão de exportação por parte de uma empresa é assim similar à posse de uma opção; isto porque as empresas enfrentam frequentemente volatilidades nos seus preços de venda internacionais, bem como custos de entrada e de saída irreversíveis, criando-se desta forma uma opção de espera, podendo e devendo ser modelizada como tal. O modelo analisado é um modelo de exportação para o resto do mundo (visto como um único país), onde o preço de venda evolui de forma estocástica. Devido à incerteza associada aos preços futuros, bem como ao carácter irreversível de certos custos de entrada e de saída, gera-se uma banda de inércia, de inacção, entre o nível de preços, que conduz a empresa a exportar, e o nível de preços, que leva a empresa a abandonar o mercado externo. O nível de histeresis decorrente da evolução dos preços vai depender da evolução dos parâmetros do modelo, nomeadamente da volatilidade e da taxa de crescimento dos preços de venda, dos custos de entrada e dos custos de saída irreversíveis, bem como dos custos de produção. Por fim, tenta-se aplicar a análise precedente a um modelo de exportação onde o resto do mundo é visto como sendo constituído por dois países, sendo necessário modelizar dois preços de venda a evoluir estocasticamente. Os resultados obtidos são em tudo similares aos do modelo com um único preço de venda estocástico. This research looks to the study of the relationship between the concept of Real Option and the firm's export decision. The concept of Real Option comes from the existent connection between an investrnent project and the option concept due to the financial markets. The firm's export decision is similar to the ownership of an option, because the companies frequently face volatilifies m its international sale prices, as well as irreversible entrance and exit costs , being created this way a wait option, that should be modelized like a financial option. The model we study is an export model for the rest of the world (seen as one country), where the sale price develops stochastic volatifity. Due to the uncertainty associated to the future prices, as well as to the irreversible of certain entrance costs and of exit, an inertia, or inaction band is generated, between the levei of prices that drives the company to export and the levei of prices that takes the company to abandon the externai market. The histeresis levei due to the evolution of the prices will depend on the evolution of the parameters of the model, namely, the volafility and the rate of growth of the sale prices, the irreversible entrance and exit costs, as well as the production costs. Finally, we try to apply the precedent analysis to an export model where the rest of the world is seen as being constituted by two countries, being necessary to consider two stochastic sale prices. The obtained results are in everything similar to the model with only one stochastic sale price. info:eu-repo/semantics/publishedVersion